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4. Aplicaciones de la derivada Monotonía y extremos relativos (Teoría) - Contenido educativo

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Subido el 29 de julio de 2024 por Francisca F.

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Aplicaciones de la derivada al estudio de la monotonía de una función y al cálculo de máximos y mínimos

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Bueno, vamos a ver las aplicaciones de la derivada al estudio primero de la monotonía de una función y al cálculo de extremos relativos. 00:00:01
¿Qué significa estudiar la monotonía de una función? 00:00:10
Pues consiste en estudiar el crecimiento y decrecimiento de la función, es decir, en estudiar en qué intervalos la función es creciente y en cuáles es decreciente. 00:00:13
Fijaros, la derivada lo que nos indica es la pendiente de la recta tangente a la curva. 00:00:25
Si esa pendiente es positiva, como ocurre en este primer gráfico de aquí 00:00:31
Está representado un punto dentro del intervalo AB 00:00:37
Trazamos la recta tangente a la curva y vemos que esta tiene una pendiente positiva 00:00:41
Si esto ocurre en todos los puntos del intervalo, diremos que la función es creciente 00:00:47
Es decir, si la derivada en todos los puntos del intervalo es positiva 00:00:52
para todo x sub cero perteneciente a ese intervalo abierto, la función es creciente en dicho intervalo. 00:00:59
En caso contrario, es decir, si la derivada es negativa para todos los puntos del intervalo abierto desde a hasta b, 00:01:07
la función va a ser decreciente. 00:01:18
Así que pendiente positiva en todos los puntos de un intervalo significa que la función es creciente 00:01:20
Y si es negativa va a ser decreciente 00:01:32
Aquí por ejemplo os he puesto el gráfico de uno de los exámenes que hemos hecho en el control 00:01:35
Fijaros que una función como por ejemplo esta que viene dada por varios tramos 00:01:43
puede tener distinto comportamiento. 00:01:51
En este caso, por ejemplo, esta función sería por aquí y sería por aquí, 00:01:58
tiene una asíntota igual a 1, creo que, tiene una asíntota horizontal. 00:02:02
Pues fijaros, en este caso, si a mí me pidieran estudiar la monotonía de esta función, 00:02:14
tendría que ir describiendo qué va ocurriendo en cada intervalo. 00:02:20
Por ejemplo, en este primer intervalo, que va de menos infinito, porque aquí la función sigue creciendo, 00:02:24
vamos a ponerlo aquí, intervalos de monotonía. 00:02:31
Esto es lo mismo que decir intervalos de crecimiento, de crecimiento de la función. 00:02:41
vemos que de menos infinito a 1 00:02:45
y fijaros, activo abierto 00:02:52
porque en 1 vamos a ver que no existe la derivada 00:02:55
creo que no puedo dibujar la recta tangente 00:02:58
habría infinitas, ¿no? 00:03:01
no puedo dibujar infinitas rectas tangentes 00:03:03
porque la función termina ahí 00:03:05
así que de menos infinito a 1 00:03:09
la derivada de la función en todos los puntos 00:03:12
de ese intervalo, cuando todo x perteneciente a ese intervalo, la derivada es negativa. 00:03:17
Lo veo aquí, porque si yo trazo la recta tangente en cualquiera de estos puntos, veo 00:03:27
que es una pendiente negativa. 00:03:35
A mayor que cero, pendiente positiva, así. 00:03:38
A menor que cero, pendiente así. 00:03:42
entonces veo que en este caso todas las pendientes que yo puedo trazar en cada uno de los puntos 00:03:45
tienen pendiente negativa, eso significa que la derivada es negativa 00:03:51
y por lo tanto la función f de x en ese intervalo abierto es decreciente 00:03:56
vamos al siguiente intervalo, de 2 00:04:04
para todos los x que pertenecen al intervalo abierto de 2 00:04:12
La derivada de la función, en este caso, es negativa también 00:04:17
La función en ese intervalo abierto de 2 a 3 es decreciente 00:04:26
Seguimos, de 3 a 5, la derivada 00:04:30
Lo podemos ver aquí en el dibujo, aquí la pendiente negativa 00:04:47
Este es un trocito de parábola, ¿no? 00:04:52
Pues aquí la pendiente, antes de llegar al vértice, es negativa 00:04:55
Y aquí la pendiente es positiva 00:04:59
en todos los puntos del intervalo abierto que va de 3 a 5 00:05:01
pues si es positiva significa que la función es creciente en ese intervalo 00:05:05
y luego de 5 hasta infinito la derivada de la función es negativa 00:05:12
por lo tanto la función es decreciente 00:05:33
pues estos serían los intervalos de monotonía o intervalos de crecimiento-decrecimiento 00:05:39
Aquí lo hemos visto con la función. 00:05:47
¿En dónde vamos a localizar máximos y mínimos relativos de una función? 00:05:49
Donde la función sea derivable, es decir, donde exista la derivada, 00:05:54
y el signo de la derivada cambia. 00:05:59
Es decir, en este punto, en el que es un cero, 00:06:02
decimos que hay un máximo relativo de la función, 00:06:05
porque a la izquierda de ese punto la función es creciente, 00:06:09
vemos que su derivada es positiva en todos estos puntos, 00:06:13
que están a la izquierda de x sub cero, y a la derecha de ese punto la función es decreciente porque el signo de la derivada es negativo. 00:06:17
Tenemos un mínimo relativo de la función cuando ocurre lo contrario, es decir, la función es derivable, 00:06:29
Aquí podemos definir la derivada de la función y vemos que a la izquierda del punto 00:06:36
estos x tienen el signo de la derivada negativo, con lo cual la función es decreciente. 00:06:43
Pasamos de que la función sea decreciente a que sea creciente, es decir, signo de la derivada positivo. 00:06:53
Fijaros, en este punto donde la función es derivable hay un momento en el cual la derivada se me anula. 00:06:59
Por lo tanto, un primer sitio donde vamos a tener que buscar máximos y mínimos relativos 00:07:06
son los que llamamos puntos singulares, es decir, puntos donde la derivada primera se me anula. 00:07:15
No siempre ocurre que en puntos donde la derivada primera se me anula voy a tener un máximo. 00:07:26
Eso luego lo vamos a tener que ver viendo qué pasa a la derecha y a la izquierda de ese punto. 00:07:31
¿En qué otro sitio voy a tener que buscar? 00:07:36
Pues no solamente vamos a encontrar extremos relativos en aquellos puntos donde la derivada primera sea cero, 00:07:39
es decir, en los puntos singulares. 00:07:46
Puede ocurrir que donde empiece la función o donde termine la función, 00:07:48
si la función está ahí definida, veamos este ejemplo, 00:07:52
en x igual a a lo que tenemos es un mínimo de la función 00:07:56
y en b tenemos un máximo de la función. 00:07:59
Aquí la función ni siquiera es derivable porque yo no puedo trazar la recta tangente a la curva en ese punto 00:08:03
habría infinitas, por lo tanto no existe la derivada, ni tampoco en este punto 00:08:10
La derivada no existe, sin embargo localizamos mínimos y máximos 00:08:15
Y por último tenemos aquellos puntos que ya nos hemos comentado 00:08:20
en que la función muestra picos 00:08:25
Esto se da sobre todo en funciones que están definidas a trozos 00:08:28
en los cuales la función a la derecha de x sub 0 está definida de una manera 00:08:31
y a la izquierda, o sea, la izquierda está definida de una manera 00:08:36
y a la derecha está definida de otra. 00:08:40
Entonces se pueden dar estos casos. 00:08:41
La función es continua en esos puntos, pero no es derivable. 00:08:43
Yo aquí no puedo trazar la recta tangente, 00:08:47
o digamos que no sea una única recta tangente porque habría infinitas, 00:08:51
así que ni siquiera está definida aquí la derivada. 00:08:55
Cuanto menos que la derivada sea cero. 00:08:58
Sin embargo, sí que localizamos en estos puntos, pues en este caso lo que tenemos es un máximo de la función 00:09:00
Y aquí tenemos, en este ejemplo de la derecha, tenemos un mínimo 00:09:08
Entonces, recapitulando, ¿dónde vamos a tener que buscar extremos relativos? 00:09:13
Pues primero vamos a buscar los puntos singulares, es decir, puntos donde la derivada primera se anula 00:09:23
Ahí lo que voy a encontrar van a ser candidatos a máximos y mínimos, a extremos relativos 00:09:32
Tendré que hacer el estudio posterior, pero ahí siempre voy a tener que buscar 00:09:41
Luego también tendré que ver el dominio de la función, es decir, dónde la función empieza, dónde termina, dónde se corta 00:09:45
Si viene dado por el dominio por varios intervalos, por unión de intervalos 00:09:56
Porque también voy a poder tener máximos o mínimos relativos 00:10:01
Y por último, puntos donde la función sea continua pero no derivable. 00:10:05
En estos casos, pues la derivada no existe, sin embargo, podemos tener máximos o mínimos relativos. 00:10:13
Es decir, puntos donde la función f de x es continua pero no derivable. 00:10:25
Y esto me lo voy a encontrar sobre todo en funciones definidas a trozos. 00:10:40
Idioma/s:
es
Autor/es:
Francisca Florido Fernández
Subido por:
Francisca F.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
1
Fecha:
29 de julio de 2024 - 15:21
Visibilidad:
Clave
Centro:
IES ENRIQUE TIERNO GALVAN
Duración:
10′ 56″
Relación de aspecto:
5:4 Es el estándar al cual pertenece la resolución 1280x1024, usado en pantallas de 17". Este estándar también es un rectángulo.
Resolución:
1280x1024 píxeles
Tamaño:
29.06 MBytes

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