2.- Ángulo entre dos rectas (II) | Mediateca de EducaMadrid

En este vídeo vamos a ver otra fórmula que nos permite calcular el ángulo entre dos rectas que se cortan, ¿vale? 00:00:01

Esta fórmula es la que hace referencia a las pendientes de dichas rectas, ¿vale? 00:00:11

Si yo tengo, bueno, vamos a poner unos ejes para que se vea bien, si yo tengo estos ejes coordenados y esta es mi recta R, ¿vale? 00:00:16

y esta es mi recta S. El ángulo que ando buscando es este, alfa, que es el mismo que este. 00:00:25

La recta R, pues conocemos que tiene una pendiente M sub R y la recta S, pues tiene una pendiente M sub S. 00:00:33

Son conocidas, todas las rectas tienen una pendiente, pues en este caso cada una tiene la suya. 00:00:40

Vamos a ver cómo se puede calcular el ángulo entre dos rectas conociendo la tangente de dicho ángulo. 00:00:46

Esa tangente, ya digo que involucra las pendientes, luego la tangente de alfa, la fórmula que vamos a utilizar, 00:00:52

es que la tangente de alfa es ms menos mr, todo ello en valor absoluto, partido de 1 más ms por mr. 00:01:00

Esta es la fórmula, la tercera fórmula, que vamos a ver para el cálculo de un ángulo entre dos rectas. 00:01:12

Bueno, pues con que os sepáis la fórmula es suficiente, pero vamos a intentar deducir o ver por qué sale esto. 00:01:20

Bueno, en realidad esto hace referencia a su vez a una fórmula de las razones trigonométricas que no hemos visto 00:01:29

y ahí es donde tenemos que hacer un poco más el acto de fe porque tampoco lo hemos demostrado 00:01:39

puesto que ese tema lo dejamos para el final con esta situación. 00:01:42

Esa fórmula lo que me dice es que la tangente de una resta de dos ángulos, por ejemplo, b menos a, 00:01:47

es una fórmula trigonométrica, es la tangente de b menos la tangente de a partido de 1 más la tangente de b por la tangente de a. 00:01:56

Si de alguna manera, esta es la fórmula que vamos a aplicar, 00:02:08

Fijaos que si yo de alguna manera compruebo que la tangente de los ángulos correspondientes es la pendiente, 00:02:12

que eso siempre va a suceder, y si de alguna manera compruebo que alfa se puede escribir como resta de dos ángulos, 00:02:21

pues ya lo tengo, ¿vale? 00:02:27

Si voy a aplicar, repito, voy a aplicar esta fórmula. 00:02:28

Bastaría con que fuera capaz de escribir alfa como la resta de dos ángulos conocidos 00:02:33

y que efectivamente las tangentes de esos ángulos coincidan con las pendientes de las rectas que estoy considerando, ¿vale? 00:02:41

Pues eso es lo que vamos a intentar hacer, aplicar la fórmula. 00:02:48

Vamos a ver cómo puedo poner alfa como diferencia de dos ángulos. 00:02:51

Si yo a este ángulo le llamo A, ¿vale? Voy a intentar usar a lo mejor otro color más llamativo. 00:02:54

Si yo a este ángulo le llamo A, bueno, por el estilo 00:03:03

Y a este otro ángulo, ¿vale? Le llamo B 00:03:07

Desde luego, porque aquí tengo un triángulo, ¿vale? 00:03:12

Porque aquí tengo un triángulo 00:03:22

Yo sé que 180 grados menos la suma del ángulo A más alfa, ¿vale? 00:03:23

Va a ser este casito de aquí, ¿vale? 00:03:33

Si yo a 180, que es la suma de todos los ángulos de un triángulo, le resto estos dos, pues obtengo este, ¿vale? 00:03:37

Y efectivamente S es lo mismo que 180 menos el ángulo B, ¿vale? 00:03:45

Este ángulo amarillo que he pintado aquí también lo puedo escribir como 180, que es lo que mide el ángulo llano, menos B. 00:03:54

180 le quito B, pues tengo el ángulo amarillo, ¿vale? 00:04:03

Bueno, pues efectivamente, si me pongo aquí a despejar, el 180 que está aquí se va con el 180 que está allí, y b es lo mismo que a más alfa. 00:04:07

Yo aquí también podría poner esto como positivo, b es igual que a más alfa. 00:04:26

Fijaos que bien, porque alfa, despejando alfa, resulta que es b menos a. 00:04:34

Luego ya he conseguido aquello que buscaba, ¿vale? Ya he conseguido escribir alfa como una resta de dos ángulos. 00:04:40

Luego ahora aplico la fórmula directamente, esta fórmula que nos hemos creído porque no nos ha dado tiempo a verla, ¿vale? 00:04:48

Entonces aplicando la fórmula, ¿vale? Aplicando la fórmula, la tangente de alfa es igual a la tangente de b menos a. 00:04:54

es decir, la tangente de B menos la tangente de A 00:05:05

partido de 1 más la tangente de B por la tangente de A 00:05:10

pero si recordáis 00:05:16

vamos a verlo con esta que a lo mejor no resulta más sencillo 00:05:19

la tangente del ángulo A 00:05:23

coincide con la pendiente 00:05:28

vale, si esto es b y esto es a, la tangente de a es b entre a, es decir, la pendiente, vale, si considero este vector, vale, es la pendiente, la tangente de a es la pendiente, vale, 00:05:31

la coordenada de y del vector entre la coordenada x del vector, imaginaos que este es el vector, la coordenada es ab, luego sustituyendo directamente, 00:05:51

análogamente sucedería para ab, esto es la pendiente de s menos la pendiente de r partido de 1 más la pendiente de s por la pendiente de r. 00:06:01

Puesto que queremos el ángulo agudo, lo vamos a considerar en valor absoluto, 00:06:15

para que siempre nos dé la tangente positiva, ¿vale? 00:06:21

Tengamos un ángulo entre 0 y 90 grados. 00:06:23

Así que con eso, pues habría quedado demostrada la fórmula. 00:06:25