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Descomposición en factores primos - Contenido educativo

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Subido el 3 de noviembre de 2020 por Jose Félix D.

138 visualizaciones

Se ponen 5 ejemplos de descomposición en factores primos de números naturales.

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descomponer un número en factores primos consiste en poner dicho número como 00:00:00

producto de números primos es decir si me dan un número pues lo tengo que 00:00:06

poder poner como multiplicaciones de números que sean primos sólo números 00:00:11

primos por lo tanto lo primero que me tengo que saber es la lista de los 00:00:17

números primos, pues 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 y por lo menos hasta el 23 hay que ir probando a ver si 00:00:22

alguno de estos números pues se puede poner como multiplicación de ellos para que nos den el número 00:00:33

del que nos piden descomponer en factores. Vamos a ver algunos ejemplos, vamos a empezar con algunos 00:00:39

números no muy grandes son 84 y el 225 y luego vamos a ver alguno ya más grande 00:00:46

y algunas un poco más difícil que pasan algunas cosas que puede ocurrir pues 00:00:52

vamos a empezar con el 84 escribimos el 84 y nos vamos a ayudar de una línea 00:00:58

vertical porque a la derecha vamos a ir poniendo los números primos por los que 00:01:07

sea divisible el 84 y con el primero que tenemos que probar siempre es a ver si 00:01:13

el número que nos dan es divisible por dos en este caso como 84 termina en 00:01:19

cifra par pues si es divisible por dos pues pongo el 2 que es el primero de la 00:01:24

lista de los números primos en la columna de la derecha y ahora se hace la 00:01:29

división de 84 entre 2 si lo sé hacer de cabeza como en este caso por ejemplo 00:01:35

ejemplo es sencillo la mitad de 84 pues es 21 perdón 42 pues 42 lo pongo debajo 00:01:40

del 84 si no lo sé hacer de cabeza pues lo pongo aparte hago la división de 84 00:01:49

entre 2 y con lo que me dé la división pues lo pongo debajo del 84 en este caso 00:01:56

184 dividido entre 2, 42. 00:02:02

Bien, seguimos probando con 2, siempre hay que volver a probar con el número que hayamos puesto. 00:02:07

En este caso, 42 termina también en cifra par, pues se puede entre 2. 00:02:13

No probamos por otro número, 42 es divisible también por otros números, por 3, por ejemplo, o por 7, 00:02:18

pero hay que seguir probando con 2 hasta que ya no se pueda más. 00:02:25

Y una vez que ya no se pueda con 2, nunca más puede volver a aparecer el 2 en la columna de la derecha. 00:02:29

En este caso, como si se puede por 2, pues volvemos a dividir por 2. 00:02:36

Hago la división de cabeza, ahora sí 42 entre 2 es 21, pero ahora ya 21 no se puede por 2. 00:02:42

Pues lo que había comentado antes, ya nunca más me puede volver a aparecer el 2 en la columna de la derecha. 00:02:50

Pues pasó con el siguiente de la lista de los números primos. 00:02:56

El siguiente es el 3. 00:02:59

Como debo saber, la regla de divisibilidad por 3, 00:03:01

la suma de las cifras de 2 y 1, de 21, es 3, 00:03:05

que es múltiplo de 3, por lo tanto, sí que se puede por 3. 00:03:09

Además, 21 aparece en la tabla del 3. 00:03:12

Pues pongo el 3, divido 21 entre 3, sale a 7, 00:03:15

y el 7 es un número primo, por lo tanto, solo es divisible por 7. 00:03:20

es decir, en la columna de la derecha si me sale un número primo en el de la izquierda 00:03:24

pues pongo el mismo número, es decir, en este caso pues el 7 00:03:30

divido 7 entre 7 y el resultado lo pongo debajo 00:03:34

cuando sale 1 en la columna de la izquierda 00:03:38

pues es que ya he terminado la descomposición en factores 00:03:40

y 84 es la multiplicación de 2 por 2 por 3 por 7 00:03:43

los números que tengo en la columna de la derecha 00:03:50

pero en este caso no vamos a poner 2 por 2 00:03:53

porque lo vamos a escribir en forma de potencia 00:03:57

2 por 2 es 2 al cuadrado 00:04:00

pues escribimos 84 como 2 al cuadrado por 3 por 7 00:04:03

y esto es la descomposición en factores 00:04:08

escribir 84 como el producto de 2 por 2 por 3 por 7 00:04:11

es a lo que se llama la descomposición polinómica del número 00:04:17

Vamos con el segundo número, 225 00:04:21

225 no es divisible por 2 porque no termina en cifra par 00:04:26

pero sí es divisible con el siguiente que es el 3 00:04:31

porque la suma de las cifras 2 y 2, 4 y 5, 9 00:04:35

por lo tanto probamos a dividirlo por 3 00:04:39

Hacemos la división de 225 entre 3 00:04:42

en este caso yo lo voy a poner directamente el resultado 00:04:46

sale 75. Si no sabéis sacar directamente la división 00:04:49

de 225 entre 3 de cabeza, pues os hacéis aquí aparte 00:04:53

la división de 225 entre 3. Bien, 75 00:04:57

sigue valiendo a 3. Es divisible por 3 00:05:01

porque la suma de las cifras de 7 y 5 es 12, que es múltiplo 00:05:05

de 3. Por lo tanto, dividimos por 3. La división 00:05:09

de 75 entre 3, 25. Ya no se puede 00:05:13

ya no se puede por 3, 2 y 5 son 7 00:05:17

y 7 no sale en la tabla del 3, no es múltiplo de 3, por lo tanto 00:05:21

probamos con el siguiente de la lista, que es el 5, y si es divisible 00:05:25

por 5 el 25, porque termina en 0 o en 5 00:05:30

en este caso termina en 5, pues dividimos entre 5 00:05:34

25 dividido entre 5, 5, y 5 ya es un número 00:05:37

primo, por lo tanto solo es divisible por 5, y 5 dividido 00:05:42

entre 5, 1. Ya hemos terminado. Por lo tanto, el 225 lo podemos poner como 3 por 3 por 5 00:05:46

y por 5. Esta multiplicación da 225. Pero en vez de poner 3 por 3 por 5 por 5, pues 00:05:54

vamos a poner 3 al cuadrado por 5 al cuadrado. Y esta es la descomposición del 225. Vamos 00:06:01

con el siguiente ejemplo. Es el número 6300. Es un número bastante grande ya. La dificultad 00:06:14

va a ser la misma que en los números anteriores. Lo único que vamos a tener que hacer es más 00:06:23

divisiones, pero el método es el mismo. Empezamos a ver si este número es divisible por 2. 00:06:27

Y en este caso sí, porque termina en cifra par. Pues lo primero que hacemos es dividir 00:06:33

6.300 entre 2. Si sé hacer la división de cabeza, pues ponemos el resultado. Que no, me hago la 00:06:38

división aparte, como siempre. 6.300 entre 2 sale 3.150, que termina en 0. Por lo tanto, vale por 2 00:06:45

otra vez. Pues dividimos entre 2 y ponemos el resultado de la división debajo del 3.150. Sale 00:06:55

1575, ya no es divisible por 2 00:07:02

porque termina en 5, pero si es divisible por 3 00:07:07

la suma de las cifras, 1 y 5 son 6, 6 00:07:10

y 7, 13 y 5, 18, por lo tanto 00:07:14

vale por 3, pues dividimos entre 3 00:07:18

y ponemos el resultado de 1575 entre 3, debajo 00:07:22

del 1575, sale 525 00:07:26

La suma de las cifras es 12, que sigue siendo divisible por 3. 00:07:30

Por lo tanto, dividimos por 3 y ponemos el resultado de la división. 00:07:34

175 ya no es divisible por 3. 00:07:40

La suma de las cifras es 13 y 13 no es múltiplo de 3. 00:07:42

Pero como termina en 5, pues es divisible por 5, que es el siguiente de la lista. 00:07:46

Pues dividimos por 5, el resultado sale 35, que vuelve a terminar en 5. 00:07:52

Pues otra vez a 5, 35 entre 5 es 7, y el 7 ya es un número primo, por lo tanto, solo vale a 7. 00:07:58

7 dividido entre 7 es 1, ya sale 1 en la columna de la izquierda, hemos terminado. 00:08:06

Por lo tanto, el 6300 es la multiplicación de 2 al cuadrado, por 3 al cuadrado, por 5 al cuadrado y por 7. 00:08:11

Esta es la descomposición en factores. 00:08:22

Vamos a hacer ahora la descomposición del número 3128. 00:08:28

Bien, como termina en cifra par, pues sabemos que es divisible por 2. 00:08:33

Bueno, y hacemos la división de 3128 entre 2. 00:08:38

Sale 1564. 00:08:43

Termina en 4, por lo tanto probamos otra vez a 2. 00:08:46

1564 dividido entre 2 sale 782. 00:08:51

Termina en 2 en cifra par. 00:08:55

Vuelve otra vez a valer por 2. 00:08:57

Hacemos la división entre 2 y nos sale 391. 00:09:00

Ya no es divisible por 2, pues pasamos al siguiente de la lista. 00:09:04

3 no es divisible por 3 y sumo las cifras 3 y 9, 12 y 1, 13. 00:09:08

No es divisible, no sale el 13 en la lista de múltiplos del 3, por lo tanto no es divisible por 3. 00:09:14

Siguiente número de la lista que tengo que probar, el 5. 00:09:20

No es divisible por 5 porque no termina ni en 0 ni en 5. 00:09:24

¿Es divisible por 7? Tampoco. Si te sabes la regla de cuando un número era divisible por 7, pues si quitamos la cifra de las unidades me queda 39, el doble de la cifra de las unidades es 2, 39 menos 2 es 37 y 37 no es múltiplo de 7. 00:09:27

Tampoco es divisible por 11, que es el siguiente número de la lista de los números primos. 00:09:48

Si sumo las cifras de posición impar, 3 y 1, 4, y las cifras de posición par, el 9, la segunda, pues 9 menos 4 es 5, no sale ni 0 ni un múltiplo de 11. 00:09:53

Pues el siguiente que tendría que probar sería con el 13. 00:10:06

Y hay muchos que, pues desistís y no seguís avanzando, ya pensáis que este número es un número primo. 00:10:10

Pues no, hay que seguir por lo menos hasta el 23. 00:10:17

Hay que probar con 13, si no vale con 13, por 17, si no vale por 17, con el 19, y si no vale con el 19, con el 23. 00:10:21

Si llegamos al 23 y no vale con ningún número, pues entonces sí, yo os aseguro que el número que os he puesto aquí en los ejercicios ya es un número primo. 00:10:30

Pero en este caso sí que se puede. Se puede por 17. Pues si divido 391 por 17, pues sale 23. El 23 ya es un número primo precisamente. Pues 23 solo se puede dividir por 23 y 23 dividido por 23, 1. 00:10:40

Bueno, pues la descomposición del 3128 es 2 al cubo por 17 y por 23. Esta es la descomposición en factores. 00:10:59

El último número que vamos a descomponer en factores va a ser el 9.930. 00:11:12

Como veis, termina en 0, por lo tanto, siempre el 2. 00:11:17

Dividimos 9.930 entre 2, sale 4.965. 00:11:23

Ya no vale a 2, vale a 3. 00:11:29

Pues 4 y 9, 13 y 6, 19 y 5, 24. 00:11:32

sí que vale a 3, por lo tanto, pues dividimos entre 3, la división sale 1655, 6 y 1, 7, y 5 y 5, 10, 17, ya no vale a 3, 00:11:39

pues pasamos al siguiente de la lista, que es el 5 y sí que vale, porque termina en 5, el 1655, pues dividimos 1655 entre 5, 00:11:52

La división sale 331. Ya no vale a 5. Bueno, pues ahora hay que probar con el 7. Tampoco vale a 7. Luego con el 11. Tampoco vale a 11. Luego con el 13. Tampoco es divisible por 13. 00:12:02

¿Por qué digo que no es divisible? 00:12:19

Yo estoy hecho las divisiones antes aparte y no vale 331 entre 13. 00:12:20

Pruebo con 17, no vaya a ser que como en el número anterior sí que valía por 17. 00:12:27

Pues bueno, este tampoco vale por 17, ni por 19, ni por 23. 00:12:31

Yo llegaba a probar hasta el 23 y resulta que por ninguno de esos números hasta el 23 es divisible el 331. 00:12:37

Bueno, pudiera ser que no fuera primo, pero yo ni en el libro ni yo voy a poner ningún ejercicio que llegados hasta probar con el 23, si resulta que no es divisible, pues sea divisible ese número. 00:12:45

Por lo tanto, damos por hecho que este número, el 331, es un número primo. Por lo tanto, solo se puede dividir entre 331 y 331. Entre 331, pues es 1. 00:12:58

Hemos terminado y la descomposición en factores es 9.930 es 2 por 3 por 5 por 331. 00:13:12

Bueno, pues espero que con estos cinco números que hemos descompuesto en factores, pues hayas aprendido a descomponer un número en factores primos. 00:13:26

Recuerdo que siempre la multiplicación de los números de la columna de la derecha 00:13:36

debe dar el número del que estamos descomponiendo en factores. 00:13:41

Que si aquí, por ejemplo, que ya no vale a 2, 00:13:45

vemos, el 2 nunca puede volver a aparecer. 00:13:49

Si con un número no vale, ya nunca puede volver a aparecer. 00:13:52

Aquí no valía ya 2, el 4.965, pues ya nunca más. 00:13:56

Si luego no vale ya 3, pues nunca más puede volver a aparecer el 3. 00:14:01

Los números de la columna de la derecha tienen que ir de más pequeños a más grandes. 00:14:05

Y recuerdo que lo importante no es esto. 00:14:14

La descomposición en factores se expone en el número de esta forma. 00:14:17

Es decir, lo importante es escribir, por ejemplo, el 3128 como 2 al cubo por 17 por 23. 00:14:22

Porque muchas veces hacéis esto de la línea, escribiendo los números aquí a la derecha, 00:14:29

pero se os olvida escribir la descomposición polinómica del número. 00:14:35

Esto es lo verdaderamente importante. 00:14:39

Veis que en todos los ejemplos que yo he hecho, pues he recuadrado la solución 00:14:42

para indicar que precisamente esto es lo importante. 00:14:46

Esto es una ayuda para ir precisamente hallando los números de las columnas de la derecha 00:14:49

que si hago la multiplicación, pues me tiene que salir el número del que estoy descomponiendo. 00:14:55

Vamos a comprobarlo precisamente con este. 00:15:01

2 por 2, 4. 4 por 3, 12. 12 por 7, 84. 00:15:03

Veis que la multiplicación de los números de la derecha me da el número que estoy descomponiendo. 00:15:09

Y además todos estos números de las columnas de la derecha solo pueden ser números primos, 00:15:14

números que están en la lista de los números primos. 00:15:20

Idioma/s:
Autor/es:: José Félix Díaz Ramírez
Subido por:: Jose Félix D.
Licencia:: Dominio público
Visualizaciones:: 138
Fecha:: 3 de noviembre de 2020 - 10:37
Visibilidad:: Público
Centro:: IES CARPE DIEM
Duración:: 15′ 24″
Relación de aspecto:: 14:9 Un estándar que no es ni ancho ni cuadrado, lo que permite a todos los televisores 4:3 y 16:9 recibir una transmisión.
Resolución:: 800x516 píxeles
Tamaño:: 17.89 MBytes