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Trigonometría: 39.Reducción 5 - Ejemplo concreto - Contenido educativo

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Subido el 7 de noviembre de 2007 por EducaMadrid

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- Ángulos complementarios, ángulos del II, III y IV cuadrantes. Ejemplo concreto.

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Vamos a resolver en este vídeo el siguiente ejercicio. 00:00:00
Dado seno de 35 grados igual a 0,57, coseno de 35 igual a 0,82, 00:00:05
calcula todas las razones trigonométricas de 55, 145, 215, 325 y menos 35 grados. 00:00:11
Este es un ejercicio de aplicación directa de todas las fórmulas de reducción de ángulos al primer cuadrante. 00:00:22
Tenemos que tener claras todas esas fórmulas para aplicarlas aquí convenientemente. 00:00:29
La solución del ejercicio pasa, en primer lugar, por calcular el resto de las razones de 35 grados. 00:00:36
Nos dan el seno y el coseno y tenemos que calcular las demás, lo primero de todo. 00:00:45
Comenzamos por la tangente. 00:00:51
Las tangentes van a ser muy sencillas. 00:00:53
El cálculo de todas las razones trigonométricas es muy sencillo, puesto que nos dan dos razones del ángulo, entonces es muy fácil. 00:00:55
La tangente sería dividir el seno entre el coseno, por tanto, dividir 0,57 entre 0,82, lo que nos da 0,70. 00:01:01
Para la secante tenemos que tener en cuenta que es la inversa del coseno, por tanto, 1 dividido entre 0,82, lo que nos da 1,22. 00:01:11
Para la cosecante lo que tenemos que hacer es dividir 1 entre 0,57, la inversa del seno, por tanto, 1,75. 00:01:20
Y, por último, la cotangente de 35 grados, que podemos hallarla, por ejemplo, dividiendo 0,82 entre 0,57, es decir, el coseno entre el seno, 00:01:30
lo que nos da para la cotangente de 35 un valor de 1,44. 00:01:40
Tenemos ya todas las razones trigonométricas de 35, podemos calcular ya lo que nos pide el problema. 00:01:45
Vamos a completar un cuadro parecido al que nos servía de cuadro resumen en un vídeo anterior. 00:01:54
Colocamos en esta columna las razones trigonométricas. 00:02:01
Aquí vamos a dibujar la circunferencia trigonométrica con el ángulo de 35 grados en el primer cuadrante, que nos sirve de referencia. 00:02:06
Vamos a ir colocando columna a columna. 00:02:14
En primer lugar, el complementario de 35, que sería 55 grados, puesto que suma 90 grados con 35. 00:02:17
55 más 35 nos da 90, por lo tanto, es el complementario. 00:02:25
El suplementario de 35, que es 145 grados. 00:02:29
El ángulo que se diferencia en 180 grados es 215, y el opuesto sería 325 grados o menos 35 grados, 00:02:34
puesto que ambos ángulos son iguales y, por tanto, las razones trigonométricas van a ser las mismas. 00:02:46
De manera que serán exactamente iguales las razones trigonométricas de 325 o bien las de menos 35, son iguales. 00:02:52
Comenzamos. 00:03:01
Vamos a buscar las razones del ángulo complementario. 00:03:04
Dibujamos el ángulo sobre la circunferencia goniométrica, el ángulo de 55 grados. 00:03:08
Vamos a calcular cuánto vale el seno de 55 en función del seno de 35. 00:03:14
Este sería el seno de 55, que sabemos lo que vale, y mide igual que esto, que es justamente el coseno de 35. 00:03:21
Por tanto, el seno de 55 vale 0.82, igual que el coseno de 35. 00:03:32
El coseno de 55 valdrá, ahí está parpadeando, lo que mide ese segmento, que será igual que lo que mide este otro segmento, 00:03:40
que es justamente el seno de 35. Por tanto, el coseno de 55 vale 0.57. 00:03:53
Recordemos que el complementario, respecto del otro ángulo, intercambia el seno y el coseno, que son los que han ocurrido. 00:04:01
La tangente de 55 mide 1.44, es decir, igual que la cotangente de 35. 00:04:10
La cosecante de 55 mide 1.75, lo mismo que la cosecante de 35. 00:04:22
La cosecante de 55 será 1.22, y por último, la cotangente de 55 valdrá 0.70, igual que la tangente de 35. 00:04:31
Reprobamos entonces cómo se han intercambiado, como decíamos, el seno con el coseno, 00:04:48
la tangente con la cotangente y la secante con la cosecante, de un ángulo respecto al otro. 00:04:53
Esto es lo que ocurría con los ángulos complementarios. 00:04:57
Vamos ahora a calcular las razones trigonométricas de 145 del suplementario a partir de las que ya tenemos. 00:04:59
Dibujamos nuestro ángulo. Este sería el ángulo de 145 grados. 00:05:10
Ahí estarían los 35 grados que faltan para llegar hasta 180, y por lo tanto se nos hacía ver que los triángulos eran iguales. 00:05:17
Vamos a por el seno. Esto sería lo que mide el seno de 145. 00:05:27
Es la coordenada y de ese punto, que es exactamente igual que la coordenada y de este otro punto. 00:05:32
Por tanto, coincide y el seno de 145 es igual que el seno de 35. 00:05:41
Para el coseno, ese sería el coseno de 145, que va a medir igual, que las longitudes van a ser iguales, 00:05:47
pero la coordenada, en este caso, la coordenada x del punto que nos da las razones trigonométricas de 145, 00:05:57
ese punto tiene coordenadas negativas. Por tanto, tenemos que cambiar el signo y será menos 0, 82. 00:06:07
Hay que cambiar el signo al coseno de 35. 00:06:15
Vamos a por la tangente. La tangente de 145 sería lo que mida esa línea, 00:06:20
y la tangente de 35 será lo que mida esa otra línea. 00:06:32
Recordemos entonces que también serían iguales en valor absoluto, pero, sin embargo, los signos son distintos. 00:06:36
Así que, la tangente de 145 mide menos 0, 70, igual que la de 35, pero cambiando el signo. 00:06:43
Con respecto a la secante, tendríamos que vale menos 1, 22, puesto que es la inversa del coseno. 00:06:51
Entonces, vale igual, pero en valor absoluto, es decir, hay que cambiarle el signo siempre. 00:06:58
La cosecante sí es exactamente igual, de forma que la cosecante de 145 vale igual que la cosecante de 35. 00:07:06
Y, por último, la cotangente de 145 vale menos 1, 44. Hay que cambiar también el signo y la cotangente. 00:07:22
Vamos ahora al ángulo de 215 grados. 00:07:31
Nos dibujamos aquí, trazamos el punto que a nosotros siempre nos sirve de referencia, 00:07:36
las coordenadas x y y de ese punto, 00:07:41
y recordemos que este ángulo, al ser un ángulo del tercer cuadrante, tiene tanto el seno como el coseno negativo, 00:07:45
pues, puesto que ese punto es un punto que está en el tercer cuadrante, el punto que corresponde a ese ángulo, 00:07:52
es un punto del tercer cuadrante. 00:07:57
Ahí estaría los 35 grados en los que 215 sobrepasa a 180. 00:08:00
Vamos a por el seno. Esto sería la coordenada y del punto, 00:08:06
que en valor absoluto es igual que esa coordenada, es decir, los dos segmentos miden lo mismo, 00:08:14
pero la de 215 es negativa, por tanto, menos 0,57. 00:08:19
Con respecto al coseno, este sería, ya sabemos que las longitudes son iguales, 00:08:25
pero los signos cambian y, por tanto, menos 0,82 para el coseno de 215. 00:08:32
La tangente, recordemos que por construcción es exactamente igual, 00:08:37
además al dividir dos cantidades negativas, menos entre menos, pues nos resulta más, 00:08:43
por tanto, coincide exactamente la tangente y vale 0,70, 00:08:47
la de 215 vale igual que la de 35, 00:08:55
la secante cambia el signo con respecto a la de 35, 00:09:00
la cosecante también cambia el signo y la cotangente es exactamente igual. 00:09:05
Vamos ya a por el ángulo opuesto, el ángulo opuesto de 35, 00:09:14
que es 325 grados o también menos 35 00:09:19
y vamos a calcular todas las razones trigonométricas, los dibujamos primero. 00:09:24
Ahí tenemos el ángulo, hemos trazado ya sus líneas 00:09:30
y eso sería lo que le falta por llegar hasta 360. 00:09:34
El seno de 325 sería, el valor de ese segmento es, por tanto, negativo, 00:09:41
porque es un punto que está en el cuarto cuadrante, 00:09:50
entonces su primera coordenada es positiva, pero su segunda coordenada es negativa 00:09:53
y, por tanto, aunque son iguales, pero los signos son distintos, 00:10:00
de manera que el seno vale menos 0,57. 00:10:05
El coseno es exactamente igual, mide lo mismo, del dibujo se ve muy claro, 0,82. 00:10:08
La tangente, entonces, al ser menos entre más, pues va a valer negativa, 00:10:16
de todas formas lo vemos sobre el dibujo, 00:10:22
que sería la tangente del ángulo de 325 grados o menos 35 00:10:26
y, por otro lado, tenemos la tangente de 35 grados. 00:10:34
Las longitudes son iguales, aunque los segmentos miden exactamente lo mismo, 00:10:40
pero es negativa para este ángulo. 00:10:44
Vamos a por la secante, que al ser la inversa del coseno va a ser igual, 00:10:47
la secante coincide, la cosecante cambia de signo 00:10:55
y la cotangente también cambia de signo. 00:11:01
Bien, hemos visto en este ejercicio 00:11:04
cómo aplicando todas las fórmulas de reducción al primer cuadrante 00:11:06
hemos podido resolver lo que nos pedían, 00:11:09
que es hallar las razones trigonométricas de todos estos ángulos 00:11:12
a partir de los datos que nos daba el ejercicio. 00:11:15
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Idioma/s:
es
Materias:
Matemáticas
Niveles educativos:
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          • Primer Curso
Autor/es:
José Antonio Ortega
Subido por:
EducaMadrid
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
1403
Fecha:
7 de noviembre de 2007 - 13:27
Visibilidad:
Público
Enlace Relacionado:
José Antonio Ortega
Descripción ampliada:

Realizado por José Antonio Ortega, licenciado en Matemáticas por la Universidad de Granada y Profesor de Enseñanza Secundaria en el IES "Diego Gaitán" en Almogía (Málaga).

Extraído de Open Trigo.
Duración:
11′ 27″
Relación de aspecto:
4:3 Hasta 2009 fue el estándar utilizado en la televisión PAL; muchas pantallas de ordenador y televisores usan este estándar, erróneamente llamado cuadrado, cuando en la realidad es rectangular o wide.
Resolución:
800x600 píxeles
Tamaño:
15.70 MBytes

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