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INVERSION 01 - Contenido educativo

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Subido el 19 de mayo de 2026 por Sara J.

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Teorías resolución problemas de inversión. DTII

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Hola, buenas. Voy a empezar con el último tema que nos queda, que en verdad no es un tema entero, es un trozo del tema de transformaciones geométricas. 00:00:01
Digamos que entraría dentro del tema de homología, afinidad y la siguiente transformación sería la inversión. 00:00:11
Se estudia aparte porque la transformación geométrica no tiene nada que ver con homología y afinidad. 00:00:22
Digamos que la clave es que las figuras que se transforman van a transformarse o en sí mismas 00:00:28
O sea, sé que no van a cambiar de forma, habría que identificar los puntos inversos dentro de la propia figura 00:00:37
O se van a transformar de manera anamórfica, de manera que su forma no tenga nada que ver 00:00:45
De manera que, para que os hagamos un poco la idea, una circunferencia se transforma en una recta y una recta se puede transformar en una circunferencia o una circunferencia se puede transformar en otra circunferencia. 00:00:52
entonces hay que explicar determinados conceptos nuevos 00:01:10
que pueden sonar un poco complejos al principio 00:01:16
pero luego lo que es la teoría es bastante compacta 00:01:20
y los ejercicios son siempre bastante parecidos 00:01:24
digamos que sería como aprender un nuevo lenguaje 00:01:28
con sus normas, las normas de inversión 00:01:32
que a su vez va a venir muy relacionado con lo que veíamos de potencia que nosotros lo hemos aplicado a tangencias, aquí vamos a trabajar lo que se llama con la potencia de inversión 00:01:37
que tiene el fundamento teórico de lo que serían estas transformaciones, ¿vale? 00:01:51
Bueno, en el aula virtual tenéis lo que sería la teoría, no hace falta que os la imprimáis, 00:01:59
yo la tengo aquí delante, pero la voy a ir ahora desglosando en lo que serían los apuntes, ¿vale? 00:02:07
Lo que sí que tener claro que las propiedades básicas de dos puntos inversos van a ser, bueno, estas seis propiedades de las cuales fundamentalmente vamos a utilizar tres de ellas, como veremos ahora mismo, ¿vale? 00:02:14
Pues vamos a empezar de cero, ¿vale? 00:02:30
Pues entonces, inversión, ¿qué es la inversión? 00:02:35
Es una transformación geométrica que va a ligar dos figuras planas, ¿vale? 00:02:46
Hasta ahora sería como una homología de afinidad, 00:03:18
pero esa transformación va a tener unas reglas nuevas 00:03:21
Y esa transformación no tiene por qué ser, puede ser anamórfica o, si es una figura muy simple, puede ser incluso idéntica. 00:03:25
Porque hay figuras que se transforman en sí mismas, como veremos a continuación. 00:03:45
Entonces, voy a hacer un dibujo básico y ahora vamos a ver las propiedades por no escribir tanta teoría. 00:03:50
Toda la teoría de inversión se va a basar en la teoría de potencia de inversión 00:03:56
Por tanto, vamos a recuperar esa circunferencia que teníamos cuando estudiábamos potencia 00:04:03
Voy a dibujar una circunferencia 00:04:09
Voy a marcar su centro 00:04:12
El centro lo podemos llamar O 00:04:16
y el centro de inversión va a ser el punto exterior con el que trabajábamos antes en potencia 00:04:19
y se va a llamar I de centro de inversión. 00:04:26
Lo podéis encontrar también como O, como C, como P de polo, ¿vale? 00:04:32
Porque también se considera un polo, ¿vale? 00:04:37
Porque también tiene una relación de polaridad que veremos a continuación. 00:04:42
¿Y qué va a ocurrir? 00:04:48
Pues lo mismo que ocurría en potencia, que si yo tengo un centro de inversión 00:04:51
y tengo una circunferencia, vamos a tener un punto y su inverso en este caso. 00:04:56
Esto sería exactamente igual que hacíamos hasta ahora. 00:05:11
Entonces ya puedo empezar a escribir las primeras propiedades. 00:05:15
¿Vale? Primero, dos puntos inversos están alineados con el centro de inversión o polo, ¿vale? 00:05:18
Lo podemos llamar de las dos maneras, ¿vale? 00:05:59
¿Qué va a ocurrir? 00:06:03
Que I, A y A', o sea, un punto y su inverso tienen que quedar alineados. 00:06:05
Vale, perfecto. 00:06:18
Segunda propiedad, porque hasta ahora esta sería como en homología y afinidad. 00:06:20
va a ocurrir que se va a cumplir lo que se denomina la potencia de inversión, 00:06:25
que el producto de las distancias de un polo a un punto y su inverso es constante. 00:06:34
Perfecto. ¿Esto qué quiere decir? Que desde I a A, esa distancia multiplicada por desde I a A', esa distancia, es igual a una constante. 00:07:14
¿Vale? Como ocurría, y esto se denomina potencia de inversión. 00:07:34
Perfecto. Y estas dos son las propiedades fundamentales que vamos a tener. 00:07:50
¿Qué va a ocurrir? 00:07:54
Pues que de igual manera que tengo un punto y su inverso 00:07:59
Si yo encuentro el punto de tangencia 00:08:04
Que forma justo 90 grados 00:08:13
Va a ocurrir lo que nos ocurría en potencia 00:08:23
Que es desde I hasta T 00:08:27
T va a ser coincidente con, digamos que T es un punto doble de autoinversión, vamos, el inverso de T es T' y es en el mismo punto, entonces de I a T por I a T' es igual a K, de manera que raíz de K es igual a esta distancia y T, ¿vale? 00:08:36
Esta distancia es raíz de k como pasaba en potencia. 00:09:16
Aquí lo vamos a utilizar para sacar lo que se denomina la circunferencia de los puntos dobles. 00:09:22
Se llama circunferencia de los puntos dobles porque va a haber puntos de autoinversión. 00:09:42
Y esto se llama circunferencia de puntos dobles. 00:09:46
Perfecto, vale, entonces esta sería como la teoría básica de inversión 00:09:53
Vamos a ver alguna propiedad más que nos va a permitir como invertir los puntos 00:10:03
Y luego veremos la inversión de elementos en sí mismos 00:10:11
Vale, pues entonces la siguiente propiedad que también quedaría aquí explicada con este dibujo 00:10:17
es que dos pares de puntos inversos determina la circunferencia de autoinversión, ¿vale? 00:10:27
¿Qué es esto de la circunferencia de autoinversión? 00:11:11
Es esta circunferencia que vemos aquí. 00:11:14
Si yo tengo una circunferencia y el punto de inversión está afuera, 00:11:16
La inversa de esta circunferencia es ella misma, ¿vale? 00:11:20
De manera que O es inversa de sí misma, ¿vale? 00:11:24
Digamos que dentro de las figuras esta circunferencia se invertiría entre ella misma. 00:11:29
De manera que los puntos inversos los vamos a encontrar siempre dentro de la circunferencia, ¿vale? 00:11:35
Podemos encontrar más puntos AB y entonces B' lo encontraríamos aquí. 00:11:42
De manera que siempre que vayamos a necesitar buscar un punto inverso, siempre que el punto de inversión esté fuera de la circunferencia, podemos utilizar esta circunferencia de autoinversión. 00:11:52
Lo voy a explicar con un pequeño ejercicio para que se vea más claro. 00:12:07
vale, pues entonces 00:12:11
si yo tengo 00:12:14
voy a poner como muy parecido 00:12:15
vale, digamos que me dan 00:12:18
un centro de inversión y me dan 00:12:19
dos puntos 00:12:22
para definir 00:12:24
la inversión, vale, si no tengo estos dos puntos 00:12:26
la inversión no está definida 00:12:28
por tanto no hay nada que pueda hacer 00:12:30
vale, vemos que están alineadas 00:12:32
perfecto 00:12:34
voy a hacerlo así con líneas discontinuas 00:12:35
para que se vea que 00:12:38
Imaginar que me piden que haga el inverso de B sabiendo que cumple esta relación de inversión, ¿vale? 00:12:39
Que estaría dentro de esta misma inversión 00:12:57
¿Vale? Pues para encontrar el inverso de B, ¿vale? Esto sería inversión de puntos, ¿vale? 00:12:58
Que lo voy a hacer de dos maneras posibles, lo voy a poner aquí 00:13:05
Esto sería inversión, esto sería teoría general y esto inversión de puntos aislados. 00:13:08
Vale, pues para encontrar el inverso de B voy a tener una primera opción basándome en esta propiedad. 00:13:24
De manera que, como yo sé que esto tiene que formar una circunferencia de autoinversión porque I está fuera de la circunferencia, 00:13:33
Lo único que tengo que hacer es hacer la mediatriz de entre estos tres puntos y buscar el centro de esa circunferencia, dibujarla y con eso obtendríamos el inverso de B. 00:13:40
¿Vale? Pues hacemos eso, unimos punto a punto y hacemos sus mediatrices, mediatriz, mediatriz, aquí tendríamos O, que es la circunferencia de la autoinversión que va a coincidir con O', la dibujo de esta manera, 00:14:00
puedo obtener B'. ¿Cómo? Pues utilizando 00:14:55
la primera propiedad que nos dice que dos puntos inversos están alineados 00:15:01
siempre con el centro de inversión. Esto va a ocurrir siempre. 00:15:05
¿Vale? Y entonces 00:15:09
hago la línea de manera que 00:15:13
alineo 00:15:18
y tendríamos B'. 00:15:20
perfecto, pues para sacar el inverso de un punto 00:15:25
siempre que ese punto no esté solo en la propia circunferencia 00:15:31
pues vamos a tener esta manera 00:15:35
hay otra manera que nos va a servir 00:15:37
y es utilizando precisamente la propiedad 2 00:15:39
que nos habla de la circunferencia de los puntos dobles 00:15:46
entonces para esto tengo que explicar previamente 00:15:53
otro caso concreto 00:15:57
vale, pues entonces 00:16:01
vamos a ver 00:16:03
nos imaginamos que tenemos 00:16:04
lo voy a poner aquí mejor 00:16:12
un centro de imagen 00:16:16
otra vez tendríamos 00:16:18
un A 00:16:22
y un A' 00:16:24
¿vale? 00:16:25
¿y aquí qué va a ocurrir? 00:16:29
a ver, espérate, he dibujado un A' 00:16:32
tiene que estar 00:16:34
estar alineado, tendríamos aquí A y A3, ¿vale? Pues en base a la relación geométrica 00:16:36
que ocurre siempre con la circunferencia de los puntos dobles, vamos a poder resolver 00:16:50
este mismo ejercicio, ¿vale? Aplicando esta segunda teoría, ¿vale? Esa teoría que nos 00:16:56
habla de la propiedad 2 y de la circunferencia de los puntos 2, que a su vez también tiene 00:17:09
que ver un poco con polaridad. Digamos que se considera que es un polo y va a ocurrir 00:17:19
siempre que estos tres puntos se van a relacionar con un tercer punto, que es un punto que se 00:17:26
encuentra en la circunferencia de los puntos dobles, que es esta circunferencia que habíamos 00:17:37
definido aquí antes. Vale, entonces esos puntos van a encontrarse siempre en esta circunferencia 00:17:45
de los puntos dobles. Entonces para ello lo que vamos a hacer es construir un rectángulo, 00:17:56
un triángulo rectángulo, perdón, que forma 90 grados con respecto del punto más cercano al centro de inversión o polo 00:18:01
y a su vez esta recta va a funcionar como la recta polar, ¿vale? 00:18:16
Entonces vamos a hacer un arco capaz de 90 entre los puntos más alejados, ¿vale? 00:18:23
Ese arco capa de 90 me va a marcar uno de los puntos dobles de esa circunferencia de los puntos dobles, ¿vale? 00:18:30
Pues entonces para hacer ese arco capa simplemente necesito hacer la mediatriz, encuentro el punto medio y desde ese punto medio, ¿vale? 00:18:40
hago mi arco capa de 90, arco capa de 90, y en el punto donde esta recta perpendicular o polar 00:19:15
choque con este arco capa de 90 00:19:45
va a ser un punto doble 00:19:48
T coincidente con T'. 00:19:53
Siempre esto va a formar 90 grados. 00:19:55
Esta condición se va a dar siempre. 00:20:05
De manera que sobre 00:20:09
con este punto 00:20:15
podríamos marcar 00:20:18
esta circunferencia 00:20:23
de los puntos dobles 00:20:27
que la voy a marcar a trazos 00:20:31
con otro polvo 00:20:37
que como veis 00:20:38
esto lo hemos sacado en esta posición 00:20:45
pero podría sacarse simétrico 00:20:47
y aquí tendríamos el otro punto de tangencia 00:20:49
y esta recta 00:20:52
que es la que forma justo 90 grados, ¿vale? También se determina recta polar y el punto de inversión se termina como un pol, ¿vale? 00:20:55
De manera que existe esa relación geométrica, ¿vale? 00:21:07
Vale, pues entonces, esta segunda forma para sacar puntos inversos aislados, ¿vale? 00:21:25
Digamos que la inversión de puntos aislados la vamos a poder hacer de dos maneras, ¿vale? 00:21:35
Primero, con la circunferencia de autoinversión, ¿vale? 00:21:41
O, segundo, usando la circunferencia de los puntos dobles, ¿vale? 00:21:46
Y esta relación geométrica que se produce siempre, 00:21:57
podéis denominarlo como la circunferencia de los puntos dobles o la relación de polaridad que existe 00:22:02
entre esa misma, la recta polar, siempre va a ocurrir, va a ser de la misma manera 00:22:07
entonces este mismo ejercicio lo podríamos resolver utilizando la circunferencia de los puntos dobles 00:22:15
pero se hace un poquito más complejo que lo veremos a continuación 00:22:21
Pero para lo que es imprescindible saber utilizar este sistema es para cuando tenemos los puntos, ¿vale? 00:22:24
Me piden el inverso de un punto en una recta, de manera que los puntos están alineados. 00:22:33
No voy a poder utilizar la circunferencia de autoinversión. 00:22:39
¿Vale? Entonces, ¿en qué caso vamos a utilizarlo? 00:22:43
¿Vale? Precisamente en el caso de una recta que a su vez es una recta de autoinversión. 00:22:46
¿Vale? Entonces imaginar que me dan una recta cualquiera, tengo un punto I, un punto A y un punto A'. 00:22:56
¿Vale? Estaría definida la inversión. 00:23:12
Y ahora me piden que saque el inverso de B, ¿vale? 00:23:16
Pues resulta que, y aquí nos aparece el segundo caso de autoinversión, 00:23:23
que si una recta tiene un punto de inversión en la misma recta, 00:23:30
la inversa siempre va a ser la propia recta, ¿vale? 00:23:35
Entonces, esta recta R, su inversa va a ser R', la misma, ¿vale? 00:23:38
Esta recta de autoinversión, ahora lo voy a poner aquí, 00:23:44
recta de autoinversión. Luego más adelante repasaré todos los casos para que quede muy 00:23:48
claro. Hasta ahora solo hemos visto la recta de autoinversión, que la tenemos aquí, que 00:24:04
cuando su centro de inversión está sobre la propia recta, esos puntos alineados, tenemos 00:24:09
Vemos aquí A y A', y también hemos visto la circunferencia de autoinversión, ¿vale? 00:24:17
Que es esta misma que hemos utilizado hasta ahora, que O es coincidente con O', ¿vale? 00:24:25
Todos sus puntos, esta circunferencia C, su inversa es ella misma, ¿vale? 00:24:33
Entonces tenemos la circunferencia de autoinversión y la recta de autoinversión. 00:24:41
Y estábamos ahora mismo aprendiendo a invertir puntos. 00:24:47
En este caso si teníamos el punto aislado, pues utilizábamos la recta y la circunferencia. 00:24:53
¿Y aquí qué ocurre? Pues que yo tengo tres puntos alineados, pues yo no puedo hacer ninguna circunferencia que pase por esos tres puntos. 00:24:59
Entonces inevitablemente voy a necesitar utilizar la circunferencia de los puntos dobles. 00:25:07
Todos los ejercicios los vamos a hacer con uno o con otro. 00:25:14
¿vale? pues esto es muy sencillo 00:25:16
al principio resulta un poco extraño 00:25:19
pero es muy sencillo, ¿por qué? 00:25:20
¿por qué qué hago? primero de todo 00:25:22
con respecto 00:25:24
de la recta 00:25:25
que alinea 00:25:28
me dibujo esta recta perpendicular 00:25:29
que va a ser mi recta 00:25:32
polar 00:25:34
y este va a ser mi centro de inversión 00:25:36
o mi polo 00:25:38
lo que queramos 00:25:40
y ahora, ¿qué me tengo que hacer? 00:25:41
el arco capaz de 00:25:44
hay entre I y A 00:25:45
¿vale? recordad que lo puedo 00:25:48
hacer en plan bien haciendo una mediatriz 00:25:50
y demás, si voy muy justa de tiempo 00:25:52
puedo utilizar las cuadras 00:25:54
¿vale? y tal cual 00:25:56
dibujar 00:25:58
¿vale? no es 00:25:59
lo más indicado, siempre es mejor hacer 00:26:01
la mediatriz y demás, pero 00:26:04
este sistema funciona 00:26:06
bastante bien y es bastante rápido 00:26:08
¿vale? con que marquéis aquí los 90 00:26:09
me daría igual hacia arriba 00:26:11
o hacia abajo, lo mismo que mira 00:26:13
bueno, entonces aquí, ¿qué voy a tener aquí? 00:26:15
un punto 00:26:19
de la circunferencia de los puntos dobles 00:26:19
que sería T coincidente 00:26:21
con T' 00:26:24
¿vale? entonces 00:26:25
esa circunferencia de los puntos 00:26:27
dobles va a ser común 00:26:29
¿vale? también a B, por eso 00:26:31
la voy a utilizar, entonces la atraso 00:26:33
la hago a trazos 00:26:39
para acordarme que es la circunferencia de los puntos 00:26:40
dobles, ¿vale? 00:26:42
ha quedado súper pegada a B 00:26:44
como el ejercicio lo he elegido yo 00:26:46
para que no me quede tan pegado 00:26:49
lo que voy a hacer es mover B 00:26:53
si me diera justo en el mismo punto 00:26:54
significa que sería un punto de autoinversión 00:26:58
y ya está 00:27:01
lo que pasa es que como me ha quedado cerca 00:27:02
pero no exactamente en el mismo punto 00:27:04
si me diera este punto 00:27:06
sería un punto T más 00:27:08
un punto doble más 00:27:11
pero lo que voy a hacer es poner B en otra posición 00:27:12
cualquiera, ¿vale? la que me diera la gana 00:27:15
entonces voy a poner por ejemplo B aquí 00:27:18
vale 00:27:22
entonces 00:27:33
una vez que tengo B 00:27:36
¿qué voy a hacer? 00:27:38
pues lo que voy a hacer es sacar su polar 00:27:43
la polar del punto que es la que forma justo 90 grados 00:27:45
elijo uno de los dos puntos 00:27:49
¿vale? para hacer los 90 en este caso lo voy a hacer abajo 00:27:59
para que me quede menos lioso 00:28:01
igual, con respecto de este punto 00:28:03
que sería otro T 00:28:05
lo puedo llamar 00:28:06
T2 coincidente con 00:28:09
T2 prima 00:28:11
haría el arco capa 00:28:12
de 90 con respecto 00:28:15
tendría que hacer 00:28:16
el arco capa de 90 00:28:19
con respecto de 00:28:20
el punto que voy a sacar ahí 00:28:23
no hago el arco capa de 90, sino que lo que hago 00:28:24
es unir este punto 00:28:27
y cerrar 00:28:28
con los 90 grados, voy a poner otro color para que veáis que ahí sacaría, uniendo 00:28:31
y con T, con los 90 determinaría B' de manera que sacaría B y su inverso, bueno pues de 00:28:41
esta manera ya vamos a poder invertir cualquier punto que nos aparezca en los 00:28:59
ejercicios si nos ha quedado esto muy claro volver a 00:29:03
verlo tranquilamente volver a revisar la teoría pero según vayamos haciendo los 00:29:07
ejercicios se va a ir aclarando nos tenemos que quedar con 00:29:13
fundamentalmente con estos dos ejercicios 00:29:19
que nos hablan de la inversión de la propia circunferencia en sí misma y la inversión de la recta en sí misma, ¿vale? 00:29:27
Son la recta de autoinversión y la circunferencia de autoinversión, ¿vale? 00:29:37
Y a continuación lo que vamos a hacer es practicar un poco esto de los puntos con una ficha de ejercicios, ¿vale? 00:29:41
Que es la ficha que tenemos en el aula virtual y que os he dado impresa. 00:29:49
Bueno, aquí la tengo ya resuelta y una vez que terminemos de practicar cómo invertir puntos, 00:29:56
pues lo que vamos a hacer es aprender a invertir rectas y circunferencias que no sean de autoinversión. 00:30:05
Y una vez que vamos a hacer eso, vamos a poder ya pasar a hacer los ejercicios de invertir figuras en sí mismos, 00:30:15
que van a ser siempre figuras planas, que por supuesto van a ser siempre o arcos o rectas. 00:30:22
Bueno, pues voy a parar aquí y ahora seguiré con los ejercicios. 00:30:29
Idioma/s:
es
Materias:
Dibujo Técnico
Niveles educativos:
▼ Mostrar / ocultar niveles
  • Bachillerato
    • Primer Curso
    • Segundo Curso
Autor/es:
SARA JIMENEZ
Subido por:
Sara J.
Licencia:
Dominio público
Visualizaciones:
3
Fecha:
19 de mayo de 2026 - 12:26
Visibilidad:
Público
Centro:
IES LEON FELIPE
Descripción ampliada:
Dibujo técnico. Inversión
Duración:
30′ 36″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1280x720 píxeles
Tamaño:
320.20 MBytes

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