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Ejercicio 1 examen integrales - Contenido educativo

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Subido el 18 de abril de 2022 por Maria Isabel P.

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Bueno, estas son las integrales indefinidas. 00:00:00
Las indefinidas son aquellas en las que lo único que hay que hacer es averiguar la primitiva de la función que está adentro, 00:00:03
es decir, la función cuya derivada sale esto. 00:00:10
No hay que hacer luego cálculos con números, como es lo de la regla de Barrow, eso en las definidas. 00:00:14
Vamos a ver, lo primero, empecemos por esta. 00:00:20
Lo que hay que hacer es identificar el tipo de función que tenemos delante. 00:00:23
Entonces, vamos a ver. 00:00:28
Vemos un cociente. 00:00:30
Podríamos tener la duda de que sea una función logarítmica. 00:00:32
Pero, para eso, lo de arriba debería ser exactamente la derivada de lo de abajo. 00:00:36
Y lo de abajo lleva una raíz. 00:00:42
Así que no está la cosa tan simple. 00:00:44
Descartamos ese tipo. 00:00:46
Hemos visto tres. 00:00:47
Hemos visto logarítmicas, exponenciales y potenciales. 00:00:49
Exponencial claramente no es. 00:00:54
Exponencial es esta. 00:00:56
porque es la x la que está en el exponente, ¿lo veis? Aquí no, aquí x es la base de las potencias, 00:00:57
entonces esta es potencial. ¿Qué ocurre? Que es compuesta, ¿por qué lo sabemos? 00:01:02
Porque aquí dentro de esta raíz, que la raíz recordad, no es más que un tipo de potencia, 00:01:07
dentro de la raíz no hay solamente x, sino que hay algo más, por eso sabemos que es compuesta. 00:01:12
Entonces lo primero, igual que las derivadas de raíces, lo que hacíamos era ponerlo en forma de potencia 00:01:17
para derivarlo más cómodamente, pues en las integrales también. 00:01:23
Entonces lo primero que hay que hacer es escribir esto así, 3x por x cuadrado menos 3, es una raíz cuadrada, luego está elevado a un medio, pero está en un denominador, luego al ponerlo arriba, estaba abajo, lo subimos arriba, le cambiamos el signo al exponente. 00:01:26
Mucha gente se olvidó en el examen de poner este menos 00:01:47
Y eso a mí me preocupa 00:01:51
Porque es algo como muy elemental 00:01:53
Y que no os deis cuenta de estas cosas es una lástima 00:01:55
Porque os manda el garete el ejercicio entero 00:01:58
En la EBAU por lo menos 00:02:00
Bien, vamos a ver 00:02:03
Entonces, ahora lo que tenemos que hacer es 00:02:04
Lo que llamamos ajustar las constantes, los números 00:02:07
Vamos a ver 00:02:09
Como función compuesta que es 00:02:10
La derivada de esto de aquí dentro 00:02:12
Que la tengo que tener aquí 00:02:14
dentro de la integral multiplicado, por lo menos la parte de la x 00:02:15
entonces fijémonos que la derivada 00:02:19
de lo que está aquí dentro, su derivada 00:02:22
sería 2x, entonces la x, que es lo importante, ya la tengo 00:02:26
¿por qué es lo importante? porque es lo que yo no puedo poner ni quitar 00:02:31
pero juguemos con los números entonces, vamos a ver 00:02:35
necesito un 2 y yo tengo un 3, entonces este 3, como yo no lo necesito 00:02:39
Como está multiplicando, lo voy a sacar fuera 00:02:43
Y este 2 lo pondremos nosotros 00:02:46
Y luego habrá que compensarlo fuera 00:02:49
Entonces, ¿cómo queda? Pues así 00:02:51
Vamos a ver, el 3 lo ponemos ya fuera 00:02:52
Integral de, dejo aquí un huequito 00:02:56
x por x cuadrado menos 3 00:02:59
Elevado a menos 1 medio 00:03:03
Diferencial de x 00:03:05
Y ahora, como necesito este 2 00:03:07
Lo pongo, como lo he puesto yo 00:03:10
que lo introducción multiplicando lo compensó dividiendo fuera vale entonces ahora ya está 00:03:12
preparada para aplicar directamente la regla de integración que para la potencia acordaos que era 00:03:18
vamos a ver lo primero esta constante que está adelante multiplicando se va a quedar no podemos 00:03:24
perderla vamos a ponerla aquí tres medios y ahora ya integro entonces digamos que esto se ajusta a 00:03:32
A la estructura que tantas veces vimos en clase. 00:03:41
Esto es una determinada función elevada a menos un medio. 00:03:45
Y esto que está multiplicando es f'. 00:03:48
Es decir, lo que llamaríamos nosotros la derivada de lo de dentro. 00:03:51
Una vez tienes eso, lo que tú integras es la parte principal. 00:03:55
Esto es algo que tiene que estar ahí. 00:03:59
¿Vale? 00:04:02
Porque al derivar aparecería. 00:04:03
Pero yendo hacia atrás, digamos ya, es como si desapareciera. 00:04:05
Vamos a ver 00:04:10
Entonces, aplicamos la regla 00:04:11
Entonces, a la base de la potencia 00:04:14
Al exponente original le sumamos 1 00:04:16
Menos 1 medio más 1 es 1 medio positivo 00:04:20
Dividido por 1 medio más c 00:04:24
Ahora es el momento en el que hay que poner la constante de integración 00:04:27
Entonces, vamos a ver 00:04:30
Daos cuenta que esta fracción que está dividiendo 00:04:32
al venirse para acá se daría la vuelta 00:04:37
es decir, digamos que pasaría una cosa así 00:04:40
de aquí desaparecería y de aquí me aparecería un 2 multiplicando 00:04:45
y que ocurre, que este 2 se compensa con este que tenemos 00:04:50
total, que al final que me queda 3 por la raíz 00:04:56
porque hemos puesto esto en forma de potencia 00:05:00
para que nos sea más sencillo y aplicar la fórmula 00:05:04
pero acordaos que lo que me dan en forma de raíz 00:05:06
si al acabar sigue siendo una raíz 00:05:09
hay que devolverlo en forma de raíz 00:05:10
aunque no nos lo pongan 00:05:12
porque se supone que es algo que tenemos que saber 00:05:14
y ya está 00:05:16
así es como nos queda 00:05:19
esta primera integral 00:05:21
terminada 00:05:24
acordad lo que os he dicho muchas veces 00:05:26
la ventaja de las integrales es que se pueden comprobar 00:05:28
con una operación más sencilla 00:05:31
que es derivar 00:05:32
si yo derivo esto 00:05:33
me tiene que salir esto del principio 00:05:35
Haced la prueba y ya veréis como no es complicado 00:05:37
Venga, vamos a por la siguiente 00:05:40
Vamos a ver, esta 00:05:42
A parte principal se ve perfectamente que es esta exponencial de aquí 00:05:44
De base 2, en este caso 00:05:48
¿Vale? No es con el número E 00:05:49
Eso quiere decir que vamos a tener que hacer una pequeña modificación 00:05:51
Con la A 00:05:53
Con ese numerito que tiene que aparecer por ahí 00:05:56
Dividiendo en este caso, que es el logaritmo neperiano de la base de la exponencial 00:06:00
Que en este caso es 2 00:06:04
Entonces, en una exponencial lo de dentro es el exponente 00:06:05
Entonces tiene que aparecer dentro de la integral y multiplicando a la función principal 00:06:09
Aquí, la derivada de lo de dentro 00:06:13
La derivada de lo de dentro, es decir, la derivada de lo que está en el exponente 00:06:18
Si esto lo deriváramos sería 2x más 2 00:06:24
Que si os dais cuenta, esto es igual a 2 por x más 1 00:06:27
Y el x más 1 es precisamente lo que tenemos aquí 00:06:37
Entonces, ¿qué ocurre? 00:06:41
Que solamente nos falta un 2 multiplicando 00:06:43
Pues entonces nosotros lo que vamos a hacer es que lo ponemos y lo quitamos 00:06:46
De hecho, lo podemos hacer aquí mismo 00:06:51
Fijaos, ¿cómo sería? 00:06:53
Pues yo necesito tener un 2, lo pongo ahí 00:06:56
Lo compenso fuera 00:06:59
¿Vale? 00:07:01
Entonces, ¿cómo queda al integrar? El 1 medio que tengo fuera se queda como está y ya todo esto, a ver que miro un poco lejos, todo esto es una función que es la derivada de 2 elevado a x cuadrado más 2x, ¿vale? 00:07:03
Recordad, la de la exponencial se queda como está, pero en el caso de que la base de la exponencial no sea el número e, 00:07:25
tiene una especie como de factor de corrección, que es 1 partido por el logaritmo neperiano de la base de esa exponencial y la c. 00:07:32
Este paso es aplicar las fórmulas. 00:07:41
Entonces, ¿qué pasa? Pues que esto, la única manera así de simplificarlo un poquito, 00:07:43
daos cuenta que como tengo un medio y tengo esto también 00:07:47
pues podemos escribir de forma más sencilla con este cociente 00:07:51
2 elevado a x cuadrado más 2x arriba 00:07:56
y 2 por el logaritmo neperiano de 2 abajo 00:07:59
a ver, aquí se puede jugar un poco 00:08:03
yo lo dejaría así en vuestro lugar 00:08:07
yo no me complicaría la vida ya demasiado 00:08:10
pero si consultáis hojas de ejercicios con soluciones 00:08:13
Puede darse el caso de que digan, bueno, aquí tengo un 2 00:08:17
Bueno, pues como esto es una potencia de base 2 00:08:20
Esto también nos lo podrían poner, por ejemplo, así, mirad 00:08:23
Lo podrían poner así 00:08:26
Esto mismo sería 00:08:28
2 elevado a x cuadrado más 2x menos 1 00:08:31
Que sería como hacer la división de potencias de base 2 00:08:37
Dividido por el logaritmo neperiano de 2 00:08:40
Lo podrían poner así 00:08:43
o bien pudieran decidir juntar esto y escribirlo como logaritmo neperiano de 4. 00:08:44
¿Por qué 4? Porque acordaos que una propiedad de los logaritmos es que los números que están multiplicando 00:08:55
se subían como exponente de lo que estaba adentro y 2 al cuadrado es 4. 00:09:00
Pero es raro. Yo lo dejaría como está. Voy a borrar todo esto que he hecho. 00:09:05
Por lo menos esto último. 00:09:09
¿Vale? Pero vamos, con lo que he rodeado de verde creo que es más que suficiente. 00:09:14
Bien, vamos a ver la última. Venga, vamos a ver. 00:09:19
Esto es un cociente y vuelvo a lo de antes. 00:09:25
Si derivo lo de abajo, desde luego no me sale lo de arriba. 00:09:28
¿Vale? Pero estas hicimos en clase, estas son de esas que hay que dividir término a término. 00:09:31
Que abajo es nada más que una triste x. 00:09:36
Entonces, ¿qué pasa si yo divido término a término? 00:09:39
Todavía no voy a integrar, solamente voy a hacer eso. 00:09:42
Vamos a ver, 2x cubo entre x, pues 2x cuadrado, más x cuadrado entre x, x, menos 2x entre x, el 2. 00:09:45
Y luego me queda un 3 partido por x. 00:09:59
Entonces, a ver, esto tiene dos partes. 00:10:03
esto es un polinomio 00:10:06
y esto sí que es 00:10:08
una logarítmica pero inmediata 00:10:10
es que es inmediata 00:10:13
porque abajo solamente tiene la x 00:10:14
entonces en realidad 00:10:16
esta es una combinación de integrales inmediatas 00:10:18
aquí no hay compuesta ni nada 00:10:21
que hacer aparte 00:10:22
entonces a ver 00:10:24
¿cómo se integraría esto? 00:10:25
primer término, el 2 lo dejo como está 00:10:28
y sería x cubo partido por 3 00:10:30
segundo término 00:10:32
la x, pues x cuadrado partido por 2, la constante, pues le añadimos una x multiplicando y luego 00:10:34
3 por el logaritmo neperiano del valor absoluto de x y luego la c, ¿vale? Y si os dais cuenta 00:10:43
es que no se puede simplificar nada, a la primera nos ha salido, porque a ver, este 00:10:52
2 con este 3 se deja como está, aquí nada, aquí nada, aquí como no queráis subir este 00:10:57
3 aquí haciendo al cubo pero la barra del absoluto no se va 00:11:02
vale porque el exponente sin par si fuera para todavía conseguiríamos que 00:11:06
quedase positivo pero vamos ya está es que ésta es directísima directa 00:11:12
directísima y ya estaría el primer ejercicio 00:11:17
ahí lo tenemos 00:11:23
Subido por:
Maria Isabel P.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial
Visualizaciones:
143
Fecha:
18 de abril de 2022 - 15:25
Visibilidad:
Público
Centro:
IES GUSTAVO ADOLFO BÉCQUER
Duración:
11′ 28″
Relación de aspecto:
16:9 Es el estándar usado por la televisión de alta definición y en varias pantallas, es ancho y normalmente se le suele llamar panorámico o widescreen, aunque todas las relaciones (a excepción de la 1:1) son widescreen. El ángulo de la diagonal es de 29,36°.
Resolución:
1276x720 píxeles
Tamaño:
125.75 MBytes

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