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Afinidad (Dibujo Técnico II) - Contenido educativo

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Subido el 14 de octubre de 2021 por Ramon De F.

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Afinidad en Dibujo Técnico: Teoría y Ejercicios resueltos.

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Hola a todos. En este nuevo vídeo vamos a hablar sobre afinidad, que es un caso particular de homología. 00:00:06
Por eso lo desarrollamos, o lo desarrollo, en el último punto, como en un último punto del índice de homología, el punto octavo. 00:00:13
La definición es muy sencilla. Si la homología era la representación en dos dimensiones de una homografía en el espacio, 00:00:26
cuando el punto de esa homografía está en el infinito, es un vértice impropio, el dibujo en 00:00:34
2D de esa homografía espacial se llama afinidad. El hecho de que el vértice esté en el infinito 00:00:44
nos va a simplificar muchísimo el dibujo y las operaciones que vamos a realizar. Para empezar, 00:00:53
Fijaros, si el vértice está en el infinito, ¿qué pasa? 00:01:02
Que la unión de dos puntos homológicos, que ya vamos a empezar a llamar afines, 00:01:06
cuando yo los una con el vértice que está en el infinito, me da una dirección. 00:01:13
Por lo tanto, cualquier pareja de puntos afines va a estar unido con una recta que va a tener esa dirección. 00:01:19
Y esa dirección la vamos a llamar dirección de afinidad. 00:01:27
pero digamos que el concepto que se da en la homografía 00:01:29
de que dos parejas de puntos homológicos están unidos con uno que se llama vértice 00:01:35
se mantiene 00:01:40
y otra propiedad que se mantiene de la homografía 00:01:41
es que rectas homológicas 00:01:44
que en este caso ya vamos a llamar rectas afines 00:01:49
se cortan en un punto doble 00:01:51
que está en una recta que se llama eje de la afinidad. 00:01:53
Lo podemos ver aquí en esta figura también. 00:02:00
La dirección de afinidad puede ser oblicua o perpendicular. 00:02:06
Y como veíamos en homología, también hay una constante de afinidad que se mantiene. 00:02:12
En este caso se simplifica también, como veis. 00:02:19
Y la constante es la relación que existe entre la distancia de un punto al eje, en la dirección de la afinidad, y la distancia de su transformado al eje. 00:02:22
Tenemos otras propiedades. Por ejemplo, si en un segmento hay un punto medio, su transformado, su afín, también se mantendrá como punto medio del segmento transformado. 00:02:38
segunda propiedad que se mantiene 00:03:00
si dos rectas son paralelas 00:03:04
sus afines lo serán 00:03:06
si en una afinidad se conservan los puntos de tangencia 00:03:08
o sea, se conserva puntos de tangencia 00:03:12
es decir, si una figura 00:03:15
tiene puntos de tangencia con otra 00:03:16
la transformada de esas dos figuras 00:03:19
también serán tangentes 00:03:21
y el punto de tangencia será 00:03:23
transformado, será afín 00:03:25
del punto de tangencia 00:03:27
inicial. Esto también pasaba cuando hablábamos de homología. Y bueno, pues la fin de una 00:03:30
circunferencia siempre va a ser una elipse. Esto no ocurría en homología porque, aunque 00:03:37
vimos el caso de transformación de una circunferencia en una elipse, si la circunferencia fuera 00:03:44
tangente a la recta límite, como veis aquí, ¿qué pasaría con este punto? Que sería 00:03:56
el infinito. Luego la transformada sería una figura abierta, una parábola. Y si la 00:04:01
recta límite resulta que cortara a la circunferencia, lo que íbamos a obtener es una hipérbole. 00:04:06
Pero bueno, esto es ya contenido más avanzado. Entonces, ¿cómo construir figuras afines? 00:04:15
Una vez hemos trabajado con la homología, nos va a costar nada, porque es el mismo proceso, pero simplificado. 00:04:23
Imaginad, si tenemos un cuadrilátero y tenemos una afinidad, en este caso definida por el eje de afinidad y una pareja de puntos homológicos, de puntos afines, 00:04:33
fijaos que en este caso en afinidad 00:04:47
con tener dos elementos 00:04:50
de la afinidad ya nos quedaría definida 00:04:52
frente a los tres elementos que necesitábamos 00:04:55
cuando hablábamos de la homología 00:04:59
entonces pues aplicamos 00:05:00
las dos propiedades, por ejemplo 00:05:02
puntos afines 00:05:04
pues están unidos por la dirección 00:05:08
de afinidad, ya la tengo establecida 00:05:11
es decir, que donde estará 00:05:13
la fin de D, pues en una 00:05:14
paralela a la dirección de afinidad. ¿Y dónde está la afín de C? Pues lo mismo. 00:05:16
Podemos hacer, para empezar, todas estas paralelas o veremos que no hace falta, 00:05:26
pero por ir paso a paso lo podemos hacer. Y ahora aplicamos la segunda propiedad. 00:05:30
una recta tendrá su afín 00:05:39
pasando por el punto doble del eje de afinidad 00:05:44
donde esa recta lo corta. 00:05:50
Entonces, la afín de la recta D tiene que ser esta de aquí. 00:05:52
Luego, ya tengo uno de los lados, 00:05:59
el que iría de A' a D' que estaría aquí. 00:06:02
Y así sería proceder con toda la figura. 00:06:12
Por ejemplo, con la recta CD, me prolongaría hasta que me corte al eje y como ya tengo el afín de D que va por aquí, esto me está dando la dirección de la recta afín de C. 00:06:15
por ejemplo, para trazar ahora la fin de BA 00:06:31
puedo traerme la recta hasta que corte al eje de afinidad 00:06:39
o podría aplicar la propiedad de que rectas paralelas 00:06:44
son paralelas en sus transformadas 00:06:48
pero bueno, como aquí no sabemos bien si son paralelas o no 00:06:51
pues hacemos el procedimiento 00:06:55
estándar 00:06:58
¿Dónde estaría B? Pues en la unión de este punto, de esta recta, este A proyectivo, 00:07:00
esta recta del A proyectivo con esta esquina. ¿De acuerdo? ¿Dónde estaría C? Lo tenemos 00:07:11
aquí, luego este sería otro de los lados de la figura, la fin, y aquí nos saldría 00:07:16
a unir con este que se nos sale de la pantalla. Entonces, como veis, una vez trabajada la 00:07:24
homología, la afinidad es muy muy sencilla. El siguiente punto es averiguar cuál es la 00:07:34
figura afín de una circunferencia. Sabemos que va a ser una elipse, entonces vamos a 00:07:42
ver cómo tratarla. El caso más sencillo. Tenemos una afinidad ortogonal en la que la 00:07:47
dirección de afinidad es perpendicular al eje. Entonces, si tuviéramos, por ejemplo, 00:07:54
si la afinidad nos la dieran por el punto, el centro de circunferencia y su afín, pues 00:08:01
lo que tendríamos que hacer sería, bueno, tazamos la circunferencia y ahora escogeríamos 00:08:08
dos diámetros perpendiculares entre sí y que fueran a su vez perpendiculares y paralelos 00:08:12
al eje. Entonces, la recta afín de esta recta, por ser perpendicular al eje y paralela a 00:08:19
la dirección de afinidad, pues es ella misma. Y luego tendríamos este diámetro de la circunferencia 00:08:29
que por ser paralelo al eje, como pasaba en homología, su recta afín va a ser también 00:08:37
paralelo. Entonces, los afines de A y B, pues por la dirección de afinidad hasta donde me corte a 00:08:43
los ejes. Si quisiera hallar, por ejemplo, el afín D2, D1, pues la otra propiedad que utilizábamos 00:08:53
siempre en una homología, una recta que pase por dos puntos de la figura original, tiene que pasar 00:09:02
por su intersección con el eje y como tenemos A, lo hacemos pasar por ahí, donde me corte 00:09:11
a la dirección de afinidad que coincide con el eje que estoy buscando, ahí tendría los 00:09:17
cuatro extremos de los ejes de la elipse. Mi recomendación para trazarla, pues los 00:09:25
ocho puntos, necesitaríamos cuatro más. Lo suyo sería coger diámetros que estuvieran 00:09:33
a 45 grados con respecto a los anteriores. Entonces, bueno, pues sabemos que recta es 00:09:42
paralela, sus afines son paralelos, pero bueno, también sé que tiene que pasar por O, pues 00:09:49
lo trazaría y por este punto, siguiendo la dirección de afinidad perpendicular al eje, 00:09:54
estaría obteniendo ese punto y es como veis muy sencillo y el otro caso sería aquel en el que 00:10:01
la dirección de afinidad como es en esta imagen no es perpendicular al eje de la afinidad podríamos 00:10:11
resolverlo como a lo bruto es decir divido la circunferencia en ocho puntos y hallo sus 00:10:20
8 transformados, sus 8 afines. Entonces cogemos uno de los ejes, uno de los diámetros que 00:10:29
sea paralelo al eje de afinidad y luego los divido a circunferencia en 8 partes iguales. 00:10:37
Entonces sería ese diámetro, su perpendicular y los que forman 45 grados. Y teniendo, por 00:10:45
ejemplo, la pareja de puntos homólogos O y O', pues sería prolongar esa recta, que 00:10:52
pasada por la homóloga y en función de la dirección de la afinidad obtendría 00:10:59
los puntos de la elipse pero eso es un poco a lo bruto pero bueno 00:11:03
funciona también claro ahora la con nuestra experiencia nuestra poca 00:11:11
experiencia en trazado de elipses pues lo mejor es otro método que os voy a 00:11:17
explicar fijaos estos son los diámetros que he cogido que se han cogido en esta 00:11:21
solución de la circunferencia entonces veis que aunque aquí me forma 90 grados lo que estoy 00:11:26
obteniendo los afines de estos diámetros perpendiculares son diámetros conjugados 00:11:34
de la elipse vale yo sí os recomendaría que si utilizamos este método vale aún así por el punto 00:11:41
3, hiciéramos una paralela a este diámetro conjugado, una paralela que fuera más o menos 00:11:49
así, que aquí no puedo trazarlas como tales, es decir, que nos dibujáramos el paralelogramo 00:12:01
que circunscribe la elipse para poder dibujarla mejor. Ahora, hay una forma muy sencilla de 00:12:09
elegir estos diámetros que forman 90 grados para que aquí me den los ejes, no los diámetros 00:12:17
conjugados, sino los ejes de la elipse. Entonces lo veis aquí en este esquema. Es decir, voy 00:12:25
a elegir, tenemos que elegir estos diámetros que forman 90 grados de tal manera que sus 00:12:32
afines también formen 90 grados. Entonces es tan sencillo como que el segmento que me 00:12:38
forma la intersección de esos dos diámetros con el eje de afinidad es hacer un arco capaz 00:12:51
de 90 grados. Entonces, lo que hacemos es, para encontrar ese centro, cogemos el segmento 00:13:03
O, o sea, unimos los centros y trazamos su mediatriz. Donde la mediatriz corte al eje, 00:13:13
¿vale? Ese será el centro del arco capaz de 90 grados que pasa por O1 y O2. Y entonces 00:13:22
me dan los puntos de intersección M y N, que al pasarlos por el centro me dan esos ejes. 00:13:30
Y ya procedemos como en cualquier afinidad. 00:13:40
Entonces, con este paso previo tan sencillo, 00:13:44
nos estamos asegurando que los transformados de esos diámetros van a ser los ejes principales de la elipse 00:13:48
y nos facilita muchísimo la construcción. 00:13:57
Y ya para terminar, vamos a ver algunas aplicaciones de la afinidad, 00:14:03
aparte de lo que hemos estado viendo de resolver problemas de afinidad en sí. 00:14:08
Entonces, la primera aplicación ya la hemos usado. 00:14:15
¿Cómo? A partir de los ejes conjugados de una elipse o poder trazar la elipse. 00:14:17
Entonces, ¿qué hacíamos? Dibujábamos una circunferencia que tuviera de diámetro el eje de la elipse. 00:14:24
Entonces, establecíamos una relación de afinidad entre la circunferencia y la elipse, 00:14:32
de tal manera que este segmento, el eje conjugado mayor de la elipse, iba a ser el eje de afinidad. 00:14:37
Por lo tanto, el afín del conjugado de la elipse es el diámetro de la circunferencia. 00:14:47
Y por otro lado, tenemos el diámetro vertical de la circunferencia. 00:15:00
Esta recta, este segmento, va a ser el afín del diámetro conjugado. 00:15:05
Como este extremo sí que lo tenemos, que es un dato, y este lo acabamos de marcar, 00:15:12
ya nos queda establecida la relación de afinidad. 00:15:18
Entonces, si divido el segmento AB en partes iguales y trazo perpendiculares por esta parte, trazo una perpendicular, ¿cuál es la fina de esta recta de la circunferencia? 00:15:21
Pues la paralela al diámetro conjugado de la elipse. 00:15:36
Y si tengo este punto, ¿dónde estará el afín? 00:15:41
Pues cojo dirección de afinidad. 00:15:45
Y entonces, donde se corten ambas rectas, ahí estará. 00:15:49
Esto es el concepto teórico que hay debajo del método que ya hemos hecho cuando hemos trabajado con cónicas. 00:15:54
Otra aplicación, si veíamos que la homología la podíamos utilizar en la intersección, para simplificar los problemas de intersección de una pirámide con un plano, cuando el vértice de la pirámide está en el infinito podemos decir que tenemos un prisma. 00:16:04
entonces, ¿cómo resolvíamos este problema? 00:16:28
cogíamos el plano V 00:16:33
o sea, hacíamos un cambio de plano 00:16:34
de tal manera, poníamos la línea de tierra 00:16:37
perpendicular a la traza horizontal 00:16:39
para que la nueva traza vertical del plano V 00:16:41
fuera proyectante vertical 00:16:46
y por lo tanto, con un nuevo alzado del prisma 00:16:49
nos saliera directamente la intersección 00:16:52
lo podemos hacer así 00:16:56
Y otra posibilidad es tirar de afinidad. ¿Por qué? Porque si hay una intersección de este plano con una arista, obtengo un punto de la intersección. 00:16:57
Entonces resulta que la figura, la base y la sección van a ser figuras afines, porque en el fondo, si miráis el alzado, lo que tenemos es dos planos y un haz proyectivo. 00:17:09
Luego las figuras que se producen por la intersección del plano con el haz proyectivo, esas dos figuras están en relación afín. 00:17:28
Por lo tanto, para una posibilidad de resolverlo es, meto la arista que pasa por C en un plano proyectante vertical, 00:17:37
¿dónde corta ese plano al plano beta? 00:17:49
Pues corta aquí, traza vertical y traza horizontal. 00:17:54
luego la recta intersección es esta 00:17:56
luego en planta 00:17:59
tengo ahí ese punto de intersección 00:18:01
podría 00:18:03
hacer lo mismo con los otros 00:18:05
porque se puede ir arista por arista 00:18:06
podría hacerlo del cambio de plano 00:18:09
o teniendo localizado 00:18:11
el punto 1 00:18:15
lo que sé es que ahora 00:18:16
como se me crea 00:18:20
como tengo una relación de afinidad 00:18:22
entre la sección y la planta 00:18:24
si por ejemplo el punto 1 que tenía 00:18:26
yo trazo una recta que pase por uno y que pase por el eje, sé que esa es la afín de la arista BC. 00:18:28
Y si la dirección de afinidad son las aristas del prisma, pues entonces sé que ahí tiene que estar 00:18:44
el otro punto de la sección, el otro vértice de la sección. 00:18:51
¿Cómo podría hallar el punto D? 00:18:56
Pues, por ejemplo, si 1C con D, que es la arista de la base, donde me corte al eje, sé que tiene que pasar la afín. 00:18:58
Y si el afín de C es 1, si desde aquí 1 con 1, donde me corte a la arista, que veis aquí en discontinua, ese será otro punto. 00:19:12
¿Cómo podría hallar 3? Pues si 3 va a ser una fin de A, el punto 4 será fin de D, luego la arista de la sección 3, 4 que desconozco 00:19:26
tiene que ser una recta fin de la que pasa por ahí D, me corta al eje, aquí al eje de afinidad que es la traza horizontal del plano 00:19:40
luego sé que la recta afín me pasa por ahí 00:19:50
y como había calculado 00:19:53
ya tenía el punto afín de D' 00:19:55
el punto 4 00:19:58
pues la afín tiene que pasar 00:19:59
por donde corte la dirección de afinidad 00:20:02
ahí estará 00:20:04
y la última 00:20:05
directamente ya uniendo 00:20:06
y la siguiente y última aplicación 00:20:09
que vamos a ver 00:20:15
es en un abatimiento en diédrico 00:20:15
¿por qué? 00:20:19
porque entre la figura 00:20:20
entre la planta de la figura que tengamos en el espacio y su abatida se establece una dirección 00:20:22
de afinidad donde el eje de afinidad va a ser la traza horizontal del plano y la dirección la 00:20:30
perpendicular. De tal manera que podemos ir punto por punto, es decir, podría coger una recta que 00:20:36
pasará por B, dibujar una horizontal que pasará por el punto B, hallarme su abatida, 00:20:45
hallarme su alzado abatido y sacar B. Pero otra posibilidad sería, utilizando solo un 00:20:52
punto, porque ya tendríamos definida la afinidad. Entonces, si por ejemplo me cojo el punto 00:21:00
N, nosotros esto lo llamamos N sub 2, N sub 1, que pertenece a la traza del plano, si 00:21:07
yo la abato con la dirección perpendicular, me saldría este punto, ya no necesitaría, 00:21:13
o sea, puedo dibujar la traza del plano abatida porque me sirve para comprobar, pero ya no 00:21:22
necesitaría nada más. ¿Por qué? Porque tengo esta recta, que es la planta de la figura, 00:21:27
o sea, que es en la planta de la figura la recta que pasa por ahí. ¿Cuál es su afín? 00:21:36
Bueno, pues su afín tiene que pasar por el eje porque este es un punto doble. 00:21:43
Y si ya tengo el afín de uno de sus puntos, que es N abatido, pues si uno, esto es el afín de esta arista. 00:21:46
Luego, si trazo por los puntos originales, por así llamarlos, paralelas a las direcciones de afinidad, estoy obteniendo los afines. 00:21:56
una vez tengo 00:22:10
A y B 00:22:14
pues para proceder a D' 00:22:17
para sacar el abatido de D 00:22:19
pues podría hacer una recta 00:22:21
que pasa por D, abatirla, etc. 00:22:23
pero lo más sencillo 00:22:25
pues si ya tengo A 00:22:27
sé que 00:22:28
esta recta 00:22:30
o mejor dicho, perdón 00:22:33
si ya tengo 00:22:35
si ya tenía el segmento AB 00:22:36
lo que hago es que 00:22:38
Como tengo el original de AD', lo prolongo hasta el eje. 00:22:39
Sé que la transformada de esta recta, la afín, me tiene que pasar por aquí y por los puntos afines. 00:22:43
Como ya tengo uno, lo uno, y luego siguiendo la dirección de afinidad, obtendría D. 00:22:49
Y así con todos los puntos. 00:22:56
Y como veis, simplifica el proceso. 00:22:59
Podemos hacerlo como si fuera una mezcla de ambos. 00:23:04
Es decir, a lo mejor puedo coger alguna recta horizontal para sacarme un punto y al resto hacerlo por afinidad. 00:23:09
Con lo cual compruebo si me está saliendo bien o no. 00:23:15
Bueno, ya con esto queda terminado el tema de la afinidad. 00:23:26
Valoración:
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Idioma/s:
es
Autor/es:
Ramón de Francisco Baño
Subido por:
Ramon De F.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
90
Fecha:
14 de octubre de 2021 - 22:00
Visibilidad:
Público
Centro:
IES MARQUÉS DE SANTILLANA
Duración:
23′ 38″
Relación de aspecto:
4:3 Hasta 2009 fue el estándar utilizado en la televisión PAL; muchas pantallas de ordenador y televisores usan este estándar, erróneamente llamado cuadrado, cuando en la realidad es rectangular o wide.
Resolución:
1440x1080 píxeles
Tamaño:
132.89 MBytes

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