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Corrección del examen 1 (Álgebra) - 1a eval - Bachillerato - Contenido educativo

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Subido el 25 de mayo de 2024 por Jesús Pascual M.

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Corrección del examen 1 - 1a eval

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Bueno, lo que hay que hacer es ir calculando a, a cuadrado, a cubo, etcétera, para obtener un patrón. 00:00:00
Bueno, en este caso, bueno, a ya lo tenemos, menos 2, menos 1, 7, 3. 00:00:11
A cuadrado es a por a, esto es menos 2, menos 1, 7, 3, por menos 2, menos 1, 7, 3, 00:00:18
Lo que nos da menos 3 menos 1, 7, 2. Y a cubo es, pues, a cuadrado por a, que sería menos 3 menos 1, 7, 2, que es a cuadrado, por menos 2 menos 1, 7, 3, que es a. 00:00:27
Y esto nos da menos 1, 0, 0, 1, menos 1, que es menos la identidad. 00:00:51
Bueno, pues una vez hemos hecho esto ya tenemos todo. 00:00:58
Porque si dividimos 200 entre 3, nos da 66 y nos sobran 2. 00:01:04
Lo cual significa que A elevado a 200 sería, bueno, eso se puede hacer en un solo paso, 00:01:12
Esto es a elevado a 66 por 3 más 2. Esto es a elevado al cubo a la 66 por a cuadrado. Esto es menos la identidad elevado a 66 por a cuadrado. 00:01:19
Esto es menos 1 a 66, que es 1, por este menos, porque esto es menos 1 por la identidad, todo llegado a 66, por la identidad elevado a 66. 00:01:41
Y luego por A cuadrado, y A cuadrado es lo que tenemos aquí, menos 3, menos 1, 7 y 2, esto es la identidad, esto es 1, con lo cual al final tenemos, esto es la identidad, con lo cual esto es directamente menos 3, menos 1, 7 y 2, que es A cuadrado, perfecto. 00:01:56
Bueno, una observación es que hay gente que lo que ha hecho es seguir calculando, luego calcula a5, perdón, a4, a5 y a6, y a6 le va a dar que es la identidad. 00:02:28
Ya sabemos que 6 es la identidad. ¿Por qué? Pues porque la identidad al cuadrado menos la identidad al cuadrado es menos 1 al cuadrado por la identidad al cuadrado. 00:02:45
Esto es la identidad porque esto es 1. Y esto es al cubo al cuadrado y esto es a elevado a 6. Con lo cual ya sabemos que esto es la identidad. 00:03:01
En cuanto tenemos que esto es la identidad, pues su cuadrado es la identidad. Entonces ya tendríamos todo. 00:03:14
De hecho, podemos tratar todo directamente. A ver, a4 ¿cuánto es? a cubo por a, que es menos 1 menos 1 por a, esto es menos 1 por la identidad, por a esto es menos a, que sería 2, 1, sigue 3. 00:03:18
a5 también puede ser 00:03:46
a cubo por a cuadrado 00:03:48
que es menos 1 menos 00:03:50
o sea menos la identidad 00:03:52
por a cuadrado 00:03:53
esto es menos a cuadrado 00:03:59
que sería menos 00:04:01
bueno menos esta matriz 00:04:02
que sería 00:04:08
cambiar los signos 00:04:12
3, 1, menos 7, menos 2 00:04:14
y a6 es menos la identidad 00:04:16
perdón 00:04:18
a cubo al cuadrado 00:04:20
que ya lo hemos hecho antes 00:04:22
que es menos la identidad al cuadrado 00:04:23
que es la identidad 00:04:26
y también se puede haber hecho 00:04:27
200 entre 6 00:04:31
a 33 00:04:34
y sobran 2 00:04:36
y hacer que a elevado a 6 00:04:37
perdón 00:04:39
que a elevado a 200 00:04:41
es igual a a elevado a 6 por 33 00:04:43
más 2 00:04:46
que sería a elevado a 00:04:46
a 6 todo ello a 33 00:04:49
por a cuadrado 00:04:53
eso sería la identidad 33 por a cuadrado 00:04:55
esto es la identidad, por tanto esto es a cuadrado 00:04:59
que sería la matriz 00:05:02
menos 3 menos 1 00:05:04
7 2, es otra forma de hacerlo 00:05:06
y bueno, la gente cuando ha calculado 00:05:09
lo que ha hecho es ir multiplicando otra vez 00:05:12
esto, esto, esto, ha vuelto a multiplicar, ha vuelto a multiplicar 00:05:14
en vez de hacerlo con este repaso 00:05:18
pero bueno, así aprendemos algo 00:05:20
Lo primero que hacemos es resolver esta ecuación. Tenemos ax-2y es igual a b más x, las x a un lado, ax-x es igual a b más 2y, y aquí ya sacamos el factor común, a menos la identidad por x es igual a b más 2y. 00:05:23
Eso se puede hacer directamente porque al tener que a a x menos x, esto es lo mismo que si ponemos aquí identidad por x, en cuyo caso podemos sacar factor común de x a por x. 00:05:49
Importante saber que todo el resto estamos multiplicando todo esto por la izquierda de X 00:06:09
Porque ahora vamos a despejar y vamos a pasarlo con inversa al otro lado, pero por la izquierda 00:06:14
B más 2Y, todo esto entre paréntesis, porque es una sola Madrid 00:06:21
Y aquí tenemos A menos Y 00:06:25
Ahora hay que calcular esto y esto 00:06:27
Empezamos calculando A menos Y 00:06:32
Vamos a ver, a menos i es igual a menos 2, 7, menos 1, 3, menos la identidad, 2 menos 1 es menos 3, 7 es igual, menos 1 igual, 3 menos 1, 2. 00:06:35
Y ahora vamos a decir que esa es la matriz b. 00:06:56
Para calcular la inversa de a menos i, es decir, de menos 1, aplico más la fórmula. 00:06:59
Y lo que tenemos es, pues, el determinante. Primero calculamos el determinante de B. El determinante de B sería menos 3 por 2, que es menos 6, más luego 7 por 1, que es 7, y obtenemos 1. 00:07:05
Ahora calculamos la adjunta, adjunto de A, cogemos la primera carga de signo, más, menos, menos, más, perdón, adjunta de A, adjunta de B, entonces aquí hay un menos, aquí hay un menos, y aquí no ponemos nada porque son masas. 00:07:36
Ahora ya tenemos esta matriz, aquí tenemos el 3, pues el que está enfrente sería el 2 00:07:57
El que está enfrente del 7 es el menos 1, el que está enfrente del menos 1 es el 7 00:08:08
Y el que está enfrente del 2 es el menos 3 00:08:14
Ahora ya calculamos, tenemos 2 menos por menos más 1 menos 7 y menos 3 00:08:17
Nos falta sin embargo la traspuesta 00:08:26
Bueno, ya podemos pasar las cosas aquí, 1 partido por el decante de A, 1 partido por 1, y ahora la traspuesta. 00:08:29
Pues las filas se convierten en columnas, aquí el 2, 1, y aquí el menos 7, menos 3. 00:08:35
Y ahora ya aplicamos, es esta matriz. 00:08:49
Bien, nos falta la otra matriz. B más 2Y sería 2, 4, 1, menos 1, más dos veces 1, 0, 0, 1. Esto es 2, 0, 0, 2. 00:08:54
Pues sería 2 más 2 es 4, 4 más 0 es 0, 1 y menos 1 más 2 que es 1 también 00:09:13
Y ahora ya calculamos, x tenemos que es el a menos i a la menos 1 por b más 2i 00:09:23
Y sustituimos y tenemos 2, 7, 1, menos 3 por 4, 4, 1, 1 00:09:31
Y si lo calculamos nos da 1, 1, 1, 1 00:09:38
Y ya hemos terminado 00:09:42
Bien, aquí lo primero que hay que hacer es, pues, ¿qué significa que b y c conmuten? 00:09:44
Pues que b por c es igual a c por b 00:09:57
Pues ahora ponemos las matrices, b es 2, 4, 1, menos 1, c es a, b, 1, 2 00:09:59
Y lo mismo, c es a, b, 1, 2 y b, 2, 4, 1, menos 1 00:10:08
calculamos ahora cada una de las celdas y nos da 00:10:18
hacemos un poco más grande esto 00:10:26
2a más 4, 2b más 8, a menos 1, b menos 2 00:10:28
y aquí tenemos 2a más b, 4a menos b, 4 y 2 00:10:39
y ahora tienen que ser todas iguales 00:10:47
ésta tiene que ser igual a ésta, ésta igual a ésta, etcétera. 00:10:51
Por lo tanto, 2a más 4 tiene que ser igual a 2a más b, 2b más 8 tiene que ser 4a menos 00:10:57
b, a menos 1 tiene que ser 4 y b menos 2 tiene que ser 2. 00:11:13
Con esas dos ya tenemos la solución. 00:11:22
A tiene que ser 4 más 1, es decir, 5, y B tiene que ser 2 más 2, es decir, 4. 00:11:24
Ahora bien, no hemos terminado. 00:11:33
Hay que comprobar que esas dos ecuaciones se cumplen, porque si no, no será solución. 00:11:36
Tenemos que ver que 2 por 5 más 4, que eso se acaba de sustituir por A, es igual a 2 por 5 más B, que es 4. 00:11:42
Es decir, sumamos 2 por 5, 10, más 4, 14 00:11:53
Ya que tenemos también 14 00:11:58
Bueno, tenemos de hecho lo mismo 00:11:59
Y en la segunda, pues lo mismo 00:12:03
2B más 8, B es 4 00:12:05
2 por 4 más 8 tiene que ser igual a 00:12:09
4 por 5 menos 4 00:12:11
Calculamos 00:12:14
Y aquí tenemos 00:12:16
4 por 2, 8, 8, 8, 16 00:12:18
que 16 y aquí tenemos 4 menos 5 es 20 menos 4 es 16 00:12:21
se cumplen las dos, es solución 00:12:25
hay una única solución 00:12:27
y la solución es que 00:12:29
A vale 5 y B vale 4 00:12:32
muy bien, pues pasamos a la siguiente 00:12:38
bien, pues ahora para calcular el determinante de esta matriz 00:12:44
primero observamos que son matrices 2x2 00:12:51
Por lo tanto tenemos 5a-3 por b al cuadrado 00:12:53
Este 5 pasa como 5 al cuadrado 00:12:59
Ahora ponemos a, que también sale fuera del exponente, menos 3 00:13:04
Bueno, supongamos que así quiere ser el siguiente paso para que todo sea más fácil 00:13:09
Y ahora esto sería 5 al cuadrado por a a la menos 3 00:13:16
por b al cuadrado, donde esos son los determinantes 00:13:22
y ahora ya esto es 5 al cuadrado, 1 partido por a 00:13:26
al cubo por b al cuadrado y ya sustituir 00:13:28
¿cuánto vale el determinante de a? 00:13:34
pues a sería, este de aquí, 2 por 3 es 6 00:13:37
menos 6 más 7 00:13:42
que es 1, ¿cuánto vale el determinante de b? 00:13:46
Pues esto por esto, 2 por 1 menos 2, menos 4 que es menos 6 00:13:49
Entonces esto sería 5 al cuadrado por 1 partido por 1 al cubo por menos 6 al cuadrado 00:13:54
Sería, aquí tenemos 25 por 1 por 6 al cuadrado, 36 00:14:03
Y esto sería 900, que es el resultado final 00:14:11
Problema 2. Bien, antes de nada señalamos que cuando hablamos de estudiar un sistema de ecuaciones, nos referimos a decir si es compatible, determinado, compatible y determinado o incompatible. 00:14:18
Y en función de K, pues será hacer eso mismo para cada uno de los distintos valores que toma K. 00:14:37
Bien, lo primero que hacemos es escribir cuál es la ampliada, que es k, k menos 1, menos 1, k, menos 1, 4, 1, 5, 1, k, 0 y k más 1. 00:14:43
Hacemos la divisoria y ese sería A 00:15:05
Bueno, para llegar a los distintos valores de K 00:15:09
Lo que hay que hacer es mirar el rango de A 00:15:13
Que en este caso, como es una matriz 3x3 00:15:19
Lo que habrá que hacer es calcular su determinante 00:15:21
Esto es K, K-1, K-1, K-1, K-1, K-1, K-1, K-0 00:15:23
Luego, a partir de los valores de k, pues ya miramos la matriz ampliada. 00:15:32
Se puede hacer con otro método, pero según mi experiencia, el que vamos a hacer es el más sencillo. 00:15:40
Bien, y entonces esto nos daría menos k al cuadrado más 2k más 3. 00:15:48
Entonces, igualamos esto a cero. 00:16:03
Y como tenemos un polinomio así, pues le atamemos el signo. 00:16:06
Ponemos k al cuadrado menos 2k menos 3 00:16:08
Hallamos la ecuación de segundo grado 00:16:13
Con dos soluciones que son 3 y menos 1 00:16:15
Bien, con lo cual habrá que mirar tres casos 00:16:30
Primer caso, cuando k sea distinto de 3 00:16:34
Y k distinto de menos 1 00:16:45
Segundo caso, si k es igual a 3 00:16:49
Y tercer caso, si k es igual a menos 1 00:16:56
Bien, en el caso 00:17:05
Bueno, una pequeña observación antes 00:17:11
Hay gente que me ha puesto, vale 00:17:15
Si k, perdón, es igual a 3 y menos 1 00:17:18
O si k es distinto a lo que sea 00:17:29
Vamos a ver, no se puede poner eso porque un número no es igual a un conjunto 00:17:32
En tu caso, si K pertenece a este conjunto, significa pertenecer, o bien si K no pertenece. 00:17:37
Segunda observación. 00:17:48
Hay gente que para calcular los parámetros de K, también ha calculado el rango de ampliada. 00:17:50
Es decir, he cogido, por ejemplo, voy a coger la columna más sencilla, me quito la segunda, que es la que me parece más complicada, y cojo esta de aquí. 00:17:59
Entonces, por ejemplo, coge k menos 1, 1, menos 1, 1, 0, k, 5, k más 1, lo calcula y le da k cuadrado menos k menos 6, que tiene como soluciones k igual a 3 y menos 2. 00:18:06
Y dentro del segmento de k me añada el k igual a 3 y el k igual a, bueno, eso ya estaba aquí, y el k igual a menos 2. 00:18:26
vale esto, no, para calcular los valores de k 00:18:35
nos ceñimos únicamente 00:18:38
a la matriz A 00:18:40
¿de acuerdo? esos son los que vamos a utilizar 00:18:41
y ya está 00:18:44
la matriz A ampliada 00:18:45
la utilizamos para saber 00:18:47
que le ocurre a cada valor de k 00:18:49
¿de acuerdo? bueno voy a borrar 00:18:51
lo que acabo de escribir en naranja y en rojo 00:18:54
bueno, primero 00:18:55
¿qué creo si q es igual a 3 y k es igual a 00:19:00
menos 1? pues entonces 00:19:03
tenemos que el rango de A 00:19:05
es igual a 3 00:19:06
y también el rango de A ampliada 00:19:10
es igual a 3 00:19:14
y el número de incógnitas 00:19:15
es igual a 3 00:19:17
podemos escribirlo así, que es correcto 00:19:21
o podemos escribir que el rango de A 00:19:23
es igual al rango de A ampliada 00:19:26
es igual a 3 00:19:27
que es el número de incógnitas 00:19:29
ya está 00:19:31
aquí no se va a hacer ningún cálculo más 00:19:35
porque como tenemos que este determinante 00:19:37
es distinto de 0 00:19:39
ya sabemos que el rango de A es 3 00:19:40
y la ampliada es 3 porque el rango de ampliada 00:19:42
te cuesta el 3 o 4, ya tiene un menor 00:19:44
distinto de 0, de orden 3 00:19:46
de acuerdo 00:19:48
con lo cual pues esa parte ya está 00:19:49
entonces en este caso 00:19:52
aplicando el teorema de Rouchet sería un 00:19:55
sistema compatible de terminar 00:19:57
que es la condición que tenemos 00:20:00
aquí 00:20:01
segundo caso que ocurre cuando K es igual a 3 00:20:02
entonces en este caso 00:20:09
ya podemos cambiar la matriz a ampliada 00:20:10
y sustituir la k 00:20:12
en este caso 00:20:14
pues tenemos que 00:20:16
para k igual a 3 00:20:17
la madrid ampliada 00:20:19
sería 00:20:20
menos 1 00:20:25
menos 1 00:20:26
y nada 00:20:35
aquí tenemos que coger el rango 00:20:38
cogemos un batido 2 por 2 00:20:39
cogemos la que se necesita 00:20:42
porque tiene un 0, en este caso el determinante sería 00:20:46
menos 3 distinto de 0, entonces podemos coger pues 00:20:50
esta de aquí, a ver 00:20:55
cogemos ese determinante, 2 menos 1 00:20:59
3, 4, 1, 5, 3, 0, 4 00:21:04
y nos da 0 00:21:09
entonces automáticamente ya tenemos que el rango 00:21:11
de A, ya sabemos, bueno, el rango de A en vez de nada es 2, porque este menor es 2 por 00:21:16
2. El rango de A ampliada también es 2. ¿Por qué? Porque los dos menores que lo contienen, 00:21:20
ese tiene de media cero, y este, que ya lo tenemos calculado, también vale cero, porque 00:21:29
para el valor de K igual a 3, este determinante, que es el que acabo de señalar aquí, es 00:21:33
cero. Con lo cual el rango de A ampliada es 2. Y el número de incógnitas es igual a 00:21:39
3. Podemos resumirlo así, el rango de A es igual al rango de A ampliada, que es 2, menor 00:21:46
que el número de entónicas, que es 3. Ojo, para explicarlo en la EBAU, esto es válido 00:21:53
y eso también, ¿vale? Con lo cual aquí tenemos que es un sistema compatible indeterminado. 00:22:01
Bien, nos queda el caso en que K vale menos 1. Entonces cogemos A ampliada, que es sustituir 00:22:10
la k y tendríamos menos 1, menos 2, menos 1, menos 1, menos 1, 4, 1, 5, 1, menos 1, 0 00:22:22
y 0. Bien, igual que antes me cojo menor fácil, en este caso me voy a coger este, su determinante 00:22:36
sería, bueno, lo escribíamos, 4, 1, menos 1, 0, aquí también lo escribiríamos, determinante 00:22:52
de 4, 1, 3, 0, que nos da 1 distinto de 0. Con lo cual ya tenemos que el rango de A es 00:23:01
2 en primer lugar. Nos faltaría de ampliada. Cogemos el menor que lo contiene y que contiene 00:23:09
a la fila de valores independientes 00:23:18
perdón, a la columna de valores independientes 00:23:22
que sería 00:23:25
menos 2, menos 1, menos 1 00:23:27
4, 1, 5, menos 1 00:23:29
0, 0 00:23:31
y esto nos da 00:23:32
que es distinto de 0 00:23:37
por tanto el rango de ampliada 00:23:40
vale 3 00:23:42
automáticamente ya no nos hace falta saber 00:23:44
el número de intómitas, lo conocemos es 3 00:23:49
pero ya sabemos que es incompatible 00:23:50
Entonces, como el rango de A, que es 2, es menor que el rango de A ampliada, que es 3, tenemos un sistema incompatible. 00:23:52
A ver, podemos expresarlo así, que es correcto, se ve automáticamente que ha hecho cumplir Rouché, y podemos verlo así. 00:24:02
Así está más claro que aplicamos Rouché, no obstante. 00:24:09
Y ya está, eso es el estudio del sistema. 00:24:13
pasemos a los siguientes apartados 00:24:15
hay un apartado que es para k igual a 3 00:24:21
ahí ya veremos que el sistema es compatible indeterminado 00:24:25
y en otro es k igual a 1 00:24:27
como 1 es distinto de 3 y de menos 1 00:24:28
ahí se ve el sistema compatible 00:24:31
a ver, caso, k igual a 3 00:24:34
el sistema es 00:24:37
compatible indeterminado 00:24:38
lo hemos visto antes 00:24:41
¿de acuerdo? 00:24:41
tomamos la matriz del sistema 00:24:44
vale que sería 00:24:45
bueno 00:24:49
para acá igual a 3 00:24:51
2 menos 1 00:24:55
3 menos 1 00:24:58
1, 5 00:25:02
3, 0 y 4 00:25:08
a ver aquí 00:25:14
el rango va a ser 2 00:25:17
entonces cogemos una 00:25:18
cogemos un menor 2 por 2 00:25:19
este que es el más sencillo de todos 00:25:22
4, 1, 3, 0 tiene determinante 00:25:24
menos 3 distinto de 0 00:25:28
entonces, pues, estas dos filas 00:25:29
van a ser independientes 00:25:32
podemos quitar estas 00:25:33
y nos podemos centrar en estas dos ecuaciones 00:25:34
que serían, vamos a ver 00:25:38
menos x 00:25:41
más 4y 00:25:44
más z igual a 5 00:25:45
x, como cae igual a 3 00:25:47
más 3y 00:25:50
es igual a 3 más 1, 4 00:25:51
Podemos quitarla con la que queramos 00:25:53
La X, la Y o la Z, nos da igual 00:25:57
En este caso voy a quitar la Y 00:25:59
Porque es la que parece más complicada 00:26:01
Pero vamos, da igual cuál cojamos 00:26:04
Voy a coger aquí Y igual a lambda 00:26:08
Y entonces despejamos la X 00:26:12
Menos X más Z es igual a 5 00:26:15
menos 4Y 00:26:20
5 menos 4 lambda 00:26:24
y X es igual a 00:26:26
4 menos 3Y 00:26:31
que es 4 menos 3 lambda 00:26:33
como si tenemos dos soluciones 00:26:35
ya tenemos la Y igual a lambda 00:26:37
y tenemos la X que es 4 menos 3 lambda 00:26:39
nos cae la Z 00:26:42
vamos a calcular la Z 00:26:43
tendríamos que 00:26:46
z es igual a 5 menos 4 lambda 00:26:48
la que paso sumando 00:26:54
más x que es 5 menos 4 lambda 00:26:58
más 4 menos 3 lambda 00:27:00
y esto nos da 00:27:03
5 y 4, 9 menos 7 lambda 00:27:04
con lo cual la solución general al sistema 00:27:07
sería 00:27:10
x igual a 00:27:11
9 menos 7 lambda 00:27:14
y igual a lambda 00:27:16
y z es igual a 00:27:18
perdón, me he despistado 00:27:22
x es igual a 4 menos 3 lambda 00:27:27
y z es igual a 9 menos 7 lambda 00:27:33
ya tenemos la solución 00:27:36
bueno, eso es lo más sencillo 00:27:37
voy a coger también otra 00:27:41
porque en este caso las soluciones salen corriendo 00:27:42
voy a coger esa yo que sé 00:27:45
por ejemplo que z es igual a lambda 00:27:48
o que la x es igual a lambda 00:27:49
da un poco igual 00:27:52
por ejemplo x igual a lambda 00:27:52
para hacerlo un poco más complicado 00:27:54
vale, si cogemos x igual a lambda 00:27:55
despejamos la x 00:27:59
no, mejor z igual a lambda 00:28:01
que lo quería hacer complicado 00:28:04
vamos a coger 00:28:05
z igual a lambda 00:28:08
y ahora pues pasamos 00:28:10
despejamos la x 00:28:11
menos x más 4y 00:28:14
es igual a 5 menos z 00:28:16
que es 5 menos lambda 00:28:19
y x más 3y 00:28:20
bueno aquí no hay ninguna Z con lo cual sería igual a 4 00:28:23
vamos a poner aquí todo lo que esté junto 00:28:25
vale 00:28:29
y entonces pues 00:28:31
únicamente resolver el sistema, se puede hacer con Gauss 00:28:35
se puede hacer con Cramer 00:28:38
yo voy a hacerlo con Cramer porque es muy sencillo 00:28:39
¿cuánto valdría la X? 00:28:42
pues sería, a ver 00:28:44
primero en lugar de la X ponemos 00:28:45
los 00:28:48
los términos independientes 00:28:50
y aquí pues el 4, 3 00:28:53
perdón, es determinante no matriz 00:28:55
y aquí 00:28:58
menos 1, 1, 4, 3 00:28:59
y aquí sería pues 00:29:01
3 por 5 es 15 menos 3 lambda 00:29:04
menos 16 00:29:07
entre pues 00:29:09
esto es menos 3 menos 4 00:29:11
y esto ya es 00:29:16
pues 15 y 16 es 00:29:18
menos 1 menos 3 lambda 00:29:20
partido por menos 7 y esto es 1 más 3 lambda 00:29:24
partido por 7. ¿Cuánto vale la i? 00:29:28
A ver si me cabe aquí. La i es 00:29:31
pues lo mismo, ponemos el término menos 1, 1 00:29:35
y ahora el 5 menos lambda, 4 entre el determinante 00:29:38
menos 1, 4, 1, 3 que ya hemos calculado. 00:29:44
Esto sería menos 7 y arriba tendríamos pues menos 4 y ahora 00:29:49
menos 5 más lambda 00:29:53
y esto es igual a 00:29:57
menos 9 más lambda entre menos 7 00:29:59
que podemos simplificar como 00:30:03
9 menos lambda partido por 7 00:30:05
y ya tendremos las dos soluciones 00:30:08
x igual a 1 más 3 lambda partido por 7 00:30:10
y es igual a 9 menos lambda partido por 7 00:30:17
y z es igual 00:30:20
a lambda 00:30:23
en fin 00:30:25
aunque sea más fácil el otro, he puesto este 00:30:26
porque en la de baúl lo mismo nos pone aquí un 0 00:30:28
eso lo puse para que le salga un poco más rápido 00:30:30
bien 00:30:33
resolvamos ahora el sistema para que igual a 1 00:30:40
ya sabemos que el sistema es 00:30:43
compatible determinado, porque para que 00:30:44
hay igual, para cada distinto de 3 00:30:47
y cada distinto de menos 1, como es el caso 00:30:49
ya habíamos 00:30:51
en el apartado A 00:30:53
que el sistema es compatible y determinado. 00:30:54
Bien, las ecuaciones serían, para k igual a 1, pues x, aquí no hay y, menos z, es igual a 1, 00:30:57
menos x más 4y más z es igual a 5, x más y es igual a 2. 00:31:07
Bien, a ver, en este caso el sistema se puede resolver más sencilla sin necesidad de utilizar Kramer o Gauss. 00:31:25
Pero en la EVA1 van a ser así de sencillos, ¿vale? 00:31:32
Entonces, lo voy a hacer por el método de Cramer 00:31:35
Y también lo voy a hacer, pues, por el método de... 00:31:37
Y luego por otro método también, pues, que sea sencillo para no cerrarnos, ¿no? 00:31:42
A ver, con el método de Cramer, bueno, podemos coger la matriz, si queréis 00:31:48
A ver, la matriz es 1, 0, menos 1, 1 00:31:52
Menos 1, 4, 1, 5 00:31:57
y 1, 1, 0, 2 00:32:01
con lo cual, pues haciendo crámer 00:32:07
tendríamos en la x 00:32:10
1, 5, 2 00:32:12
0, 4, 1 00:32:13
menos 1, 1, 0 00:32:14
y aquí tendríamos 00:32:16
1, menos 1, 1 00:32:18
0, 4, 1 00:32:20
1, 5, 2 00:32:22
si lo colocamos arriba nos da 00:32:24
2, 4 00:32:27
que simplificando es un medio 00:32:29
la y ¿cuánto vale? 00:32:30
pues 00:32:34
tomamos 00:32:35
1, menos 1, 1 00:32:36
1, 5, 2 00:32:38
menos 1, 1, 0 00:32:40
y aquí sería poner el valor de este determinante 00:32:42
que es 4 00:32:46
aunque si queréis podéis poner el otro 00:32:47
pero bueno, se sabe que lo sabéis hacer 00:32:50
entonces el de arriba nos da 00:32:51
6 entre 4 00:32:56
nos da 3 medios 00:32:58
y por último 00:33:00
z es igual a 00:33:01
pues arriba sería 00:33:07
1, menos 1, 1 00:33:09
0, 4, 1 00:33:10
1, 5, 2 00:33:12
y aquí tenemos 00:33:14
pues otro determinante, bueno, ya sabemos que vale 4 00:33:16
y esto nos daría 00:33:20
aquí menos 2, aquí 4 00:33:23
y la solución es menos 1, medio 00:33:25
también se puede hacer por Gauss 00:33:27
y también se puede hacer 00:33:30
por otros métodos, bueno, en la EBA1 00:33:32
creo que hay tantos ceros, pero cuando hay 00:33:33
estos ceros, se puede hacer muy fácilmente 00:33:35
porque aquí 00:33:37
Podemos cambiar la z, si despejamos la z tendríamos que z vale x menos 1 y aquí tendríamos que la z vale la y vale menos x más 2 00:33:38
Si sustituimos estos valores aquí tenemos menos x más 4 veces la y que es menos x más 2 y más z que es x menos 1 00:33:54
Y ya tenemos una ecuación de una incógnita, menos x menos 4x menos 8 más x menos 1 es igual a 5, pues menos x menos 4x más x es igual a 5 más 8 más 1, disculpad, me he despistado aquí un más y aquí un menos, ¿vale? 00:34:09
Entonces ya tenemos que menos 4x es igual a menos 2, luego x sería menos 2 partido por menos 4, que es 1 medio. 00:34:37
Y esto ya, la z sería, pues, 1 medio menos 1, que es 1 menos 2 partido por 2, que es menos 1 medio, y la i sería menos 1, perdón, menos 1 medio más 2, que es menos 1 más 4 partido por 2, que es menos 3 medios. 00:34:59
Y ya tendríamos las soluciones igualmente. 00:35:19
Bien, para ver los valores para los cuales la matriz no tiene inversa, no hay más que calcular su determinante. 00:35:26
Y el determinante de esta Madrid, si lo calculamos, M03, 0, 3 menos 1, 1, M0, es M al cuadrado menos 9. 00:35:36
Entonces igualamos a 0, eso quiere decir que M al cuadrado es igual a 9, es decir, M es más o menos raíz cuadrada de 9, que es más o menos 3. 00:35:55
Con lo cual, M no tiene inversa cuando M es igual a 3 o M es igual a menos 3. 00:36:04
Y ya está. 00:36:25
Por último, nos piden calcular la inversa de la matriz cuando M es igual a menos 2. 00:36:32
En este caso es invertible, puesto que esto no era invertible para más menos 3, y no es el caso. 00:36:36
La matriz es menos 2, vamos a llamarla matriz A. 00:36:42
0, 3, 0, 3, menos 1, 1, menos 2, 0 00:36:46
Bueno, pues hay que hacerlo de siempre, primero el determinante 00:36:54
Si lo calculamos, el determinante de A vale menos 5 00:36:59
Y después calculamos la matriz 00:37:07
Ponemos la matriz, recordamos la tabla de signos 00:37:12
Fundamental, no lo voy a darse de ella 00:37:17
cogemos los menores 00:37:20
conviene practicar con esto unas cuantas 00:37:23
para que luego salga más automático 00:37:26
ponemos los menos donde hay que ponerlos 00:37:34
que son aquí en esa especie de cruz 00:37:37
o de rombo que tenemos 00:37:40
y ya después poner los menores 00:37:41
vamos poniéndolo, primero empezando por acá 00:37:43
y tendríamos el 0, 3, 3, menos 1 00:37:47
Después el de este, que es el 0, 1, menos 1, 0 00:37:54
Después el que está enfrentado a este, que es el 0, 3, 1, menos 2 00:38:05
Después el que está enfrentado, bueno, el que es quitar esta fila y esta columna 00:38:14
Que sería 0, 3, menos 2, 0 00:38:20
Ahora el del centro, que es coger las cuatro esquinas 00:38:30
Menos 2, 3, 1, 0 00:38:38
Después el de aquí, que es coger estas dos 00:38:42
Menos 2, 0, 1, menos 2 00:38:46
Ahora nos fijamos en el que está enfrentado este, que es este 00:38:52
0, 3, 3, menos 1 00:38:55
Ahora nos cogemos el que está enfrentado aquí 00:39:01
Que sería menos 2, 0, 3, menos 1 00:39:05
Y por último el que está enfrentado al de la esquina 00:39:14
Que sería el que está enfrentado 00:39:17
Bueno, o el complementario mejor dicho 00:39:21
Menos 2, 0, 0, 3 00:39:23
Y ahora ejercular 00:39:27
Recomiendo 00:39:28
A la gente que se sube con 5 menos 00:39:30
Poner aquí los paréntesis con menos 00:39:33
Para ahorrarse cálculos 00:39:38
Y ahora es ir poniendo 00:39:42
Los valores de los determinantes 00:39:44
Aquí, vamos a hacerlo con lo parecido, sería menos 2, el 1, menos 3, y vamos calculando el 6, el menos 3, el 4, el menos 9, el 2 y el menos 6. 00:39:46
Ahora ya calculamos las cuadras con los signos y nos da menos 2, menos 1, menos 3, menos 6, menos 3, menos 4, menos 9, menos 2, menos 6 00:40:05
Y nos da una matriz, cosa que también me sorprendió a mí cuando la calcule, con todo menos 00:40:16
Bien, y nada, pues ya esta es la matriz adjunta de A 00:40:23
Pero la inversa es 1 partido por el determinante de A 00:40:30
Por adjunto de A traspuesta 00:40:36
Eso es 1 partido por menos 5 00:40:41
Y ahora para hacer la traspuesta 00:40:44
Tenemos primera fila, la convertimos en columna 00:40:46
Menos 2, menos 1, 3 00:40:50
Segunda fila la convertimos en columna 00:40:53
Menos 6, menos 3, menos 4 00:40:57
Y tercera fila que convertimos en columna 00:41:01
Menos 9, menos 2, menos 6 00:41:04
Y esto, bueno, pues aquí podemos expresarlo de dos formas 00:41:07
O bien metemos el signo menos y dejamos el 1 quinto 00:41:14
Que sería 2, 6, 9 00:41:16
Perdón, me falta este menos 3 00:41:21
que sería multiplicar todo por menos 00:41:23
en este caso es muy fácil porque es quitar todos los signos 00:41:25
porque menos o menos en todos los casos es más 00:41:28
1, 3, 2 00:41:30
3, 4, 6 00:41:32
o bien 00:41:35
cosa que también está bien 00:41:36
multiplicar menos un quinto por todo 00:41:37
que sería 00:41:40
2 quintos, 6 quintos 00:41:41
9 quintos 00:41:44
1 quinto, 3 quintos 00:41:45
2 quintos 00:41:48
3 quintos 00:41:50
4 quintos y 6 quintos 00:41:52
y ya está 00:41:54
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Materias:
Matemáticas
Niveles educativos:
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  • Bachillerato
    • Segundo Curso
Autor/es:
Jesús P Moreno
Subido por:
Jesús Pascual M.
Licencia:
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Fecha:
25 de mayo de 2024 - 12:01
Visibilidad:
Público
Centro:
IES LA ESTRELLA
Descripción ampliada:
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Duración:
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