Saltar navegación

Activa JavaScript para disfrutar de los vídeos de la Mediateca.

La función cuadrática - Contenido educativo

Ajuste de pantalla

El ajuste de pantalla se aprecia al ver el vídeo en pantalla completa. Elige la presentación que más te guste:

Subido el 18 de febrero de 2024 por Miguel G.

24 visualizaciones

Definición de la función cuadrática. Un ejemplo completo para representarla y análisis de las propiedades: dominio, recorrido, continuidad, crecimiento...

Más información Transcripción

Descargar la transcripción

La función cuadrática es aquella que está definida por un polinomio de segundo grado 00:00:00
de la forma número por x cuadrado más número por x más otro número que llamábamos el 00:00:11
término independiente. 00:00:18
Tenéis que saber que si la expresión algebraica es un polinomio de segundo grado, la gráfica 00:00:21
de esta función es una parábola. 00:00:27
que es una curva que puede ser hacia arriba cuando el número que multiplica a x cuadrado es positivo 00:00:30
o puede ser hacia abajo cuando el número que multiplica a x cuadrado es un número negativo. 00:00:40
Esta curva denominada parábola tiene un punto que se llama vértice. 00:00:50
en el primer caso es un mínimo absoluto y relativo 00:00:57
y en el segundo caso, es decir, cuando a es negativo 00:01:02
el vértice es un máximo absoluto y relativo 00:01:08
Además, la parábola es simétrica respecto a un eje que pasa por su vértice 00:01:12
y su ecuación es x igual a la x del vértice 00:01:21
El eje de simetría nos permitirá dibujar puntos a partir de otros encontrados sin necesidad de realizar la tabla de valores. 00:01:25
Las coordenadas del vértice vienen dadas por las siguientes expresiones. 00:01:35
La x del vértice se calcula dividiendo menos b entre 2a, siendo b el coeficiente que multiplica la x y a el coeficiente de x cuadrado. 00:01:39
La coordenada y del vértice la obtendremos a partir del valor de la función para la x del vértice 00:01:49
Veamos el siguiente ejemplo 00:01:56
Dada la función 2x cuadrado menos 6x menos 1 00:02:00
Vamos a hacer la forma estimada de la gráfica 00:02:03
Hallar las coordenadas del vértice y encontrar la ecuación del eje de simetría 00:02:06
El coeficiente de x cuadrado es 2 00:02:11
A es 2, un número positivo 00:02:17
Por lo tanto, sabemos que la gráfica va a ser una parábola hacia arriba 00:02:21
Escribimos el valor de los coeficientes 00:02:27
A, que es el número que multiplica X cuadrado, es 2 00:02:32
B, el número que multiplica la X, es menos 6 00:02:35
Y C, el término independiente, es menos 1 00:02:39
La x del vértice viene dada por la expresión menos b dividido entre 2a. 00:02:44
Escribimos en el numerador el opuesto de b, que es 6, dividido entre 2 por la a, que vale 2. 00:02:54
Así nos queda 6 cuartos. 00:03:01
Simplificando la fracción entre 2 nos queda 3 medios. 00:03:03
La ecuación del eje de simetría, que es una recta perpendicular al eje X, es X igual a 3 medios. 00:03:06
Para hallar la coordenada Y del vértice vamos a sustituir en la función el valor de la X del vértice. 00:03:16
Cambiando la x por 3 medios en la fórmula de nuestra función 00:03:23
obtenemos 2 por 3 medios elevado al cuadrado 00:03:30
menos 6 por 3 medios menos 1 00:03:37
Hacemos las operaciones respetando el orden de prioridad 00:03:43
Y así nos queda 2 por 9 cuartos menos 18 medios menos 1. 00:03:48
Realizando el producto obtenemos 18 cuartos menos 18 medios menos 1. 00:03:56
A continuación ponemos el denominador común, que sería el mínimo común múltiplo de 4 y 2 y 1, que es 4, y hallamos los nuevos numeradores. 00:04:05
El primero se queda como está, pero en el segundo caso, recordad, se hace 4 entre 2 y el resultado es por 18, así que nos queda 36, y 4 entre 1 sería 4 por 1, 4. 00:04:15
Así obtenemos menos 22 cuartos 00:04:32
Y simplificando la fracción entre 2, menos 11 medios 00:04:39
Esa es la coordenada I del vértice 00:04:43
Las coordenadas del vértice son 3 medios menos 11 medios 00:04:45
Veamos el siguiente ejemplo para representar una función cuadrática 00:04:53
y estudiar sus propiedades del dominio, recorrido, continuidad, crecimiento y decrecimiento, así como los máximos y mínimos absolutos y relativos. 00:04:58
Para representar las funciones cuadráticas vamos a seguir los siguientes pasos. 00:05:10
Comenzamos analizando el signo de a, el coeficiente de x al cuadrado. 00:05:19
escribo los coeficientes de la función 00:05:24
a es 1, b que es el número que multiplica la x es 2 00:05:28
y c que es el término independiente es menos 8 00:05:32
Podemos ver que como a es un número positivo 00:05:36
la forma de nuestra parábola va a ser hacia arriba 00:05:39
El vértice será un mínimo absoluto y relativo 00:05:44
Como segundo paso hallamos las coordenadas del vértice 00:05:47
La x del vértice viene dada por la expresión menos b entre 2a 00:05:55
Es decir, el opuesto de b que es menos 2 dividido por 2 por 1 00:05:59
Esto nos queda menos 2 entre 2 que da menos 1 00:06:05
La y del vértice la obtenemos sustituyendo la x del vértice en la fórmula de nuestra función 00:06:09
Es decir, f de menos 1. Así obtenemos menos 1 al cuadrado. Fijaros que pongo un paréntesis porque es una potencia de base negativa. 00:06:15
Más 2 por menos 1, menos 8. 00:06:27
Realizando las operaciones nos queda 1 menos 2 menos 8. Es decir, menos 1 menos 8 que nos da menos 9. 00:06:33
Las coordenadas del vértice son por tanto menos 1, menos 9. 00:06:42
Continuamos hallando los puntos de corte con los ejes. 00:06:49
El punto de corte con el eje x se obtiene igualando la variable dependiente, es decir, la y o la función, a 0. 00:06:53
Así obtenemos una ecuación de segundo grado. 00:07:02
x cuadrado más 2x menos 8 igual a 0. 00:07:05
Este caso corresponde a la ecuación general de segundo grado. 00:07:08
con los coeficientes a igual a 1, b igual a 2 y c igual a menos 8. 00:07:12
Debes recordar la fórmula que da las soluciones de la ecuación de segundo grado. 00:07:21
Aplicándola obtenemos menos 2 más menos la raíz cuadrada de 2 al cuadrado, 00:07:26
menos 4 por 1 por menos 8, todo ello dividido entre 2 por a, que en este caso vale 1. 00:07:30
Realizando las operaciones obtenemos que la primera solución es menos 2 más 6 entre 2, es decir, 4 entre 2, que nos queda como resultado 2. 00:07:38
La segunda solución nos queda menos 2 menos 6 dividido entre 2, es decir, menos 8 entre 2, que da como resultado menos 4. 00:07:50
Así hemos obtenido que los puntos de corte de nuestra parábola con el eje X son dos 00:08:04
El punto A, 2, 0 y el punto B, menos 4, 0 00:08:12
Resolver una ecuación de segundo grado consiste en hallar los puntos de corte con el eje X de la parábola 00:08:16
Y podemos tener tres casos 00:08:24
Si b cuadrado menos 4 por a por c da positivo, tendremos dos puntos de corte de la parábola con el eje x. 00:08:26
En el caso de que dé cero, tendremos un único punto de corte con el eje x. 00:08:34
Y en el caso de que dé negativo, la parábola no cortará al eje x. 00:08:41
Continuamos hallando los puntos de corte con el eje y. 00:08:48
Recordad que en este caso cambiamos la x por cero. 00:08:51
Así nos queda 0 al cuadrado más 2 por 0 menos 8, lo cual nos da menos 8 00:08:54
El punto de corte con el eje Y, que vamos a llamar punto C, tiene de coordenadas 0 menos 8 00:09:01
Dibujamos nuestros ejes de coordenadas con la escala apropiada 00:09:08
Y vamos a comenzar a representar los puntos que tenemos hasta ahora 00:09:12
El vértice V tiene de coordenadas menos 1 de X menos 9 de Y 00:09:16
Los puntos de corte con el eje X son el punto A de coordenadas 2, 0 y el punto B de coordenadas menos 4 de X, 0 de Y. 00:09:23
El punto de corte con el eje Y que hemos llamado el punto C tiene de coordenadas 0 de X, menos 8 de Y. 00:09:39
Continuamos dibujando el eje de simetría que es una recta perpendicular al eje x por el valor 00:09:47
menos 1 y además pasa por el vértice de la parábola. La dibujo de forma discontinua. 00:09:57
La ecuación del eje de simetría es x igual a menos 1. Hallaremos más puntos de la gráfica 00:10:04
de la parábola usando el eje de simetría así como la tabla de valores. Observar que a la derecha 00:10:12
del eje de simetría el punto C se encuentra a distancia un cuadradito de este, por lo tanto a 00:10:20
la izquierda a la misma distancia de un cuadradito tiene que existir otro punto. Para hallar más 00:10:27
puntos dibujo la tabla de valores donde he situado en la columna de la izquierda la X que es la 00:10:33
variable independiente y en la columna de la derecha la expresión algebraica que me permite 00:10:40
calcular el valor de la variable dependiente. Si asignamos a x por ejemplo el valor menos 3 00:10:45
calculamos el valor de la coordenada y sustituyendo en la expresión y es igual entonces a menos 3 00:10:52
entre paréntesis al cuadrado más 2 por menos 3 menos 8. Realizando los cálculos nos queda 9 menos 00:11:00
6, menos 8. Terminando las operaciones obtenemos que la coordenada y es menos 5 y así hemos obtenido 00:11:09
el punto menos 3, menos 5 que representamos en nuestra gráfica. Usando el eje de simetría 00:11:21
observamos que este punto se encuentra a dos cuadraditos a la izquierda del eje de simetría, 00:11:29
Por lo tanto, tiene que haber otro punto a distancia de dos cuadraditos a la derecha. 00:11:36
Lo dibujamos. 00:11:43
Finalmente, unimos los puntos para obtener la gráfica de la parábola, que es una curva. 00:11:50
Tener cuidado al unirlos para que nos queden tramos rectos. 00:11:57
En ese caso, la gráfica correspondería a otra función diferente. 00:12:00
como podría ser la función valor absoluto 00:12:06
además ponemos unas flechas para indicar que la curva continúa hacia arriba 00:12:11
tanto por la izquierda como por la derecha 00:12:16
el dominio de nuestra función 00:12:20
son todos los valores de x que podemos asignar para poder calcular la variable 00:12:24
dependiente 00:12:28
en este caso 00:12:30
Es todo el conjunto de los números reales, lo cual escribimos en forma de intervalo como menos infinito coma infinito. 00:12:32
El recorrido representa el conjunto de valores que toma la variable dependiente. 00:12:41
En nuestra gráfica podemos observar que va desde menos nueve hasta infinito. 00:12:47
La función es continua en todo su dominio 00:12:53
pues se puede dibujar de izquierda a derecha 00:13:01
sin levantar el lápiz del papel 00:13:04
Escribimos ahora los intervalos de crecimiento y decrecimiento 00:13:05
recordando que se dan con valores del eje x 00:13:12
así que decrece desde menos infinito hasta menos 1 00:13:15
crece entre el valor x menos 1 e infinito. 00:13:21
El vértice de coordenadas menos 1 menos 9 es un mínimo absoluto y relativo. 00:13:34
Autor/es:
Miguel Gras Gigosos
Subido por:
Miguel G.
Licencia:
Reconocimiento - Compartir igual
Visualizaciones:
24
Fecha:
18 de febrero de 2024 - 12:55
Visibilidad:
Público
Centro:
CEPAPUB SAN SEBASTIÁN DE LOS REYES
Duración:
13′ 48″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
960x540 píxeles
Tamaño:
66.30 MBytes

Del mismo autor…

Ver más del mismo autor

EducaMadrid, Plataforma Educativa de la Comunidad de Madrid

Plataforma Educativa EducaMadrid