Saltar navegación

Activa JavaScript para disfrutar de los vídeos de la Mediateca.

Resolución de sistemas de ecuaciones por métodos distintos del Gauss - Contenido educativo

Ajuste de pantalla

El ajuste de pantalla se aprecia al ver el vídeo en pantalla completa. Elige la presentación que más te guste:

Subido el 25 de mayo de 2024 por Jesús Pascual M.

6 visualizaciones

Resolución de sistemas de ecuaciones por métodos distintos del Gauss

Más información Transcripción

Descargar la transcripción

Bien, vamos a explicar la resolución de sistemas de ecuaciones para tres ecuaciones o más y tres incógnitas o más. 00:00:00
Bueno, antes de nada, lo que vamos a hacer es emplear los métodos para cuando tenemos dos ecuaciones, 00:00:07
con dos incógnitas, reducción, sustitución, etcétera, y generalizarlos. 00:00:13
Vamos a comenzar resolviendo este sistema de ecuaciones por reducción. 00:00:21
Por cuestiones pedagógicas, nombramos a cada una de las ecuaciones con una letra distinta 00:00:25
Bien, el sistema únicamente consiste en ir quitando una variable, luego otra y luego otra 00:00:32
Por ejemplo, primero la x, dos ecuaciones y luego la z y así se simplifica 00:00:40
No obstante, en este ejemplo en particular vamos a empezar quitando la y 00:00:45
La razón es que aquí la Y está multiplicada por menos 1 00:00:51
Y cuando está multiplicada por 1 menos 1 00:00:57
Todo es mucho más sencillo 00:00:59
Así que pues vamos a hacerlo 00:01:01
Empezamos aquí por ejemplo 00:01:04
Pues hacemos reducción por ejemplo con la B y la C 00:01:05
Entonces cogemos por ejemplo la B la dejamos igual 00:01:11
Y aquí cogemos 3 veces la C 00:01:16
De ese modo pues tendríamos 2x más 3y más 4z igual a 7 y tres veces la c serían 9x menos 3y más 6z igual a menos 9. 00:01:18
Operamos y tenemos que 11x más 10z es igual a menos 2. 00:01:39
ahora hacemos reducción con otras dos 00:01:46
podríamos haber cogido tranquilamente para hacer reducción 00:01:52
con el sistema 00:01:54
la A y la B 00:01:55
pero 00:01:57
en este caso pues es más sencillo 00:01:58
coger 00:02:02
la A y la C 00:02:03
por lo que decíamos de que 00:02:08
la A y la B están multiplicadas por menos uno 00:02:10
así puedes 00:02:11
cogemos pues 00:02:13
la A 00:02:15
que la dejamos igual y la C por ejemplo 00:02:18
la multiplicamos 00:02:20
2 por menos 2. Y ahora tenemos, pues la es 4x menos 2y más 3z igual a menos 4. Y menos 2c es, pues menos 2 por 3 es menos 6x, menos por menos más, 2y menos 2 por 2, 4z igual a menos por menos más, 3 por 2, 6. 00:02:21
Y ahora operamos y tenemos que menos 2x menos z es igual a 2. 00:02:46
Y ahora ya tenemos dos ecuaciones con una variable de menos, o sea, dos ecuaciones con dos incógnitas que vamos a llamarle d y e. 00:03:05
Bueno, un detalle es que a esto de coger una ecuación y multiplicar por un número y otra por un número y luego sumar, tiene un número de combinación lineal, ¿vale? 00:03:17
Bueno, pues ahora tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas 00:03:26
Y lo que hacemos es, pues con reducción 00:03:30
Simplificarlas quitando la incógnita 00:03:35
En este caso, pues vamos a quitar la Z 00:03:39
Porque aquí está multiplicada por menos uno y eso va a simplificar las cosas 00:03:43
De modo que, pues a la D la dejamos igual 00:03:46
Y a la E vamos a multiplicarla por diez 00:03:49
Y ahora lo que tenemos es, pues cogemos, a ver, la e tendríamos 11x más 10z es igual a menos 2, y ahora la e multiplicada por 10 sería menos 20x menos 10z igual a 20. 00:03:53
operamos y obtenemos que 00:04:25
menos 9x es igual a 18 00:04:28
y ya tenemos una ecuación incógnita que es trivial 00:04:32
operamos y tenemos que x es 18 entre menos 9 00:04:36
que es menos 2 00:04:41
con cualquiera de estas, por ejemplo con esta que es más sencilla 00:04:43
podemos resolver la z 00:04:47
entonces hacemos, por ejemplo, pasamos la z al otro lado 00:04:51
z es igual a menos 2x menos 2 00:04:54
z es igual a menos 2 por menos 2 menos 2 00:05:01
y es 4 menos 2 que es 2 00:05:05
y ahora pues la y la podemos coger con cualquiera de estas ecuaciones 00:05:07
están aquí 00:05:13
cogemos esta por ser la más sencilla 00:05:14
pasamos por ejemplo a la del otro lado 00:05:17
y es igual a 3x más 2z más 3 00:05:19
Sería 3 por menos 2 00:05:24
Más 2 por 2 00:05:27
Más 3 00:05:29
Esto es menos 6 más 4 00:05:30
Más 3 que es 1 00:05:33
Y hemos obtenido 00:05:35
Que 00:05:37
X vale menos 2 00:05:40
Y vale 1 00:05:44
Y Z 00:05:46
Vale 2 00:05:47
Pues esto es 00:05:49
La única 00:05:52
Bueno, unas observaciones 00:05:54
Antes de nada 00:05:59
En primer lugar, hemos hecho reducción 00:05:59
¿Vale? Podríamos haber visto también 00:06:02
Al principio 00:06:04
Otro método, por ejemplo 00:06:05
Que fuese sustitución 00:06:08
Bueno, pues aún así hubiéramos llegado a unas ecuaciones 00:06:14
Muy parecidas a las que tenemos 00:06:16
¿De acuerdo? 00:06:18
Lo que sí que es importante notar, por ejemplo 00:06:22
Es que una vez que he llegado a un sistema de dos ecuaciones 00:06:24
Con dos incógnitas 00:06:26
Hacer todo con reducción es hacer lo que hemos hecho 00:06:27
Pero también se podría hacer aquí, por ejemplo 00:06:31
una sustitución, por ejemplo. 00:06:33
O sea, no se pueden hacer métodos mixtos, ¿vale? 00:06:35
Bueno, sigamos. 00:06:39
Bien, otra observación 00:06:42
es que si aquí no hubiera estado multiplicando 00:06:43
la i por 1, por ejemplo, sino por otro número, 00:06:46
por ejemplo, un 5, 00:06:48
entonces, 00:06:51
pues, bueno, nos ve un poco de igual con que 00:06:53
para el empezar. De hecho, a lo mejor hubiera sido 00:06:55
más fácil empezar por esta o por esta, 00:06:57
dado que aquí tenemos un 4 y un 2 00:07:00
y multiplicamos solo por 2. 00:07:01
Pero, 00:07:04
La reducción tampoco se hubiera complicado mucho. Si hubiera un menos 5, se hubiera multiplicado aquí por 5b y aquí por 5a y todo se hubiera mantenido igual. 00:07:05
Pero bueno, solo se hubiera complicado un poco. Lo digo esto porque va a pasar cuando explique la sustitución. 00:07:21
Ahora vamos a resolver el mismo sistema pero empleando sustitución. 00:07:28
Vais a ver que aparecen unos números muy parecidos a los de antes. 00:07:34
Eso tiene mucho sentido, si se usa un poco de algebra lineal se ve muy rápidamente que no puede ser de otra manera. 00:07:38
Primero, igual que antes, elegimos una variable a sustituir, en este caso la i, porque está multiplicada por , y eso simplifica notablemente los cálculos. 00:07:45
Bueno, pues, significamos, voy a hacerlo en dos pasos, por la gente le cuesta un poco más. 00:07:58
Menos i es igual a menos tres, menos tres x, menos dos z, multiplicamos todo por menos uno, 00:08:05
i es igual a tres, más tres x, más dos z. 00:08:12
Aunque yo hubiera pasado directamente de aquí a aquí. 00:08:17
Si pasas la i a la derecha, ya pasas quitándole menos, esto lo dejas igual, 00:08:19
y el menos 3 lo pasas a la izquierda 00:08:25
siendo más 3 00:08:28
bueno, ya tenemos con qué sustituir 00:08:30
y ahora sustituimos 00:08:35
cogemos aquí y hacemos 4x menos 00:08:37
ahora sustituimos la y dos veces 00:08:41
3 más 3x más 2z 00:08:44
más 3z igual a menos 4 00:08:47
y aquí lo mismo 00:08:51
2X más 3 veces 00:08:53
3 más 3X más 2Z 00:08:57
más 4Z igual a 7 00:09:00
y ahora pues nada, simplificamos estas dos ecuaciones 00:09:10
4X menos 6 00:09:14
menos 6X menos 4Z 00:09:25
más 3Z es igual a menos 4 00:09:30
Ahora pues, voy a hacer dos pasos, se puede hacer en uno solo lo siguiente 00:09:32
4x menos 6x menos 4z más 3z es igual a menos 4 00:09:42
Y ese 6 pasa sumando 00:09:50
Y ahora ya menos 2x menos z es igual a 2 00:09:54
Bueno, habéis observado que esta ecuación es la misma que teníamos antes 00:10:01
No es casualidad, ¿vale? 00:10:11
Es que tiene que dar lo mismo o una que es multiplicada por un número positivo o negativo, ¿vale? 00:10:13
O bien, tendría que ser la misma con los signos cambiados o la misma multiplicada por un número, ¿vale? 00:10:18
Cuando digo signos cambiados me refiero a que aquí más, más y aquí un menos 00:10:24
Todo multiplicado por menos uno o todo multiplicado por más cinco, por menos tres o lo que sea 00:10:27
Tiene que ser así 00:10:31
Bien, ahora cogemos la otra 00:10:33
2X más 6 00:10:36
Perdón, no he escrito 00:10:40
Más 9, más 9X, más 6Z 00:10:42
Más 4Z igual a 7 00:10:47
2X más 9X 00:10:51
Más 6Z más 4Z igual a 7 menos 9 00:10:54
11X más 10Z 00:11:00
es igual a menos 2. Nuevamente obtenemos 00:11:04
una ecuación igual a la anterior, pero bueno, como os he dicho antes 00:11:13
tendría que ser igual o la otra multiplicada por un número. Bueno, ahora podemos 00:11:17
seguir haciendo otra vez sustitución 00:11:21
porque tenemos dos ecuaciones con dos incógnitas. Aunque bueno, un sistema 00:11:25
de dos ecuaciones con dos incógnitas se puede resolver con cualquier método, con sustitución, con igualación 00:11:29
con reducción, que queráis. Aquí no hay reglas para hacerlo, ¿no? Salvo que os piden 00:11:33
explícitamente que se haga con un método en particular. Bueno, pues vamos a hacerlo 00:11:39
otra vez con sustitución, ¿vale? Vamos a estudiar, por ejemplo, la z, ya que aquí 00:11:43
esta es para muy sencilla, ¿no? Tenemos que menos z es igual a 2 más 2x, lo indicamos 00:11:49
todo por menos 1, z es igual a menos 2, menos 2x. Voy a verse todo hecho de forma más sencilla 00:11:58
pasando directamente de aquí a aquí, pasando la z a la derecha y el 2 a la izquierda, pero 00:12:05
bueno, como hay gente que lo cuesta un poco más, lo hago en dos pasos. Y ya está, pues 00:12:10
ahora sustituimos la z en esta ecuación y tenemos que 11x más 10 veces menos 2 menos 00:12:16
2x tiene que ser menos 2. 11x menos 20 menos 20x es igual a menos 2. Y ahora ya pues el 00:12:28
20 al otro lado. 11x menos 20x es igual a menos 2 más 20 menos 9x es igual a 18. Obtenemos 00:12:40
nuevamente lo de antes y ahora ya resolvemos la X. X es igual a 18 partido por menos 9 00:12:56
que es menos 2. Lo que tiene un poco de ventaja en este punto de la igualación es que ya 00:13:04
están despejadas las variables. Aquí lo que tenemos, podemos aquí con eso hallar 00:13:13
la Z, menos 2 menos 2 veces menos 2, menos 2 más 4 que vale 2. Y aquí nuevamente podemos 00:13:17
a hallar otra vez la y, 3 más 3 veces menos 2, más 2 veces 2, que nos da 3 menos 6 más 00:13:29
4, que es 1. Y tenemos que x vale menos 2, y vale 1, y z vale 2. Bueno, ya está resuelto, 00:13:40
vamos a hacer algunas observaciones. Observación número 1. ¿Qué ocurriría si aquí tuviéramos otro 00:14:00
número? Por ejemplo, un 5. Pues lo que ocurriría es que aquí tenemos un 5, aquí un 5 y aquí diríamos 00:14:10
entre 5. Volveríamos a hacer otra vez sustitución, pero se complicaría un poco porque tendría más 00:14:19
fracciones. Es algo a tener en cuenta. Esto es muy fácil cuando no tenemos esa cosa, pero cuando la 00:14:28
tenemos la cosa se complica y ya igual que antes se puede hacer método mixo, primero sustitución y 00:14:34
luego igualación, etcétera. Se puede hacer igualación desde el principio y pues también, 00:14:44
pero bueno se complicaría un poco más. Despejaríamos la i por ejemplo con estas dos 00:14:50
ecuaciones aquí y aquí, igual a lo que sea, igual a lo que sea, igualaríamos estos y perderíamos una 00:14:55
variable. Haríamos lo mismo con otras dos ecuaciones, por ejemplo estas dos, y 00:15:03
perdemos otra variable. Entonces, también se puede hacer con igualación, pero se 00:15:12
complica. Reducción es realmente sencillo, aunque hay veces en que la sustitución 00:15:15
puede ser fácil. Por ejemplo, en el siguiente ejemplo. Y hacemos un último 00:15:20
ejemplo, donde vamos a ver que es mucho más sencillo emplear la sustitución 00:15:26
Porque podemos, si nos fijamos, en la segunda ecuación no hay y en la tercera ecuación no hay z. 00:15:33
Entonces lo que podemos hacer siempre es x más otra variable, x más otra variable. 00:15:42
Y podemos poner todo en función de x. 00:15:48
Es decir, aquí podemos quitar la z haciendo 3z es igual a 3 menos 2x. 00:15:50
esto es z es igual a 3 menos 2x partido por 3 00:15:59
y aquí podemos quitar la y haciendo y igual a 4 menos 3x 00:16:03
y ahora podemos sustituir en esta ecuación la y y la z en un solo paso 00:16:12
haciendo 4x que se queda igual 00:16:22
más ahora la y, 4 menos 3x 00:16:29
Y ahora la z más 5 veces 3 menos 2x partido por 3 00:16:34
Y eso tiene que ser igual a 2 00:16:43
Bueno, pues ahora por ejemplo, vamos a multiplicar un poco este terminado aquí 00:16:50
O directamente, vamos a multiplicar todo por 3 00:16:58
Para que se quede un poco más sencillo, vale 00:17:03
Esto por 3 entre 3 00:17:06
Y esto por 3 entre 3 00:17:08
Y así nos quitamos esos tres treses, este, este y este. 00:17:11
Y ahora tenemos que 12x más 12 menos 9x más 15 menos 10x, esto es igual a 6. 00:17:16
ahora pasamos las x a un lado como siempre 00:17:32
2x menos 9x menos 10x 00:17:37
es igual a 6 menos 12 menos 15 00:17:40
ahora 12 menos 10 es 2 00:17:45
esto sería menos 7x 00:17:49
y ahora tendríamos 00:17:51
a ver, 12 menos 6 es 6 00:17:53
15 y 6 es 21 00:17:57
menos 21 00:17:59
Y ahora x sería menos 21 partido por menos 7, que es 3 00:18:01
Ya tenemos la x resuelta 00:18:07
Y ahora, pues nada, las otras las tenemos ya puestas 00:18:10
Esto ya sería, la y sería 4 menos 3 veces 3 00:18:14
4 menos 9, que es menos 5 00:18:18
Y también es esta resuelta 00:18:21
Porque sería 3 menos 2 veces 3, entre 3 00:18:24
Esto es 3 menos 6 partido por 3 00:18:29
Menos 3 partido por 3 que es menos 1 00:18:33
Y ya tenemos que x vale 3 00:18:36
Y vale menos 5 00:18:41
Y z vale menos 1 00:18:44
Y ya está 00:18:48
En cada momento se puede utilizar un método mejor o peor 00:18:49
Y bueno, también se podría haber hecho reducción 00:18:54
aunque hubiera habido más pasos, etcétera. Pero tened en cuenta que un paso no lo ahorramos. 00:18:58
Evidentemente, si hubiera que hacer, por ejemplo, reducción, ¿qué habríamos hecho? Pues quitaríamos 00:19:02
o bien la i o bien la z. ¿Por qué? Porque aquí, por ejemplo, vamos a quitar, por ejemplo, la z, 00:19:09
¿no? Si yo quito aquí la z, aquí la z está quitada, me ahorro un paso. Lo que pasa es que 00:19:15
si yo hago reducción, bueno, va a ser más fácil quitarla ahí, vamos a quitarla ahí 00:19:24
pero ya veremos que si hacemos un paso más, ¿vale? 00:19:30
vamos a hacer, esta la sumamos, 4x 00:19:36
más y más 5z es igual a 2 00:19:40
restamos la otra, menos 3x menos y 00:19:43
es igual a menos 4 00:19:48
y tenemos que x más 5z 00:19:52
es igual a menos 2 00:19:57
y ahora tenemos 00:19:59
dos ecuaciones que están con la z 00:20:01
esta y esta 00:20:03
reducción también es sencilla 00:20:06
porque hemos quitado un paso 00:20:09
que es despejar la z en una ecuación 00:20:10
pero cuando hacemos reducción de la y 00:20:12
nos va a aparecer la z 00:20:13
y aquí ya pues yo que sé 00:20:15
podemos hacer reducción por ejemplo con la x 00:20:18
el primero lo dejamos igual 00:20:20
2x más 3z es igual a 3 00:20:21
el segundo lo multiplicamos por menos 1 00:20:24
menos 2X menos 10Z que es igual a 4 00:20:26
y obtenemos que menos 7Z es igual a 7 00:20:30
Z es igual a 7 entre menos 7 que es menos 1 00:20:35
y ya está, y ahora ya pues lo demás es igual 00:20:38
hacemos sustituciones como antes, de hecho como ya hemos hecho los pasos de la sustitución 00:20:42
en este caso por ejemplo la Y se podía sacar haciendo esto 00:20:46
y obtendríamos que es menos 5, bueno no, con la X perdón 00:20:51
tendríamos que hacer sustitución con la z, pues yo que sé 00:20:54
despejaríamos la x con la z aquí 00:20:57
entonces por ejemplo aquí mismo se puede sacar la x con la z 00:21:01
5z es igual a menos 2 menos x 00:21:08
que esto es menos 2 menos menos 1 00:21:21
perdón, lo he visto otra vez 00:21:25
quiere decir 00:21:27
x es igual a menos 2 menos 5z 00:21:31
que es menos 2 menos 5 por menos 1 menos 2 más 5 que vale 3 00:21:36
y ya tenemos la x y ahora por ejemplo la y si que se puede sacar con la x 00:21:46
pero si ya lo tenemos resuelto de antes que sería esto 00:21:52
y tendríamos que y vale menos 5 y ya lo tendríamos 00:21:57
pero he visto que en este caso con sustitución era muy sencillo 00:22:02
Bueno, pues con esto hemos explicado toda la teoría. 00:22:05
Bueno, ya por último, ¿qué ocurre con más incógnitas? 00:22:14
Bueno, pues se puede hacer lo mismo. 00:22:17
Primero vemos una variable, luego otra y luego otra. 00:22:20
En este caso particular, la más fácil sería empezar por la z, porque aquí hay una. 00:22:22
Y además aquí no hay z. 00:22:27
Entonces, por ejemplo, podemos hacer pones a 3 o sustitución o reducción, etc. 00:22:31
Y aquí nos quedaremos con tres variables 00:22:43
Y cuando nos quedamos con tres variables 00:22:45
Porque hemos quitado la z 00:22:47
Tenemos tres ecuaciones, pues hacemos lo mismo 00:22:48
Y ya está 00:22:51
También se puede hacer gauss 00:22:52
Quitando primero la x 00:22:54
En tres 00:22:57
Luego en dos y luego en una 00:22:58
Etcétera 00:23:01
O sea, con más incógnitas se funciona igual 00:23:02
Podemos hacer reducción 00:23:05
Con esas dos y por ejemplo 00:23:07
Quitarnos una variable, la t 00:23:09
Con estas dos y nos quitamos la t 00:23:10
con estas dos que nos quitamos la t 00:23:12
y tenemos tres ecuaciones con tres variables 00:23:14
x y z 00:23:17
bueno, pues será igual 00:23:18
pero con más complicación 00:23:23
Valoración:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
Eres el primero. Inicia sesión para valorar el vídeo.
Autor/es:
Jesús P Moreno
Subido por:
Jesús Pascual M.
Licencia:
Todos los derechos reservados
Visualizaciones:
6
Fecha:
25 de mayo de 2024 - 11:56
Visibilidad:
Público
Centro:
IES LA ESTRELLA
Descripción ampliada:
Resolución de sistemas de ecuaciones por métodos distintos del Gauss
Duración:
23′ 30″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
164.30 MBytes

Del mismo autor…

Ver más del mismo autor

Comentarios

Para publicar comentarios debes entrar con tu nombre de usuario de EducaMadrid.

Comentarios

Este vídeo todavía no tiene comentarios. Sé el primero en comentar.


EducaMadrid, Plataforma Educativa de la Comunidad de Madrid

Plataforma Educativa EducaMadrid