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Problema resuelto de campo electrostático (evau 21) - Contenido educativo

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Subido el 14 de noviembre de 2022 por Guillermo M.

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Este problema dice, en los vértices de un cuadrado de dos metros de lado y centrado en el origen, 00:00:00
se sitúan cuatro cargas eléctricas, como se muestra en la figura. 00:00:07
Tenemos Q1 y Q2, que son de cinco nanocolombios. 00:00:10
Q3 y Q4, de tres nanocolombios. 00:00:15
Las cuatro cargas son positivas. 00:00:19
En el apartado A, pide el campo eléctrico creado por las cargas en el centro del cuadrado. 00:00:21
Lo que voy a hacer, lo tengo aquí escrito, es aplicar el principio de superposición, 00:00:27
por lo que el campo eléctrico en este punto, en el origen, 00:00:31
será la suma de los campos eléctricos que crean cada una de las cargas, 00:00:35
siendo el campo eléctrico esta expresión que tenemos aquí. 00:00:41
De lo que se trata ahora es de tener claros los vectores directores, ¿verdad? 00:00:45
Porque tengo las cargas, las distancias las puedo obtener fácilmente. 00:00:51
Bueno, pues vamos a ver. 00:00:56
Vamos con Q1. 00:00:58
Esta carga, como todas las demás, es positiva, por lo que en el origen, 00:01:00
creo un campo saliente que será tal que así. 00:01:05
Lo voy a representar así mejor. 00:01:10
Esto es el sub 1, ¿vale? 00:01:18
Es el campo que crea la primera carga en el origen. 00:01:20
La carga 2 también es una carga positiva, por lo tanto, 00:01:30
creo un campo que también es saliente, que en el origen es tal que así. 00:01:35
La carga Q3 también es positiva y en el origen creo un campo saliente, tal que así. 00:01:43
Y la carga Q4, positiva, un campo tal que así. 00:01:54
¿De acuerdo? 00:02:01
Lo que tengo que hacer ahora es obtener los vectores directores 00:02:02
y sumar, obtener la expresión vectorial de cada uno de estos campos eléctricos y sumarlos. 00:02:06
¿Cuáles son los vectores directores? 00:02:12
El de U1 es este que estoy poniendo aquí. 00:02:14
Ese es U1. 00:02:18
U2 es este de aquí. 00:02:20
U3 es este. 00:02:23
Y U4, este. 00:02:27
Bueno, lo que hay que tener claro es cuál es la expresión de cada uno de estos vectores. 00:02:32
Cada uno de estos vectores forma 45 grados con la horizontal. 00:02:37
Lo que pasa es que si lo hacemos como coseno del ángulo que forma, 00:02:46
no siempre son 45 grados. 00:02:50
Coseno, seno. 00:02:53
La mejor manera de ver esto yo creo que es darse cuenta de que son 45 grados con la horizontal. 00:02:56
Bien, la orientación ya nos da un poco igual. 00:03:01
Pero el signo lo vamos a poner nosotros. 00:03:06
Como son 45 grados, el vector va a ser el vector, 00:03:08
el 1, 1, el 1, menos 1, el menos 1, 1 y el menos 1, menos 1. 00:03:12
Esto es lo que hay que ver. 00:03:17
Lo que pasa es que el vector U1 es el vector, lo voy a poner ya, 00:03:19
voy a poner el vector unitario, 00:03:24
es el vector 1, menos 1 00:03:26
y para que sea unitario tengo que dividir entre el módulo de este vector que es raíz de 2. 00:03:29
1, menos 1, porque este es el vector U1, 00:03:34
que tendrá por componentes esta de aquí, el 1, 00:03:38
y esta de aquí, el menos 1, 00:03:44
teniendo en cuenta que este sería el origen del vector que estoy utilizando. 00:03:46
Bueno, esto me estoy extendiendo mucho, 00:03:51
hay que pensarlo un poquitín, esto tiene que salir rápido. 00:03:54
U2 es el vector, 00:03:57
si nos fijamos, las dos componentes son negativas, es el vector menos 1, menos 1 00:04:02
y para que sea unitario divido entre raíz de 2. 00:04:07
El vector U3 es este de aquí, ese de ahí, estaba señalando la carga, 00:04:10
es el menos 1, 1, partido por raíz de 2 00:04:16
y el vector U4 es el vector 1, 1, partido por raíz de 2. 00:04:23
Entonces ya puedo calcular cada uno de los campos eléctricos y sumar. 00:04:32
Lo voy a hacer por separado, 00:04:37
diré sustituyendo y calculando. 00:04:40
Tengo, lo he dicho por supuesto, tengo la constante, 00:04:49
el valor de la constante de la ley de Coulomb. 00:04:53
E sub 1 es 9 por 10 a la 9, 00:04:56
por Q sub 1 que es 5 por 10 a la menos 9, 00:05:00
entre distancia que hay de la carga al origen, en todos los casos es raíz de 2. 00:05:05
Si esta es la carga, este es el origen, 00:05:12
el cuadrado son dos metros del lado, 00:05:20
por lo tanto esto es un metro y esto es un metro. 00:05:23
Y esta hipotenusa mide raíz de 2 metros. 00:05:28
Lo voy a poner aquí, R1 igual a R2 igual a R3 igual a R4 00:05:33
porque están todas a la misma distancia del origen y es raíz de 2. 00:05:39
Entonces estoy con el campo de la carga Q sub 1 raíz de 2 al cuadrado 00:05:44
y ahora por el vector U sub 1 que hemos dicho que es el 1 menos 1 partido por raíz de 2. 00:05:51
Y esto es 15,91, menos 15,91 unidades Newtons por Coulomb. 00:05:59
Lo mismo para E sub 2. 00:06:10
9 por 10 elevado a 9 por Q sub 2 que es 5 por 10 a la menos 9. 00:06:14
La distancia raíz de 2 al cuadrado. 00:06:21
El vector directo es el menos 1 menos 1 partido por raíz de 2. 00:06:24
Y esto es menos 15,91 coma el otro componente menos 15,91 unidades Newtons por Coulomb. 00:06:30
Vamos con el campo que crea la carga 3. 00:06:42
K que es 9 por 10 elevado a 9. 00:06:49
La carga esta es 3 nanocoulombias, es decir, 3 por 10 a la menos 9 entre raíz de 2 al cuadrado. 00:06:53
Y el vector director, lo tengo aquí, es el menos 1 1 partido por raíz de 2. 00:07:01
Menos 1 1 partido por raíz de 2. 00:07:07
Esto es menos 9,55, componente y 9,55 Newtons por Coulomb. 00:07:12
Y el último campo, E sub 4. 00:07:21
9 por 10 elevado a 9 por la carga partido por raíz de 2 elevado al cuadrado. 00:07:24
1 1 partido por raíz de 2. 00:07:34
Vector director y esto es 9,55, 9,55 Newtons por Coulomb. 00:07:36
Bueno, voy a hacer aquí la suma. 00:07:45
El campo total es la suma de estos 4 vectores. 00:07:48
Y es componente x 0, componente y, menos 12,72 Newtons por Coulomb. 00:07:52
Este es el campo que crean estas 4 cargas en el origen, apartado A. 00:08:02
Vamos al apartado B. 00:08:09
El apartado B dice, si desde el centro estoy aquí. 00:08:11
Si desde el centro del cuadrado se lanza un electrón con una velocidad de 3 por 10 elevado a 4 metros por segundo, según el eje I. 00:08:16
Calcule el módulo de la velocidad que llevará este electrón en el instante en el que salga del cuadrado por el punto medio del lado superior. 00:08:27
Voy a borrar el apartado A. 00:08:36
Y lo voy a hacer en este espacio. 00:08:44
Bueno, ahora no necesito estos vectores directores ni estos campos. 00:08:49
Para tener esto claro voy a borrar esto también. 00:08:55
Lo que tengo es una carga, que es un electrón, que se desplaza desde el origen. 00:08:59
Se desplaza desde el origen, desde este punto, con una velocidad de 3 por 10 elevado a 4 metros por segundo, según el eje I. 00:09:09
Y lo que tenemos que hacer es determinar la velocidad de este electrón cuando pasa por el punto medio del lado superior. 00:09:23
Es decir, cuando pasa por este punto A. 00:09:30
El electrón va a seguir esta trayectoria por la simetría de las cargas. 00:09:36
Entonces, vamos con este apartado. 00:09:46
¿Qué es lo que hay que hacer? 00:09:51
Bueno, la fuerza electrostática es una fuerza conservativa. 00:09:53
Por lo tanto, la energía total, la energía mecánica de este electrón se conserva. 00:09:58
Así que voy a aplicar el principio de conservación de la energía mecánica. 00:10:04
Podría también decir que el trabajo realizado por este campo, el campo que crean estas cuatro cargas, es igual a la variación de la energía cinética. 00:10:08
Pero lo voy a hacer con el principio de conservación de la energía total. 00:10:19
Entonces, para este electrón la energía se conserva. 00:10:23
La energía mecánica se conserva. 00:10:29
Por tanto, la energía mecánica o total, voy a poner una tenue total en el origen, es igual a la energía total en el punto A. 00:10:37
Desarrollando esta energía total, pues diré que es la energía cinética más la energía potencial. 00:10:49
Pues energía cinética en el origen más energía potencial de este electrón en el origen es igual a la energía cinética en el punto A más su energía potencial en el punto A. 00:10:57
Voy a ir desarrollando cada uno de estos términos. 00:11:09
Primero, voy con la energía cinética en el origen. 00:11:13
La energía cinética de este electrón es un medio por su masa por el módulo de la velocidad al cuadrado. 00:11:18
Lo que me da el enunciado es el vector. 00:11:26
Como solo tiene componente I, pues es bastante sencillo obtener su módulo. 00:11:30
Voy a hacer la operación ya. Esto es un medio. 00:11:37
La masa del electrón, la carga de la masa del electrón la tengo aquí, 9,1 por 10 elevado a menos 31. 00:11:40
El módulo de la velocidad es 3 por 10 elevado a 4 y esto elevado al cuadrado. 00:11:47
Y esto es 4.10 elevado a... 00:11:54
Esto. Energía cinética del electrón en el origen. 00:12:01
Y ahora, la energía potencial. 00:12:06
La energía potencial se calcula sumando cada uno de los términos correspondientes a cada una de las cargas. 00:12:08
Es decir, la energía potencial del electrón cuando está aquí es la suma de la energía potencial del electrón 00:12:15
cuando interactúa con Q1, con Q2, con Q3 y con Q4. 00:12:23
Es la suma de cuatro términos. 00:12:31
Entonces, la energía potencial es la suma de cada uno de esos cuatro energías potenciales. 00:12:34
¿Qué será? Lo voy a desarrollar poco a poco. 00:12:45
K por la carga 1, por la carga del electrón, que lo voy a llamar... 00:12:49
Sí, la carga del electrón la voy a llamar Q, partido la distancia de Q1 al origen. 00:12:56
R1 es esto, porque inicialmente estamos en este punto. 00:13:08
Estoy calculando la energía en ese punto, entonces esto es R1. 00:13:16
Energía debido a la interacción del electrón con Q2. 00:13:20
Pues K por Q2, por la carga del electrón, partido R2, siendo R2 esto. 00:13:23
La de Q3, K por Q3, por la carga del electrón, partido R3. 00:13:31
Y la que queda, K por Q4, por la carga del electrón, partido R4. 00:13:39
Q3, digo, R3 es esto y R4 es esto. 00:13:44
Y estas distancias las hemos calculado en el apartado anterior. 00:13:49
R1, R2, R3 y R4 hemos dicho que es raíz de 2 metros. 00:13:54
¿De acuerdo? 00:14:02
Bueno, ¿recomendación en este tipo de problemas? 00:14:03
Sacar factor común, porque hay un montón de operaciones que en sí no son complicadas, 00:14:06
pero pueden ser, despistarse y cometer un despiste creo que puede ser muy fácil. 00:14:12
Entonces lo que voy a hacer es sacar factor común K por la carga del electrón 00:14:22
y en este caso, como todas las distancias son iguales, pues también voy a sacar factor común. 00:14:28
Voy a decir que esto es igual a R. 00:14:36
Entonces, factor común K por la carga del electrón, partido por R, por Q1 más Q2 más Q3 más Q4. 00:14:38
Bueno, pues operando esto no voy a... 00:14:52
Bueno, sí, venga, sí, voy a escribir. 00:14:55
Está dando pereza, pero no, voy a escribir la operación. 00:14:57
Esto es K9 por 10 a la 9. 00:15:01
Q, la carga del electrón. 00:15:07
Y aquí, ojo, la carga del electrón es negativa. 00:15:09
El enunciado nos da el valor absoluto. 00:15:12
Menos 1,6 por 10 a la menos 19. 00:15:14
Aquí puede haber un despiste. 00:15:19
La distancia hemos dicho que es raíz de 2, está R. 00:15:21
Y luego cada una de las cargas. 00:15:26
5 por 10 a la menos 9 más Q2. 00:15:28
5 por 10 a la menos 9 más Q3. 00:15:31
3 por 10 a la menos 9 más Q4, que también es 3 por 10 a la menos 9. 00:15:35
Operando, esto es menos 1,63 por 10 elevado a menos 17 J. 00:15:40
Vale, ya tengo la energía potencial en el origen. 00:15:49
Voy a resaltar esto. 00:15:54
Una energía potencial, una energía cinética. 00:15:59
Ahora lo que tengo que hacer es calcular lo mismo, pero para el punto A. 00:16:04
Ahora el electrón está en el punto A. 00:16:12
Está ahí, punto A. 00:16:16
Pues, ¿cuánto vale la energía cinética en ese punto? 00:16:18
¿Cuánto vale la energía potencial en ese punto? 00:16:21
Vamos con ello. 00:16:24
La energía cinética en el punto A es 1 medio por la masa del electrón. 00:16:25
Que, por cierto, el enunciado dice que es m sub e, pues voy a poner m sub e. 00:16:31
Vale, 1 medio por la masa del electrón por la velocidad, el módulo de la velocidad en el punto A al cuadrado. 00:16:36
Y esto es 1 medio por la masa que es 9,1 por 10 elevado a menos 31 por la velocidad al cuadrado. 00:16:41
Esto es 4,55 por 10 elevado a menos 31, y v sub a es lo que quiero averiguar. 00:16:51
¿De acuerdo? 00:17:00
Aquí ya tenemos la incógnita del apartado. 00:17:01
Esto es lo que quiero determinar, esa velocidad. 00:17:06
Venga, y la energía potencial en el punto A, que como antes será la suma de cuatro términos. 00:17:10
La energía potencial en el punto A será la energía potencial que tiene el electrón debido a su interacción con q sub 1, con q sub 2, con q sub 3 y con q sub 4. 00:17:17
Voy a escribir la expresión como antes. 00:17:27
K por q sub 1 por la carga del electrón partido R1. 00:17:29
Ahora vamos a decir cuando está en el punto A. 00:17:36
Voy a poner una prima. 00:17:38
R1' más K por la carga q sub 2 por la carga del electrón partido R2' más K por q sub 3 por la carga del electrón partido R3' más K por q sub 4 por la carga del electrón partido la distancia. 00:17:40
Y ahora, ¿cuánto vale cada una de estas distancias? 00:18:05
Pues voy a despejar esta imagen de aquí. 00:18:10
Pues ahora vamos a ir con cuidado. 00:18:15
Estamos en este punto. 00:18:17
El electrón está en este punto A. 00:18:20
Vamos a fijarnos, q sub 1 y q sub 2 están a esta distancia del punto A. 00:18:23
Es decir, R1' y R2' son iguales y vale la mitad de este cuadro, es decir, un metro. 00:18:33
Esto es fácil. 00:18:42
Pero q sub 3 y q sub 4 están a la misma distancia del punto A. 00:18:44
Y ahora esa distancia es la hipotenusa de este triángulo que estoy marcando aquí. 00:18:51
Este triángulo rectángulo. 00:18:56
Tengo que determinar esa hipotenusa. 00:18:59
Ese triángulo rectángulo, si es este, esto es R3' y R4', ¿vale? 00:19:02
La distancia de la carga q sub 3 al punto A. 00:19:13
Pero también es la distancia de la carga q sub 4 al punto A porque están a la misma distancia. 00:19:16
Bueno, este cateto es un metro. 00:19:21
Este otro son dos metros. 00:19:24
Por lo tanto, R3' es la raíz de 1 al cuadrado más 2 al cuadrado que es la raíz de 5 metros. 00:19:26
Y R4' también. 00:19:34
¿Vale? 00:19:36
Bueno, pues ya tengo todo y ahora con mucho cuidado tengo que volver a sustituir y volver a calcular. 00:19:38
Ahora, bueno, pues podría sacar factor común pero me da un poco igual. 00:19:43
Porque tendría que hacerlo por separado por dos sitios. 00:19:49
Bueno, da un poco lo mismo, como sea la gana. 00:19:52
Voy a sacar factor común. 00:19:55
Voy a sacar factor común. 00:19:59
Venga, acá. 00:20:02
La carga del electrón. 00:20:06
Y ya está. ¿Vale? 00:20:09
Que será K por la carga del electrón. 00:20:11
Por q sub 1 partido R1' más q sub 2 partido R2' más q sub 3 partido R3' más q sub 4 partido R4'. 00:20:16
Para no extenderme mucho porque esto ya está siendo bastante eterno. 00:20:29
Pongo el resultado. 00:20:37
Esto es menos 1,83 por 10 a la menos 17 julios. 00:20:39
Tendría que expresar la operación, poner los valores, que ya son todos conocidos, y hacer el cálculo. 00:20:47
Esto es menos 1,83 por 10 elevado a menos 17. 00:20:54
Pues ya tengo todo. 00:20:59
Tengo la energía cinética en el origen, la energía potencial en el origen, la energía potencial en A 00:21:01
y la energía cinética en A en función de lo que me pide este apartado, que es la velocidad de A. 00:21:05
Bueno, pues lo que voy a hacer es sustituir y despejar. 00:21:12
Tengo. 00:21:16
Recordemos, energía cinética en el origen. 00:21:17
Hemos dicho que es 4,095... 00:21:21
...a la menos 22. 00:21:27
Energía potencial en el origen. 00:21:29
Menos 1,63 por 10 elevado a menos 17. 00:21:31
Esto es igual a la energía cinética en A. 00:21:36
4,55 por 10 elevado a menos 31 por v sub A al cuadrado. 00:21:48
Y la energía potencial en A es menos 1,83 por 10 elevado a menos 17. 00:21:55
Pues esto es una ecuación de segundo grado, muy facilita. 00:22:00
Me queda el módulo de la velocidad en A. 00:22:04
Operando es la raíz de 4,40 por 10 elevado a 12. 00:22:09
Una raíz tiene dos valores. 00:22:19
Me quedo con la positiva porque es el módulo de la velocidad. 00:22:23
Esta ecuación de segundo grado tiene dos soluciones. 00:22:32
Me quedo con la solución positiva. 00:22:34
Entonces, la velocidad en el punto A es 2,09 por 10 elevado a 6 metros por segundo. 00:22:36
Vamos a ver si pide la velocidad o el módulo de la velocidad en el enunciado. 00:22:46
Dice, calcule el módulo de la velocidad. 00:22:50
Ya estaría hecho. 00:22:52
Un problema bastante largo, pero interesante para practicar. 00:22:55
¡Hasta luego! 00:22:59
Subido por:
Guillermo M.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Sin obra derivada
Visualizaciones:
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Fecha:
14 de noviembre de 2022 - 10:16
Visibilidad:
Público
Centro:
IES SOR JUANA DE LA CRUZ
Duración:
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