Saltar navegación

Activa JavaScript para disfrutar de los vídeos de la Mediateca.

Introducción a la trigonometría II - Contenido educativo

Ajuste de pantalla

El ajuste de pantalla se aprecia al ver el vídeo en pantalla completa. Elige la presentación que más te guste:

Subido el 31 de marzo de 2021 por Rafael O.

144 visualizaciones

Más información Transcripción

Descargar la transcripción

Vamos a explicar la segunda parte del tema, relaciones trigonométricas fundamentales. 00:00:00
Las razones trigonométricas de un ángulo están relacionadas entre sí, es decir, que a partir de una de ellas podemos calcular las otras dos, sin hallar previamente el ángulo. 00:00:07
Esto es interesante porque hay veces que no disponemos de la calculadora para realizar los ejercicios, entonces lo podemos realizar de esta forma. 00:00:17
Vamos a ver simplemente dos de estas relaciones 00:00:24
Que son la primera 00:00:28
Tangente de alfa es igual a seno de alfa partido por coseno de alfa 00:00:30
Vamos a ver de dónde sale esta relación 00:00:35
El seno de alfa partido por coseno de alfa 00:00:37
Seno de alfa es coseno opuesto partido por hipotenusa 00:00:40
Y el coseno de alfa es cateto cognitivo partido por hipotenusa 00:00:42
Si hacemos esta división multiplicando en cruz 00:00:46
Coseno de alfa partido por hipotenusa lo ponemos arriba 00:00:50
hipotenusa por cateto opuesto lo ponemos abajo y la hipotenusa con la hipotenusa se va y nos queda coseno opuesto 00:00:52
partido por coseno contiguo igual a tangente de alfa. 00:00:59
La segunda es la más importante de toda la trigonometría, de hecho recibe el nombre de fórmula fundamental de la trigonometría 00:01:04
y lo que nos dice es que seno cuadrado de alfa más coseno cuadrado de alfa es igual a 1 00:01:11
Sea cual sea el ángulo, siempre el seno cuadrado más el coseno cuadrado es 1. 00:01:18
Vamos a ver la demostración. 00:01:23
A ver, el seno cuadrado de alfa, el seno es cateto opuesto, partido por el cuadro de 1 es a, 00:01:25
y el coseno es cateto contiguo, partido por el cuadro de 1 es a. 00:01:30
Para elevar esto al cuadrado, nos queda el numerador al cuadrado y el denominador al cuadrado, 00:01:33
igual que aquí, numerador al cuadrado, denominador al cuadrado. 00:01:39
Como tienen el mismo denominador, sumamos los numeradores. 00:01:43
cateto opuesto al cuadrado más cateto contiguo al cuadrado. 00:01:48
Que, por el término de Pitágoras, sabemos que la suma de los cuadrados de los catetos es igual a la hipotenusa al cuadrado. 00:01:51
Entonces, hipotenusa al cuadrado, hipotenusa al cuadrado es igual a 1. 00:02:01
Por tanto, ya tenemos demostrado que seno cuadrado de alfa más coseno cuadrado de alfa es igual a 1. 00:02:05
Pues estas son las relaciones trigonométricas fundamentales que vamos a utilizar en algunos ejercicios. 00:02:11
como son los siguientes. 00:02:16
Ejemplo 1, calcular sin hallar previamente el ángulo, el seno y la tangente del ángulo alfa 00:02:20
sabiendo que el coseno de alfa es igual a 0,4. 00:02:26
Para resolver el ejercicio nos vamos a ayudar de las relaciones que hemos visto. 00:02:30
Como nos dan el coseno, vamos a utilizar en primer lugar la fórmula fundamental de la trigonometría, 00:02:34
es decir, seno cuadrado de alfa más coseno cuadrado de alfa igual a 1. 00:02:38
Sustituimos valores, es siempre lo primero que tenemos que hacer. 00:02:44
Como el coseno es 0,4, pues ponemos 0,4 al cuadrado. 00:02:46
Y empezamos a despojar la incógnita. En este caso nuestra incógnita es seno de alfa. 00:02:50
Pues seno cuadrado de alfa es igual a 1 menos 0,4 al cuadrado. 00:02:55
Y empezamos a hacer los cálculos. 00:02:59
0,4 al cuadrado es de 0,16. 00:03:02
1 menos 0,16 es de 0,84. 00:03:04
Y ahora tenemos que quitar el cuadrado hallando la raíz cuadrada del contrario. 00:03:07
Siempre que quitemos un cuadrado tenemos que poner más menos raíz cuadrada. 00:03:12
Como estamos hablando de ángulos agudos nos quedamos con el positivo y por tanto el seno de alfa es 0,916. 00:03:17
Ya tenemos el seno y el coseno, por tanto ya podemos usar la otra relación, tangente de alfa igual a seno de alfa partido por coseno de alfa. 00:03:27
Sustituimos los valores y tenemos que tangente de alfa es igual a 0,916 entre 0,4 igual a 2,29. 00:03:37
Y por tanto, la solución es que si el coseno vale 0,4, el seno vale 0,916 y la tangente 2,29. 00:03:45
Pasamos al ejemplo 2. 00:03:55
En este caso, tenemos que calcular, sin hallar previamente el ángulo, el coseno y la tangente del ángulo alfa, 00:03:57
sabiendo que el seno de alfa es igual a 2 séptimos. 00:04:04
En este caso nos dan el seno y nos lo dan en forma de fracción. 00:04:07
Vamos a hacer un poquito diferente. 00:04:10
Entonces, como nos dan el seno, utilizamos la fórmula fundamental de la trigonometría. 00:04:13
Seno cuadrado alfa más coseno cuadrado alfa igual a 1. 00:04:19
Sustituimos valores como antes. 00:04:22
Dos séptimos al cuadrado más coseno cuadrado alfa igual a 1. 00:04:24
Y despejamos la incógnita, que en este caso es coseno cuadrado alfa. 00:04:28
Pasamos al otro lado. 00:04:32
La diferencia con el ejercicio anterior es que aquí vamos a trabajar operando con fracciones. 00:04:33
Entonces, 2 séptimos al cuadrado, 2 al cuadrado es 4, 7 al cuadrado es 49, tenemos 1 menos 4 por el partido de 49 00:04:39
Hacemos esa cuenta y nos queda saber que coseno al cuadrado de alfa es 45 partido por 49 00:04:47
Quitamos el cuadrado hallando la raíz como antes, más menos la raíz del cuadrado de 45 partido por 49 00:04:53
Que nos quedamos con la positiva y nos queda coseno al cuadrado de alfa igual a raíz de 45 partido por 7 00:05:01
Porque la raíz de 45 partido por 49 es lo mismo que raíz de 45 partido de raíz de 49. 00:05:08
Como raíz de 45 no es exacta, lo dejamos como está. 00:05:15
La raíz de 49 es 7. 00:05:19
Ya tenemos los valores del seno y el coseno. 00:05:23
Por tanto, usamos la otra. 00:05:26
Tangente igual a seno partido por coseno. 00:05:28
Sustituimos los valores y en este caso tenemos tangente de alfa igual a 2 séptimos entre raíz de 45 partido por 7, que es lo que vale el coseno. 00:05:31
Multiplicamos, para dividir multiplicamos en cruz, 2 por 7 y 7 por raíz de 45, el 7 se enoja con el 7 y nos queda 2 raíz de 45. 00:05:39
Recordamos que la raíz no puede estar en el denominador, por tanto tenemos que la radicalizar. 00:05:50
Para ello multiplicamos arriba y abajo por raíz de 45 y nos queda la raíz de 45 pasaría arriba y abajo nos quedaría el 45 sin la raíz. 00:05:56
Por tanto, la solución es que si el seno vale 2 séptimos, el coseno vale raíz de 45 partido por 7 y la tangente 2 raíz de 45 partido por 45. 00:06:04
Vamos a hacer un tercer ejemplo. 00:06:18
En este caso, ya hemos calculado cuando nos dan el coseno y el seno, vamos a calcular la tangente. 00:06:20
En este caso es distinto porque no sabemos de ninguna fórmula, todavía no sabemos de ninguna fórmula que nos relacione la tangente con otra razón trigonométrica. 00:06:27
Por tanto, vamos a tener que resolver un sistema no lineal con las dos relaciones fundamentales. 00:06:37
Es decir, con tangente de alfa igual a seno de alfa al partido por coseno de alfa 00:06:43
y con seno cuadrado de alfa más coseno cuadrado de alfa igual a 1. 00:06:47
Sustituimos valores y tenemos el siguiente sistema. 00:06:52
La tangente de alfa es 1,21, entonces 1,21 es igual a seno de alfa, coseno de alfa 00:06:56
y seno cuadrado de alfa, coseno cuadrado de alfa igual a 1. 00:07:00
Vamos a ver cómo está. 00:07:02
entonces vamos a usar el método de sustitución 00:07:04
es decir, despejamos en una ecuación y sustituimos en la otra 00:07:07
vamos a despejar en la ecuación de arriba 00:07:11
seno de alfa, que es la más fácil de despejar 00:07:14
para que el coseno pase multiplicando 00:07:18
y nos queda que el seno de alfa es igual a 1,21 por coseno de alfa 00:07:19
sustituimos en la de abajo 00:07:23
y nos queda 1,21 por coseno de alfa al cuadrado 00:07:26
más coseno cuadrado de alfa es igual a 1 00:07:29
Vamos a continuar quitando los cuadrados 00:07:31
Entonces 1,21 al cuadrado es 1,4641 00:07:36
Y coseno al cuadrado es coseno al cuadrado más coseno al cuadrado de alfa 00:07:41
Sumamos los cosenos cuadrados 00:07:45
Nos queda 1,4 al ciento más 1 00:07:47
2,4641 00:07:50
Coseno al cuadrado de alfa 00:07:52
Ahora el coseno, lo despejamos el coseno 00:07:54
El número que está multiplicando pasa dividiendo 00:07:57
que nos sale 0,4058 aproximadamente, con esta aproximación ya nos saldría algo bastante que se ajusta a la realidad 00:07:59
entonces tomando la raíz positiva como siempre coseno de alfa es igual a raíz de 0,4058 que es igual a 0,637 00:08:11
Como ya tenemos cuánto vale el coseno, lo sustituimos en nuestra fórmula del principio, seno de alfa igual a 1,21 por coseno de alfa, 00:08:23
y nos queda que seno de alfa es 1,21 por 0,637, que es 0,77, 0,77. 00:08:33
Por tanto, nuestra solución es, si la tangente vale 1,21, el coseno vale 0,637 y el seno 0,77, 0,77. 00:08:40
Espero que con estos ejemplos queden las cosas un poquito más claras 00:08:49
Autor/es:
Rafael Oliver Fernández
Subido por:
Rafael O.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial
Visualizaciones:
144
Fecha:
31 de marzo de 2021 - 11:55
Visibilidad:
Público
Centro:
IES LAS AMÉRICAS
Duración:
08′ 56″
Relación de aspecto:
1.83:1
Resolución:
3158x1728 píxeles
Tamaño:
36.64 MBytes

Del mismo autor…

Ver más del mismo autor

EducaMadrid, Plataforma Educativa de la Comunidad de Madrid

Plataforma Educativa EducaMadrid