Activa JavaScript para disfrutar de los vídeos de la Mediateca.
EvAU Matemáticas II 2017 Junio coincidentes A 2 Geometría - Contenido educativo
Ajuste de pantallaEl ajuste de pantalla se aprecia al ver el vídeo en pantalla completa. Elige la presentación que más te guste:
Hoy vamos a resolver un ejercicio de la EVAO de Madrid de la convocatoria del año 2017,
00:00:03
el junio coincidentes, el examen A, el ejercicio 2, el ejercicio de geometría.
00:00:10
Dada la recta en forma continua x-1 igual a y igual a z,
00:00:20
nos piden hallar la ecuación de una recta R' con dirección perpendicular a R,
00:00:27
es decir, que los vectores de R y de R' sean perpendiculares,
00:00:33
lo que podremos comprobar con que el producto escalar, por ejemplo, sea cero.
00:00:37
Que esté contenida en el plano OXY, el plano Z igual a cero,
00:00:42
y que pase por el punto 1, 2, 0.
00:00:48
Lo primero que vamos a hacer es pintar la recta R,
00:00:51
que pasa por el punto 1, 0, 0 y tiene el vector director 1, 1, 1.
00:00:53
Ahí la tenemos.
00:00:59
Y ahora haremos el plano x, y y el punto 1, 2, 0.
00:01:03
El plano x, y, que es z igual a 0, y evidentemente el punto 1, 2, 0 tiene la coordenada z, 0.
00:01:11
Pues queremos que la recta esté contenida ahí.
00:01:21
¿De acuerdo? Pues para hacerlo es bastante sencillo.
00:01:24
Lo que nosotros vamos a hacer es calcular el plano rojo, que es perpendicular, porque si la dirección de la recta tiene que ser perpendicular a la recta azul, pues tiene que estar en el plano rojo, que es el plano perpendicular.
00:01:30
Y como tiene que estar contenida en el plano Z igual a cero, en el plano XY, pues la intersección será...
00:01:52
Fijaros que hemos hecho que el plano pase por el punto 1, 2, 0.
00:02:08
Vamos a ver cómo lo hemos hecho esto.
00:02:14
Pues simplemente, en la forma normal de la recta, hemos puesto de coeficientes el vector 1, 1, 1, que son los coeficientes del vector director de la recta, y hemos hecho que pase por el punto 1, 2, 0, que es el punto que nos daban.
00:02:16
Lo efectuamos y nos dice que el plano que buscábamos es x más y más z menos 3 igual a 0
00:02:38
Lo he pintado y es el plano rojo
00:02:45
La recta que buscamos para el apartado A es la intersección del plano rojo y el plano verde
00:02:48
La manera de hacerlo, de calcularla, aquí la tenemos
00:02:55
Como veis es perpendicular a la recta azul
00:03:01
y está en el plano x y
00:03:07
la manera de hacerlo es calcular su vector director
00:03:10
que lo haremos con el producto vectorial del 0, 0, 1
00:03:13
que es el vector
00:03:17
que está
00:03:22
en el
00:03:26
perdón, que es el vector normal al plano
00:03:28
o x y, z igual a 0
00:03:33
vector 0, 0, 1
00:03:36
y el vector normal
00:03:38
al plano que acabamos de calcular
00:03:41
que es a su vez el vector director
00:03:43
de la recta, tenemos ese producto
00:03:45
vectorial, nos da menos i más j
00:03:47
así que el vector
00:03:49
director de la recta roja
00:03:51
que buscábamos es el
00:03:52
menos 1, 0
00:03:55
perdón, menos 1, 1, 0
00:03:57
menos 1, 1, 0
00:03:59
pues con ese vector y el
00:04:01
punto z, tenemos la
00:04:03
recta reprima. Punto 1, 2, 0. Vector menos 1, 1, 0. Esa es la recta reprima. Y esa es
00:04:05
la respuesta al apartado A. Vamos con el apartado B que dice hallar un plano inclinado, perdón,
00:04:13
un plano perpendicular a OXY que contenga a la recta R. Aquí le tenemos. Es un plano
00:04:22
perpendicular al OXY, a Z igual a cero, y como vemos, perfectamente contiene a la recta azul, a la recta R.
00:04:30
¿Cómo se halla ese plano? Pues como siempre, ecuación de un plano, lo que hacemos es hallar, igualar el determinante a cero
00:04:41
de tres vectores. La primera línea tiene x, y, z menos las coordenadas de un punto
00:04:50
de la recta, es decir, el 1, 0, 0. La segunda línea tiene el vector 0, 0, 1, que es el
00:04:59
normal al plano verde, porque nos dicen que queremos que el plano sea perpendicular, así
00:05:09
Así que un vector director del plano tiene que ser el perpendicular a Z igual a cero.
00:05:16
Y por último el 1, 1, 1 porque tiene que incluir a la recta R.
00:05:22
Pues hacemos ese determinante, lo igualamos a cero y nos queda el plano azul que tiene de coordenadas menos X más Y más 1 igual a cero.
00:05:26
Y ese es el plano que buscábamos para tener un punto en el ejercicio B.
00:05:36
Y por último, vamos a hacer el ejercicio C, que dice calcular la distancia del origen de coordenadas a la recta R.
00:05:43
La distancia de un punto a una recta la calcularemos mediante esta fórmula.
00:05:51
Módulo del producto vectorial de OP por U dividido por el módulo de U.
00:05:57
Es decir, área del paralelogramo formado por el punto y la recta y el módulo del vector director de la recta.
00:06:03
Bueno, pues el producto vectorial que tenemos que hacer es con el 1, 0, 0 que es OP porque es 1, 0, 0 un punto P de R y el punto O que me dan que es el 0, 0, 0.
00:06:15
y el vector de la recta, que es el 1, 1, 1.
00:06:33
Hacemos este producto vectorial, nos queda menos j más k,
00:06:37
que es el módulo de esto, es el área del paralelogramo, raíz de 2,
00:06:41
la longitud del vector u es raíz de 3, esto es raíz de 2, esto es raíz de 3,
00:06:49
lo dividimos, nos da un tercio de raíz de 6, racionalizado,
00:06:55
y en decimal 0,82, que lo podemos comprobar con que le hemos preguntado aquí la distancia a GeoGebra
00:07:01
y nos ha dicho que es 0,82, lo cual nos garantiza que este resultado evidentemente está bien.
00:07:09
- Materias:
- Matemáticas
- Niveles educativos:
- ▼ Mostrar / ocultar niveles
- Bachillerato
- Segundo Curso
- Autor/es:
- Pablo J. Triviño Rodríguez
- Subido por:
- Pablo Jesus T.
- Licencia:
- Reconocimiento - No comercial - Sin obra derivada
- Visualizaciones:
- 319
- Fecha:
- 14 de marzo de 2018 - 22:19
- Visibilidad:
- Público
- Centro:
- IES CARMEN CONDE
- Duración:
- 07′ 19″
- Relación de aspecto:
- 1.78:1
- Resolución:
- 1920x1080 píxeles
- Tamaño:
- 27.36 MBytes
