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Posición relativa de recta y plano en el espacio - Contenido educativo
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Se describen las posiciones relativas que pueden darse entre un plano y una recta, desde un punto de vista analítico y vectorial. También se resuelve un ejemplo.
En este vídeo vamos a analizar la posición relativa de una recta y un plano en el espacio.
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Como nos dice la intuición geométrica, una recta y un plano pueden ser paralelos si no se cortan,
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pueden ser secantes si su intersección es un punto o la recta puede estar contenida en el plano.
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Recordemos que tenemos dos familias de ecuaciones para un plano y una recta.
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Para el plano podemos considerar por un lado las ecuaciones que se expresan en función de sus vectores directores,
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que son las ecuaciones paramétrica o vectorial y por otro la ecuación cartesiana. Esta es
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útil por ejemplo cuando conocemos el vector normal al plano ABC pues A, B y C son los
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coeficientes de las incógnitas de la ecuación. Por otro lado las ecuaciones de la recta vectorial
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y paramétrica hacen uso del vector director y del punto posición mientras que las ecuaciones
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cartesianas y sus análogas describen la recta como intersección de dos planos y se pueden
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calcular fácilmente a partir de un punto y un vector. Si juntamos en un sistema las
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ecuaciones cartesianas de un plano y una recta, tendremos un sistema de tres ecuaciones con
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tres incógnitas, mientras que si hacemos un estudio vectorial de la situación, tendremos
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que analizar el rango de la matriz formada por tres vectores directores, dos del plano
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y uno de la recta, y luego añadir un cuarto vector, el resultado de unir los puntos posición
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de recta y plano. Analizando los rangos de estas dos matrices tendremos que si el rango
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de la matriz de vectores directores es 3, entonces el vector de la recta es independiente
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de los del plano y por tanto la recta y el plano son secantes. Si el rango de matriz
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de vectores directores es 2, la recta es paralela o está contenida en el plano. Y la clave
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es analizar el vector PQ. Si este vector está dentro del plano, la recta también. Esto
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se produce cuando el rango de la matriz de los cuatro vectores es 2. Si el rango de esta matriz
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es, sin embargo, 3, la recta no puede estar contenida en el plano y, por lo tanto, es paralela
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a este. Pasemos a analizar la situación desde un punto de vista de sistemas de ecuaciones. Como
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habíamos comentado, tenemos un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas. Y utilizamos
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ahora el teorema de Roche-Frobenius. Si el rango de la matriz de coeficientes coincide con el de
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la ampliada y ambos valen 3, el sistema es compatible determinado. Esto es, la recta corta
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el plano en un punto. Si el rango de la matriz de coeficientes coincide con el de la ampliada y
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ambos rangos valen 2, el sistema es compatible indeterminado. Esto es, la recta está dentro del
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plano, está contenida en este. Y por último, si el rango de la matriz de coeficientes es 2 y el de
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la ampliada es 3, el sistema es incompatible y la recta y el plano son paralelos, no se cortan.
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Vamos a practicar este análisis con un ejemplo.
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Bueno, pues vamos a calcular la posición relativa de esta recta R y de este plano pi.
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La recta R viene dada en ecuación continua, es decir, la recta que pasa por un punto 1, menos 2, 2, en este caso 1, 2, 0,
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y tiene por vector director el vector 2, menos 1, 2, y el plano pi que está dado en forma continua.
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¿Qué hacemos? Pues lo primero de todo es pasar las dos ecuaciones de la recta, simplificarlas, es decir, vamos a escribir la recta en forma de intersección de dos planos.
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Para ello tenemos que simplificar estas dos ecuaciones. Simplificándolas obtendremos... ¿y la otra?
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Bien, esta es la recta R, dada en forma de intersección de dos planos. Añadimos el tercer plano, que es el plano que nos dan el plano pi.
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Y con estos tres objetos lo que tengo es un sistema 3x3, tres ecuaciones, tres incógnitas.
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¿Qué voy a hacer? Intentar resolverlo.
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Para ello escribo la matriz de coeficientes y la ampliada, que son estas.
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Esta es la matriz a barra y esta es la matriz de coeficientes.
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Voy a calcular primero el rango de A.
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Para ello, determinante. 2, 0, 2, 0, menos 4, menos 0, igual a 0. Ha dado 0. ¿Eso qué significa? Que como claramente hay un menor no nulo, ¿qué menor es este? Pues este de aquí.
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El de la X y la Y y las dos primeras ecuaciones.
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Significa que el rango de la matriz A va a ser 2.
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Vamos a ver ahora el rango de la matriz ampliada.
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Para ello cogemos el determinante no nulo que hemos obtenido.
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Completamos esas columnas y añadimos la cuarta columna, digamos, la columna de términos independientes
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para ver si el rango de A barra crece o no.
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Entonces, calculando tendremos, y eso claramente es distinto de cero, lo que significa que el rango de la matriz A barra es igual a 3 y por lo tanto el sistema es incompatible por el teorema de Roche-Frobenius.
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Eso significa que la recta R y el plano pino se cortan, es decir, son paralelos.
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Y ya está.
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- Materias:
- Matemáticas
- Niveles educativos:
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- Bachillerato
- Segundo Curso
- Autor/es:
- Manuel Domínguez Romero
- Subido por:
- Manuel D.
- Licencia:
- Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
- Visualizaciones:
- 253
- Fecha:
- 31 de octubre de 2018 - 7:22
- Visibilidad:
- Público
- Centro:
- IES RAMON Y CAJAL
- Duración:
- 06′ 30″
- Relación de aspecto:
- 1.78:1
- Resolución:
- 1920x1080 píxeles
- Tamaño:
- 79.61 MBytes
