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Subido el 29 de noviembre de 2013 por Joan A.

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En este ejercicio número 3, siguiendo la resolución de este conjunto de ejercicios, nos dicen que en una caja hay tres bolas negras y cuatro bolas que son de color blanco. 00:00:07
Extraemos al azar dos bolas a la vez. 00:00:28
En el caso de que las dos bolas sean del mismo color, se obtienen tres puntos. 00:00:33
Y en el caso de que las bolas sean de distinto color, en caso contrario, se obtienen menos 1,5 puntos. 00:00:42
Se nos pide que calculemos la esperanza matemática de la ganancia de puntos. 00:00:52
Este es un problema de cálculo de probabilidades con el añadido del cálculo de la experiencia matemática 00:00:58
que es una media ponderada con los pesos de las probabilidades 00:01:05
Para resolverlo vamos a pasar a la página siguiente 00:01:11
donde vamos a hacer un diagrama de árbol de probabilidades 00:01:16
donde en el primer nivel del árbol, es un árbol binario, vamos a representar los posibles resultados de lo que podríamos llamar primera extracción de la bola. 00:01:24
Y en el segundo nivel los resultados de la segunda extracción de la bola. 00:01:42
Cabe decir que el hecho de sacar dos bolas a la vez, o sea, la extracción de dos bolas a la vez, 00:01:48
es equivalente a pensar que extraemos una bola, primero miramos el resultado, 00:01:55
y en lugar de devolverla a la caja, la apartamos. 00:02:02
Luego revolvemos bien la caja y extraemos la segunda bola. 00:02:06
Es decir, son dos extracciones sucesivas sin reemplazar la primera bola que sacamos. 00:02:09
Son dos experiencias dependientes. El resultado de la segunda depende del resultado de la primera. 00:02:17
El espacio de probabilidad se va a modificar de la primera extracción a la segunda. 00:02:26
Puede pasar que saquemos una bola blanca en la primera extracción o una bola negra. 00:02:33
La probabilidad de sacar una bola blanca, como hay cuatro bolas blancas y tres bolas negras, la probabilidad de sacar una bola blanca es de siete en total, la regla de Laplace, pues cuatro, cuatro bolas blancas. 00:02:40
Luego, la de sacar una bola negra es el suceso contrario, es tres séptimos. 00:03:01
Bien, si en el supuesto de que haya salido una bola blanca en la primera extracción, en la segunda, ya solo quedan 6 bolas en la caja. 00:03:07
De esas 6, como hemos sacado ya una bola blanca, nos quedan solo 3 para sacar. 00:03:19
Luego, al principio de la plaza, otra vez lo aplicamos, nos queda 3, que la probabilidad en ese caso es 3 sextos. 00:03:25
y la probabilidad de que salga una bola negra 00:03:32
habiendo salido blanca la primera 00:03:37
pues era otra vez 3 sextos 00:03:39
el suceso contrario al que primero hemos comentado 00:03:43
en el caso de que hayamos sacado una bola negra 00:03:47
en la primera extracción 00:03:51
quedan también 6 bolas en la caja 00:03:53
y de esas 6 nos quedarán 4 de color negro 00:03:56
Cuatro de color blanco, perdón. Por lo tanto, la probabilidad de sacar blanca en la segunda extracción es cuatro sextos. 00:04:01
Y la de sacar negra en la segunda extracción, pues era dos sextos. 00:04:09
Una manera de representar esto de forma simbólica es la siguiente. 00:04:16
Vamos a ver. Primero vamos a recoger los frutos del árbol. 00:04:24
Esto es blanca la primera, blanca la segunda, blanca la primera, negra la segunda, negra la primera y blanca la segunda, negra la primera, negra la segunda. 00:04:29
Una forma de decir esto es también blanca la primera y blanca la segunda, con el lenguaje simbólico, asociando los sucesos a los subconjuntos del álgebra de sucesos. 00:04:48
Blanca la primera y negra la segunda. Negra la primera y blanca la segunda. Es una forma de expresarlo. Negra la primera y negra la segunda. 00:05:05
Bueno, pues ¿esto a qué será igual? 00:05:21
Por el principio de multiplicación de los factores de probabilidad, siguiendo las ramas del árbol, 00:05:23
seguiendo esta rama, vemos que esto es 4 séptimos por 3 sextos. 00:05:34
4 séptimos por 3 sextos. Lo podríamos poner directamente. 00:05:40
4 séptimos por 3 sextos. ¿Qué significa esto? 00:05:44
De acuerdo con la probabilidad condicionada, esto es la probabilidad de sacar bola blanca en la primera extracción por la probabilidad que, habiendo sacado bola blanca en la primera extracción, salga también blanca en la segunda. 00:05:48
Esto es 4 séptimos por 3 sextos. 00:06:08
bien, pues si ahora 00:06:13
vamos siguiendo 00:06:16
esto nos interesa 00:06:18
porque son las dos del mismo color 00:06:20
la otra que nos interesa es 00:06:21
es aquí 00:06:23
perdón, es que aquí me falta poner 00:06:25
la probabilidad 00:06:28
¿verdad? 00:06:30
falta poner la probabilidad 00:06:32
probabilidad de eso 00:06:34
vale, aquí igual 00:06:38
probabilidad de eso 00:06:40
me he dejado de poner 00:06:42
las probabilidades, y ahí obtenemos la probabilidad de eso 00:06:46
y la probabilidad de esto otro. Aquí, ¿qué tenemos? 00:06:54
Pues esto es la probabilidad que sea negra la primera 00:06:59
por la probabilidad que siendo negra la primera 00:07:02
obtengamos también negra la segunda. Pues siguiendo 00:07:06
este camino, y multiplicando los coeficientes de probabilidad 00:07:10
tenemos tres séptimos por dos sextos 00:07:14
voy a marcarlo con un color 00:07:18
para que nadie se pierda 00:07:24
y el otro también lo voy a marcar con este color 00:07:27
para que nadie se pierda 00:07:31
bueno, entonces 00:07:33
si resolvemos, bueno, si acabamos de calcular 00:07:36
lo que da eso, vemos que 00:07:41
3 partido por 6 es un medio 00:07:44
medio, 4 partido por 2 será 2 00:07:46
Esto nos queda dos séptimos. 00:07:50
Y esto nos quedará igual a tres por dos es seis, al dividir por seis nos queda un séptimo. 00:07:57
Dos séptimos, probabilidad de que las dos sean blancas, y un séptimo es la probabilidad de que las dos sean negras. 00:08:07
Entonces, voy a pasar a la página siguiente. Podemos decir que la probabilidad que las dos bolas sean del mismo color, o apunto así entre comillas este suceso compuesto, 00:08:15
pues es la probabilidad de obtener blanca la primera y blanca la segunda, o bien la probabilidad de obtener negra la primera y negra la segunda. 00:08:38
Como estos dos sucesos son incompatibles, su intersección es nula 00:08:56
Pues esto será igual a la probabilidad, lo escribo formalmente antes de operar 00:09:05
Podríamos ya directamente operar, pero lo escribo formalmente porque me parece de un interés didáctico también 00:09:11
Más la probabilidad de obtener negra la primera y negra la segunda 00:09:18
Es decir, esto es como antes ya hemos visto, que esto es la probabilidad de obtener blanca a la primera, por la probabilidad de, habiendo obtenido blanca a la primera, obtener blanca a la segunda, más la probabilidad de obtener negra a la primera. 00:09:26
por la probabilidad de obtener, habiendo obtenido negra la primera 00:09:42
obtener negra la segunda, esto ya hemos visto que es igual 00:09:47
voy a mirar lo que no me acuerdo 00:09:51
esto es dos séptimos y un séptimo, ¿verdad? 00:09:54
esto es dos séptimos y esto es un séptimo 00:09:57
esto es lo que habíamos marcado para que nadie se pierda 00:10:00
de color amarillo, dos séptimos 00:10:05
Y esto es lo que habíamos subrayado de color rosa. 00:10:07
Bueno, pues, naturalmente, dos séptimos más un séptimo son tres séptimos. 00:10:14
Esta es la probabilidad de obtener las dos bolas del mismo color. 00:10:22
Las dos bolas del mismo color, tres séptimos. 00:10:28
Entonces, la probabilidad de obtener el suceso contrario, 00:10:35
Suceso contrario. Las dos bolas de distinto color, las bolas de distinto color, las dos bolas, las dos bolas de distinto color, pues es el suceso contrario del primero. 00:10:38
Como es tres séptimos, la probabilidad de obtener las dos bolas de colores diferentes es cuatro séptimos. 00:11:01
séptimos. Voy a marcarlo en color azul. Bueno, pues ahora vamos a pasar otra vez de pantalla 00:11:07
y nos ponemos a calcular ya la esperanza matemática. La esperanza matemática de este juego son 00:11:21
Estos más dos puntos que obtenemos en el caso de que las dos bolas sean del mismo color, cuya probabilidad es tres séptimos, fijaros que es simplemente una media ponderada, más menos 1,5 por la probabilidad de que las dos bolas sean de distinto color, 00:11:32
Por la probabilidad de que sean de distinto color, digo, 4 séptimos. Haciendo este cálculo nos queda 3 por 2 es 6, 6 séptimos, menos, más por menos será menos, 1,5 lo podemos poner como 3 medios por 4 séptimos. 00:11:56
Como esto es 14, 7 por 2 es 14 00:12:19
Nos queda 6 séptimos menos 12 partido por 14 00:12:24
Y reduciendo a común denominador 00:12:29
6 séptimos es lo mismo que 12 catorceavos 00:12:33
Es decir, 12 catorceavos menos 12 catorceavos 00:12:36
Nos queda esperanza matemática igual a cero 00:12:40
Nos dice esto que este juego está equilibrado 00:12:43
porque no hay ventaja para nadie, y aquí termina el ejercicio. 00:12:47
Valoración:
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Idioma/s:
es
Etiquetas:
EducaMadrid
Autor/es:
Joan Aranes Clua
Subido por:
Joan A.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
92
Fecha:
29 de noviembre de 2013 - 20:46
Visibilidad:
Público
Centro:
IES MIGUEL DELIBES
Descripción ampliada:
Esperanza Matemática. Probabilidad.
Duración:
12′ 53″
Relación de aspecto:
4:3 Hasta 2009 fue el estándar utilizado en la televisión PAL; muchas pantallas de ordenador y televisores usan este estándar, erróneamente llamado cuadrado, cuando en la realidad es rectangular o wide.
Resolución:
954x720 píxeles
Tamaño:
21.52 MBytes

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