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Fracciones algebraicas - Contenido educativo

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Subido el 10 de marzo de 2021 por Andrés B.

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Ejemplo de simplificación de fracciones algebraicas mediante la factorización de los polinomios del numerador y denominador.

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Bueno, vamos a ver ahora una aplicación de lo que hemos visto de las actualizaciones de polinomios, que son las fracciones algebraicas, la simplificación de fracciones algebraicas. 00:00:00
Entonces, una fracción algebraica es una fracción que tiene algún polinomio en el numerador y en el denominador, ¿vale? 00:00:10
Entonces, vamos a ver un ejemplo para que veáis, para que se vea lo que hemos visto. 00:00:20
Entonces, por ejemplo, una fracción algebraica podría ser esta de aquí, x por x más 1 partido x más 1 al cuadrado por x menos 1. 00:00:25
Entonces, bueno, igual alguno ya se ha dado cuenta que en el numerador y en el denominador tenemos algunos factores en común. 00:00:39
¿Vale? En el numerador, si os fijáis, aquí tenemos x más 1, en el denominador aquí tenemos x más 1 al cuadrado. ¿Vale? De manera que hay un factor x más 1 que está repetido. 00:00:47
Está tanto arriba como abajo, en el numerador y en el denominador. Y lo mismo que cuando simplificábamos fracciones, por ejemplo, cuando simplificábamos 6 novenos, 00:01:00
lo que hacemos, aunque ya lo hacemos 00:01:11
muy intuitivamente y lo hacemos muy rápido 00:01:14
os recuerdo que lo que hacemos es 00:01:15
factorizamos 00:01:18
numerador y denominador 00:01:20
y vemos que tiene factores comunes 00:01:21
veríamos que por ejemplo 00:01:24
tenemos aquí 3 y aquí tenemos 3 al cuadrado 00:01:25
es decir 3 por 3, con lo cual 00:01:28
este 3 se puede ir con uno de los 3 que hay aquí 00:01:29
de manera que cacharía esto 00:01:32
me queda 2 tercios 00:01:34
¿no? pues es lo mismo 00:01:36
que tengo que aplicar aquí 00:01:38
lo mismo que he hecho ahí es lo que tengo que aplicar ahí 00:01:39
entonces 00:01:42
voy a coger 00:01:43
vale, entonces 00:01:45
vamos a hacer 00:01:48
eso aquí, de manera que 00:01:50
si os fijáis, voy a poner el paso 00:01:52
uy, no sé que estoy haciendo 00:01:53
perdona, no sé que estoy haciendo 00:01:55
voy a hacer el paso intermedio 00:01:58
para que lo veáis más claro 00:01:59
el paso intermedio sería 00:02:02
x por x más 1 00:02:04
x más 1, aunque bueno no hace falta, es para que lo veáis más claro 00:02:06
por x más 1 por x menos 1, esto abajo en el ejemplo con números no lo he puesto 00:02:11
pero es para que lo veáis, como veis este x más 1 se puede ir 00:02:16
con este x más 1, ¿vale? eso es a lo que me refiero 00:02:20
entonces nos queda aquí abajo un x más 1 y una x 00:02:23
pues x y aquí x más 1 00:02:27
y x menos 1, entonces hemos simplificado 00:02:31
la fracción algebraica, ¿vale? El resultado sería esto. Incluso podemos, igual que aquí, 00:02:35
en una fracción, vamos a poner otro ejemplo con una fracción para contarse una cosa. 00:02:45
Por ejemplo, si yo digo 12 partido por 48. En 12 partido por 48, 12 son 4 por 3, es decir, 00:02:49
2 al cuadrado por 3, y 48 es, vamos a ver, sería 2 al cuadrado, bueno, vamos a factorizar 00:03:04
para no tardar, 48 entre 2, 24, entre 2, 12, entre 2, 6, entre 2, 3, entre 3, 1, vale, 00:03:20
48 sería 2 a la cuarta, que son 16, por 3, claro, 16 por 3 son 48, vale, entonces en 00:03:30
este caso, por ejemplo, ¿qué decíamos? Pues lo que podíamos hacer era decir, como 00:03:44
tengo aquí 2 al cuadrado y aquí 2 a la cuarta, me queda abajo 2 al cuadrado, en el numerador, 00:03:48
¿vale? El 3 que está arriba y abajo se me va, este 2 a la cuarta se va porque hemos 00:03:53
los trabajos al cuadrado entonces me queda sencillamente 1 partido 2 al cuadrado y claro 00:04:00
cuando hacéis esto en una fracción de números vale no lo dejáis aquí así no dejáis las potencias 00:04:06
directamente ponéis un cuarto o sea 12 partido 48 es lo mismo que un cuarto vale lo dejáis así 00:04:16
Pues aquí, voy a borrar esto para que no nos estorbe, ahora que lo habéis entendido ya esto, pues aquí hacemos lo mismo, quiero decir, podemos dejar el resultado así, no pasa nada, de hecho es más cómodo para ver dónde se anula el denominador, por ejemplo, que puede ser una cosa muy interesante. 00:04:22
cuando estudiamos funciones esto tiene ciertas aplicaciones que ya veremos, pero podemos también expresar esto resolviendo este producto, 00:04:41
que como veis, como suma por diferencia, me quedaría x cuadrado menos 1, ¿vale? 00:04:52
Entonces cualquiera de las dos formas está simplificada, quizás esté más simplificada la segunda, ¿vale? 00:04:56
Igual que cuando tenemos en las fracciones numéricas una potencia del denominador, os digo que la resolváis, pues aquí lo mismo, ¿vale? 00:05:03
Queda más simple así, pero es verdad que esta otra forma puede ser útil, por ejemplo, para ver cuando se anula el denominador, que como sabéis, el denominador no puede ser 0 porque sería un divisor 0 y ya sabéis que no se puede dividir entre 0. 00:05:14
Entonces, por ejemplo, para eso podría ser útil, ¿vale? 00:05:30
Bueno, pues esto es un ejemplo en el que ya tenemos factorizado el numerador y el denominador, 00:05:34
pero la gracia de estos ejercicios es que nos lo den sin factorizar, por ejemplo. 00:05:40
Vamos a hacer un ejercicio B. 00:05:45
El ejercicio B sería este polinomio de aquí, x cubo más 3x cuadrado menos x menos 3 partido x cubo más 4x cuadrado más 3x, ¿vale? 00:05:46
Voy a dejar más hueco, así, vale, perfecto. Bueno, pues en este caso, claro, ¿cómo puedo yo simplificar esta fracción? Pues no me queda más remedio que primero factorizar, ¿vale? 00:06:07
De vez que vea los factores que tiene, pues ya veré cuál se puede simplificar y cuál no. Entonces lo primero que toca hacer es factorizar el numerador y factorizar el denominador. 00:06:20
Entonces, por ejemplo, empiezo con el numerador. Vamos a factorizar el numerador. Como veis, es un polinomio de grado 3. Ya está ordenado y está completo. Las posibles raíces del numerador serían los divisores de 3. 00:06:29
Entonces serían más menos 1 y más menos 3, porque 3 es número primo, así que solamente 1 y sí mismo. 00:06:46
Entonces, pues nada, probamos con el 1 para empezar. 00:06:54
Entonces pongo aquí 1 y aquí pongo el polinomio 1, 3, menos 1, menos 3. 00:06:58
De momento solamente estoy con el numerador, ¿vale? Ya veremos luego el denominador. 00:07:03
1 por menos 1, 3 más 1 es 4, 4 por 1 es 4, menos 1 más 4 son 3, 3 por 1 son 3, 00:07:07
menos 3 más 3 son 0. Entonces ya he factorizado la primera parte, que sería x cubo más 3x cuadrado menos x menos 3 es igual a x menos 1, os recuerdo, por x cuadrado más 4x más 3. 00:07:15
Ahora podría volver a hacer Ruffini, ya sabéis que algunos lo hacéis que me seguís por aquí poniendo el siguiente Ruffini y me los encadenáis, pero como ya tengo un polinomio de segundo grado me resulta más interesante y tardo menos, ¿vale? 00:07:34
porque ya tengo un polinomio de segundo grado, si resuelvo la ecuación de este polinomio igual a cero. 00:07:50
Entonces la pongo aquí, ¿vale? 00:07:56
X cuadrado más 4X más 3 igual a cero. 00:07:59
Os recuerdo que en las ecuaciones de segundo grado este término es la A, o sea, el coeficiente principal es A, 00:08:09
el coeficiente del término en X es B y el coeficiente independiente del término independiente es C. 00:08:16
Entonces, x es igual a menos b más menos raíz cuadrada de b al cuadrado, que son 16, menos 4 por a, que es 1, por c, que son 3, partido 2 por a, que es 2 por 1. 00:08:21
Menos 4 más menos raíz cuadrada de 16 menos 4 por 3 es 12, luego 16 menos 12 son 4, partido por 2. 00:08:39
Esto es menos 4 más menos raíz cuadrada de 4 es más menos 2, luego menos 4 más menos 2, partido por 2. 00:08:48
Aquí tendríamos menos 4 más 2 partido por 2, que son menos 2 partido por 2, que son menos 1. 00:08:55
¿Vale? Y por otro lado tendríamos menos 4 menos 2 partido por 2, que son menos 4 menos 2 o menos 6 partido por 2 menos 3, ¿vale? De manera que el polinomio x cuadrado más 4x más 3 se puede escribir como, fijaos, si las raíces son menos 1 y menos 3, los factores son x más 1 y x más 3, ¿vale? 00:09:04
Así que el polinomio que tenemos en el numerador lo podemos reescribir como x cubo más 3x cuadrado, o sea, el polinomio que es así, ¿vale? Lo podemos escribir como x menos 1, que era el primer factor, por x más 1, que es el de la primera raíz, por x más 3, que es el de la raíz cuando teníamos aquí sin números, ¿vale? 00:09:30
Así que este primero ya estaría factorizado. 00:09:55
Voy a poner aquí un cuadrito para guardar la solución. 00:09:59
Ya hemos factorizado el numerador. 00:10:02
Vamos a factorizar el denominador y veremos si hay factores en común para poder tacharlos. 00:10:03
Es así de simple, no tiene más complicación. 00:10:08
Entonces, las posibles raíces en el denominador, vamos a llamarlas b, 00:10:10
pero bueno, es lo mismo que aquí, es la a de x-a y esto es la b de x-b, es lo mismo. 00:10:16
En las posibles raíces, pues como primero, no tenemos término independiente, entonces primero la única raíz que podemos ver de momento es 0. Así que antes de esto, que no me he dado cuenta, vamos a sacar el factor de la x, que sería, como puedo escribir, voy a ponerlo aquí más abajo, para que me quepa. 00:10:22
fijaos que estamos con este polinomio 00:10:46
x cubo más 4x cuadrado más 3x 00:10:49
os recuerdo que siempre que no haya término independiente 00:10:54
podemos sacar por lo menos un factor x 00:10:57
entonces x por x cuadrado más 4x más 3 00:10:59
entonces ya tenemos un factor fuera 00:11:13
y luego los otros dos factores 00:11:20
en realidad me da igual 00:11:23
no hace falta que deduzca como aquí 00:11:25
que pueden ser solamente 1 o menos 1 00:11:29
o 3 o menos 3 00:11:32
pero bueno 00:11:33
¿por qué no hace falta? 00:11:34
porque resuelvo la ecuación de segundo grado y ya está 00:11:38
entonces resuelvo la ecuación de segundo grado 00:11:40
x cuadrado más 4x más 3 00:11:43
igual a cero. En este caso, la a vale 1, la b vale 4 y la c vale 3. Usando la fórmula 00:11:45
de la ecuación de segundo grado, tendríamos x igual a menos b más menos raíz cuadrada 00:11:55
de b al cuadrado menos 4 por a y por c, partido 2 por a. Menos b más menos raíz cuadrada 00:12:00
de 16 menos 12 00:12:10
la ecuación, si os dais cuenta, es 00:12:13
es la misma que antes, ¿vale? lo estáis viendo ya 00:12:17
que es la misma ecuación que antes, si no me he equivocado 00:12:22
es lo mismo, entonces no me hace la pena ni resolverla 00:12:25
pero bueno, me he dado cuenta ahora cuando estaba poniendo que es lo mismo 00:12:30
entonces tengo menos 4 más menos 2 partido por 2, que antes ya vimos que era 00:12:33
Una solución era menos 1 y la otra era 3. 00:12:38
Pues menos 1 o 3. 00:12:42
Entonces, el polinomio x cuadrado más 4x más 3 es igual a x más 1, que sería el de esta raíz, el factor de esa raíz, y x menos 3. 00:12:47
No, perdón, esto es un menos 3. 00:12:59
Así que x más 3 es el factor de esa otra raíz. 00:13:01
Pues bien, entonces el polinomio que teníamos aquí originalmente en el denominador, que es este de aquí, ese polinomio lo podemos escribir como x cubo más 4x cuadrado más 3x es igual a x por, en lugar de poner esto, pongo este producto, x más 1 por x más 3. 00:13:04
¿Vale? Y esto es el denominador. Tengo aquí el numerador y tengo aquí el denominador. 00:13:28
Vaya, ¿qué está pasando? Denominador, vale. Entonces, ¿cómo sería, cómo quedaría la fracción? 00:13:47
Bueno, pues la fracción que tenía inicialmente, voy a volverla a copiar, era x³ más 3x² menos x menos 3 partido x³ más 4x² más 3x es igual a lo que tenemos en el numerador, 00:13:55
que es x menos 1 por x más 1 por x más 3, entre el denominador que acabo de sacar, que es x por x más 1 por x más 3. 00:14:22
Podemos quitar, como veis, tengo multiplicando tanto el numerador como el denominador el factor x más 3, luego se va afuera. 00:14:43
tengo tanto el numerador como el denominador 00:14:50
x más 1, luego se va afuera 00:14:54
y estos ya no son comunes 00:14:56
así que se quedan como están 00:14:58
entonces la solución es que 00:14:59
esa operación algebraica 00:15:02
se puede simplificar 00:15:04
a esto sencillamente 00:15:06
fijaos, es mucho más simple 00:15:08
es último que he escrito 00:15:11
que lo que tenía en el enunciado 00:15:12
en el enunciado tengo 00:15:15
un polinomio de grado 3 00:15:16
entre un polinomio de grado 3 00:15:18
Y en el resultado final tengo un polinomio de grado 1 entre un polinomio de grado 1 00:15:19
Mucho más sencillo 00:15:23
Además esto, como en el fondo lo que tengo es 00:15:25
Esto ya no haría falta hacerlo, pero bueno, para que lo veáis 00:15:28
Otra cosa más que se puede hacer 00:15:31
Como en el fondo lo que tengo es una fracción, es una división 00:15:32
Pues, fijaos 00:15:36
X entre X es 1 00:15:40
Y menos 1 entre X 00:15:42
Es menos 1 partido por X 00:15:48
entonces esto también lo podría escribir así si quiero 00:15:51
¿vale? como la resta 00:15:54
de un número menos una fracción algebraica 00:15:59
que es 00:16:01
más simple que esta fracción algebraica 00:16:03
¿vale? 00:16:05
lo que pasa es que aquí ya tendría 00:16:06
realmente tengo una resta 00:16:08
¿vale? de un número y una fracción, aquí solo tengo una fracción 00:16:11
pero bueno, que son 00:16:13
las dos formas son igual de simples y igual de válidas 00:16:14
entonces 00:16:17
pues lo que prefiráis, si lo preferís dejar así 00:16:18
lo podéis dejar así y si queréis dejarlo así 00:16:21
Tampoco habría problema en dejarlo así, ¿vale? 00:16:22
En este caso, ¿por qué? 00:16:24
Porque estamos dividiendo entre un monomio, ¿vale? 00:16:25
Y podemos hacer esto. 00:16:28
Si no, no, porque entonces habría que hacer Ruffini y el resto no daría cero, 00:16:29
porque entonces se podría factorizar más, ¿vale? 00:16:34
Entonces, en ese caso, pues se quedaría como está, ¿vale? 00:16:36
Si tenéis un polinomio abajo, pero en el caso de que tengáis un monomio o un número, 00:16:40
pues podéis permitiros hacer eso también, ¿vale? 00:16:44
Y dejarlo un poco más simple o no, porque para mí son igual de simples ambas formas. 00:16:47
Y nada, eso es lo que quería comentaros de fracciones algebraicas. Esto es una utilidad muy importante de la factorización, es una utilidad muy importante del método de Ruffini y esto es muy importante para cuando se analizan funciones. 00:16:52
que este año vamos a hacer casos muy sencillitos, pero en cuarto de la ESO y en bachillerato son casos un poco más interesantes y más complicados 00:17:17
y saber hacer esto es esencial, ¿vale? Porque cuando veamos el tema de funciones veremos cosas como los ceros de una función, los ceros del denominador, ¿vale? 00:17:27
Es decir, cuando el denominador vale cero, en este caso, cuando x vale cero, ¿no? 00:17:40
Entonces, en este caso, ¿qué ocurrirá? 00:17:47
Eso en la función influirá de alguna manera, ¿vale? 00:17:49
Porque no se puede dividir entre cero, dijimos. 00:17:53
Entonces, para analizar todo eso, resulta muy importante y muy interesante saber hacer esto, ¿vale? 00:17:55
Entonces, por eso os digo, cuando os digo que Ruffini es lo más importante que se aprende entre cero de la ESO, 00:18:02
Os lo digo porque pienso en todas las utilidades que tiene esto para cursos posteriores. 00:18:07
Entonces es esencial que lo hayáis entendido bien. 00:18:14
Y este ejemplo yo creo que os puede venir muy bien para repasar lo que hemos visto, 00:18:16
para que veáis una aplicación de lo que hemos visto y para que os deis cuenta de lo importante que es 00:18:20
todo lo que hemos estudiado en este curso y especialmente esta parte de factorizar. 00:18:24
Valoración:
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Idioma/s:
es
Autor/es:
Andrés Benito Platón
Subido por:
Andrés B.
Licencia:
Dominio público
Visualizaciones:
123
Fecha:
10 de marzo de 2021 - 20:48
Visibilidad:
Público
Centro:
IES LUIS DE GONGORA
Duración:
18′ 31″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1092x614 píxeles
Tamaño:
87.57 MBytes

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