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Áreas de paralelogramo, volumen de tetraedros y paralelepípedos. Conceptos importantes de dependencia e independencia lineal entre vectores. - Contenido educativo

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Subido el 5 de noviembre de 2025 por Roberto A.

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Comenzamos la clase chavales, hoy es 5 de noviembre, por favor silencio, de 2025 y hoy me gustaría ya empezar el tema 6 pero creo que no me va a dar tiempo, lo único que sí quiero dejar claro bastantes cosillas, ¿vale? 00:00:01
Entonces, chavales, tenemos que saber varias cosas. Una de ellas es que el producto vectorial, el producto vectorial, geométricamente, ¿qué era? El producto vectorial, chavales, el producto vectorial geométricamente, no, es el área del paralelogramo, ¿vale? 00:00:17
área del paralelogramo y esto que ocurre chavales si yo tengo aquí mi vector a de acuerdo y yo tengo 00:00:40
aquí mi vector b si o no si este es mi vector u por ejemplo en vez de a este es mi vector v 00:00:51
aquí formo un paralelogramo de acuerdo hago una paralela a u por aquí y hago una paralela v por 00:00:59
aquí, esto es un paralelogramo, ¿vale? 00:01:09
Entonces, este área de aquí 00:01:11
me lo da el módulo 00:01:14
de hacer el producto vectorial 00:01:15
de u por v, ¿vale? 00:01:18
Pero, chavales, si me preguntan, 00:01:20
por ejemplo, ¿alguien me sabe decir 00:01:21
esto de aquí qué es? 00:01:23
Esto de aquí, ¿alguien me sabe 00:01:28
decir lo que es esto? 00:01:29
Depende de la dirección, ¿verdad, hijo? 00:01:33
Si yo voy 00:01:36
de aquí a aquí, ¿eso qué era? 00:01:37
¿La recta o la suma? 00:01:42
La recta, ¿vale? 00:01:43
Esto es u menos v. 00:01:47
Y esto de aquí, chavales, lo voy a hacer en verde. 00:01:49
Esto de aquí a aquí, ¿qué era? 00:01:52
La suma, ¿verdad? 00:01:54
u más v. 00:01:56
Entonces, chavales, si me preguntan cuánto vale el área del triángulo que forma, 00:01:57
del triángulo formado 00:02:08
por u 00:02:11
u más v 00:02:17
o u menos v 00:02:19
¿cómo lo hallaría, chavales? 00:02:22
Por lo mismo interior. 00:02:25
Efectivamente. 00:02:26
¿Habéis escuchado a Rufo? 00:02:28
Entonces, precisamente, 00:02:30
esto de aquí, ¿veis todos que esto es la mitad? 00:02:32
¿Sí? 00:02:35
¿O inclusive esto es la mitad del paralelogramo? 00:02:35
Pues entonces, si me piden 00:02:38
esto de aquí, sería 00:02:40
un medio por el módulo del producto vectorial de hoy y todo el mundo y luego ayer subí en el 00:02:41
aula virtual una cosa porque vimos el producto mixto verdad métricamente que era el producto 00:02:52
mito acordáis volumen volumen vale volumen el paralelepípedo paralelepípedo entonces creo 00:02:59
que fuiste para leerles y pero creo que fuiste para leerles y pero vale es el volumen vale es 00:03:11
el producto mixto y el producto mixto realmente necesito tres vectores vale y se ponía así verdad 00:03:20
o lo que es lo mismo entre corchetes uv y w sí o no corregirme si me equivoco vale es el producto 00:03:26
mixto y si yo hago el producto mixto que al final es un determinante me da un número ocurre que yo 00:03:36
tengo que hacer aquí siempre el módulo vale la es lo que te digo si tú haces el determinante de 00:03:41
tres vectores me puede salir positivo o negativo pero los volúmenes siempre son positivos por lo 00:03:46
tanto le hallo su valor absoluto y ya siempre me va a dar positivo acuerdo entonces algo que 00:03:52
deja claro de allí de los planarios entonces otra cosa que me interesa si a mí me pide un 00:03:59
un tetraedro. No sé si 00:04:08
visteis. ¿Alguien ha visto lo que subí ayer 00:04:10
a la aula virtual? 00:04:12
Vamos a ver cómo canta Miguel. 00:04:16
¡Guau! Que tengo 00:04:18
800.000 cosas abiertas. 00:04:19
Aquí. Vale. Subí 00:04:22
cuántos tetraedros caben 00:04:23
en un 00:04:26
para del epípedo. 00:04:28
Pues aquí tenéis 00:04:30
un vídeo que la verdad que está 00:04:31
bastante bien. No pasa nada, sale publicidad. 00:04:33
Aquí tenéis con GeoGebra. 00:04:35
¿Vale? La posibilidad de ver que caben realmente 6 tetraedros. ¿Vale? Entonces, chavales, si a mí me piden, como me dijo ayer Claudia, creo que fuiste tú, ¿no, madre? 00:04:37
Es volumen del tetraedro formado por u, v y w, pues ¿cuántos tetraedros caben en un paralel epípedo? 00:04:59
Pues entonces, ¿qué sería? 00:05:23
Un sexto por el módulo, ¿vale? 00:05:26
De u, v y w. 00:05:29
¿Lo entendéis ya vale o no? 00:05:32
¿Sí? 00:05:35
Sería un sexto. 00:05:36
Igual que el triángulo es la mitad del paralelogramo, 00:05:38
el tetraedro es el volumen del... 00:05:44
el tetraedro 00:05:48
es un sexo 00:05:51
del volumen 00:05:53
del paralelepípedo 00:05:54
todo el mundo 00:05:58
yo os recomiendo que veáis el vídeo 00:05:59
le ponéis a lo mejor el vídeo 1,5 o 2x 00:06:04
¿vale? y se ve bastante bien 00:06:07
y luego aquí en la herramienta que hemos visto 00:06:09
de aquí tú vas quitando 00:06:11
todos estos y realmente 00:06:13
ves que caben 00:06:15
tetraedros ¿vale? 00:06:18
Los tetraedros son prismas de cuatro caras que son triángulos, ¿de acuerdo? 00:06:20
¿Vale? 00:06:26
¿Sí? 00:06:26
Entonces dividido entre 6 ya lo tengo, ¿vale? 00:06:27
Venga, cosas importantes que tenemos que saber también. 00:06:30
Vale, ahí es, ¿vale? 00:06:34
Una recta. 00:06:37
Una recta, ¿por cuántos vectores definen una recta? 00:06:39
¿Ustedes qué me lo saben decir? 00:06:44
No, una recta tiene infinitos puntos, 00:06:46
Pero, ¿cuántos vectores necesito para definir una recta? 00:06:49
Eso es. 00:06:54
¿Y cuántos son en cantidad? 00:06:54
Una. 00:06:57
¿Vale? 00:06:58
Una recta está definido... 00:06:59
Esto está todo relacionado, pero todavía no ha empezado. 00:07:03
Sería el 6, ¿vale? 00:07:07
Todavía no, pero está relacionado. 00:07:08
Está definido por una recta. 00:07:10
Por un vector director, ¿vale? 00:07:13
Por un vector director. 00:07:16
A ver si me sale esto en algebra, chavales. 00:07:17
A ver. 00:07:22
Para que lo veáis. 00:07:25
¿Dime? 00:07:38
No me entero. 00:07:41
Y ya, callarse, por favor, me están preguntando y me entero. 00:07:42
Dime. 00:07:45
Una recta está definida por un vector director, ¿vale? 00:07:46
Entonces, lo que quiero que veáis ustedes es la gráfica 3D, ¿vale? 00:07:50
Un vector lo pongo en minúscula, ¿vale? Por ejemplo, el 2, 4, menos 1, ¿vale? El 2, 4, menos 1, si veis aquí, es un vector, ¿verdad? ¿Sí o no? Es un vector. 00:07:57
Entonces, en este vector, ¿cuántas rectas caben? ¿Cuántas rectas caben en este vector? Pues tan solo cabe una recta, ¿vale? 00:08:13
Si yo hago una recta que vaya asociada a este vector, es decir, si yo tuviera el punto, 00:08:23
si yo tengo el punto A, que es el 0, 0, 0, ¿vale? 00:08:31
Si yo tengo el punto B, que es el 2, 4, menos 1, ¿vale? 00:08:35
Si veis, es de donde empieza el vector a donde acaba, ¿sí? 00:08:42
si yo hago la recta 00:08:47
que pasa por el 00:08:50
punto A 00:08:52
y por el punto B 00:08:53
no sé si lo veis, pero tan solo es 00:08:55
una recta 00:08:58
una única recta 00:09:00
¿lo veis chavales? 00:09:01
una única recta 00:09:04
que pasa por dos puntos 00:09:06
es decir, con una recta tan solo está 00:09:09
definido por un vector director 00:09:10
¿de acuerdo? 00:09:12
entonces, yo ahora lo que quiero que veáis 00:09:13
es un plano. 00:09:15
Un plano. 00:09:18
Para un plano, ¿cuántos vectores necesito? 00:09:19
Un plano, ¿cuántos vectores necesito? 00:09:25
Tres. 00:09:29
Dos. 00:09:30
Está definido por dos vectores. 00:09:32
Y esto es súper importante. 00:09:39
Linealmente independientes. 00:09:41
Linealmente independientes. 00:09:44
porque si fuese linealmente 00:09:46
dependientes, ¿qué ocurría? 00:09:49
independientes, que los dos 00:09:52
estarían en la misma recta 00:09:53
¿lo veis? ¿sí o no? 00:09:55
¿veis todo el mundo? 00:09:58
que ahora esto de aquí 00:10:00
chavales, lo voy a intentar hacer aquí 00:10:01
en 2D, ¿vale? en 2D 00:10:03
yo lo que quiero que tú veas 00:10:05
si yo por ejemplo tengo un vector 00:10:07
W, lo voy a hacer 00:10:09
en 2D, ¿vale? porque sea más fácil 00:10:11
E6, por ejemplo 00:10:13
o menos 1, 2, ¿vale? 00:10:15
Ese es mi vector, estoy ahora en 2D, ¿de acuerdo? 00:10:19
Para que lo veamos más fácil, pero es extensible a 3D. 00:10:21
Si yo hago aquí un vector x, ¿no? 00:10:25
Que es igual a kw, aquí no me lo coge, me lo coge por la x. 00:10:32
Borrar, un momentillo, borrar. 00:10:40
Y yo tengo aquí Z igual a KW. 00:10:42
¿Me lo toma? 00:10:52
Vale, sí. 00:10:53
Si yo aquí voy variando esto, estáis viendo KW. 00:10:54
¿Dónde tengo aquí representado Z? 00:11:01
No lo he puesto aquí. 00:11:05
A ver, perdonad. 00:11:07
Y si no, venga, lo voy a ir aquí. 00:11:09
Lo que quiero que veáis, chavales, es que si son dos vectores, ¿vale? 00:11:11
Tengo u, que hemos dicho que es menos 2, ¿no? 00:11:22
Menos 2, 1, por ejemplo, ¿no? 00:11:28
Vale. 00:11:30
Y tengo otro vector v, que es igual a k por u. 00:11:31
No me lo representa, tío. 00:11:38
¿Por qué? 00:11:39
Vale, entonces hago otra cosa. 00:11:41
esto lo dejo aquí 00:11:43
y esto borrar 00:11:46
no sé por qué, v es igual 00:11:47
acá 00:11:50
menos 2k 00:11:52
menos 2k 00:11:56
más k 00:12:00
si yo ahora varío 00:12:01
esto de aquí, veis como es 00:12:05
el otro vector 00:12:10
lo veis chavales, lo voy a poner en otro color 00:12:11
es que esto de aquí 00:12:14
es muy importante y me sirve también muchísimo 00:12:16
para el 00:12:18
siguiente tema, ¿vale? Entonces, si yo voy 00:12:20
variando esto, ¿qué ocurre? ¿Cómo son 00:12:23
estos dos vectores, u y v? ¿Cómo son 00:12:26
entre ellos? ¿Cómo son entre ellos? 00:12:29
Son linealmente dependientes. 00:12:34
¿Pero cómo son entre ellos? 00:12:36
Proporcionales, ¿vale? Son proporcionales. 00:12:39
¿Qué ocurre? Que si son proporcionales, 00:12:41
son linealmente dependientes. 00:12:45
¿Por qué? Porque uno lo puedo poner como una combinación del otro. Yo aquí estoy variando en la k, ¿lo veis? Yo mi v, esto me lo cepillo, mi v es menos 2, 1, ¿vale? Mi v es menos 2k por k. Yo aquí tengo un deslizado que lo que estoy variando es esa k, ¿lo veis? 00:12:48
entonces tengo otro vector que es 00:13:07
proporcional a él y si os fijáis 00:13:10
están los dos en la misma 00:13:12
recta, ¿lo veis? 00:13:14
¿Sí o no? ¿Lo veis? Entonces 00:13:16
cuando dos vectores 00:13:18
son, cuando tengo dos 00:13:20
dos vectores son proporcionales 00:13:22
significa que están 00:13:24
en la misma recta, están alineados 00:13:26
son linealmente 00:13:29
dependientes porque uno es combinación 00:13:31
de los otros y por lo tanto 00:13:33
no son coplanarios, están en la 00:13:34
misma recta lo veis todo el mundo eso sí o no ahora si yo tengo un w que es otra cosa 40 por 00:13:36
ejemplo vale yo cualquier combinación que haga que no sé si me va a dejar a ver qué ocurre el a es 00:13:48
igual a sería menos 22 por ejemplo más 4 no y aquí sería menos 44 h y ahora explico lo que 00:13:57
quiero hacer menos más 4 h y esto sería porque el otro es 0 vale entonces que ocurre que si 00:14:17
Si yo voy variando esto de aquí, ¿veis que está el A en la suma de U y de V? 00:14:31
¿Lo veis que es la suma de U y de V? 00:14:39
Pues si yo voy variando esto de aquí o voy variando esto de aquí, 00:14:41
como son coplanarios, yo puedo alcanzar cualquier punto del plano. 00:14:46
¿Lo veis? 00:14:54
Entonces, aquí lo importante es, 00:14:55
Si tengo dos vectores, si tengo dos vectores, si tengo dos vectores, ¿vale? 00:15:00
Si son proporcionales, significa que son linealmente dependientes. 00:15:09
Dependientes. 00:15:22
Y están en la misma recta. 00:15:24
Y están en la misma recta. 00:15:25
tienen la misma dirección, ¿vale? 00:15:32
Tienen la misma dirección, ¿vale? 00:15:34
Si no son proporcionales, si no son proporcionales, 00:15:43
si tengo U y si no es proporcional es este símbolo de aquí, 00:15:52
tachado, ¿vale? 00:15:56
Con V, ¿vale? 00:15:57
Son linealmente independientes y entonces son complanarios, ¿vale? 00:15:59
Entonces son coplanarios, coplanarios, ¿vale? Cualquier, cualquier punto del plano, punto del plano, ¿vale? Se alcanza con una combinación lineal de ellos, con una combinación lineal, combinación lineal de ellos. 00:16:10
vale chavales 00:16:41
si o no 00:16:44
me voy a ir un momentillo a GeoGebra 00:16:46
al plano ahora 00:16:48
a ver si lo vemos 00:16:49
en 3D 00:16:52
voy a 00:16:53
a cepillarme 00:16:55
chavales 00:16:57
a ver si somos capaces de verlo aquí 00:17:01
en gráfico 3D 00:17:03
este plano de aquí 00:17:05
lo voy a quitar 00:17:07
entonces chavales yo tengo 00:17:09
fijarse 00:17:11
Ahora lo pongo otra vez 00:17:12
De todas formas, esto lo subo, ¿vale? 00:17:16
Lo que quiero que veáis aquí es una cosilla 00:17:17
¿Vale? Si yo tengo, por ejemplo 00:17:19
Voy a hacer dos 00:17:24
Dos vectores, ¿vale? 00:17:26
Voy a hacer el vector u 00:17:28
Que al estar en el espacio tiene tres coordenadas 00:17:29
Por ejemplo, dos 00:17:32
Cero y 00:17:33
Seis, ¿vale? 00:17:36
Ahora, el v 00:17:38
Lo que voy a hacer es que no sean proporcionales 00:17:39
Entonces, por ejemplo, puedo multiplicar 00:17:42
La primera componente por 2, que es un 4, pero ya en el momento que la siguiente no la multiplique por 2, ¿vale? 00:17:44
Que sería 0, en el momento que una sea distinta, ya no son coplanarias. 00:17:52
¿De acuerdo? 00:17:57
Entonces, si os fijáis, si os fijáis, yo aquí, ¿qué ocurre? 00:17:57
Que tengo realmente el punto 2, 0, 6, que es donde acaba, ¿verdad? 00:18:01
El vector e, u. 00:18:09
Luego tengo el punto B, que es 4, 1, menos 1, ¿verdad? 00:18:11
4, 1, menos 1, que es donde acaba el vector B. 00:18:15
Luego, si eso, también tengo el origen de coordenada, que es el 0, 0, 0. 00:18:19
¿Me la he hecho o no? 00:18:27
Vamos a borrar el punto C. 00:18:28
El punto C mayúscula es 0, 0, 0. 00:18:32
Entonces, chavales, lo que quiero que veáis. 00:18:37
si tengo dos vectores o tres puntos 00:18:39
si yo tengo tres puntos 00:18:42
tengo dos vectores, ¿verdad? 00:18:44
¿cómo hallo el vector? 00:18:46
con la resta de los puntos, ¿de acuerdo? 00:18:48
entonces yo aquí tengo dos vectores 00:18:50
que son 00:18:52
tres puntos pero son dos vectores 00:18:52
si yo ahora hago aquí un plano 00:18:56
un plano por tres puntos 00:18:57
¿vale? que pase por B 00:19:06
por C y por A 00:19:08
¿vale? 00:19:10
Tengo este plano de aquí. Con lo cual, cualquier punto de este plano, ¿vale? Cualquier punto de este plano va a ser una combinación lineal de ellos porque son pendientes. ¿Lo veis? 00:19:12
si yo tengo un punto 00:19:27
yo que sé 00:19:31
el D que es igual 00:19:32
a ver si me lo hace 00:19:34
yo que sé 00:19:36
esa 00:19:38
menos, bueno vamos a hacer una cosa 00:19:39
más LB 00:19:44
¿vale? 00:19:46
este es el punto 00:19:50
D ¿no? que ahora mismo no sé dónde 00:19:51
dónde está, si yo esto lo voy 00:19:52
variando 00:19:54
no me lo muestra 00:19:55
joder, no sé si soy capaz de quitar esto 00:19:57
a ver, tengo el punto B y el punto C 00:20:05
¿no? 00:20:07
si yo hago esto de aquí 00:20:08
no me sale el punto 00:20:10
a ver, venga, pues voy a hacerlo de otra forma 00:20:14
borrar 00:20:17
borrar 00:20:20
si yo tengo el punto B 00:20:22
¿vale? es igual 00:20:24
a 2K 00:20:26
2K más 00:20:28
más 4L 00:20:31
¿vale? 00:20:34
El otro es L. 00:20:36
El otro es 6K. 00:20:39
¿Alguien se ha perdido o sabe lo que estoy haciendo o no? 00:20:41
Este punto D, este punto D, vaya que está afuera. 00:20:47
Pero si yo lo voy variando, si os fijáis, 00:20:52
¿veis que todo ese punto D está dentro de este plano? 00:20:55
¿Lo veis? ¿Lo ve todo el mundo? 00:20:59
Que todos estos puntos, al ser una combinación entre ellos, 00:21:01
pertenecen a este plano de aquí. 00:21:06
¿Lo veis que está sobre el plano? 00:21:08
¿Sí? 00:21:11
Pues entonces, ese punto de ahí, si yo hago el determinante, chavales, 00:21:11
de 2, 0, 6, 4, 1, menos 1, 00:21:17
y en este caso que es menos 2, 4, menos 0, 7, 1, 2, 00:21:20
¿qué creéis que me va a salir ese determinante? 00:21:24
Cero. 00:21:28
¿Por qué? 00:21:29
Porque son coplanarios. 00:21:30
¿Vale? 00:21:33
Son coplanarios. 00:21:34
¿De acuerdo? 00:21:36
Entonces, ¿qué ocurre aquí? Si tengo tres vectores, si tengo tres vectores, si tengo tres vectores, si el determinante es igual a cero de los tres vectores, 00:21:36
¿Qué implica? Que son linealmente dependientes. Si el rango de A es igual a 1, están alineados, ¿qué significa que estén alineados, chavales? 00:22:08
pertenecen a la misma recta 00:22:30
¿vale? pertenecen a la misma recta 00:22:34
pertenecen 00:22:36
a la misma recta 00:22:37
si el rango de la matriz 00:22:40
es 2 00:22:44
significa que 00:22:45
son coplanarios 00:22:47
los tres puntos coplanarios 00:22:50
los tres puntos 00:22:52
es decir, que uno de ellos 00:22:54
es combinación lineal de los dos 00:22:58
uno de ellos 00:23:00
es combinación lineal de los otros dos, ¿vale? 00:23:02
Y aquí si están alineados, son proporcionales, ¿vale? 00:23:18
Es decir, si yo tengo el vector u, es proporcional a v, es proporcional a w, ¿vale? 00:23:21
Y si el rango es 3, ¿qué significa? El rango de la matriz es 3 es porque el determinante de A es 0, ¿verdad? Es distinto de 0, perdona. ¿Qué ocurre? No son coplanarios. No son coplanarios. ¿Sí o no? ¿Lo veis? Pueden formar una base. Pueden formar una base. 00:23:31
¿vale chavales? ¿lo entendéis todo esto? 00:24:02
esto es súper importante ¿vale? 00:24:07
súper importante 00:24:09
y además un ejercicio que tenéis 00:24:11
que hacer y os lo recomiendo para casa 00:24:16
chavales, todos los ejercicios 00:24:17
que hay del libro 00:24:19
de la parte final 00:24:20
hay muchos resueltos 00:24:22
lo suyo sería que ustedes los vierais 00:24:24
y lo intentéis hacer sin resolver 00:24:27
la autoevaluación está 00:24:29
muy interesante y hay muchos ejercicios 00:24:31
por desgracia no nos da tiempo a hacerlo en clase 00:24:33
pero si hacéis uno 00:24:35
aunque tenéis el solucionario 00:24:37
lo suyo es que lo hagáis ustedes, si tenéis alguno que no entendéis 00:24:39
por favor preguntármelo 00:24:42
y si me da tiempo lo hago aquí, si no os hago 00:24:43
un vídeo, ¿vale? pero necesito que 00:24:45
hagáis ejercicio, porque 00:24:47
si esto parece difícil, el tema 6 00:24:49
es mucho más complejo, pero si tenemos 00:24:51
los conceptos estos bien claros 00:24:53
no es tan complicado el tema 6 00:24:55
¿vale? dime, no más 00:24:57
¿eh? claro 00:24:59
Polino 00:25:01
has dicho que si el determinante es 0 00:25:02
son linealmente independientes 00:25:06
si el rango es 1 00:25:07
también son linealmente independientes 00:25:09
claro, son proporcionales 00:25:11
también son lineales 00:25:12
si el rango es 3, son linealmente independientes 00:25:15
exactamente, ¿vale? 00:25:16
si chavales, porque además 00:25:18
esa pregunta aquí ya 00:25:20
es porque no tienes bien 00:25:22
claro los conceptos de rango de una matriz 00:25:24
porque el rango de una matriz 00:25:27
que nos decía 00:25:28
no, no 00:25:29
claro, ¿qué decía el rango 00:25:34
de una matriz? 00:25:36
¿qué decía el rango de una matriz? 00:25:38
¿qué significaba 00:25:42
el rango de una matriz? 00:25:43
Apple ya está 00:25:46
claro, me dice que el rango es 1 00:25:47
es que son linealmente 00:25:50
dependientes y además que son proporcionales 00:25:52
porque tan solo hay una y además 00:25:54
dependen de ese 1 00:25:55
si el rango es 2 es que hay 2 que son 00:25:57
linealmente 00:26:00
independientes entre ellos pero el tercero 00:26:01
depende de ellos dos. 00:26:03
Y si el rango es tres, 00:26:05
que los tres son linealmente independientes. 00:26:06
¿Vale, chavales? 00:26:09
¿Sí o no? 00:26:09
Entonces, a mí ejercicios que me han gustado bastante. 00:26:11
No sé si lo tengo ahí. 00:26:17
Qué coraje. 00:26:18
Chavales, aquí hay ejercicios 00:26:22
que la verdad que están bastante bien. 00:26:24
¿De acuerdo? 00:26:26
Entonces, todos estos de aquí de problemas 00:26:27
y ejercicios resueltos, 00:26:29
todos estos están bastante bien 00:26:31
y hay muchos resueltos. 00:26:33
Intenta hacer lo del hazlo tú. 00:26:35
¿vale? aquí igual 00:26:37
todo esto de aquí están bastante 00:26:40
bien, echarle un vistazo y sobre todo intentar 00:26:42
el hazlo tú, y luego 00:26:44
los problemas guiados 00:26:45
pues aquí te va orientando 00:26:47
no te lo hace, pero te va orientando 00:26:49
cómo lo tienes que hacer, inténtalo 00:26:51
también tú, ¿de acuerdo? 00:26:53
y si tenéis alguna duda en alguno 00:26:55
concreto chavales, pues me preguntáis, lo hacemos 00:26:57
en clase, pero el problema es que vamos muy limitado 00:26:59
de tiempo, ¿vale? 00:27:02
entonces si hay alguno que 00:27:03
queréis que resuelva, sin problemas 00:27:05
Todos estos de aquí están bastante, bastante bien todos los que hay aquí. 00:27:07
¿De acuerdo? 00:27:11
Un momentillo, Carla. 00:27:12
Y el para profundizar, súper bien. 00:27:13
Y la autovaluación sería un puntazo que lo hagáis. 00:27:15
Dime. 00:27:18
Es que eso es lo que ocurre. 00:27:21
Son las más chocantes, pero si tú lo entiendes, es que entiendes la teoría. 00:27:23
Entonces, si tú entiendes la teoría, todo sale. 00:27:28
¿Vale? 00:27:32
Entonces, intentadlo, intentadlo. 00:27:32
hombre, los plásticos 00:27:34
lo que pasa es que opera, pero intentadlo 00:27:38
¿vale? entonces, que yo termino el tema 00:27:40
6 y nos da tiempo a hacer ejercicio 00:27:42
hacemos todos los ejercicios posibles 00:27:44
¿vale? pero necesito por vuestro 00:27:45
lado, ¿vale chavales? 00:27:48
¿sí o no? es que 00:27:51
vi uno aquí, que coraje 00:27:52
que era súper completo 00:27:53
¿vale? súper completo 00:27:56
y ahora mismo no me acuerdo a qué es 00:27:58
estos son de los guiados 00:28:03
creo que 00:28:08
este está bastante bien 00:28:10
vale, venga, vamos a intentar 00:28:11
venga, chavales, voy a intentar 00:28:14
hacer este 00:28:16
hay muchos que están muy bien 00:28:17
vale, chavales, dicen, tengo tres, cuatro 00:28:23
vectores, vale 00:28:26
y entonces, justifica cuál es una base 00:28:26
chavales 00:28:30
una base, una base 00:28:31
¿qué significa una base? 00:28:33
¿por qué está formada una base? 00:28:35
perfecto 00:28:39
está formado 00:28:40
está formado 00:28:40
por vectores linealmente dependientes. 00:28:42
Independientes, perdón. 00:28:54
Uf. 00:28:57
Este es el 4 de la página 146, gracias. 00:28:57
Ejercicio 4 de la página 146, ¿vale? 00:29:13
Entonces, chavales, si estoy en R2, R2 que es el eje de coordenada del plano, ¿vale? 00:29:17
Dos dimensiones, dos dimensiones. 00:29:24
¿Cuántos vectores formarán una base? 00:29:28
Dos, ¿vale? 00:29:33
Dos vectores forman la base. 00:29:34
Pero si estoy en R3, que es el espacio, ¿cuántos vectores necesito linealmente independientes? 00:29:39
Tres, ¿vale? Tres vectores linealmente independientes, aquí también, ¿vale? Forman la base. 00:29:53
Esto lo tenemos todo el mundo claro ya, ¿vale? 00:30:02
Entonces me dice, justificar cuál de estos conjuntos, B1, B2 o B3, forman una base. 00:30:05
vale, entonces en principio 00:30:11
si os fijáis 00:30:13
B1 y B2 que es A y B 00:30:14
eso va a formar alguna vez una base 00:30:16
en R3, pero en 00:30:19
vamos a verlo, entonces yo tengo 00:30:22
el vector A 00:30:24
es 1 menos 1, 0 00:30:26
y el vector B 00:30:28
es 0, 1 menos 0 00:30:30
lo que pasa es que estos pertenecen a R3 00:30:33
entonces aquí 00:30:34
realmente base como tal para el espacio 00:30:38
Nunca lo van a formar porque son dos, ¿de acuerdo? 00:30:41
Pero lo que os voy a preguntar, ya que estamos, es saber si son coplanarios, ¿vale? 00:30:44
Al ser dos, al ser dos, no forman base, no forman base en R3, veamos si son coplanarios. 00:30:49
Pero esto nos lo preguntan, vamos, veamos si son. 00:30:59
Efectivamente, y es lo que quiero ver. 00:31:03
¿Cómo lo hago esto, chavales? 00:31:06
Pues yo hago siempre, tengo mi matriz A, por ejemplo. 00:31:07
en R3 no 00:31:11
porque con dos vectores 00:31:16
solamente puedo formar lo que hemos visto 00:31:19
¿has visto lo que te he hecho en GeoGebra? 00:31:21
tengo dos vectores y hago la suma 00:31:23
combinación de ellos, siempre todos los puntos 00:31:24
en un plano, ¿vale? no puedo 00:31:27
con dos vectores llegar a todo 00:31:29
el espacio, ¿vale? 00:31:31
entonces chavales 00:31:33
el rango de esta matriz, aunque los 00:31:34
vectores, me vaya a perdonar, se ponen 00:31:37
en columna 00:31:39
¿vale? se ponen en columna 00:31:39
siempre, ¿vale? Se ponen en columna. Entonces, esta matriz es 2x3. Noa, ¿cuál es el rango 00:31:42
máximo de esta matriz? 2. El 3, ni por asomo, ¿de acuerdo? Siempre va a ser 2. ¿Y cómo 00:31:51
hago, chavales? Igual, busco un menor, ¿verdad? El determinante de 1 es 1, el rango de A es 00:32:00
mayor o igual que 1, ahora me cojo 00:32:08
por ejemplo este menor de orden 2 00:32:10
hago 1, 0 00:32:12
menos 1, 1 ¿verdad? 00:32:14
¿y qué ocurre? esto es 1 00:32:16
que es distinto de 0, por lo tanto 00:32:18
el rango de A 00:32:20
es igual a 2 00:32:21
chavales, hay que 00:32:24
hacer todo el xoxo este 00:32:26
no haría ni falta 00:32:28
¿por qué? porque cuando tengo 2 00:32:29
cuando tengo 2 00:32:32
¿veis que son proporcionales o no? 00:32:34
¿Son proporcionales A y B? 00:32:36
Ah, thank you very much 00:32:41
Por la aclaración 00:32:46
Entonces, chavales, ¿son proporcionales? 00:32:47
No son proporcionales 00:32:50
¿Lo veis por qué no son proporcionales? 00:32:52
A no es proporcional a B 00:32:55
¿Por qué? 00:32:58
Porque si yo, por ejemplo, divido 0 entre 1 00:32:59
Es distinto de 1 en el partido de menos 1 00:33:02
O menos 3 partido de 0 00:33:06
¿Lo veis? 00:33:07
Si fuesen proporcionales al dividir coordenada por coordenada, me tendría que salir la misma razón, ¿vale? 00:33:09
Entonces, no me hace falta hacer todo el fregado este de aquí. 00:33:16
Pero lo hago porque cuando yo tenga 3, sí que me hace falta, ¿vale? 00:33:20
Yo no. 00:33:25
Entonces, no son proporcionales, no son proporcionales. 00:33:26
Por lo tanto, ¿qué hemos son? 00:33:31
Son coplanarios. 00:33:34
Son coplanarios. 00:33:36
No, porque es de R3, ¿vale? 00:33:39
Para que forme una base en R2 tienen que tener dos coordenadas nada más, ¿vale? 00:33:42
No son proporcionales. 00:33:49
Esto significa que no son proporcionales. 00:33:53
Como no son proporcionales, forman un plano. 00:33:58
No son proporcionales, ¿vale? 00:34:01
Y ahora, chavales, si yo tengo el ABC, ¿no? El periódico. 00:34:05
Dime, hija. 00:34:21
Claro, ahora aquí, porque me ha salido distinto de cero. Si me sale cero, tengo que seguir haciéndolo, ¿vale? 00:34:34
¿Vale? 00:34:44
Entonces, chavales, ahora me voy al ABS, ¿no? 00:34:45
¿Habéis escuchado la pregunta que me ha hecho Claudia? 00:34:49
Súper importante. 00:34:52
Si me hubiese salido un 0, yo tenía que haber seguido haciendo menores de orden 2 para ver que el rango es 2, ¿vale? 00:34:53
Pero como me ha salido distinto de 0, entonces, el vector A, mi matriz A ahora es 1 menos 1, 0. 00:35:00
0, 1 menos 3. 00:35:08
Y es 0, 2 menos 1. 00:35:11
Los vectores se ponen en columna, ¿vale? 00:35:13
Se puede poner en fila también, porque al final la matriz A y su traspuesta, 00:35:17
¿qué es lo que ocurre? Que tienen el mismo rango siempre, ¿vale? 00:35:23
¿Sí? Entonces, chavales, ¿qué ocurre? 00:35:26
Yo aquí lo primero que voy a hacer es el determinante de A, ¿vale? 00:35:30
No, porque estoy en el ABC, ¿vale? Luego me voy al AB, ¿vale? 00:35:36
Entonces, chavales, es que es lo que pasa que me interesa hacerlo así porque ahora te explico. 00:35:41
Entonces, esto que es un menos 1 más 0, menos 1 más 0 más 0, ¿verdad? 00:35:45
Menos, esto es un serapio, es un serapio, menos 6. 00:35:53
Y esto, chavales, que es menos 1 más 6, es 5 con premio, es distinto de 0. 00:35:58
Como es distinto de 0, chavales, ¿qué ocurre? 00:36:04
Que el rango de A es igual a cuánto? 00:36:07
A3. ¿Y cómo son los vectores? A, B y C son linealmente independientes. ¿Pueden formar 00:36:11
una base? Forman una base en R3. ¿Vale, chavales? ¿Sí o no? Y ahora voy a lo que me ha dicho 00:36:25
el gallo, si yo utilizo 00:36:41
el ABCD, dime hija 00:36:43
si te dirigen 00:36:45
los dos 00:36:45
que son linealmente dependientes 00:36:47
son coplanarios 00:36:51
son linealmente dependientes 00:36:52
si el rango te sale dos 00:36:55
son coplanarios, si el rango te saliese 00:36:57
uno, vale 00:36:59
si el rango te saliese uno 00:37:00
están alineados 00:37:03
Jesús, María y José 00:37:04
El D que es 7 menos 4, 7 menos 4, 5 00:37:06
Chavales, ahora mi matriz A 00:37:16
Este es el A, este es el B, este es el C y este es el D 00:37:19
Esto es 3 por 4 00:37:24
El rango máximo va a ser 4 00:37:26
¿Sí o no? 00:37:28
Pero ¿qué ocurre? 00:37:30
Es que yo precisamente 00:37:31
¿Aquí cuántos menores de orden 3 tengo, chavales? 00:37:32
¿Cuántos menores de orden 3 tengo? 00:37:36
Ah, he dicho otra cosa. 00:37:41
4, hay 4. 00:37:43
¿Pero qué ocurre? 00:37:45
Que justo esto está aquí, ¿lo veis? 00:37:46
Y yo ya he hecho el determinante y me sale 5, 00:37:50
que es distinto de 0. 00:37:53
¿Tengo ya un menor de orden 3 cuyo determinante es distinto de 0? 00:37:54
Sí. 00:38:00
Pues ya ha acabado. 00:38:00
El rango de aquí es 3, ¿vale? 00:38:01
Entonces, ¿qué significa cuando tengo rango de A? Es 3, ¿vale? ¿Y qué significa esos 4 puntos, chavales? ¿Qué significa tener 4 vectores y ser el rango 3? 00:38:03
Muy bien, muy bien. No es proporcional, es combinación lineal de los otros 3, ¿vale? 00:38:25
no, al ser 3 por 4 00:38:37
¿vale? siempre 00:38:40
el rango máximo de una matriz 00:38:42
coincide con el menor 00:38:44
número de filas o de columnas 00:38:46
¿sí? entonces aquí el rango 00:38:48
4 nunca puede ser, ¿vale? 00:38:50
ni lo intuye, ¿vale? 00:38:51
nunca, no te lo digo por el examen 00:38:54
¿vale? creo que fuiste tú o no sé 00:38:56
quién fue, no, fue Paula D 00:38:58
perdona, pensaba que había sido tú 00:38:59
nunca, never and never 00:39:02
¿ok? entonces 00:39:04
chavales, ¿qué ocurre? 00:39:06
que precisamente, aunque 00:39:08
esto es una matriz 3x4 00:39:10
el coño este 00:39:11
el primer menor de orden 3 00:39:13
que es este de aquí, que coincide 00:39:16
con este, es 00:39:18
distinto de 0, por lo tanto 00:39:19
es de rango 3 00:39:22
¿qué significa eso? que este vector 00:39:23
de aquí, este vector de aquí 00:39:26
es una combinación 00:39:28
lineal de los otros 3 00:39:30
¿vale? ¿sí o no? 00:39:32
Es una combinación lineal de los otros tres 00:39:34
Y fijaros que hay una cosa muy importante 00:39:37
Que no sé si eso lo dejamos remarcado 00:39:38
Imaginaros, chavales, imaginaros 00:39:40
Que aquí me sale el determinante 0 00:39:43
¿Vale? 00:39:45
Imaginaros que aquí me sale el determinante 0 00:39:46
Que no es el caso 00:39:49
¿Vale? Si yo aquí 00:39:50
El determinante de esto fuese 0 00:39:51
¿Vale? Venga, lo vamos a hacer un momentillo 00:39:54
Si yo tuviera esto de aquí 00:39:56
1 menos 1, 1, 2 00:39:57
Y esto lo sumo 0, 1, 2 00:40:00
Ya vale, si yo hago este determinante, me sale 0, ¿vale? Me sale 0. ¿Qué ocurre? ¿Cuál voy a elegir yo la base? ¿Cuál voy a elegir yo la base de los tres? Yo sé que uno de ellos es combinación lineal de los otros dos, ¿vale? 00:40:02
Entonces, como yo para hallar el rango cojo este y luego cojo esto 00:40:19
y resulta que como 1, 0 menos 1, 1 es su determinante distinto de 0, ¿verdad? 00:40:24
¿Sí o no? 00:40:31
Estos dos van a formar la base, ¿vale? 00:40:32
Que realmente si cojo de 2 en 2, en este caso, cualquiera de ellos, 00:40:38
cualquier combinación de 2 en 2, ¿vale? 00:40:42
Van a ser base. 00:40:45
Pero aquí ya lo tengo asegurado que los dos son linealmente independientes. 00:40:47
¿Lo veis? Entonces yo puedo poner el tercero como combinación lineal de los otros dos. 00:40:51
Si yo quiero coger como base el primero y el último, el segundo también va a ser una combinación lineal de los otros dos. 00:40:57
Y si yo cojo el segundo y el tercero, el primero va a ser una combinación lineal de los otros dos. 00:41:05
Entonces mi pregunta aquí, como yo sé que estos tres ABC son linealmente independientes porque lo he hecho aquí, 00:41:10
¿Alguien me sabe decir 00:41:17
cuáles son las coordenadas 00:41:20
de D respecto a esta base? 00:41:22
¿Cómo lo podríamos hallar? 00:41:25
¿El producto nitro? 00:41:29
Yo tengo esto de aquí. 00:41:34
¿Y esto qué significa? 00:41:35
Que el rango es 3, ¿verdad? 00:41:37
¿Sí o no? 00:41:39
¿Cuáles son los linealmente independientes? 00:41:40
A, B y C, ¿verdad? 00:41:47
¿Estamos todos de acuerdo? 00:41:48
¿Sí o no? 00:41:50
Claro, efectivamente. Yo sé que D es igual a un alfa por A más un beta por B, ¿verdad? Más un gamma por C. ¿Sí o no? 00:41:50
X, Z, pues venga 00:42:04
pero venga 00:42:16
si os hace ilusión 00:42:17
X por A 00:42:19
más Y por B 00:42:20
más Z por C 00:42:23
entonces ¿qué tengo chavales? 00:42:25
¿qué tengo realmente? 00:42:27
tengo un sistema 00:42:28
¿lo veis? 00:42:30
y mi sistema que es 00:42:31
X es igual a 7 00:42:32
Tengo esto que era un menos, ¿no? 00:42:35
Menos x más y 00:42:37
Más 2z es igual a 00:42:39
Menos 4, y aquí tengo 00:42:42
3y, es que he sido un espabilado 00:42:44
Es que he sido un espabilado poniendo 00:42:46
Esto de aquí 00:42:47
Ah, no, es menos 3y 00:42:48
Menos z es igual a 5 00:42:51
¿Vale? Entonces 00:42:53
Esto de aquí se puede hacer 00:42:55
Se puede hacer por gauss, que yo lo haría 00:42:57
Por gauss, más que nada, porque ya lo tengo escalonado 00:43:00
Pero lo puedo hacer también por 00:43:01
Por kramer 00:43:04
¿Vale? ¿Y por qué lo puedo hacer por Kramer? 00:43:05
Porque resulta que mi matriz 00:43:08
Ahora voy contigo, Claudia 00:43:12
Es 1, 0, 0, menos 1, 1, 2 00:43:13
0, menos 3, menos 1 00:43:17
¿Y cuánto valía su determinante, chavales? 00:43:19
5, ¿no? 00:43:24
Es distinto de 0 00:43:26
Entonces, el rango de A 00:43:27
Es igual a 3 00:43:30
Es igual al rango 00:43:33
de la ampliada que no lo he puesto aquí 00:43:34
1, 0, 0, 7 00:43:37
menos 1, 1, 2, menos 4 00:43:40
y 0, 3, menos 1, 5 00:43:42
es el rango de la ampliada 00:43:45
que es igual al número de incógnita 00:43:48
entonces por el teorema 00:43:50
de Roche-Provenius 00:43:54
es un sistema 00:43:57
compatible y determinado 00:44:00
Solución única y puedo hacer un 00:44:03
¿Qué? Un cramazo 00:44:05
Aplicarme a mí 00:44:07
O Cramer, pero yo aquí 00:44:09
¿Qué vale? Si os dais cuenta 00:44:11
Yo aquí ¿Qué ocurre? Que yo ya he 00:44:13
Alertido, no sé cuánto vale la X, ¿verdad? 00:44:15
Vale 7 00:44:17
¿Qué no? Y aquí lo 00:44:18
Único, pues, ¿Qué ocurre? 00:44:21
Que tengo un sistema con dos ecuaciones 00:44:23
Con dos incógnitas, sustituyo la X 00:44:25
Entonces esto es menos Y 00:44:27
Más 2Z 00:44:28
El menos 7 viene aquí sumando, esto es un 3 00:44:29
y menos 3y menos z 00:44:33
es igual a 5. Y lo resuervo, ¿vale, chavales? 00:44:35
Lo resuervo. 00:44:40
Venga, lo voy a hacer. 00:44:41
Menos y más 2z es igual a 3 00:44:44
y esto es menos 6y 00:44:47
menos 2z igual a 10, ¿no? 00:44:50
Si yo esto lo sumo, ¿qué me queda? 00:44:54
Menos 7y es igual a 13. 00:44:57
No sé si me he equivocado. Y es igual a 00:45:00
13 séptimo, ¿vale? Y entonces z es igual a menos 3y menos 5. Chavales, aquí lo estoy 00:45:02
haciendo tan follado que no sé si me he equivocado o no, ¿vale? Pues lo quedé. Dime, Claudia. 00:45:14
creo que sería de los menos trece séptimos 00:45:20
¿por qué? 00:45:25
ah, de los trece séptimos, es verdad 00:45:29
vale chavales, lo he hecho muy rápido, no sé si está bien 00:45:30
lo que estoy hallando son las coordenadas 00:45:35
de D respecto a la base formada por ABC 00:45:40
¿vale? es decir, estamos volviendo 00:45:43
al tema anterior, al tema 4 00:45:46
Claudia, tu pregunta no me acuerdo cuál es 00:45:48
¿Lo veis, chavales, o no? 00:45:50
D, D respecto a la base 00:45:56
A, B, C 00:45:57
¿Vale? 00:46:00
Claro, no son bases 00:46:06
porque con cuatro vectores 00:46:10
siempre me va a salir uno 00:46:12
linealmente dependiente de los otros dos 00:46:14
combinación lineal, ¿vale? 00:46:16
Cuatro vectores no pueden formar una base de un espacio 00:46:18
en R3 00:46:20
que baje 00:46:22
es que esto 00:46:25
¿alguien lo ha hecho? ¿tú lo has terminado de hacerlo? 00:46:27
me he equivocado 00:46:30
menos trece séptimo, ¿no? 00:46:36
menos 00:46:47
menos sí más dos 00:46:48
siete igual a tres y esto 00:46:48
lo he copiado yo mal, menos seis 00:46:50
menos dos siete más diez y yo esto 00:46:52
lo sumo. Esto es menos 7. 00:46:54
Otra cosa es que yo lo haya 00:46:58
copiado mal. 00:47:00
¿Dónde que yo? 00:47:05
Es que esto era menos 7, 00:47:08
menos 7, menos 4. 00:47:10
Ah, más sí, ¿no? 00:47:15
Más sí, vale. 00:47:21
Venga, gracias. 00:47:23
Esto es un más 00:47:24
¿Vale? Esto es un más 00:47:26
Esto es un más 00:47:28
Esto es un más 00:47:29
Y esto sería menos 5, ¿no? 00:47:32
Y esto es menos 13 quinto 00:47:35
Eso sí os sale 00:47:36
Y aquí lo quedé 00:47:37
No, porque esto es menos 4 00:47:42
Y el 7 00:47:49
Pasa al otro lado y es un 3 00:47:51
Hacedlo con tranquilidad, chavales 00:47:53
Lo que sí necesito 00:47:55
El viernes empezamos un tema nuevo 00:47:57
pero necesito que os vayáis leyendo 00:47:59
entonces, cosas importantes 00:48:01
de cara al tema nuevo 00:48:03
cosas que 00:48:05
tenéis que saber yo creo y si no lo tenemos 00:48:07
que ver, una recta está 00:48:09
definido por un vector, un plano 00:48:11
está definido por dos vectores 00:48:13
y luego chavales 00:48:15
si tengo dos planos 00:48:17
que no son paralelos 00:48:19
¿se cortan entre ellos? 00:48:21
sí, ¿y qué resultado me da 00:48:23
cuando dos planos se cortan? 00:48:25
una recta 00:48:28
¿Vale? 00:48:29
¿Sí o no? 00:48:31
Venga. 00:48:33
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Idioma/s:
es
Idioma/s subtítulos:
es
Materias:
Matemáticas
Niveles educativos:
▼ Mostrar / ocultar niveles
  • Bachillerato
    • Segundo Curso
Autor/es:
Roberto Aznar
Subido por:
Roberto A.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
6
Fecha:
5 de noviembre de 2025 - 22:32
Visibilidad:
Público
Centro:
IES JIMENA MENÉNDEZ PIDAL
Duración:
48′ 38″
Relación de aspecto:
1.97:1
Resolución:
1024x520 píxeles
Tamaño:
110.90 MBytes

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