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11-3-BT1(11quincena1) - Contenido educativo

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Subido el 11 de marzo de 2024 por Francisco J. M.

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Bueno, vamos a empezar a grabar la clase. Como siempre, advirtiendo que si alguien tiene algo que objetar, yo dejo de... 00:00:00
Ah, vale, gracias Néstor. 00:00:09
También depende del dispositivo, de todas formas. 00:00:13
Bueno, como siempre, os pregunto antes que nada que si alguien tiene algún inconveniente en que se grabe la clase, lo paramos y no lo grabamos. 00:00:16
Bueno, vamos a la clase de matemáticas 1, que es el tema de derivadas. 00:00:27
Bueno, este tema os lo tengo que dar en dos semanas, en una quincena, como cual me voy a ir a lo práctico. 00:00:37
Es importante que hoy salgáis con las derivadas sabidas. 00:00:48
Si alguien tiene ciencias sociales y está en esta clase, pues verá que vamos a ver más derivadas de las que se suelen utilizar en ciencias sociales. 00:00:52
Bueno, os voy a dar un poquito. En este tema, quedaos con lo que os cuente yo. El delímite será más pesado, pero aquí más o menos lo que es la tasa de variación media. 00:01:02
con lo que os digo, os basta. 00:01:18
Vamos a ver, yo tengo 00:01:21
esta función, 00:01:23
yo tengo una función, la gráfica de una función, 00:01:34
la gráfica es la que 00:01:37
está en color rojo, 00:01:38
¿no? Sabéis que 00:01:41
este es el valor de x 00:01:43
en el que x 00:01:44
vale a, 00:01:46
si me desplazo 00:01:48
hacia arriba, me desplazo 00:01:50
verticalmente y me coloco 00:01:52
aquí, sabéis que este es el valor de la función 00:01:55
porque este es el punto de coordenadas 00:01:56
AFDA 00:01:58
AFDA 00:02:00
de la misma forma 00:02:02
si tomo otro punto 00:02:05
que en vez de llamarlo B 00:02:07
lo llamo A más H 00:02:08
¿qué quiere decir este A más H? 00:02:10
pues que cojo un poquito más que A 00:02:12
que es el incremento 00:02:15
que se llama H 00:02:17
me sitúo en un punto 00:02:18
que está aquí 00:02:21
de tal forma que esto mide H 00:02:22
¿sí? 00:02:24
Entonces, de aquí me sale un punto, me voy a la función, me sale un valor que es f de a y se llama la tasa de variación media de f en el intervalo a, a más h, a lo que es la pendiente de la recta azul. 00:02:26
La pendiente de una recta supongo que sabéis que es el incremento de la Y respecto, en física supongo que ponéis la delta, pero como no todos tenéis física, o de X, ¿no? 00:02:59
Entonces, si yo me voy de aquí a aquí, ¿cuál es el aumento? Si esto fuera 2 y esto fuera 5, ¿el aumento sería? 00:03:31
No, el aumento. O sea, si yo voy de 2 a 5, he ganado, ¿no? ¿Cuánto he ganado? 00:03:44
Si yo tengo 2 y consigo 5, he ganado. ¿Cuánto he ganado? 00:03:53
3. ¿Qué 3 qué es? 5 menos 2, ¿no? 00:03:58
Bueno, pues lo que he subido es f de a más h menos f de a, ¿sí? Y ahora, el incremento de la x, si yo voy de a a más h, ¿cuánto me he desplazado? H, ¿no? Bueno, pues esto es lo que se llama la tasa de variación media. 00:04:01
Esto en términos, vamos, si estuviéramos en ciencias sociales, si yo he ganado, si yo he pasado de ganar 3 a 5 millones de euros en dos años, ¿no? 00:04:21
¿Cuánto he ganado? Dos en dos años, ¿no? Pues dos entre dos, uno. La tasa. He ganado un millón por año, ¿no? 00:04:34
Bueno, pues esa es la idea de lo que es la tasa de la variación media. 00:04:42
Entonces, veréis que la definición de derivada es la misma, pero con límite. El calcular estos límites es una locura y por eso vamos a hacerlo de una forma un poco distinta. 00:04:46
Vamos, vamos a aprender a derivar. Pero vamos a ver, si yo tengo aquí una función, la idea es la siguiente. 00:05:12
Si yo tengo aquí el punto A y tomo este H, me sale la pendiente de esta recta. 00:05:24
Esta recta es una recta secante. 00:05:38
Si yo en vez de coger este H, cojo este H más pequeño, esta recta secante es distinta. 00:05:41
Cada vez que tomo un H más pequeño, me estoy acercando más. 00:05:52
¿Y ahora qué pasa cuando H tiende a cero? 00:06:00
Los dos puntos se confunden, ¿no? Entonces, si h tiende a cero, si h tiende a cero, me sale que el límite cuando h tiende a cero de la tasa de variación instantánea es la pendiente de esta recta. 00:06:02
¿Cómo es una recta de este tipo? Esto sabéis que es secante, ¿no? Porque la toca en dos puntos. Y si la toca solo en un punto, ¿cómo se llama? La recta tangente. 00:06:35
¿Sí? A ver, esto, si habéis visto física, si tenéis una trayectoria así, sabéis que si un automóvil, y bueno, el que conduzca lo sabrá mejor que yo, que si un automóvil sigue esta trayectoria, tiende a salirse por la tangente, ¿no? ¿Sí? Bueno, pues esa es la idea de la tangente. 00:06:53
¿Por qué es tan importante conocer la pendiente de la recta tangente? 00:07:13
Eso es lo que se llama una variación instantánea, tasa de variación instantánea. 00:07:18
Porque yo sé que si la tangente es positiva, si la recta tangente es positiva, 00:07:24
la función como va, ¿hacia arriba o hacia abajo? 00:07:30
Hacia arriba. 00:07:34
Y si la tangente es negativa, hacia abajo. 00:07:35
si yo cogiera una recta secante 00:07:39
imaginaos que cojo aquí 00:07:43
y cojo dos puntos 00:07:44
y los uno 00:07:46
esto tiene pendiente positiva 00:07:47
pero esta función por aquí es creciente 00:07:50
por aquí decreciente 00:07:53
si lo hago de forma instantánea 00:07:54
yo sé que 00:07:57
si la derivada es positiva 00:07:58
hay crecimiento 00:08:00
y si la derivada es negativa hay decrecimiento 00:08:01
¿perdón? 00:08:03
no, no, es que esto no es una tangente variable 00:08:07
Esto es una secante. Es una secante, con lo cual la secante no nos garantiza que haya crecimiento. Entonces, muchas veces lo que nos interesa es buscar dónde hay crecimiento o dónde no hay crecimiento. 00:08:09
Bueno, pues voy a coger esta gráfica y vamos a ver dónde la derivada es positiva o dónde es negativa. 00:08:25
A ver, yo tengo esta función y tengo este punto. 00:08:38
Tengo la recta tangente, ¿sí? 00:08:42
¿No? En x igual a 2,5. 00:08:45
Esta recta tiene pendiente positiva o negativa. 00:08:52
Positiva. 00:08:56
Entonces, la derivada en 2,5 yo sé que es positiva. 00:08:57
solo me interesa saber si es positiva o negativa 00:09:01
por ejemplo, en x igual a 1 00:09:05
si yo trazo la recta tangente 00:09:08
es curioso, hay veces que la recta tangente 00:09:11
atraviesa la gráfica pero solo la toca en un punto 00:09:14
esta recta 00:09:16
es la derivada como es positiva o negativa 00:09:18
aquí es negativa, es menor que 0 00:09:22
y por ejemplo aquí 00:09:25
¿Esto qué tiene pendiente? ¿Positiva o negativa? 00:09:33
Esto sube. 00:09:36
A ver, ¿esta recta sube? 00:09:42
Yo voy de izquierda a derecha. ¿Esto sube? 00:09:45
Yo diría que no. Yo diría que esto es horizontal. 00:09:50
Que ni sube ni baja. 00:09:53
Y si no sube ni baja, la derivada no es ni positiva ni negativa. 00:09:56
En x igual a cero, la derivada es cero. 00:10:02
Entonces, este es el primer concepto que tenéis que ver. ¿Veis algún sitio más donde la derivada es cero? 00:10:04
¿Y cuánto vale? 00:10:20
Como es esta recta tangente, ¿no? Horizontal. Y si es horizontal, la derivada es cero. 00:10:25
O sea, el sentido de derivada es el decir si al hacer la tangente, la pendiente de esa recta tangente es positiva, negativa o cero. 00:10:33
¿Aquí cómo sería la derivada? ¿Sí? ¿Seguro? 00:10:45
A ver, tú tienes la recta tangente. Esta recta tangente sube o baja. 00:10:54
Pues entonces la derivada es positiva. 00:11:00
Aquí, bueno, aquí ya no sale 00:11:02
En el 3, por ejemplo 00:11:06
¿Cómo sería la derivada? 00:11:08
¿Positiva o negativa? 00:11:10
Positiva, porque la recta tangente 00:11:13
es positiva 00:11:15
También podríais decir 00:11:16
porque la función es creciente 00:11:18
Bueno, una cosa 00:11:20
que no sé si habéis advertido 00:11:22
es que cuando la derivada es cero 00:11:24
es posible que me encuentre 00:11:26
con un máximo o con un mínimo 00:11:29
Y esto en cualquier negocio es importante, ¿no? Y también en la física, saber cuándo la velocidad es máxima, cuándo la velocidad es mínima, ¿no? Y por eso los que estáis dando física, pues tenéis que utilizar derivadas constantemente, ¿no? 00:11:31
Bueno, entonces, bueno, esto ya está y, bueno, de momento el concepto es raro, ¿no? Y ahora, en el libro se habla de calcular derivadas a partir de la definición. No lo hagáis porque si no nos tiramos medio curso intentando calcular derivadas, ¿sí? 00:11:55
Entonces, no vamos a hacerlo a partir de la definición. 00:12:14
Vamos a usar una tabla de derivadas. 00:12:17
Eso sí, esta la tenéis que saber bien. 00:12:20
En sociales, si no me equivoco, es más corta, ¿no? 00:12:22
¿Sí? 00:12:24
Bueno, esta la tenéis que saber bien y aplicar las reglas de derivación. 00:12:25
A ver, más o menos por lógica. 00:12:31
Una función constante, sabéis que es una función horizontal. 00:12:36
Por si una función es horizontal, su derivada es cero. 00:12:39
ahora esto, que vayáis aprendiendo 00:12:42
si tenéis una función potencial 00:12:45
o sea que x es una potencia de x 00:12:47
el exponente se baja 00:12:50
y multiplicando 00:12:54
y se deja un exponente que es una unidad menor 00:12:56
que la original 00:13:00
esta ya os la explicaré yo, no es necesario que la sepáis 00:13:01
hay gente que se la sabe por facilidad 00:13:05
La derivada de 1 partido por x es menos 1 partido por x cuadrado. 00:13:08
Yo os la voy a explicar cuando nos salga porque es sangre. 00:13:14
La derivada de la raíz es 1 partido por 2 raíz de x. 00:13:18
Hay gente que de usarla tanto también se la aprende. 00:13:21
Ahora viene una facilita que es la de e elevado a x, 00:13:24
que es una de las pocas funciones que su derivada se llama. 00:13:28
E, acordaos, el número e. 00:13:32
si en vez de 00:13:33
tiene otra base, la derivada 00:13:35
elevada a x es la misma pero multiplicada 00:13:37
por el logaritmo neperiano de a 00:13:40
con lo cual pues es 00:13:41
más complicada 00:13:43
la derivada del logaritmo de x 00:13:44
es 1 partido por x, esto lo tenéis que saber 00:13:47
automáticamente 00:13:50
la del logaritmo en base a 00:13:51
es la misma que la anterior pero 00:13:53
la x multiplicada 00:13:55
por el logaritmo neperiano de a 00:13:58
luego las funciones trigonométricas 00:13:59
esto haciendo derivadas 00:14:02
o la derivada del seno es el coseno 00:14:05
la derivada del coseno es menos seno 00:14:08
acordaos que aquí hay un cambio de signo 00:14:12
la de la tangente se puede escribir de dos formas 00:14:14
la elegís, estas os las tenéis que saber 00:14:17
y estas son menos habituales 00:14:20
pero también nos pueden salir 00:14:25
la de arcosenos, esta de aquí 00:14:26
La del arco coseno tiene la montaja, que es la misma, pero con el signo cambiado. 00:14:28
Y quizá la que más se use de las funciones trigonométricas inversas es 1 partido por 1 más x cuadrado. 00:14:35
Bueno, dicho esto, primero vamos a hacer alguna derivada sencilla para que veáis cómo se hace esto. 00:14:41
Vale, vale. Entonces, a ver, primera cosa. 00:14:59
A ver, si yo tengo igual, esto vamos, esto lo tenéis que saber como sumos. Si yo tengo x elevado a n, su derivada es n por x elevado a n-1. Por ejemplo, si tengo igual a x elevado a 7, ¿cuál sería su derivada? 00:15:14
7 por 00:15:39
elevado a 7 menos 1 00:15:42
¿Veis? 00:15:47
Bueno, si yo tengo la derivada 00:15:49
de x, ¿cuál es la derivada 00:15:51
de x? 00:15:53
1. Bueno, que 00:15:55
esa no sé si os la he puesto 00:15:57
esta sería 00:15:59
1 por x elevado a 0 00:16:00
que es 1, ¿no? Pero esta es mejor 00:16:03
que la sabréis. Esta es mejor saberla. 00:16:05
Bueno, pues ya vamos a hacer 00:16:13
algunas de las que tenemos aquí en la lista. ¿Cuál es la derivada de igual a x cuadrado? 00:16:14
Bajo el 2, x elevado a 1, que es x. Cuidado, que esto es la derivada, no es lo mismo una 00:16:22
función que su derivada. Ahora, vamos a ir aplicando las reglas de derivación. Vamos, 00:16:32
La primera regla de derivación es la siguiente, que si yo tengo una función y la multiplico por un número, el número no se deriva y se deriva la función. 00:16:40
Entonces, en este caso, yo quiero derivar la función 5 por x, ¿no? 00:16:57
El 5 no lo derivo. ¿Y cuál es la derivada de x? 00:17:05
Pues la derivada de 5x es 5. 00:17:09
esto es lógico 00:17:12
porque sabéis que 5x es una recta 00:17:15
y que la pendiente de esa recta es 5 00:17:18
pues la pendiente de la recta tangente 00:17:20
en una recta y su tangente tienen que coincidir 00:17:23
¿cómo derivaríais esto? 00:17:27
7 por la derivada 00:17:31
de elevado a x, ¿cuál es la derivada de elevado a x? 00:17:33
elevado a x, efectivamente, es la misma 00:17:36
entonces, primera regla 00:17:39
de derivación que es sencilla 00:17:42
que la derivada de un número multiplicado por una función 00:17:46
para derivar esto, el número lo dejáis y deriváis la función. 00:17:49
Ahora, segunda regla, la derivada de la suma 00:17:54
la derivada de la suma o la resta de dos funciones 00:17:58
es la suma o resta de las derivadas. 00:18:05
¿Cómo hacemos esto? 00:18:09
pero derivo 00:18:12
¿cuál es la derivada de 3x? 00:18:17
3 por la derivada 00:18:22
de x que es 1 00:18:24
¿cuál es la derivada del número? 00:18:25
o sea que la derivada de 3x más 2 00:18:29
es 3, cosa que es 00:18:32
perfectamente lógica porque esto es una 00:18:34
pendiente, una recta de pendiente 00:18:36
3, la derivada es la pendiente 00:18:38
pues como os fijáis esto sale 00:18:40
Ahora, primera cosa que es sencillísima y que la pilláis enseguida. 00:18:42
Esto es la suma o resta de varios monógonos, ¿no? 00:18:51
¿Cuál es la derivada de 2x cubo? 00:18:55
Bajo el 3, o sea que sería 2 por 3, 6. 00:19:01
x y se ha elevado al cubo al cuadrado. 00:19:06
Muy bien. 00:19:09
Ahora, menos, ¿cuál sería? 00:19:10
El bajo es 2. 2 por 3 es 6. X y si aquí había 2, ahora es 1. Lo dejo igual. ¿Cuál es la derivada de X? 1. ¿Y la derivada de menos 5? 0. Esto si queréis lo ponéis y si no, no. 00:19:12
¿Vale? Bueno, porque hay alguien que no haya visto derivadas, voy a hacer otra de un polinomio. A ver, por ejemplo, si y es igual a x cubo menos x más 25. ¿Cuál sería la derivada? 00:19:28
3x al cuadrado 00:19:48
menos 1 00:19:56
más 0 00:19:58
ya está 00:20:00
y ahora me diréis 00:20:01
¿qué pinta esto aquí? 00:20:05
porque esto 00:20:11
entonces 00:20:11
hay veces que antes de derivar 00:20:14
hay que manipular la función 00:20:16
vosotros sabéis que 00:20:18
si x al cuadrado está 00:20:20
dividiendo es lo mismo que elevar 00:20:22
a menos 2 00:20:24
Bueno, y ahora, una vez manipulada la función, yo puedo utilizar la regla de derivación. 00:20:26
¿Qué me saldría? 00:20:34
El menos 2 lo bajo multiplicando y me queda menos 4 por x elevado a... 00:20:38
Cuidado, es menos 2 menos 1, ¿no? 00:20:46
¿Y cuánto es menos 2 menos 1? 00:20:48
Menos 3. 00:20:51
O sea que esto sale menos 4 partido por x cubo. 00:20:53
Entonces, esta es una forma de hacerla. Luego os voy a proponer otra, otra forma de hacer esto, pero que de momento estas son las reglas de derivación, como veis vamos un poco deprisa para variar. 00:20:59
Y ahora vamos a dejar alguna que tenga un poquito más de enjuague. Voy a hacer primero esta y con esta voy a utilizar una pantalla entera. 00:21:15
por lo siguiente. 00:21:32
Vamos a ver. 00:21:34
¿Qué quiero derivar esto de aquí? 00:21:36
Tengo 00:21:40
3 por 00:21:40
la derivada del seno. ¿Cuál es la derivada 00:21:42
del seno? 00:21:44
No, el coseno. 00:21:46
Ahora, 00:21:50
más. Cuidado 00:21:50
que esto... 00:21:54
Bueno, esta os he dicho 00:21:56
que si queréis os la aprendáis de memoria. 00:21:58
Esto depende de lo que lo uséis. 00:22:00
o os la podéis aprender y si no estáis seguros 00:22:02
hacéis lo siguiente 00:22:05
si yo tengo la función 00:22:06
y igual a raíz de x 00:22:08
esto que potencia 00:22:11
es x elevado a 00:22:13
a un medio 00:22:17
vale 00:22:20
¿cómo derivo esto? 00:22:22
paso el un medio 00:22:29
por x elevado a 00:22:30
un medio menos uno 00:22:33
¿no? 00:22:35
bueno, el un medio menos uno 00:22:37
Si queréis lo hacéis manualmente y si no lo sabéis, sabéis que 1 menos 1 medio es, perdón, es que lo he puesto al revés, es 1 medio menos 1, ¿no? 00:22:39
Es lo que me querías decir, ¿no? 00:22:56
Menos 1 es menos 1 medio, ¿no? 00:22:59
Bueno, esto es lo mismo posible. 00:23:04
Esto es x elevado a menos 1 medio. 00:23:06
¿Y qué es elevar a menos un medio? 00:23:08
Que la x va a estar abajo 00:23:11
Y elevar a un medio sabéis que es la raíz 00:23:15
Entonces, si queréis saberos que la derivada de la raíz es 1 partido por 2 raíz de x 00:23:21
Estupendo 00:23:28
Y si no, pues la tenéis que deducir de las dos derivadas 00:23:29
Voy a la siguiente 00:23:32
Menos 1 partido por x cubo 00:23:36
¿Qué tengo que hacer con esta? 00:23:40
Ponerla como x elevado a 00:23:47
a menos 3 00:23:48
¿cuál es la derivada? 00:23:51
menos 3 por 00:23:56
a ver, es menos 3 00:23:57
menos 1, ¿no? 00:24:02
¿y cuánto es menos 3 menos 1? 00:24:04
menos 4 00:24:09
¿y esto sería? 00:24:10
si tiene exponente negativo, ¿qué hago? 00:24:15
la pongo en el denominador, ¿no? 00:24:18
pues menos 3 partido por 00:24:21
ah, sería menos 00:24:23
sería menos 00:24:24
menos 3 partido por 00:24:27
más, ¿cuál es la derivada 00:24:31
de elevado a x? 00:24:34
elevado a x 00:24:36
¿y cuál es la derivada de la raíz 00:24:38
de 5? 00:24:40
5 es un número 00:24:43
¿no? 00:24:46
pues la derivada de un número es 0 00:24:48
una constante es 0 00:24:49
esto conviene simplificarlo 00:24:51
aunque sea poco 00:24:54
3 coseno de x 00:24:54
más 1 partido por 2 raíz de x 00:24:56
más 3 partido por x cuarta 00:25:00
lo único que he hecho así 00:25:04
lo voy a hacer este menos por menos más 00:25:05
y luego lo demás como son funciones 00:25:07
de diferente naturaleza 00:25:09
lo mejor es no mezclarlas 00:25:10
bueno, esta derivada en la vida 00:25:12
nunca va a salir 00:25:14
hay mucha gente, profesores 00:25:15
que lo ponen en los exámenes 00:25:18
yo prefiero poner cosas que sean más 00:25:20
más realistas, pero bueno, esta, como veis, es una derivada en la que os he explicado bastante 00:25:24
lo que son las reglas de limitación. Bueno, la siguiente tanda que tengo aquí, bueno, voy a hacer primero 00:25:35
estas dos para separarlas. Ahora veréis por qué las he apagado. A ver, ¿qué hemos visto hasta ahora? 00:25:43
la derivada de un número por una función 00:25:58
¿no? un número se deja 00:26:01
y la función se deriva 00:26:03
la derivada de una suma de una resta 00:26:04
¿qué? ¿cómo se hace? se derivan 00:26:07
por separado ¿no? 00:26:09
bueno pues cuando tenéis que calcular la derivada 00:26:10
de un producto 00:26:13
otra regla de derivación 00:26:14
la derivada 00:26:17
de un producto 00:26:30
se calcula 00:26:31
esto ya os digo que 00:26:34
cuando alguien lo ve por primera vez 00:26:36
le suena bastante extraño 00:26:41
pero la alternativa 00:26:42
es poneros a hacer límites 00:26:44
que son bastante complicados 00:26:46
con lo cual que veis que 00:26:48
las reglas de derivación 00:26:49
tienen su ventaja 00:26:51
para derivar un producto de funciones 00:26:53
se deriva primero la primera función 00:26:56
se multiplica 00:26:58
por la segunda sin derivar 00:27:00
y luego se hace 00:27:02
lo contrario 00:27:04
este se deja sin derivar 00:27:06
y se deriva la segunda 00:27:13
primero la primera y la segunda se deja 00:27:15
luego se deja la primera y se deriva la segunda 00:27:17
en este caso 00:27:22
¿cuál sería la derivada? 00:27:23
esto es f ¿no? y esto es g 00:27:27
¿cuál es la derivada de x? 00:27:30
y g sin derivar 00:27:36
más 00:27:39
f, ¿cuánto es f? 00:27:40
la primera 00:27:48
que es x por la derivada 00:27:49
de g, ¿cuál es la derivada de 00:27:51
elevado a x? 00:27:53
elevado a x 00:27:55
esto, y sale mucho cuando tengáis 00:27:56
exponenciales 00:27:59
lo suyo es que saquéis 00:28:00
factor común para que quede simplificada 00:28:03
la función. 00:28:05
Bueno. 00:28:09
La siguiente. 00:28:10
Esto es 00:28:13
y esto es g. 00:28:16
O sea que aquí la derivada sería 00:28:21
¿cuál es la derivada de f? 00:28:23
1 por 00:28:28
que es logaritmo en base 2 de x. 00:28:32
Más el primero sin derivar, que es f, que es x, por la derivada del logaritmo. 00:28:35
Entonces, acordaos lo que os he dicho. 00:28:47
La derivada del logaritmo neperiano es 1 partido por x. 00:28:49
Pero como el logaritmo está en base 2, se multiplica por el logaritmo en base 2. 00:28:54
Y ahora aquí, si veis alguna simplificación obvia, pues se simplifica. 00:28:58
¿Veis alguna simplificación obvia? 00:29:05
esta x está multiplicando 00:29:07
y está dividiendo 00:29:12
pues entonces esto me queda 00:29:13
1 por logaritmo de 2 00:29:16
que es logaritmo en base de 2 de x 00:29:17
y aquí me queda más 00:29:19
1 partido por el logaritmo 00:29:21
neperiano de 2 00:29:24
como veis 00:29:25
esta derivada es rara 00:29:28
no es usual tampoco 00:29:30
usar logaritmos que 00:29:32
no estén en base 00:29:33
y bueno 00:29:34
Una advertencia, sobre todo en este curso, si estáis dando física. 00:29:37
Cuando trabajábamos en geometría, la calculadora tenía que estar en grados hexagesimales, tenía que estar en B. 00:29:43
En este tema, sobre todo cuando hagáis cálculos en física, acordaos siempre de que la calculadora tiene que estar en radianes. 00:29:50
La fórmula de derivar la derivada del seno es el coseno cuando la función está en radianes. 00:30:00
Bueno, nos vamos a la penúltima regla de derivación, que es cómo se divide un cociente. 00:30:09
Entonces, si os parecía extraño la regla anterior, pues esta va a parecer más extraña todavía. 00:30:28
¿Cómo se deriva un cociente? 00:30:36
Pues en principio se hace como con el producto. 00:30:38
¿Se deriva el primero? Pues el segundo sin derivar. ¿El primero no se deriva? Se multiplica por la derivada del segundo y en vez de un más se pone un menos. Pero es que además de eso, en el denominador queda el G para A. 00:30:41
Entonces, yo para que no tengáis que gastar demasiada memoria, pues os lo cuento así. 00:30:58
Se deriva como un producto, pero en vez de un más se pone un menos y el denominador se pone un cuadrado. 00:31:09
Bueno, entonces, si tengo esta función, aquí f es 2x más 3, es el numerador, y g es x cuadrado más 1, más x. 00:31:16
Bueno, pues empiezo. ¿Cuál es la derivada de f? 00:31:40
La derivada sería 2 por la derivada de x, que es 1. 00:31:51
Si queréis lo escribo de momento. 00:31:58
Ahora, más, ¿cuál es la derivada de 3? 00:32:01
Esto, como ha dicho una compañera vuestra, pues es lo mismo que 2. 00:32:06
Pero lo voy a dejar así, de momento, a ver despacio. 00:32:10
Ahora, por el denominador sin derivar. 00:32:13
¿Cuál es el denominador? 00:32:16
x cuadrado más 4 00:32:17
menos 00:32:21
menos 00:32:22
más x, ¿no? 00:32:25
x cuadrado más x, perdón, menos 00:32:27
el numerador sin derivar 00:32:29
¿cuál es el numerador? 00:32:31
por la derivada 00:32:35
del denominador, que será 00:32:37
2x más 00:32:39
y partido por 00:32:46
el cuadrado del denominador 00:32:50
llegados aquí 00:32:52
tengo una buena noticia 00:32:54
que es que esto nunca se desarrolla 00:32:56
en algunos programas informáticos 00:32:59
si lo hace, pero a mi me gusta dejar esto factorizado 00:33:01
pero lo de arriba 00:33:03
hay que operarlo 00:33:05
bueno, esto como veis 00:33:07
es igual a 2 00:33:09
lo de arriba hay que operarlo 00:33:10
para eso hicimos en la primera evaluación 00:33:13
las operaciones con fracciones anteriores 00:33:15
Entonces, esta parte de abajo la dejo como está y ahora tengo que hacer 2 por x cuadrado que es 2x cuadrado más 2x y mucho cuidado aquí con los signos porque tengo que hacer 2x por 2x que es 4x cuadrado, 3 por 2x que es 6x, 00:33:17
2x por 1 que es 2x 00:33:42
y 3 por 1 que es 3 00:33:47
entonces el denominador ya os digo 00:33:49
ni tocarlo 00:33:56
y aquí me queda 00:33:57
2x cuadrado menos 4x cuadrado 00:34:03
es menos 2x cuadrado 00:34:08
luego sería 2x 00:34:10
y ahora esto sería 8x 00:34:13
2x menos 8x es menos 6x 00:34:16
Y luego hay un más 3, que como tiene el menos delante, pues queda el menos 3. 00:34:19
Esta es la derivada simplificada. 00:34:28
Y esto es tan importante como derivar un polinomio. 00:34:31
Este tipo de funciones son las que realmente tenéis que derivar bien. 00:34:36
O sea, tenéis que dominar perfectamente la derivada de un polinomio y la derivada de un pocinte de un polinomio. 00:34:43
Esta, ¿os acordáis que la hemos hecho antes? 00:34:48
Bueno, pues vamos a hacerla ahora como un cociente. 00:34:56
¿Cómo derivaríais esto? 00:34:58
La derivada del numerador, que es 0 por el denominador sin derivar, 00:35:02
menos el numerador, que es 2, por la derivada del denominador, que es 2x. 00:35:09
Y esto sería x cuadrado elevado al cuadrado. 00:35:21
Entonces, estas operaciones las hacéis. 00:35:26
Esto vale cero. 00:35:29
O sea, que en el numerador queda menos cuatro x. 00:35:30
Y aquí queda x cuadrado al cuadrado. 00:35:33
¿Qué potencia es? 00:35:36
X a la cuarta. 00:35:40
¿Se puede simplificar? 00:35:41
Sí, se simplifica una x y me queda aquí x al cubo. 00:35:45
lo he hecho de otra forma distinta 00:35:49
y me sale igual 00:35:52
si no me sale igual 00:35:53
pues tendríamos un problema 00:35:56
vale 00:35:57
bueno, pues las dos que quedan 00:35:59
las dos que quedan 00:36:01
las he puesto para que veáis 00:36:06
que cuando cambiéis una función 00:36:08
en numerador por denominador, hacéis un cambio 00:36:09
que parezca muy parecido a estas funciones 00:36:11
no tienen nada que ver 00:36:13
¿cómo se deriva esto? 00:36:15
uno por 00:36:20
La derivada de x es 1 por el denominador sin derivar menos x, el denominador sin derivar, por la derivada del denominador que es elevado a x partido por el denominador elevado al cuadrado. 00:36:21
Aquí procede sacar factor común y ¿qué se puede hacer? 00:36:49
Se puede simplificar este elevado a x con uno de estos. 00:37:03
Mucho cuidado porque esto va a pasar muchas veces. 00:37:08
¿A alguien se le puede ocurrir que yo tacho este elevado a x con uno de estos y este elevado a x con uno de estos? 00:37:11
¿Se le puede ocurrir? 00:37:18
Pues sí, se le puede ocurrir, pero no es correcto porque solo se pueden simplificar factores. 00:37:20
Y para que podáis simplificar factores, tiene que estar factorizado esto. 00:37:26
El numerador aquí no está factorizado, aquí sí. 00:37:30
Bueno, pues esto queda 1 menos x partido por elevado a x. 00:37:35
¿Sabéis cómo se parece, no? 00:37:40
Bueno, pues vamos a hacer la otra. 00:37:42
¿Cómo haríais esto? 00:37:46
derivada del numerador que es elevado a x 00:37:48
por 00:37:52
el denominador sin derivar 00:37:54
que es x 00:37:58
más 00:38:00
menos 00:38:05
menos 00:38:08
¿cuál es la derivada 00:38:11
del numerador sin derivar? 00:38:14
por 00:38:20
la derivada del denominador 00:38:20
que es un partido por 00:38:22
por el denominador al cuadrado 00:38:24
entonces aquí se saca factor común 00:38:27
y como veis no se puede simplificar nada 00:38:31
bueno, pues ya estamos llegando casi al final 00:38:36
de lo que es derivar 00:38:42
esto es como aprender a derivar en media hora 00:38:43
y no caer en el intento 00:38:50
vale, aquí creo que tenía una derivada repetida 00:38:53
y vamos a la última parte 00:38:57
que quizás sea la que más cueste 00:39:09
y luego ya os diré 00:39:11
que tengo por ahí preparada una actividad 00:39:13
que para mí es la prueba de fuego 00:39:15
de que sabéis utilizar 00:39:17
las reglas de migración 00:39:19
bueno, vamos a ver 00:39:20
esto, y por eso os lo expliqué 00:39:26
en su momento, es una 00:39:31
función 00:39:33
está dentro de otra 00:39:33
esta función que es f de x 00:39:37
bueno, esto es lo que vamos a ver ahora 00:39:46
es lo que se llama la regla de la cadena 00:39:52
regla de la cadena 00:39:54
es la composición de funciones que vimos en el tema 1 00:39:57
de esta evaluación 00:40:03
no sé si era el tema 7, no me acuerdo 00:40:05
entonces, tengo una función que está dentro de otra 00:40:07
¿Sí? ¿Cómo se deriva una función que está dentro de otra? Pues primero se deriva la de fuera y se aplica a la de dentro. Y después se multiplica por la derivada de la de dentro. 00:40:11
Bueno, si es por lo menos así, pues se suena un poco raro, ¿no? 00:40:30
Entonces, a ver, yo me voy a fijar qué es lo que hago aquí. 00:40:37
Si, por ejemplo, x vale 1 y yo sustituyo 2 por 1 menos 1 y elevo a 3, ¿qué es lo último que hago? 00:40:41
¿Multiplicar por 1 y restarle 1 o elevar a 3? 00:40:53
lo de dentro es lo primero que hago 00:40:57
lo último que hago es elevar a 3 00:41:02
pues ese elevar a 3 es lo primero que deriva 00:41:04
entonces, atención, ¿cuál es la derivada de x cubo? 00:41:07
no, no, la derivada de x cubo ¿cuál es? 00:41:16
3x cuadrado, ¿no? 00:41:19
bueno, pues yo voy a dejar esto 00:41:21
¿por qué? 00:41:23
Porque no tengo que aplicárselo a 3x cuadrado, sino a lo que hay dentro. 00:41:26
¿Y qué es lo que hay dentro? 00:41:33
2x menos 1. 00:41:37
Entonces, aquí hay que pensar qué es lo de dentro y qué es lo de fuera. 00:41:41
Lo de fuera es elevar al cubo, pues lo he derivado. 00:41:46
Y se llama regla de la cadena porque ahora tengo que derivar lo de dentro. 00:41:50
¿Cuál es la derivada de 2x menos 1? 00:41:54
¿Cuál es la derivada de un número? 00:41:58
Cero, o sea que es dos, ¿no? 00:42:05
¿Cómo se puede operar esto? 00:42:07
Pues simplemente tres por dos, seis, y luego dos x menos uno al cuadrado. 00:42:09
A ver, voy a hacer esta porque es mucho más gráfica, 00:42:14
aunque para esta necesitáis que os recuerde 00:42:17
que la derivada del arco seno de x es, la tenéis en la tabla, 1 partido por la raíz de 1 menos x cuadrado. 00:42:21
Y por otra parte, que la derivada de raíz de x es 1 partido por 2 raíz de x. 00:42:36
A ver, si es esto, si no lo sabéis, pues difícilmente se hace la derivada. 00:42:46
Entonces, ¿qué es lo primero que tengo que derivar? 00:42:55
Yo tengo elevado de x, que está dentro de una raíz, que está dentro de un arco seno. 00:42:59
¿Qué es lo que está más fuera? 00:43:04
El arco seno. ¿Cuál es la derivada del arco seno? 00:43:09
Uno partido por raíz de uno menos x cuadrado. Pero no está x cuadrado, sino que es la raíz de elevado a x al cuadrado. 00:43:12
Entonces, no hay que poner x, sino lo de dentro. Continúo. Y por eso se llama regla de la cadena. Tengo que derivar esto. 00:43:33
¿Qué es lo de dentro? ¿Elevado a X o la raíz? X, o sea que lo de fuera es la raíz, ¿no? ¿Cómo se deriva la raíz? 1 partido por 2 raíz de, y aquí, en vez de poner X, ¿qué tengo que poner? 00:43:43
lo de dentro que es elevado a x 00:44:10
¿sí? 00:44:13
por, y por eso se llama la regla 00:44:15
de la cadena, tengo que derivar 00:44:17
lo de dentro, ¿cuál es la derivada 00:44:19
de elevado a x? 00:44:21
elevado a x 00:44:24
entonces, creo que aquí queda muy claro 00:44:25
¿no? que esto es la regla de la 00:44:29
cadena, que se va haciendo 00:44:31
primero se deriva al coseno 00:44:32
y se aplica a lo de dentro 00:44:34
una vez derivado 00:44:37
eso, derivo lo de dentro que es 00:44:39
derivar la raíz y se lo aplico 00:44:41
a lo que está a su vez dentro 00:44:43
y por último derivo lo que hay 00:44:45
dentro que se le da raíz 00:44:47
eso se llama regla de la cadena, esto lo podéis hacer 00:44:48
17 veces 00:44:51
bueno, ¿cómo se 00:44:52
simplificaría esto? 00:44:54
a que 00:45:01
si tengo una raíz y un cuadrado 00:45:01
que van 00:45:04
me quedaría esto 00:45:04
aquí me quedaría 00:45:07
1 partido por 2 00:45:12
raíz elevada a x 00:45:14
por elevada a x 00:45:16
y bueno, con que lo dejarais 00:45:18
así, estaría bien 00:45:20
se puede simplificar más 00:45:22
pero, se puede simplificar 00:45:24
más, yo ya os aseguro que 00:45:31
esta función no os la vais a encontrar 00:45:33
en ningún caso de 00:45:35
la vida real, lo que pasa es que 00:45:37
es muy bonita porque se van simplificando 00:45:39
las cosas y otras cosas 00:45:41
es más, este elevado a x con raíz 00:45:43
este elevado a x, si queréis 00:45:45
simplificar más 00:45:47
sabéis que esto quedaría 00:45:48
en el numerador raíz elevado a x 00:45:51
y aquí os quedaría un poquito 00:45:53
más simplificado, pero vamos 00:45:55
yo en una función de estas 00:45:57
pues con derivarlo 00:45:59
y que tengáis los numeradores 00:46:01
y los denominadores 00:46:03
porque ya os digo que 00:46:04
una simplificación en un mastodonte 00:46:06
pues 00:46:09
algo que tendréis que utilizarlo en la práctica 00:46:11
pues no merece la pena 00:46:13
hacerlo 00:46:14
Bueno, y si no me equivoco me he dejado una para esta, que parece sencilla, no es difícil, 00:46:16
pero aquí es que estáis combinando dos cosas. Esto es f y esto es g, ¿verdad? Yo, si derivo 00:46:30
¿cómo se lo derivaría? 00:46:45
la derivada del primero que es 00:46:47
1 por elevado a 2x 00:46:49
más 00:46:53
x por 00:46:54
la derivada de elevado a 2x 00:46:55
¿no? 00:47:01
no corramos 00:47:03
porque aquí hay que utilizar la regla de la cadena 00:47:04
¿cómo se hace esto? 00:47:07
primero ¿qué derivo? 00:47:13
elevado a x 00:47:15
¿no? ¿cuál es la derivada de elevado a x? 00:47:16
La derivada de elevado a x es elevado a x, ¿no? 00:47:21
Lo que pasa es que se lo aplico a 2x por la regla de la cadena que tengo que hacer. 00:47:24
Derivar 2x, ¿no? 00:47:30
¿Y cuál es la derivada de 2x? 00:47:32
2 por 2. 00:47:35
Bueno, pues aquí saco factor común, porque soy un magnético, por... 00:47:41
Y aquí me queda 1 más 2x. 00:47:46
y bueno, lo último 00:47:48
lo último de lo último 00:47:51
que para mí es la prueba de fuego 00:47:53
que si habéis entendido 00:47:56
la clase de hoy 00:47:57
para esto no tenéis 00:47:58
que tomarse su tiempo 00:48:01
es calcular las derivadas sucesivas 00:48:03
vamos a hacer un ejemplo 00:48:10
muy sencillo 00:48:12
y luego voy a hacer 00:48:14
el ejemplo 1 y el 3 00:48:16
a ver 00:48:17
en los que dais física sabéis que 00:48:22
la derivada segunda es la aceleración. 00:48:25
La derivada de la derivada es la aceleración. 00:48:28
Si no, ya no lo es. 00:48:30
A ver, este ejemplo es muy sencillo. 00:48:31
¿Cuál es la derivada 00:48:34
de este polinomio? 00:48:35
3x cuadrado 00:48:41
menos 00:48:42
más 0. 00:48:45
¿Cuál es la derivada de la derivada 00:48:47
de esa función? 00:48:50
menos 00:48:54
la derivada de 4x es 00:48:55
menos 4 00:48:59
este es el concepto de derivada segunda 00:49:01
bueno, pues voy a hacerlo ahora mismo con todo este tocho 00:49:04
¿cuál es la derivada de esta función? 00:49:07
la derivada del numerador que es 00:49:13
por 00:49:18
la derivada de menos 1 es 0 00:49:19
por este sin derivar 00:49:23
menos 2x más 1, ahora por el denominador sin derivar que es x cuadrado menos 1, por 00:49:26
la derivada del denominador que es 2 y el denominador 2x más 1 al cuadrado. Esto lo 00:49:41
desarrollo me queda 4x cuadrado más 2x menos 2x cuadrado y cuidado que aquí menos por menos más 00:49:50
me salen más 2. Lo de abajo no lo toquéis, mejor no tocarlo y lo único que se puede simplificar es 00:49:59
4x cuadrado menos 2x cuadrado y lo demás nos queda como está. Vale, pues si hago la derivada de la 00:50:08
derivada y quiero terminarlo 00:50:19
no, porque es 4 menos 2 00:50:21
4x cuadrado 00:50:25
4x cuadrado menos 2x cuadrado 00:50:28
es 2x cuadrado 00:50:35
y luego el 2x se queda 2x 00:50:36
y el 2 más 2 00:50:38
bueno, ahora la derivada del numerador es 00:50:39
más 2 00:50:45
¿no? 00:50:47
el denominador 00:50:48
sin derivar es 2x más 1 al cuadrado menos el numerador sin derivar que es 2x cuadrado 00:50:49
más 2x más 2 por la derivada de este. Y para hacer la derivada de este tengo que hacer 00:51:00
la regla de la cadena. ¿Cómo hago la regla de la cadena? Bajo el 2 por 2x más 1 y tengo 00:51:09
que multiplicar por la derivada de lo de dentro, que es 2. Y aquí tengo 2x más 1 al cuadrado 00:51:23
elevado al cuadrado. Diréis, menudo mamotreto es este, ¿no? Bueno, elevado al cuadrado, 00:51:34
elevado al cuadrado, es mejor que ponga elevado al cuadrado. Bueno, pues aquí este truco 00:51:40
me encanta contarlo, ¿no? Primero que sepáis que aquí es la derivada del cociente combinada 00:51:45
con la regla de la cadena. 00:51:51
Aquí hay un 2x más 1, ¿verdad? 00:51:54
Aquí hay un 2x más 1. 00:51:57
Si yo tacho, ¿qué tengo que poner aquí? 00:51:59
En vez de elevado a 4, hay que ponerlo elevado a 3. 00:52:05
¿Por qué? Porque yo tengo que sacar factor común y tachar. 00:52:10
Quito uno de aquí, otro de aquí y ya está. 00:52:15
Y una vez hecho esto, si estoy intentando hacerlo por vuestra cuenta, hasta que os salga, multiplico todo. Me queda 8x cuadrado más 4x más 4x más 2. 00:52:17
Y aquí queda 2 por 2, 4, menos 8x cuadrado, menos 8x, menos 8. 00:52:37
Y fijaos que si uno organiza bien las cuentas, el resultado que queda es más bonito. 00:52:50
Porque esto se va con esto, esto se va con esto y quedan unos 6 partido por 2x más 1. 00:52:59
Bueno, tenéis tutoriales. 00:53:11
Lo que importa en esta semana es que aprendáis a verlo. 00:53:16
Y a ver, si no me equivoco, vamos a ver aquí. 00:53:20
Bueno, aquí viene la monotonía de la función. Esto lo veremos el próximo día. Ah, sí, es que esto se me ha olvidado deciros. Esto lo tengo así puesto del año pasado y creo que es bueno para que vayáis viendo qué es lo que os queda de aquí a finalizar la evaluación. 00:53:25
Este es el tema completo. Bueno, entonces, todo lo que os he contado hoy está aquí en derivadas paso a paso. Aquí tenéis ejercicios resueltos y luego, por si queréis ver alguna regla de derivación, serían los tres primeros tutoriales para que vayáis viendo durante esta semana. 00:53:44
El próximo día acabamos el tema de derivadas, que será más agradable porque las cuentas son más sencillas. 00:54:03
Siempre de entrada, cuando os ponen a derivar, os ponen unas derivadas que no os van a salir en la vida. 00:54:11
En los exámenes a mí no me gusta poner derivadas demasiado grandes, pero un poquito más largas de lo normal sí se puede. 00:54:17
Y luego una vez hecho eso, los ejercicios de aplicación son más bonitos y son más ligeros. 00:54:25
Pues esto 00:54:31
ni más ni menos es la clase de hoy 00:54:35
y nada, cualquier cosa 00:54:37
sabéis que estamos en la 00:54:39
que tenéis 00:54:41
las historias individuales, ¿vale? 00:54:43
Y que el miércoles por la mañana 00:54:45
vuelvo a dar esta clase, ¿vale? 00:54:47
Hasta luego. 00:54:49
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Autor/es:
Javier M.
Subido por:
Francisco J. M.
Licencia:
Reconocimiento
Visualizaciones:
11
Fecha:
11 de marzo de 2024 - 19:21
Visibilidad:
Clave
Centro:
IES LOPE DE VEGA
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
60.85 MBytes

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