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Método de gauss. Sistemas de ecuacionews - Contenido educativo

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Subido el 22 de enero de 2021 por Jose S.

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Bien, ayer nos estuvimos viendo, estamos explicando la teoría del tema de ecuaciones, 00:00:00
de segundo bachillerato de ciencias sociales, ayer estuvimos viendo qué tipo de transformaciones 00:00:11
se pueden hacer en los sistemas de ecuaciones de manera que el sistema resultante de dicha transformación 00:00:18
sea un sistema equivalente, es decir, que tenga las mismas soluciones. 00:00:26
Esto es importante porque para resolver un sistema el método que vamos a utilizar es sustituirlo por sistemas equivalentes 00:00:30
de manera que el resultante sea más sencillo de resolver. ¿Se entiende o no? Bien. 00:00:39
El método que voy a exponer a continuación es el método de Gauss para resolver un sistema de ecuaciones. 00:00:49
El método de Gauss consiste en, mediante transformaciones, de este punto que vimos ayer, el punto 1, 1, 2, transformaciones que me llevan a sistemas equivalentes, obtener un sistema equivalente al que quiero calcular mucho más sencillo. 00:00:54
sencillo. ¿Qué entendemos por un sistema mucho más sencillo para esta técnica? Pues 00:01:17
es un sistema escalonado. Un sistema escalonado es, aquí tenéis un ejemplo, es un sistema 00:01:23
que le pasa esto, que debajo de esta escalera todos los coeficientes valen cero. De manera 00:01:34
a que me están anulando esa incógnita. Entonces, ¿qué le pasa a este sistema? Que la ecuación 00:01:47
de abajo, aunque es una ecuación con tres incógnitas, x, y, z, se traduce en una ecuación 00:01:54
de una sola incógnita, que me permite calcular z. ¿Se ve o no? Bien, precisamente por la 00:02:03
estructura de la ecuación, porque tanto la x como la y quedan anuladas, ¿de acuerdo? De aquí puedo 00:02:16
despejar z, insisto, y una vez que tengo z lo puedo sustituir en la ecuación de más arriba, 00:02:24
inmediatamente más arriba, que podéis observar que tiene dos incógnitas, la y y la z, pero el valor 00:02:34
de z lo conozco de la tercera ecuación. Puedo sustituir, de manera que me va a quedar una 00:02:44
ecuación con una sola incógnita, la incógnita i. ¿Se entiende o no? Esto me va a permitir 00:02:51
despejar el valor de i. Y ya así tendré, en esta fase del ejercicio, tendré tanto 00:02:59
el valor de z como el valor de i conocidos. No hay más que sustituir en la primera ecuación 00:03:06
el valor de z y de y 00:03:14
y observáis que me queda una ecuación de una sola incógnita 00:03:17
la x, y podré despejar 00:03:20
¿se ha entendido? 00:03:22
así pues, podemos observar fácilmente que un sistema escalonado 00:03:25
es el sistema ideal 00:03:29
para resolverlo de manera rápida 00:03:31
pues bien, el método de Gauss consiste 00:03:34
en transformar 00:03:37
un sistema 00:03:40
en otro equivalente que sea escalonado 00:03:42
para resolverlo de manera rápida. 00:03:47
¿Me habéis entendido? 00:03:51
Repito, tú tienes un sistema de ecuaciones que no es escalonado 00:03:54
y mediante transformaciones 00:03:57
de las que hemos estudiado 00:04:00
que te conservan el sistema equivalente 00:04:03
¿entendéis o no? 00:04:06
Te lo transforman en un sistema equivalente 00:04:07
lo que vamos a hacer es obtener un sistema equivalente más sencillo de resolver. 00:04:09
Y ese sistema más sencillo de resolver será escalonado. 00:04:17
¿Se entiende la técnica? A esa técnica se le llama el método de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones. 00:04:23
Ahora bien, ¿en qué consiste la técnica? 00:04:30
Digamos, ¿cómo voy a transformar un sistema en un sistema equivalente escalonado? 00:04:33
Pues, fundamentalmente, mediante esta propiedad que vimos ayer, esta propiedad que vimos ayer. 00:04:39
Cualquiera de estas propiedades, decíamos que obteníamos de transformaciones, cualquiera de estas transformaciones me llevaría a obtener sistemas equivalentes. 00:05:03
Pero la más utilizada va a ser esta última, que es consecuencia de las anteriores por otro lado. 00:05:16
Fijaos, sustituir una ecuación por el resultado de sumarle una combinación lineal de las demás. 00:05:23
Es decir, aquí en este caso concreto, hemos sustituido esta segunda ecuación por esta otra. 00:05:32
¿Y esta otra de dónde sale? Pues justamente de sumar esta y esta. 00:05:40
Por lo tanto, esta ecuación, que llamo E2', sería igual a, esta es E1 y esta es E2, pues sería igual a 1E1 más 1E2. 00:05:47
Esto es una combinación lineal de las dos ecuaciones. 00:06:03
He sustituido esta ecuación por esta, que es resultante de esta combinación lineal de esta y esta. 00:06:07
Y, por tanto, el sistema que obtengo es equivalente. Pues bien, vamos a resolver un sistema en concreto aplicando esta técnica. Vamos a ver este ejemplo que tenemos en el punto 1, 5, 2. 00:06:15
Dice, bueno, tenemos este sistema de ecuaciones y queremos resolverlo. ¿Qué hacemos? Pues vamos a transformarlo en un sistema escalonado. 00:06:29
Bien, vamos a resolver este sistema mediante el método de Gauss 00:06:45
De momento, este sistema lo voy a transformar en un sistema equivalente 00:06:53
Mediante transformaciones que me mantengan, me conserven la solución 00:07:00
O sea, me mantengan la equivalencia, me transformen el sistema en un equivalente 00:07:07
Bien, para escalonarlo debería de aparecer cero aquí, en el aquí. Decía que, bueno, he copiado aquí el sistema para trabajar. Tengo que hacer ceros para escalonarlo aquí y aquí y aquí. ¿Vale? 00:07:14
¿Vale? Entonces, vamos a seguir, es importante que os fijéis en este detalle que voy a indicar ahora. Vamos a seguir siempre el mismo orden. Será mucho mejor para no equivocarse. ¿De acuerdo? Primero haremos un cero aquí y un cero aquí. Y finalmente, este lo dejamos para el final. ¿De acuerdo? Bien. 00:07:40
¿Cómo hacemos un cero? ¿Cómo hacemos ceros? Pues la propiedad fundamental que hemos dicho, la propiedad fundamental que es, mediante transformaciones, en este caso, para hacer un cero aquí, 00:08:04
Entonces, habrá que sustituir esta ecuación por una combinación lineal de ella con otras, de manera que me quede como resultante aquí un cero. ¿Se comprende? ¿Se entiende? 00:08:26
Bien, fijaros en un detalle. Si multiplico menos 2 por E1 y le sumo E2, ¿qué me va a quedar aquí? Lo vamos a hacer. Menos 2 por E1. 00:08:44
Menos 2 por E1, esta es E1, esta es E2 y esta es E3, ¿no? Esto se entiende 00:09:07
Bien, pues menos 2 por E1 me queda menos 2 por X, menos 2Y más 4Z igual a menos 18 00:09:13
Y ahora hay que sumar E2, la ponemos tal cual está, 2X menos Y más 4Z igual a 4 00:09:23
Al sumar, observamos fácilmente que esto se va con esto. ¿Os suena al método de reducción de un sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas? Es que es el mismo. Es el mismo método, pero generalizado. ¿Entendéis? 00:09:37
Bien, aquí nos quedaría menos 3y más 8z igual a menos 14. Y fijaos, ya he conseguido un 0 en la x porque aquí es como poner 0x. Donde no hay nada es 0x. ¿Se entiende o no? 00:09:56
Así que podríamos decir que este sistema es equivalente a, la primera la dejo tal cual, x más y menos 2z igual a 9 y la segunda ecuación la sustituyo por esta. 00:10:12
Y esta, de momento la dejo igual. Voy a hacerlo... La pregunta es, ¿este sistema de aquí es equivalente a este? ¿El sistema primero es equivalente al sistema segundo? 00:10:39
Sí, es equivalente porque ha aplicado esa propiedad que hemos visto tan importante que decía, si sustituyes una ecuación, esa está en concreto, por una combinación lineal de ella con otras, esta es la combinación lineal que hemos hecho. 00:11:06
O tienes un sistema equivalente, o sea, con las mismas soluciones. Esto implica que este sistema y este son equivalentes. Pero ya he logrado aquí un cero. Está más escalonado que antes. ¿Lo veis? 00:11:28
Ahora vamos a hacer un cero 00:11:43
Aquí 00:11:46
Vamos a eliminar este elemento 00:11:48
¿Cómo vamos a hacer ahora un cero aquí? 00:11:50
Aquí hacemos un cero 00:11:55
¿Cómo logramos hacer cero ahí? 00:11:57
Pues hay que aplicar otra vez la misma propiedad 00:11:59
Sustituir esta ecuación 00:12:02
Por otra que resulte de hacer una combinación lineal 00:12:04
De esta con estas de aquí 00:12:10
O alguna de ellas. ¿Se entiende la idea o no? ¿Cuál será la combinación lineal adecuada? Pues mirad, menos 2 e 1, al multiplicar por menos 2 e 1, me va a quedar aquí junto con el 2x que se van al sumar. 00:12:13
¿Se entiende o no? O sea, lo que hay que hacer es multiplicar. Apañártelas de manera que en las dos ecuaciones con las que trabajas tengan el mismo coeficiente, pero cambiado de signo. ¿Entendéis o no? Para que al sumarse vaya. ¿Se entiende? 00:12:34
Mirad, entonces, menos 2E1 sería menos 2X menos 2Y, estoy multiplicando por esta, ¿vale? 00:12:50
Más 4Z igual a menos 18. 00:13:01
E2 sería esta de abajo. 00:13:05
Fijaos, lo que busco es justamente que tanto este como este sean iguales pero cambiado de signo. 00:13:13
¿Se entiende o no? 00:13:20
Bien. 00:13:22
Al sumar se va, queda menos 3Y más 10Z igual a menos 19. 00:13:22
Y por tanto sustituyendo esta ecuación por esta voy a obtener un sistema equivalente. 00:13:35
Porque estoy sustituyendo esta ecuación por una combinación lineal que resulta de menos 2E1 más E2. 00:13:42
¿Se entiende o no? 00:13:53
Perdón, es E3 00:13:55
Perdón, es E3 00:13:58
Gracias, Gascon 00:14:00
Bien 00:14:05
Pues bien, ahora 00:14:06
Sustituyo, por tanto 00:14:09
Esta tercera ecuación por la que nos salió 00:14:12
Pues bien, entonces 00:14:16
Ahora, o tenemos así otro sistema equivalente 00:14:19
Pero fijaos, está más escalonado que antes 00:14:22
¿Dónde hay que hacer un cero ahora? Pues aquí. Pues aquí. Aquí hay que hacer un cero. 00:14:26
Y ahora es sencillo porque, fijaos, tiene el mismo coeficiente la i. Solamente habría que cambiar el signo. 00:14:36
Entonces, ¿cuál es la combinación lineal con la que trabajaremos? Pues sustituiremos esta ecuación, 00:14:42
la sustituiremos por 00:14:50
E'3 00:14:53
que será la resultante de aquí 00:14:57
pues será igual a 00:14:59
por ejemplo 00:15:02
menos 1 00:15:03
E2 más E3 00:15:04
este menos 1 lo ponemos 00:15:07
¿para qué? para que este menos 00:15:09
se transforme en un signo más 00:15:11
y así tengan el signo contrario y al sumar se vayan 00:15:12
¿entendéis o no? 00:15:15
Bien, haremos algún ejercicio más, un poco más complicado, para ver un poco la técnica que hay que seguir para hacer realmente ceros, en casos más complicados, ¿vale? 00:15:16
Pero me interesa de momento. Entonces, hacemos que menos 1E2 sería, entonces, 3Y menos 24Z igual a, perdón, que estoy multiplicando por menos 1, perdón, menos 8Z igual a 14, ¿vale? 00:15:27
Luego, E3 sería menos 3Y más 10Z igual a menos 19. Ahora sumamos y se van las Y. 2Z igual a menos 5. 00:15:59
Así pues, obtengo el siguiente sistema. x más y menos 2z igual a 9, menos 3y más 8z igual a menos 14 y 2z igual a menos 5. 00:16:16
Y fijaros que ya tengo el sistema escalonado y ya es fácil de resolver. 00:16:35
Bien, bueno, como veis aquí, lo han resuelto mediante un método que se llama el método matricial, pero que ya veremos, es muy sencillo, tampoco me interesaba verlo más por el método que acabo de explicar, pero bueno, en definitiva es una forma de escribir lo mismo. 00:16:39
En definitiva, llegaríamos a este sistema de aquí, como veis, y que de manera inmediata, al estar escalonado, resolveríamos de esta manera. 00:16:57
En definitiva, como habéis comprobado, el método de Gauss consiste en obtener, simplificar el sistema mediante la transformación hacia un sistema más fácil de resolver, que es de forma escalonada, y esas transformaciones se hacen aplicando la sustitución de una ecuación por una combinación lineal de ella con otras. 00:17:11
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Jose S.
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Fecha:
22 de enero de 2021 - 13:02
Visibilidad:
Público
Centro:
IES BARRIO SIMANCAS
Duración:
17′ 38″
Relación de aspecto:
1.67:1
Resolución:
1800x1080 píxeles
Tamaño:
232.31 MBytes

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