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AN4. 2.3. Puntos críticos de la derivada y extremos relativos+2.4. Extremos relativos a partir de la monotonía+2.5. Extremos relativos a partir de las derivadas sucesivas - Contenido educativo
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Hola a todos, soy Raúl Corraliza, profesor de matemáticas de bachillerato en el IES
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Arquitecto Pedro Gumiel de Alcalá de Henares y os doy la bienvenida a esta serie de videoclases
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de la unidad AN4 dedicada a las aplicaciones de las derivadas.
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En la videoclase de hoy estudiaremos los puntos críticos de la función derivada y los extremos
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relativos de una función.
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En esta videoclase vamos a estudiar los extremos relativos de una función, cómo determinar
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los extremos relativos de una función. Vamos a partir de un resultado conocido y es que una
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función real de variable real que tiene un máximo o un mínimo en un determinado punto de abscisa x0
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sabemos que en esa abscisa la función derivada va a ser cero. De tal forma que el hecho de que en
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los extremos relativos la derivada sea cero, este hecho nos va a servir para poder caracterizarlos,
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para poder determinarlos. Así pues lo que vamos a hacer con carácter general va a ser, dada esa
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función real f, vamos a determinar su función derivada f' y de esta función derivada vamos a
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determinar los ceros. Los ceros de la función derivada primera se denominan puntos críticos y
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entre ellos podremos encontrar los extremos relativos. Fijaos en algo importante, en los
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extremos relativos la derivada se va a anular pero no necesariamente en todos los puntos críticos de
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la derivada, en todos los puntos donde la derivada sea cero, nos encontraremos con extremos relativos.
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Veremos más adelante que de entre los puntos críticos podríamos encontrarnos con puntos de inflexión,
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que no son ni máximos ni mínimos, o bien otro tipo de puntos.
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Así pues, con carácter general, cuando queramos determinar los extremos relativos de una función,
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empezaremos determinando la función derivada y sus puntos críticos,
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y a partir de ahí, con ellos, seleccionaremos de entre ellos los extremos relativos.
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¿Cómo? Bueno, pues existen distintas alternativas.
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La primera y más sencilla consiste en utilizar la monotonía de la función para caracterizar si esos puntos críticos son máximos o mínimos.
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Fijaos, si a la izquierda de un determinado punto crítico sabemos que la función es decreciente y a su derecha la función es creciente, sabemos que la función tiene esta forma que estoy marcando con el cursor.
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A la izquierda decreciente, a la derecha creciente. Y entonces vemos que necesariamente en ese punto crítico la función debe alcanzar un mínimo.
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Al revés, si a la izquierda del punto crítico la función crece, como estoy marcando con el cursor del ratón, y a su derecha la función decrece, la función va a tener esta forma y entonces necesariamente en ese punto crítico la función va a tener un máximo relativo.
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Así que el hecho de que a la izquierda y a la derecha de los puntos críticos veamos que la monotonía es distinta, empieza creciente y acaba decreciente, o bien empieza decreciente y acaba creciente, lo que podremos hacer es determinar cuándo un determinado punto crítico es máximo o mínimo, utilizando este algoritmo que tenemos aquí.
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Nosotros en general podremos simultáneamente, con el mismo algoritmo, con el mismo esfuerzo,
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determinar simultáneamente la monotonía y los extremos relativos de una función.
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Recordad que en la videoclase anterior discutíamos que a partir de una cierta función
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determinábamos su dominio, determinábamos la función derivada, determinábamos su dominio,
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determinábamos los puntos críticos de la función derivada, puesto que buscábamos los puntos
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donde la función derivada se hacía cero y entonces esos puntos críticos dividían el dominio de la función en distintos intervalos
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y estudiábamos el signo de la función derivada en esos intervalos.
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Pues bien, si los puntos críticos que son los que dividen el dominio de la función derivada
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encontramos que a la izquierda la función es creciente y a la derecha la función es decreciente,
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ese punto crítico será un máximo relativo.
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Mientras que si a la izquierda vemos que la función es decreciente y a la derecha vemos que la función es creciente,
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en ese caso diremos que la función tiene un mínimo relativo.
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Si a izquierda y a derecha la función es simultáneamente creciente o bien simultáneamente decreciente,
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en esos casos la función en esos puntos críticos no va a ser ni un máximo ni un mínimo relativo.
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Una forma alternativa de determinar los extremos relativos de la función
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no es utilizando la monotonía, sino utilizando las derivadas sucesivas.
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Puede que nosotros no queramos hacer o no tengamos el estudio de la monotonía de la función,
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pero sí podamos hacer la derivada segunda, tercera, cuarta, etcétera de la función.
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Y utilizando únicamente el valor de la derivada primera, segunda, tercera, derivadas sucesivas,
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en ese valor de abscisa, podemos decidir si en el punto crítico de la derivada primera
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la función tiene un máximo o un mínimo o bien ninguna de esas cosas.
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Para ello lo que tenemos que hacer sería emplear este algoritmo, que en esencia lo que nos dice es
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si en un determinado punto x0, la bestisa x0, la función derivada se anula,
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tenemos un punto crítico de la función derivada,
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lo que vamos a hacer es determinar cuál es la primera derivada,
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empezando por la segunda y pasando a la tercera, cuarta, quinta, etc.,
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etcétera, en donde la derivada en esta abstisa es distinta de 0. Habitualmente será la derivada
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segunda, la que ya sea distinta de 0, pero en ciertas ocasiones nos podemos encontrar que en
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este punto crítico la derivada segunda es 0, entonces tendríamos que recurrir a la tercera
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derivada, que también sea 0, tendremos que recurrir a la cuarta derivada y así sucesivamente. Hemos
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de encontrar cuál es la primera derivada en las cuales, al sustituir esta abstisa que corresponde
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un punto crítico de la función derivada obtenemos un valor distinto de 0. Para que la función tenga
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un extremo relativo, ya sea máximo o bien mínimo, esa primera derivada con valor distinto de 0 debe
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ser de orden par. Así pues debe ser derivada segunda, cuarta, sexta, etcétera. Si esa primera
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derivada es de orden impar, en ese caso el punto crítico no es ni un máximo ni un mínimo. Y como
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veremos en alguna video clase posterior, veremos que en ese caso lo que tenemos es una función que
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va a ser, perdón, un punto que va a ser un punto de inflexión. Así pues, necesitamos que esa derivada
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sea de orden par. Dependiendo del signo, decidiremos si la función tiene un máximo o bien tiene un
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mínimo. Si en esa derivada de orden par vemos que la derivada es negativa, diremos que en ese caso
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la función tiene un máximo. Si vemos que la derivada tiene signo positivo, en ese caso diremos
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que la función tiene un mínimo. Con independencia de si se trata de la derivada segunda, como
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represento en este caso que va a ser el más habitual, o bien derivada cuarta, sexta, etcétera,
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lo cual va a ser muy inhabitual. Con esto que hemos estudiado en esta videoclase y en la
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videoclase anterior vamos a poder resolver estos ejercicios que veremos en clase y que posiblemente
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resolvamos en alguna videoclase posterior.
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- Idioma/s:
- Materias:
- Matemáticas
- Etiquetas:
- Flipped Classroom
- Niveles educativos:
- ▼ Mostrar / ocultar niveles
- Bachillerato
- Primer Curso
- Segundo Curso
- Autor/es:
- Raúl Corraliza Nieto
- Subido por:
- Raúl C.
- Licencia:
- Reconocimiento - Compartir igual
- Visualizaciones:
- 8
- Fecha:
- 24 de noviembre de 2024 - 14:49
- Visibilidad:
- Público
- Centro:
- IES ARQUITECTO PEDRO GUMIEL
- Duración:
- 08′ 22″
- Relación de aspecto:
- 1.78:1
- Resolución:
- 1280x720 píxeles
- Tamaño:
- 22.52 MBytes