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Razones Trigonométricas de ángulos agudos

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Subido el 26 de mayo de 2020 por Yolanda A.

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En este vídeo vamos a definir las razones trigonométricas de los ángulos agudos, 00:00:01
sus relaciones fundamentales y algunas características. 00:00:08
Vamos a trabajar en un triángulo rectángulo, donde nos vamos a encontrar siempre un ángulo recto 00:00:14
y los otros dos son necesariamente agudos. 00:00:20
Tenemos los ángulos alfa, beta y el ángulo red. 00:00:24
Usamos esta nomenclatura, estas letras griegas, porque es lo usual en trigonometría. 00:00:28
Lo primero que vamos a hacer es que vamos a identificar los lados del triángulo rectángulo, 00:00:34
la hipotenusa y los catetos, en función del ángulo desde el que estemos observando. 00:00:39
Si nos fijamos en el ángulo alfa, podemos decir que el cateto opuesto al ángulo alfa es el lado A, 00:00:46
mientras que el cateto adyacente o contiguo al ángulo alfa será el lado C. 00:00:53
Sin embargo, si nos fijamos en el ángulo beta desde esta perspectiva, el cateto opuesto al ángulo beta ahora es el lado C, 00:00:58
mientras que el cateto adyacente o contiguo al ángulo beta es el lado A. 00:01:10
El objetivo es hallar unos valores numéricos que determinen cada ángulo con independencia del triángulo rectángulo en el que se encuentre. 00:01:18
Además, a esos valores numéricos es a los que llamaremos razones trigonométricas del ángulo 00:01:27
y serán únicas para cada ángulo, un poco como su ADN. 00:01:32
Nos vamos a basar en los resultados que conocemos sobre la semejanza de triángulos. 00:01:38
Recordamos que dos triángulos como los que tenemos aquí dibujados son semejantes porque están en posición de tales. 00:01:46
Tenemos un triángulo grande ABC y un triángulo más pequeño AB'C'. 00:01:55
En estas condiciones de semejanza se encuentre que sus lados homólogos son proporcionales. 00:02:02
Es decir, que A partido de A' es igual que B partido de B' y igual que C partido de C'. 00:02:08
Y el número que dan esos cocientes se llama razón de semejanza. 00:02:16
Quizá había que recordar que cada una de estas fracciones se conoce como razón 00:02:22
Una razón se diferencia de una fracción en que el numerador y el denominador no necesariamente son números enteros 00:02:31
Pueden ser números decimales 00:02:42
Lo que vamos a hacer es que vamos a coger esta relación de proporcionalidad entre los lados del triángulo grande y el triángulo pequeño 00:02:45
y vamos a sacar todas las posibles proporciones que se pueden obtener de ella. 00:02:56
La primera proporción la leemos directamente A partido por A' igual que B partido por B'. 00:03:03
La segunda proporción también se lee directamente B partido de B' igual que C partido por C'. 00:03:09
y para construir la tercera proporción la formamos con la fracción primera y la última, 00:03:16
quedándonos A partido de A' igual que C partido por C'. 00:03:23
En estas tres proporciones, observad, tenemos mezclados los lados del triángulo pequeño y los lados del triángulo grande. 00:03:27
Entonces, lo que vamos a intentar, el objetivo es que queremos formar proporciones 00:03:35
en las que cada una de las razones solamente intervengan lados del mismo triángulo. 00:03:40
Es bastante sencillo, simplemente tenemos que cambiar la B por la A', ¿de acuerdo? 00:03:48
Y entonces tenemos, derivado de la primera proporción, una proporción nueva 00:03:56
en la que nos queda que A partido por B es igual que A' partido por B'. 00:04:02
En la segunda proporción hacemos lo mismo y nos queda B partido por C igual que B' partido por C'. 00:04:06
Y en la tercera proporción obtenemos A partido por C es igual que A' partido por C'. 00:04:13
Observad que estos cocientes van a ser iguales y no depende del triángulo semejante en el que estemos. 00:04:19
¿De acuerdo? Vamos a ponerles nombre, pero quiero que os fijéis en estas razones de las proporciones, las que involucran a los lados del triángulo grande. 00:04:29
Vamos ahora entonces a identificar quién es A partido por B en el triángulo grande, B partido por C y A partido por C. 00:04:43
Y una vez que lo identifiquemos pasaremos a ponerle nombres. 00:04:52
Tenemos la perspectiva en el ángulo alfa, así que el cociente A partido por B será 00:04:57
A es el cateto opuesto al ángulo alfa, mientras que B es la hipotenusa. 00:05:05
Así que identificamos la primera razón como cateto opuesto partido por hipotenusa. 00:05:13
La segunda razón la identificamos con, ¿quién es C? 00:05:19
Mirando desde la perspectiva del ángulo alfa, C es el cateto adyacente y B ya sabemos que es la hipotenusa. 00:05:24
Y la última de las razones, a partido por C, será, sabemos que A es el cateto opuesto y que B es el cateto adyacente. 00:05:31
Vale, ya las tenemos identificadas, vamos a ponerle nombre. 00:05:40
Llamamos seno de alfa a, y se escribe sen alfa, igual al cateto opuesto partido por la hipotenusa. 00:05:44
Llamaremos coseno de alfa y lo escribiremos cos alfa igual al cateto adyacente partido por la hipotenusa. 00:05:53
Y llamamos tangente de alfa y lo escribiremos tan alfa al cateto opuesto partido por el cateto adyacente. 00:06:01
Estas no son las únicas razones trigonométricas del ángulo. 00:06:09
tenemos otras tres que se conocen como razones recíprocas, de tal manera que seguimos con 00:06:11
la cosecante de alfa, que se escribe cosec alfa y se define como la hipotenusa partido 00:06:18
del cateto nuestro. También tenemos la secante de alfa, que se escribe sec de alfa y se define 00:06:25
como hipotenusa partido del cateto adyacente y por último tendríamos la cotangente de 00:06:32
alfa que se define como, se escribe como cotang alfa y se define como cateto adyacente partido 00:06:37
de cateto opuesto. A ninguno se os habrá pasado desapercibido el hecho de que estas razones tienen 00:06:44
mucho que ver con las que hemos visto en la imagen anterior efectivamente. La cosecante es la recíproca 00:06:52
del seno, la secante es la recíproca del coseno y la cotangente es la recíproca de la tangente. 00:06:59
O dicho de otra manera, son las inversas multiplicativas. 00:07:07
Vamos a verlo de una manera más clara. 00:07:11
El seno de alfa está así definido y la cosecante es el inverso. 00:07:14
Uno partido de la expresión del seno. 00:07:20
¿De acuerdo? 00:07:24
Con el coseno tenemos lo mismo. 00:07:26
El coseno de alfa será uno partido por la secante y la tangente de alfa será uno partido de la cotangente. 00:07:28
De tal manera que si conocemos seno, coseno y tangente, conocemos todas. 00:07:34
¿De acuerdo? 00:07:39
Bien, tal y como las hemos definido, las razones trigonométricas de los ángulos agudos, lo importante, cumplen dos cosas. 00:07:41
La primera es que todas son positivas. Pensad que son cocientes de lados de triángulos. 00:07:51
Eso siempre son números positivos y distintos de cero. 00:07:56
Así que positivo entre positivo me va a dar positivo. 00:08:00
Y la otra cosa que podemos deducir es que el seno y el coseno son números menores que 1. 00:08:04
¿Por qué? Mirad la definición de seno y coseno. 00:08:10
Es el cociente entre un cateto y la hipotenusa. 00:08:13
Da igual qué cateto sea. 00:08:17
En un triángulo rectángulo el lado más largo siempre es la hipotenusa. 00:08:19
Por lo tanto, en estas fracciones el denominador siempre es mayor que el numerador. 00:08:24
Y el resultado, por lo tanto, de la división es menor que 1. 00:08:30
Las relaciones trigonométricas fundamentales son dos. 00:08:36
Seno cuadrado de alfa más coseno cuadrado de alfa igual a uno 00:08:40
y que la tangente de alfa es igual al seno de alfa partido del coseno de alfa. 00:08:45
Vamos a intentar demostrar la primera de las relaciones trigonométricas 00:08:51
y es una consecuencia directa del teorema de Pitágoras 00:08:56
el cual se cumple porque estamos en un triángulo rectángulo. 00:09:01
Así que aplicamos el teorema de Pitágoras. Sabemos que hipotenusa al cuadrado es igual a cateto opuesto al cuadrado más cateto adyacente al cuadrado. 00:09:04
Simplemente estamos hablando en los términos que hemos definido al principio del vídeo. 00:09:16
Los catetos no son 1 y 2, sino que son el opuesto y el adyacente. 00:09:21
Bien, nosotros queremos que haya esta igualdad que esté igualado a 1. 00:09:25
Para ello lo que vamos a hacer es que si yo en el primer miembro divido por hipotenusa al cuadrado conseguiré el 1 00:09:32
pero si lo hago en el primer miembro tengo que hacerlo en el segundo miembro 00:09:40
Así que dividimos todo por hipotenusa al cuadrado 00:09:45
Operamos donde podemos y solamente podemos operar en el primer miembro donde nos queda un 1 00:09:49
pero también podemos separar las fracciones 00:09:54
Tenemos la fracción de una suma y ahora vamos a tener 1 igual a la suma de fracciones. 00:09:57
Ya se nos va pareciendo a lo que queremos, pero todavía no lo podemos hacer. 00:10:04
Tenemos que conseguir agrupar esas potencias. 00:10:08
Tenemos una fracción de potencias y queremos una potencia cuya base sea una fracción. 00:10:14
Como los exponentes son iguales por las propiedades podemos dividir las bases 00:10:23
Y nos va a quedar ahora sí que 1 es igual al seno al cuadrado más el coseno al cuadrado 00:10:28
Y acabamos de demostrar la primera relación fundamental 00:10:36
Vamos con la segunda 00:10:39
Lo que queremos demostrar es que la tangente de alfa es igual al seno de alfa partido por el coseno de alfa 00:10:41
Y sabemos que la tangente de alfa la hemos definido como cateto opuesto partido del cateto adyacente. 00:10:48
Vamos a partir del seno de alfa partido del coseno de alfa, 00:10:55
que es exactamente lo que queremos demostrar, que es igual que la tangente. 00:11:02
¿De acuerdo? Bien. 00:11:07
Escribimos seno de alfa como su definición y coseno de alfa como su definición. 00:11:10
He utilizado colores para que vayáis identificando. 00:11:16
¿Cómo vamos a resolver este castillo? 00:11:19
Aplicando la regla de la oreja, multiplicando el numerador de la de arriba por el denominador de la de abajo 00:11:22
y el denominador de la de arriba por el numerador de la de abajo. 00:11:28
Las hipotenusas se van y entonces me queda cateto opuesto partido de cateto yacente 00:11:33
que efectivamente sabemos que es la adjuncente. 00:11:40
Mira, si hemos partido del seno de alfa partido del coseno de alfa 00:11:43
y hemos llegado a que es igual a la tangente de alfa 00:11:47
entonces acabamos de demostrar lo que queríamos 00:11:50
que la tangente de alfa es igual al seno de alfa partido del coseno de alfa 00:11:53
Autor/es:
Y. Alcántara
Subido por:
Yolanda A.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Sin obra derivada
Visualizaciones:
88
Fecha:
26 de mayo de 2020 - 16:43
Visibilidad:
Público
Centro:
IES MATEO ALEMAN
Duración:
12′ 01″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
52.30 MBytes

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