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Distancia entre rectas. Distancia entre rectas que se cruzan - Contenido educativo

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Subido el 2 de diciembre de 2025 por Roberto A.

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Buenos días, hoy es 2 de diciembre ya, madre mía, tenemos ventilado el 2020 premio, que barbaridad. 00:00:00
Venga Gallito, tienes una duda, ¿no hijo? A ver chavales, Gallito me pregunta cómo sacar un punto de un plano, ¿no? 00:00:11
Entonces, tienes ahí un plano, me lo invento, ahí lo pongo. 00:00:19
Venga, 3x menos 7y menos 11z más 2 igual a 0, ¿vale? 00:00:23
Entonces, aquí volvemos a lo mismo, ¿no? ¿Cuántas ecuaciones tienes? ¿Cuántas incógnitas tienes? 3. Entonces, ¿cuántos grados de libertad tienes? 2. ¿Vale? Entonces, precisamente utilizando esa fórmula, nosotros tenemos número de incógnitas, tenemos 3, ¿verdad? 00:00:31
Número de ecuaciones, ¿cuánto tenemos? 00:00:51
Una 00:00:56
Y entonces, grados de libertad, si os recordáis 00:00:57
Los grados de libertad 00:00:59
Era 3 menos 1, es decir, número de incógnitas menos número de ecuaciones 00:01:01
Eso que significa que yo, pues precisamente 00:01:06
Puedo darle a dos de las variables 00:01:10
El valor que yo os queda 00:01:12
Tengo la libertad de darle a dos de las tres incógnitas un valor 00:01:13
¿Vale? 00:01:17
Entonces, ¿a cuál le quieres dar algo? 00:01:18
I don't know from here, yo aquí es que no me lo pienso 00:01:20
yo aquí, bueno en este caso 00:01:24
es que voy a putear un poquillo, no por 00:01:26
nada, sino porque no he puesto ninguno 00:01:28
que sea 1, yo por ejemplo 00:01:30
si hago que x sea 0 00:01:32
y que z sea 0 00:01:34
pues entonces la única posibilidad 00:01:36
ya es que me queda que menos 7y 00:01:38
más 2 es igual a 0 00:01:40
y que es igual a 00:01:42
2 séptimo, ¿vale? 00:01:44
entonces ¿cuál es un punto del plano? 00:01:46
el pepi 00:01:49
0, 2, 7, 0 00:01:50
¿Vale? Verifica la ecuación 00:01:54
Pues efectivamente, ¿no? 00:01:56
Porque 3 por 0 00:01:58
menos 7 por 2, 7 00:02:00
menos 11 por 0 00:02:02
más 2 00:02:04
¿Esto es verdad que es igual a 0? 00:02:05
Pues precisamente esto es 00:02:08
menos 2 más 2, que es igual a 0 00:02:09
¿Lo ves? 00:02:12
Entonces, para sacar un punto de un plano 00:02:13
súper sencillo 00:02:16
Tú eliges dos incógnitas, la que tú quieras 00:02:17
le asignas el valor 0 00:02:20
y la que te quede 00:02:22
pues te da el punto 00:02:24
que tú quieres 00:02:26
otra cosilla 00:02:27
pues tú le puedes dar aquí el valor 00:02:29
que tú quieras 00:02:32
estás en una recta 00:02:33
¿vale? 00:02:38
ah, dos incógnitas, perdona 00:02:38
al final, si tú tienes yo que sé 00:02:40
el plano, un momentillo, ¿vale, Karol? 00:02:42
yo que sé, lo vimos ayer 00:02:44
menos 3, bueno, venga, vamos a poner 00:02:45
otros valores. Menos 5x 00:02:48
menos 10z 00:02:50
menos 20. 00:02:52
¿Vale? Para que sea 00:02:54
un valor bonito como tú. 00:02:55
Igual a 0. 00:02:58
¿De acuerdo? ¿Qué es lo que ocurre? 00:03:00
Al final, realmente 00:03:01
seguimos teniendo las 3 incógnitas. 00:03:03
Seguimos teniendo las 3 incógnitas. 00:03:06
Lo que pasa es que la i no aparece. 00:03:08
¿De acuerdo? Entonces, tú en la i 00:03:10
sí que es un grado de libertad al máximo. 00:03:12
Porque tú ahí le puedes poner que 00:03:14
quiera, yo siempre os recomiendo que pongáis 0 00:03:16
pero es que cualquier valor que tú le pongas 00:03:18
la i, te lo va a verificar 00:03:20
¿de acuerdo? entonces 00:03:21
¿qué es lo que ocurre? pues que igual 00:03:23
yo que sé, elijo que x sea igual a 0 00:03:25
pues entonces 00:03:28
menos 10z menos 20 00:03:29
igual a 0 00:03:32
z, si no me equivoco, es menos 2 00:03:33
¿vale? entonces 00:03:35
¿cuál sería un punto? 0 00:03:37
aquí pone el valor que tú quieras 00:03:39
yo a cuál me iría 00:03:41
al 0, ¿vale? y aquí pongo 00:03:42
menos 2. Entonces, aquí 00:03:45
lo bueno es que tú puedes poner cualquiera que tú quieras. 00:03:47
¿Vale? Es que aquí 00:03:50
0, 1, menos 2. Existe 0, 00:03:51
menos 815.322, 00:03:54
menos 2. Existe. 00:03:56
Porque este precisamente es un plano 00:03:59
que es paralelo al eje. ¿Vale? 00:04:01
Entonces, da igual el valor que tú le pongas 00:04:05
a la Y, que te 00:04:07
que te funcione. 00:04:09
¿Carol? 00:04:12
Ah, perdona. 00:04:14
Pero realmente aquí, aunque no aparezcan las incógnitas, 00:04:17
realmente, aunque no aparezcan las incógnitas, 00:04:25
tenemos tres, ¿de acuerdo? 00:04:27
Lo único que tú aquí fuerzas es que la X sea cero 00:04:30
y aquí es que te dé igual el valor que tú pongas. 00:04:32
Entonces, yo siempre me diría cero. 00:04:34
Pero en el fondo tenemos lo mismo. 00:04:35
Dime, dime, hija. 00:04:37
¿En rectas le das solo una...? 00:04:40
La recta, si tú tienes la recta como intersección de dos 00:04:43
o una recta con paramétrica. 00:04:46
Una recta como intersección de dos planos, ¿no? 00:04:48
Venga, vamos a... 00:04:52
Efectivamente, efectivamente. 00:04:55
¿Vale? 00:04:58
Si es la recta como intersección de dos planos, 00:04:58
pues yo que sé, 3x, es que 3x ya lo he puesto antes, 00:05:02
4x menos, sí, vamos a hacerlo facilito, ¿vale? 00:05:07
Igual a 10. 00:05:10
Y yo que sé, aquí... 00:05:11
Menos 5x menos 3z. 00:05:14
igual a 15 de acuerdo aquí si tú si tú eliges x igual a 0 que ocurre que ya sabes que la y vale 00:05:18
menos 10 00:05:33
¿lo veis? 00:05:33
es que lo haga completo, ¿no? mejor, venga 00:05:38
sí, lo ponemos 00:05:41
no te achiques conmigo 00:05:43
más 2z 00:05:44
igual a 10, por ejemplo 00:05:47
y aquí, ¿qué sería? 00:05:50
yo qué sé 00:05:54
menos 5x 00:05:56
menos 10y 00:05:59
más z 00:06:02
igual a 00:06:04
25 y no, a 30 00:06:06
a 30, ¿vale? 00:06:10
y entonces igual, ¿cuál quieres que le pongamos 0? 00:06:14
¿la x, la y o la z? 00:06:17
¿cuál quieres? 00:06:19
¿la z? 00:06:22
pues si yo hago que z 00:06:23
es igual a 0, ¿cómo me queda 00:06:24
mi sistema? pues 4x 00:06:26
menos y es igual a 10 00:06:29
y este que me queda 00:06:30
menos 5x más 10y 00:06:32
igual a 30, ¿vale? 00:06:35
¿Sí o no? 00:06:39
Es menos 10. 00:06:39
Menos 10. 00:06:41
Menos 10 y es igual a 30, ¿de acuerdo? 00:06:45
Entonces, yo este lo multiplico, bueno, este lo puedo dividir entre 5, ¿vale? 00:06:48
Entonces, esto me queda 4x menos y igual a 10 00:06:53
y esto me quedaría entre menos 5, por ejemplo, fíjate, 00:06:56
me quedaría x más 2y igual a menos 6, ¿no? 00:07:00
Si no me he equivocado. 00:07:04
Entonces, puedo multiplicar este por 2 00:07:05
8x menos 2y igual a 20 00:07:07
y este se queda 00:07:10
¿sí? 00:07:11
y entonces ¿qué ocurre? 00:07:14
si yo lo sumo tengo 9x igual a 00:07:15
menos 14 00:07:18
más 14, perdona 00:07:18
entonces x es igual a 14 00:07:20
a 9 catorceavos 00:07:23
coño, ¿no? 00:07:26
14 novenos 00:07:28
¿lo veis chavales? 00:07:29
la y hemos dicho 00:07:32
la y la saco por ejemplo de aquí 00:07:34
lo voy a hacer en otro color, y es igual a 4x menos 10, entonces y es igual a 4 por 4 es 16, 56 menos 90, ¿verdad? 00:07:36
noveno 00:07:53
que esto es menos 00:07:55
34 novenos 00:07:57
si no me he equivocado 00:08:00
¿lo veis? y entonces 00:08:01
mi x y z 00:08:03
¿qué sería la x? 00:08:04
14 novenos 00:08:07
¿qué sería la y? 00:08:09
menos 34 novenos, que no sé si me he equivocado 00:08:11
¿vale chavales? y esto es un serapio 00:08:13
¿vale? ya os tengo el punto 00:08:15
de una recta 00:08:20
que es intersección de dos planos 00:08:23
Y luego, aquí hay dos vertientes. A mí me gusta más, fijaros, para hallar vector-director, yo hago el producto vectorial de 4 menos 1, 2, con menos 5, menos 10, 1, ¿vale? Pero hay gente que lo que hace al final es un sistema compatible e indeterminado. Tiene infinitas soluciones. Las infinitas soluciones son precisamente los infinitos puntos de la recta. 00:08:24
Entonces tú aquí decides, bueno, pues yo decido que z sea igual a lambda, ¿vale? 00:08:49
Si z es igual a lambda, pues yo ya vuelvo a tener otro sistema, por ejemplo, como este, 00:08:54
pero aquí sería menos 2 lambda y aquí sería menos lambda, 00:09:00
pero y tanto la x como la y quedará en función de lambda, ¿vale? 00:09:04
Yo a mí personalmente yo prefiero hacer producto vectorial. 00:09:09
Ambos métodos son igualmente válidos, ¿vale? 00:09:13
pero para mí es más rápido el producto 00:09:17
vectorial 00:09:19
¿vale? 00:09:21
¿sí? 00:09:24
el vector directo de la resta 00:09:29
el vector directo de la resta 00:09:30
pero es lo que te digo, hay gente que me lo hace 00:09:33
de hecho en el examen ha habido más gente 00:09:35
que me lo ha hecho con, dándole un valor 00:09:37
por ejemplo a x o a z 00:09:39
igual a lambda 00:09:41
que la gente que me lo ha hecho con el producto 00:09:42
vectorial, ambos métodos son 00:09:45
igual de válidos 00:09:47
claro, claro, claro, te estoy hablando 00:09:48
ahora solamente del vector director 00:09:53
el punto, no hay otra forma 00:09:55
nada más que hacerlo así 00:09:56
¿vale? 00:09:58
sí 00:10:02
sí, pero al final 00:10:02
la recta, a ver, es que depende 00:10:11
si es un prisma cuadrático 00:10:12
si es un prisma cuadrático 00:10:14
que si no recuerdo mal era el caso 00:10:16
2-3 ¿no? creo que era el caso 00:10:19
2-3 00:10:21
uno de los casos cuando el rango 00:10:21
de m es 2 y el rango de la ampliada es 3 00:10:25
tienen dos posibilidades 00:10:27
y una de ellas que se corten 2 a 2 00:10:29
entonces ahí que es lo que ocurre 00:10:31
ahí sería un puntazo dar 00:10:33
las tres rectas son paralelas 00:10:34
entonces las tres rectas tienen 00:10:36
el mismo vector director 00:10:39
¿vale? o si no proporcional 00:10:41
entonces ahí lo que sería bueno 00:10:42
tú vas viendo 00:10:44
el comportamiento de los planos 2 a 2 00:10:46
¿vale? realmente 00:10:49
¿qué es lo que ocurre? a ti ahí lo que te interesa 00:10:50
es ver que ninguno es paralelo 00:10:52
entonces si el rango de M2 y el rango de la 00:10:53
ampliada es 3 y no hay ninguno 00:10:56
de ellos paralelo, es un 00:10:58
prisma 00:11:00
se me ha ido la olla 00:11:01
un prisma 00:11:05
una superficie prismática 00:11:06
Gracias, hijo. Entonces, ¿qué es lo que ocurre? Que las tres rectas son paralelas y entonces tú lo que hallas es el vector director de dos planos haciendo el producto vectorial y entonces dices tú, es una superficie prismática y el vector director común de las tres rectas es tal. Y chapeau. 00:11:10
no sé si me explicaría 00:11:31
pero cuando tú estudias 00:11:34
la producción de dos planos 00:11:36
de tres planos 00:11:38
tú escalonas la matriz 00:11:40
escalona 00:11:42
hago el determinante 00:11:44
siempre 00:11:47
sí, sí, es otra posibilidad 00:11:47
porque al final tú haces cero 00:11:51
vale, y yo le hago otra 00:11:53
si por ejemplo me piden 00:11:54
hablar de esta intersección 00:11:56
en caso de que se ponga en matriz 00:11:58
¿En qué caso? 00:12:00
¿En qué caso? 00:12:07
¿En qué caso? 00:12:08
Ah, sí, un haz de plano secante 00:12:12
dices tú, ¿no? 00:12:14
¿Es un haz de plano secante? 00:12:19
Elena 00:12:21
Ah, también es verdad, sí 00:12:21
Sí, sí, perdona, sí 00:12:26
Sí, porque al final tú ahí que vas a obtener, hay una resta, bueno, a ver, al final ese es el caso, si no recuerdo mal, de 2 y 2, ¿verdad? Rango de M es 2 y rango de la ampliada es 2, ¿vale? Hablo de memoria, pero yo juraría que sí. 00:12:27
entonces realmente hay un plano que no te está aportando 00:12:48
información ninguna 00:12:51
entonces ese plano que no te está 00:12:52
aportando información ninguna, a ti te tendría 00:12:55
que salir la matriz escalonada 00:12:57
una fila entera de ceros 00:12:58
¿vale? con lo cual te sale 00:13:00
las dos primeras ecuaciones 00:13:03
y esa es la recta 00:13:05
¿vale? no te complique porque 00:13:06
realmente la pones en implícita 00:13:08
¿vale? y otra cosa es que yo te putee 00:13:10
y te diga 00:13:12
en caso de que se corte 00:13:13
Una recta, dame la recta en paramétrica. 00:13:17
Entonces, tú vas a tener la intersección de dos planos 00:13:20
y hacemos precisamente esto que estamos haciendo aquí, ¿vale? 00:13:22
Porque tú al final, cuando escalonas, 00:13:25
cuando escalonas, 00:13:27
este de aquí te tendría que salir todos ceros. 00:13:28
Entonces, no te aporta absolutamente nada, ¿vale? 00:13:31
Entonces, tú dices, 00:13:33
si no te pido ningún tipo de recta, 00:13:34
pues tu guía ni te complique. 00:13:36
Eso es como, por ejemplo, en el ejercicio 4, 00:13:37
perdona, en el ejercicio 4 del examen, el B, 00:13:39
decía, estudia la posición relativa de dos planos, ¿no? 00:13:42
y en caso de que sea secante, aunque no lo ponía 00:13:46
yo os lo dije, en caso de que sea secante 00:13:48
dirme la ecuación de la 00:13:50
recta, entonces claro, si yo no te pido 00:13:52
nada, pues ahí hubo gente 00:13:54
que sí lo hizo, yo de hecho en la corrección 00:13:56
lo he hecho de las dos formas 00:13:58
pero simplemente tú me ponías 00:14:00
que la recta era la intersección de dos 00:14:02
planos y ya está 00:14:04
¿vale? hay gente que me ha sacado la paramétrica 00:14:05
oye, pues para adelante 00:14:08
en ese caso 00:14:09
entre los tres planos 00:14:12
se parte una recta 00:14:14
habría que estudiar los planos 2 a 2 00:14:15
pero si te han ponido 00:14:18
pi 1, pi 2, pi 3 00:14:20
no, ahí lo que tienes que estudiar planos 2 a 2 00:14:21
tú realmente ahí, si tú tienes rango de 00:14:24
m2 y rango de la ampliada también es 2 00:14:26
hay dos posibilidades, el haz 00:14:28
de plano secante y lo que tú me has dicho 00:14:30
que dos sean coincidentes 00:14:32
y el otro los cortes 00:14:34
entonces tú ahí lo único que tienes que estudiar 00:14:36
realmente es fijándote 00:14:38
en la proporcionalidad de los 00:14:40
vectores normales 00:14:42
Y demás, ver si hay dos que son proporcionales, pero también son proporcionales en la misma proporción los términos independientes. Entonces, tú ahí lo único que tienes que ver es si hay dos que son coincidentes o no. ¿Qué son coincidentes? Pues entonces te coges. Si son coincidentes, volvemos a lo mismo. 00:14:43
Si tú, según tu método, que tú lo estás escalonando, ¿vale? Yo creo que tardas un poquito más, pero aquí lo importante es que tú estés segura con lo que haces. Si tú entiendes ese método así, adelante, ¿vale? Si tú estás escalonando, este de aquí directamente te va a salir cero. Bien sea combinación lineal de los otros dos, bien sea proporcional a uno de ellos, ¿de acuerdo? 00:15:03
entonces si es proporcional a uno de ellos 00:15:27
realmente es que no te va a aportar información 00:15:30
entonces tú te fijas en los planos 00:15:32
originales y vas a ver que yo aquí 00:15:34
por ejemplo, si yo tuviera aquí, yo que sé 00:15:36
menos 10x, menos 20y 00:15:37
más 2z 00:15:40
igual a 60, son proporcionales 00:15:41
tanto en el vector director 00:15:44
perdón, en el vector normal del plano 00:15:45
como en el término independiente 00:15:47
entonces ya sabes que son dos coincidentes 00:15:50
y lo único que tienes que hallar es la intersección 00:15:52
de los otros dos, te vuelvo a lo mismo 00:15:54
ni te complico, otra cosa que yo te la pido 00:15:56
en paramétrico, te la pido en continua y tal 00:15:58
si no te pido 00:16:00
un tipo de recta 00:16:01
específica, pues tú di que es la intersección 00:16:03
de los dos planos y a volar 00:16:06
el determinante 00:16:08
tú coges 00:16:15
porque tú 00:16:16
sí, meo 00:16:17
es pi sub 1, pi sub 2 00:16:24
y pi sub 3 00:16:28
¡Oh, tío! 00:16:29
¿Esto qué ha sido? 00:16:31
Ya me hago. 00:16:33
Sí, pero ¿pasa algo, Guillo? 00:16:44
Ah, pues, si el final es al estero, 00:16:46
el rango no puede ser 00:16:49
2 por 1. 00:16:50
Efectivamente. 00:16:52
Y ahí, el menor estero tendrá. 00:16:53
Claro, claro, claro. 00:16:55
Vale, vale, vale. 00:16:57
¿Vale, chavales? 00:16:59
también quiere llamar 00:17:00
María López 00:17:02
¿no? 00:17:06
no sé 00:17:07
¿vale? 00:17:08
¿alguna duda más 00:17:11
o algo antes de seguir? 00:17:12
Natías Danone 00:17:14
vale 00:17:15
vamos a terminar 00:17:19
con la última parte 00:17:20
¿vale? 00:17:21
es que me interesa mucho 00:17:21
que lo hayáis visto 00:17:22
en casa 00:17:23
que sería lo suyo 00:17:24
¿vale? 00:17:27
para ahora 00:17:29
dime hija 00:17:30
en un trierro 00:17:31
para sacar el punto 00:17:32
el punto de intersección 00:17:34
de resolver el sistema 00:17:35
y ya está 00:17:36
vale 00:17:38
he actualizado 00:17:39
yo espero no tener 00:17:43
más fallos hoy 00:17:44
he actualizado 00:17:45
este de distancia 00:17:45
vale 00:17:46
lo actualicé anoche 00:17:47
vale 00:17:48
con los fallos 00:17:49
que habíamos detectado 00:17:50
que había puesto 00:17:51
dos cosas 00:17:51
iguales 00:17:53
y eran distintas 00:17:54
vale 00:17:55
vamos a ver 00:17:57
como canta Miguel 00:17:58
vale 00:17:59
yo creo que este documento 00:18:03
es completito 00:18:04
vale 00:18:05
espero que os sirva 00:18:05
ah no 00:18:07
Este es el vector variable. 00:18:11
Este método para mí es un tostón, pero bueno. 00:18:12
Venga, chavales. 00:18:16
Nos hemos quedado aquí, ¿verdad? 00:18:17
La distancia entre dos rectas. 00:18:19
¿De acuerdo? 00:18:21
Entonces, si nos piden la distancia entre dos rectas, 00:18:22
es muy importante saber la posición relativa entre ellas. 00:18:27
¿Vale? 00:18:32
Entonces, si R y S son paralelas, 00:18:33
lo que sí sabemos es que los vectores directores, 00:18:35
tanto de R como de S, son proporcionales. 00:18:38
Lo que hacemos es, se toma un punto de una de las rectas 00:18:41
y se calcula la distancia de ese punto a la otra recta, ¿vale? 00:18:44
Yo sé que son paralelas, ¿de acuerdo? 00:18:48
Bueno, es importante, sí, sí. 00:18:50
Si son proporcionales, nos puede pasar dos cosas, 00:18:55
que sean coincidentes, ¿de acuerdo? 00:18:58
O que sean, lo diré, o paralelas. 00:19:00
Entonces, realmente lo que yo hago es la distancia de un punto a la recta, 00:19:05
es decir, la distancia de R a S se resume en la distancia 00:19:11
o bien de un punto de peso R a S 00:19:14
o bien la distancia de un punto de S a la recta R, ¿de acuerdo? 00:19:17
Si son coincidentes, la distancia me va a dar cero 00:19:23
y si son paralelas, pues me dará la distancia de un punto a un plano. 00:19:26
Es decir, nosotros fijaros que siempre nos estamos refiriendo a casos anteriores. 00:19:30
Hemos estudiado ya cómo se estudiaba la distancia de un punto a una recta. 00:19:35
Os acordáis, ¿no?, que había tres métodos, ¿verdad? Pues aquí igual, aquí lo único, yo estoy en coincidentes o en paralelas, pues en vez de aprenderme una cosa nueva, lo único que tengo que ver es volver a saber cuál es el método mejor que se adapta a lo que yo entiendo mejor de los tres que había de la distancia de un punto a una resta, ¿vale? 00:19:39
Entonces, si no son proporcionales, recordamos, tenemos que hacer determinante formado por tres vectores, el vector de R, de S, y cojo un punto específico, el punto PR, el punto PS, hayo su vector, y entonces hago el determinante. 00:20:04
Entonces, chavales, si el determinante sale cero, significa que son coplanarios. Y recordad también una cosilla, si no os acordáis de eso. ¿Qué significaba el producto mixto de tres vectores geométricamente? El volumen de qué? Del paralelepípedo. 00:20:22
Por lo tanto, si yo estoy cogiendo tres vectores, como es dr, ds, y, que sabes que no son proporcionales, ¿vale? Y ahora hallo yo el vector que va desde un punto de pr a ps, ¿de acuerdo? 00:20:43
si me sale que el determinante de los tres es cero 00:20:59
que significa que el volumen de ese paralelepípedo es cero 00:21:02
y eso que significa que no tiene altura 00:21:08
y si no tiene altura, ¿qué es lo que ocurre? 00:21:11
que son coplanarios, ¿de acuerdo? 00:21:14
son coplanarios 00:21:16
entonces esas dos rectas, esas dos rectas se cortan 00:21:17
¿vale? se cortan en un punto de intersección 00:21:21
¿más o menos, Carlos? 00:21:23
Sin embargo, si el determinante formado por dr de su s y el punto que une, el vector, perdona, que une un punto dr y un punto de s es distinto de cero, significa que s para el epípedo tiene altura. 00:21:25
La altura precisamente la da el vector que une el punto PR con el punto PS. 00:21:45
Por lo tanto, el volumen es distinto de cero, significa que no son coplanarios 00:21:52
y entonces las dos rectas se cruzan. 00:21:57
¿De acuerdo? ¿Sí? 00:22:01
¿Veis cómo está todo relacionado? 00:22:03
Entonces, en el caso de que sean proporcionales los vectores, 00:22:05
hacemos la distancia de un punto a la otra recta. 00:22:11
¿Vale? 00:22:14
Y entonces, que son coincidentes, me va a salir 0. 00:22:15
Si no son coincidentes, pues me sale la distancia del punto de la recta. 00:22:18
Si los vectores de R y de S no son proporcionales, 00:22:21
tenemos que hacer el determinante para discernir si se cortan o se cruzan. 00:22:25
Porque, claro, si se cortan, ¿cuál es la distancia entre las dos rectas? 00:22:30
¿Vale? 00:22:36
Si se cortan las dos distancias, pues son 0. 00:22:37
¿De acuerdo? 00:22:40
No. 00:22:43
Si son para... 00:22:44
Hostia. 00:22:45
Si son paralelas, yo lo que hago es la distancia de un punto a la recta, es decir, yo tengo la recta R y la recta S. Cojo un punto de cualquiera de las dos, ¿vale? Por ejemplo, cojo el punto PR. 00:22:46
Bueno, pues ahora se limita, al ser las dos paralelas, se limita en hacer la distancia de ese punto a la recta, porque al ser paralelas, siempre todos los puntos van hasta la misma distancia entre ellos, ¿vale? 00:23:00
que son coincidentes, me va a salir que esa distancia es cero, ¿vale? 00:23:16
Y si son secantes, ¿vale? 00:23:21
Al estar en el mismo plano, al cortarse la recta y ser secante, 00:23:24
la distancia entre ellas es cero, ¿vale? 00:23:28
Entonces, si se cruzan, ¿vale? 00:23:30
Lo que tenemos que hacer es calcular ya la distancia entre las dos rectas, 00:23:35
es decir, un ejercicio más completo, evidentemente es este de aquí, 00:23:42
que yo te pida la distancia de dos rectas que se cruzan, eso por completitud. 00:23:47
Pero tenemos que saber todo a ver si nos van a poner en el examen o en la PAU 00:23:54
pensando, ostia, nos van a pedir el más complicado, 00:23:58
que es que calcule la distancia entre dos rectas que se cruzan. 00:24:01
Pero si se resulta que son secantes, la distancia es cero sí o sí, ¿vale? 00:24:06
Entonces, si se cruzan las tres rectas, tenemos tres formas, ¿vale? Una para mí es un pifostio, pero bueno. Entonces, la primera forma se llama de planos paralelos. ¿Por qué? Porque se calcula un plano pi que sea paralelo a S, es decir, las rectas se cruzan. 00:24:10
Es decir, estamos en el caso de que haya, por ejemplo, en el suelo una recta y en el techo haya otra recta, se cruzan, no están en el mismo plano, ¿de acuerdo? Por eso el paralelepípedo tiene volumen, yo tengo una recta que va por el suelo, una recta que va por el techo, tengo mi vector directo de R, tengo mi vector directo de S y luego si yo uno un punto del suelo con el punto del techo, ese es el otro vector y tiene un volumen, ¿de acuerdo? 00:24:33
¿Sí? Entonces, yo lo que hago es, calculo un plano pi que sea paralelo a ese, ¿de acuerdo? Pero que contenga a la r, que es lo que estoy realmente haciendo, me estoy llevando, me estoy llevando, si tengo una recta aquí y tengo una recta en el techo, lo que me estoy haciendo es un plano que sea paralelo a esta recta, pero que contenga a la recta del techo, ¿de acuerdo? 00:25:01
¿Sí? Y también se puede hacer, lo que pasa es que se hace uno u otro, o lo que hago es, yo cojo un plano paralelo a la del techo, ¿de acuerdo? Y que contenga a la recta del suelo, ¿vale? Es una de las dos. 00:25:29
Entonces, ¿qué ocurre? Pues que entonces ahí ya tenemos la distancia entre las rectas realmente en la distancia de una recta a un plano, ¿vale? 00:25:47
Entonces, al ser paralela en la distancia de un punto, que al ser paralela, entonces la distancia es de un punto al plano. 00:25:59
Vamos a recopilar un poquillo. Si calculamos un plano pi que es paralelo a s y que contenga a r, ¿vale? La distancia realmente entre las dos rectas que se cruzan es igual a la distancia entre la recta s y el plano pi. 00:26:07
Pero es que además pasa una cosa, esto se limita, fijaros que es sencillo porque podemos utilizar la fórmula, la distancia de un punto cualquiera de la recta S al plano pi, este nuevo que yo he hallado, ¿vale? 00:26:24
Si yo, por ejemplo, lo que calculo en vez del plano pi que sea paralelo a S, yo cojo un plano pi paralelo a R y que contenga a S, ¿vale? La distancia de R a S es la distancia de R al plano, ¿vale? Y es igual que la distancia de un punto a tal. 00:26:39
Vamos a llamar, por ejemplo, para que nos entendamos, a la recta R, la del suelo, ¿vale? 00:26:58
Yo tengo una recta R que es el suelo, por ejemplo, que vaya de esquina a esquina, me da igual. 00:27:03
Y ahora yo tengo otra recta S que va aquí, ¿vale? 00:27:08
Que vaya aquí, pero por el techo, ¿vale? 00:27:12
Entonces, ¿qué es lo que hacemos? 00:27:15
¿Qué es lo que hacemos realmente? 00:27:17
Pues yo, como tengo mi recta R, que es la diagonal, 00:27:19
yo voy allá 00:27:21
un plano 00:27:23
que sea paralelo a la R 00:27:25
que sea paralelo a R 00:27:27
y que contenga 00:27:29
a la recta S que va aquí 00:27:31
¿cuál es ese plano chavales? 00:27:33
¿cuál es ese plano? 00:27:35
es decir, la recta R es diagonal 00:27:37
la recta S, efectivamente 00:27:39
la recta S es esto de aquí 00:27:40
¿cuál es un plano que sea 00:27:42
paralelo a esta recta que es diagonal 00:27:45
y que contenga la recta S 00:27:47
que va de aquí a aquí? ¿cuál es ese plano? 00:27:49
el techo, todo el mundo lo ve 00:27:51
es el techo 00:27:54
el techo es paralelo al suelo 00:27:55
que es donde está la recta R 00:27:57
y contiene a la recta S 00:27:59
entonces, ¿cómo se limita 00:28:01
mi ejercicio? 00:28:04
mi ejercicio, daros cuenta que yo tengo mi recta R 00:28:05
que es toda la diagonal, tengo mi techo 00:28:07
pues yo cojo 00:28:10
realmente un punto 00:28:11
de la recta de la diagonal 00:28:14
y le hallo la distancia al plano 00:28:15
del techo 00:28:17
¿lo veis? 00:28:18
Y esa es la distancia realmente entre dos rectas que se crucen, ¿vale? 00:28:20
Vamos a hacer un ejemplito. 00:28:25
Por ejemplo, a mí me dan esto de aquí, que son dos rectas en paramétricas, ¿vale? 00:28:27
Me da mi recta S y me da, ¿verdad?, mi recta R y mi recta S de aquí, ¿vale? 00:28:34
Hallar un punto súper fácil, aquí sería 0, menos 10, 9. 00:28:40
El vector director es 4, menos 3, 5. 00:28:44
Y de la recta S, pues, esto es súper fácil, ¿no? 00:28:46
2, 1, 4, y aquí menos 12, 9, 1. 00:28:50
¿Qué es lo que primero nos fijamos? 00:28:54
Pues vamos a ver la proporcionalidad entre d sub r y d sub s. 00:28:55
Vemos que 4 partido por menos 12 es distinto de menos 3 novenos, 00:29:01
que ya con eso ya sería suficiente, 00:29:06
pero es que encima además es distinto de 5, 1, ¿vale? 00:29:08
En el momento que no sea proporcional es uno de ellos, 00:29:11
Yo ya puedo decir que DR, ostia, esto precisamente me falta aquí tacharlo, ¿vale? No son ni paralelas ni coincidentes. Este símbolo está mal, ¿vale? Lo tengo que corregir. Dime, hija. 00:29:14
Ah, pues si es igual 00:29:28
Si es igual 00:29:35
Vale, lo que no es distinto es 5, 1 00:29:37
Vale, esto también lo tengo que corregir 00:29:40
Vale, vale, perdonad 00:29:42
Vale, pues se me ha ido la olla 00:29:44
¿Vale? Y aquí igual 00:29:45
No son paralelas, aquí esto lo tengo que tachar 00:29:48
Aquí son igual, pero esto es distinto 00:29:50
¿Vale? Se me ha ido la olla 00:29:52
Pero lo que quiero que veáis es eso 00:29:54
Porque sean dos iguales 00:29:56
Si el tercero no lo es, ya no son proporcionales, ¿vale? 00:29:58
Entonces, ¿qué ocurre? 00:30:03
R y S ya no son ni paralelas ni coincidentes. 00:30:04
Por lo tanto, o se cruzan o se cortan. 00:30:07
¿Qué nos va a salir? 00:30:11
Pues nos va a salir que se cruzan, ¿vale? 00:30:12
Entonces, yo hago, fijaros, DR, DS y PSUR, PSUS. 00:30:15
Como yo tengo el punto PR y el punto PS, 00:30:20
hallo el vector que va de PR a PS y hago su determinante. 00:30:23
¿De acuerdo? Si un determinante me sale distinto de 0, pues significa que no son coplanarios, 00:30:28
que la altura, perdona, el volumen del paralelepípedo existe, no es 0, por lo tanto las rectas se cruzan. 00:30:35
¿De acuerdo? Pues venga, ¿qué tenemos que hallar? Pues vamos a hallar, por ejemplo, un plano que es paralelo a S 00:30:45
y que contiene a r, ¿de acuerdo? 00:30:53
Entonces es tan fácil como hacer el producto vectorial de dr y ds. 00:30:56
¿Por qué? 00:31:02
Porque al final, si es paralelo a dr, 00:31:03
si es paralelo a dr el plano que yo voy a hallar, 00:31:08
yo como sé que dr y ds no son proporcionales, 00:31:11
a mí me da igual tener el vector este de aquí 00:31:14
que el vector libre más arriba. 00:31:17
Al final es el mismo vector. 00:31:19
¿de acuerdo? ¿no? 00:31:22
yo tengo el vector que une 00:31:25
la diagonal de clase por el techo 00:31:27
¿vale? bueno pues 00:31:29
al final los vectores libres 00:31:31
lo bueno que nos proporciona es que 00:31:32
cualquier vector paralelo 00:31:34
es el mismo 00:31:37
¿de acuerdo? entonces si tú unes 00:31:38
la diagonal de clase por el suelo 00:31:41
y unes la diagonal de clase por el techo 00:31:43
es el mismo vector 00:31:45
¿de acuerdo? es el mismo vector 00:31:46
entonces ¿qué ocurre? yo ya tengo 00:31:49
definido el plano, ¿verdad? De arriba. 00:31:51
Yo el plano de arriba tengo 00:31:53
el vector de su R, pues su paralelo 00:31:55
y el que como 00:31:57
contiene la recta S, ¿de acuerdo? 00:31:59
Pues ya tengo aquí 00:32:01
dos, porque uno es el que une 00:32:02
la diagonal y otro el que une 00:32:04
este lateral, ¿de acuerdo? Entonces 00:32:07
yo hago el producto vectorial y 00:32:09
ya tengo un vector normal, 00:32:11
¿vale? Bien para arriba o bien para abajo. 00:32:13
Yo ya tengo el vector normal 00:32:15
del plano del techo, ¿de acuerdo? 00:32:17
¿Sí? 00:32:19
¿Qué es lo que hago? 00:32:19
Como yo lo que quiero es 00:32:22
Que sea paralelo a S 00:32:24
Y que contenga R 00:32:26
Pues entonces cojo un punto de R 00:32:27
¿Lo veis? 00:32:31
Cojo el punto de R 00:32:32
Y entonces ya al contener el punto de R 00:32:34
Pues yo ya tengo el parámetro D 00:32:37
¿Lo veis chavales? 00:32:39
¿Sí o no? 00:32:40
¿Sí? 00:32:42
Dime hija 00:32:43
¿Qué? 00:32:46
En este ejercicio 00:32:50
Dime hija 00:32:51
¿Sí? 00:32:54
Vale. Entonces, ¿qué ocurre? Este plano de aquí, este plano pi, ¿vale? Ah, mira, aquí es lo que quería. Este plano pi, chavales, es muy fácil. Hay el vector normal del plano haciendo el producto vectorial de dr y de s. 00:32:56
Entonces, esfuerzo, como es paralelo a S y contiene a R, esfuerzo a que el punto PR pertenezca al plano, yo ya tengo este plano de aquí, ¿vale? Entonces, daros cuenta que este plano es paralelo a S y que contiene a R. Entonces, ¿cuál va a ser realmente la distancia entre las dos rectas? 00:33:12
Pues la distancia de la recta S al plano nuevo y es igual a la distancia de cualquier punto de PS al plano. Pues nada, sustituyo en la fórmula que era el módulo, el valor absoluto de en este plano pongo el punto PS y lo divido entre el módulo del vector normal del plano. ¿De acuerdo? Y entonces me da 10 unidades. ¿Lo veis, chavales, cómo se hace o no? Dime. 00:33:29
esto de aquí 00:33:59
ah, esto sabe lo que ocurre 00:34:01
que lo que he hecho es el máximo común divisor 00:34:03
de los dos, 12 descompuestos 00:34:06
48, bueno tenía calculadora 00:34:07
vale, 48 00:34:09
lo descompongo aquí, 64 lo descompongo 00:34:11
y resulta que el máximo 00:34:14
común divisor de los dos es 16 00:34:15
por lo tanto he dividido este entre 16 00:34:17
y este entre 16 para que me quede bonito 00:34:20
como ustedes, vale, realmente lo he dividido 00:34:21
entre menos 16 00:34:24
vale, si, y es que yo 00:34:25
prefiero los números chicos es verdad que con calculadora me da igual vale pero como no tenía 00:34:27
calculadora pues yo esto lo puedo hacer del tirón vale entonces chavales fijaros qué que voy a hacer 00:34:32
ahora el mismo ejemplo y me tiene que dar también 10 unidades pero lo que voy a hacer ahora en vez 00:34:41
de hacer un plano paralelo a ese que contenga r lo que voy a hacer es un plano paralelo a r 00:34:47
y que contenga ese, ¿vale? 00:34:54
Uno de los dos, 00:34:56
uno de los dos. Por eso, pero aquí 00:34:58
os quiero enseñar que elijáis, el que elijáis 00:35:00
es el mismo. De hecho, ¿qué es lo que me he hecho? 00:35:02
Me lo he copiado, tal cual, 00:35:04
y lo único que he puesto en colorado 00:35:07
lo distinto. Entonces, fijaros 00:35:08
que la primera parte, 00:35:10
pues nada, lo de discutir. Esto de aquí, 00:35:12
por ejemplo, también está mal, porque aquí es 00:35:14
igual y aquí no son paralelos y demás. 00:35:16
Pero como está copiado, ¿vale? 00:35:18
Entonces aquí me sale lo mismo y demás. 00:35:20
Entonces, ahora, lo colorado es lo diferente a la diapositiva anterior, ¿vale? Entonces, ¿qué ocurre? Veis que el producto escalar, el producto vectorial es el mismo. Pues, tengo que coger de R y de S. Es exactamente lo mismo. Tengo ese vector del plano. 00:35:22
Y ahora, ¿qué es lo que ocurre? Ahora este plano, este plano de aquí, no va a contener a R, contiene a S. Por lo tanto, ¿qué punto pertenece al plano? Pues que su S en vez de PR. 00:35:36
Pero lo que yo quiero que os fijéis es que, precisamente, cuando yo tengo dos restas que se cruzan, cuando yo tengo dos restas que se cruzan, si yo elijo, por ejemplo, la del suelo y la del techo, 00:35:48
Si yo decido elegir un plano paralelo del suelo que contenga la del techo, me va a dar el plano del techo. ¿Sí o no? Pero si yo elijo, chavales, un plano paralelo a la del techo que contenga a la del suelo, ¿qué plano me va a dar, chavales? El del suelo. ¿Cómo son el suelo y el techo? Paralelos. ¿De acuerdo? ¿Sí o no? 00:36:01
Entonces, por eso, el vector normal de la primera opción y del segundo es la misma, que es 3, 4, 0. Lo único que yo tengo que tener muy claro dónde estoy, porque aquí lo que quiero hallar es un plano paralelo a R que contenga S. Por lo tanto, yo aquí tengo que poner el punto P su S, ¿lo veis? ¿Sí o no? 00:36:26
Y entonces yo tengo un plano que fijaros que es paralelo al anterior. ¿Qué ocurre? Que ahora la distancia entre R y S ahora es la distancia entre R y pi, antes era entre S y pi, es decir, la distancia entre un punto de R y el plano pi. 00:36:46
Pues nada, utilizo la fórmula de punto plano, utilizo en el nuevo plano, pero el punto P sub R, 00:37:02
daros cuenta que el denominador va a ser el mismo en los dos y que me da 50 quinto, que es 10. 00:37:09
¿Veis cómo sale lo mismo? 00:37:15
Sí, aquí lo único que tenemos que ver claro es a cuál vamos a hallar el paralelo y entonces contiene a la otra resta. 00:37:18
¿Vale? 00:37:25
La segunda forma es a través del producto mixto. 00:37:26
Como R y S se cruzan, los vectores no son proporcionales, por lo tanto son linealmente independientes, al igual que el vector que une un punto de la recta R con el punto S. 00:37:29
Lo que hemos visto, el volumen del paralelepípedo es distinto de cero, los tres vectores son linealmente independientes. 00:37:39
Entonces, ¿qué ocurre? Pues que el volumen del paralelepípedo, que es precisamente el determinante formado por los tres vectores, 00:37:45
d sub r, d sub s y el vector que une p sub r con p sub s, es igual al área de la base, 00:37:52
el área de la base que es realmente el producto vectorial, ¿verdad?, formado por dr y ds. 00:37:58
¿Y cuál es la altura? Pues la altura es precisamente el vector, el módulo del vector que une un punto de pr con ps. 00:38:06
¿Lo veis? Bueno, no es realmente el módulo del vector, es la perpendicular, ¿vale? 00:38:14
Entonces, ¿qué ocurre? Que precisamente la distancia entre R y S es esa altura de aquí, ¿vale? Esa altura de aquí igual al volumen del paralelepípedo, es decir, el producto mixto que daros cuenta que yo ya lo he tenido que hacer para discernir que son rectas que se cruzan y lo único que tengo que hallar es el módulo del producto vectorial, ¿vale? De DR y de S, ¿lo veis? 00:38:20
Entonces, ¿cómo sería mi ejemplo? Pues yo tengo aquí dos rectas, estas rectas son distintas, ¿vale? Estudio la posición relativa, si os dais cuenta, al estudiar la posición relativa yo tengo que hacer el, veo que no son proporcionales, aquí veo, hallo el determinante y resulta que el determinante me sale distinto de cero, entonces RS se cruza, lo bueno es que S menos 60 va en la fórmula, ¿lo veis? 00:38:48
Y yo lo que tengo que hallar es el valor absoluto de menos 60. 00:39:18
Y abajo, ¿qué es? 00:39:21
Pues yo hago el vector director de d sub r con d sub s, ¿vale? 00:39:22
Hago el producto vectorial y hallo el módulo de este vector. 00:39:27
Entonces, fijaros, yo a mí personalmente este segundo método es el que más me gusta, 00:39:31
aunque yo soy antifórmula, ¿vale? 00:39:36
Yo soy antifórmula. 00:39:39
Pero este método yo creo que es más rápido. 00:39:40
Más que nada porque para ver la posición relativa de r y s yo ya tengo que hacer esto. 00:39:42
Y esto precisamente es lo que yo tengo que utilizar en la fórmula que me permite saber la distancia entre dos rectas que se cruzan, ¿vale? ¿Sí o no? Y ahora, este de aquí para mí es un tostón, ¿vale? Voy a ser fino porque para mí es otra cosa, pero bueno. 00:39:47
Entonces, son los vectores variables, que es un método bastante más largo, ¿vale? Entonces, se toma, chavales, un punto RG genérico. ¿Qué quiere decir un punto genérico de una recta? Ese punto va a tener una X, una Y, una Z, pero ese punto va a depender, no va a ser el 4, 2, 0, va a depender de ese lambda o de ese parámetro, ¿vale? 00:40:02
¿Vale? Otro también genérico de la resta S, que también va a depender, de acuerdo, de otro parámetro, ¿vale? Yo aquí lo que os recomiendo es que los parámetros sean distintos, tanto en uno como en otro, ¿vale? Entonces, cuando yo tengo un punto genérico de R y otro de S, calculo ahora, fijaros, el vector RGRS, que ahora va a depender ese vector de dos parámetros, tanto de lambda como de mu, ¿vale? 00:40:24
y se esfuerza a que ese vector que une un punto genérico de R y un punto genérico de S 00:40:53
sea perpendicular tanto a R como a S. 00:41:01
Es decir, el producto escalar de R, S, G y de R debe ser cero, 00:41:05
al igual que también el producto escalar de R, G, R, S con D, S. 00:41:10
Entonces, así tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas 00:41:14
y se obtiene la lambda y la mu 00:41:18
y se sustituye en sus respectivas rectas 00:41:21
obteniéndose un punto R0 y un punto S0. 00:41:24
Y así la distancia entre las dos rectas 00:41:29
será el módulo que une los puntos específicos de R y de S. 00:41:31
Esto es un shosho tremendo, ¿vale? 00:41:38
No es complicado, pero es tal. 00:41:40
Entonces, si tenemos este ejercicio, ¿vale? 00:41:43
¿Qué es lo que tenemos que hacer, chavales? 00:41:45
Pues yo lo paso a paramétrica, fijaros que tengo S en paramétrica y la R en paramétrica, ¿de acuerdo? Bueno, veo antes que efectivamente se cruzan, ¿de acuerdo? Entonces, tengo las dos en paramétrica. 00:41:47
Fijaros el punto genérico de Rg 00:42:00
Es 2 mu 00:42:03
6 menos mu, 3 menos 3 00:42:04
¿Cuál es el punto genérico de S? 00:42:06
2 más 5 mu 00:42:09
La lambda menos 3 tal 00:42:10
Y ahora tengo que hallar Rg 00:42:12
Rs, entonces claro 00:42:14
Esto es un chocho por Dios, tengo que restar 00:42:16
Cada componente y fijaros 00:42:18
Lo que me queda, me queda esto de aquí 00:42:20
Y ahora que tengo que forzar 00:42:22
Chavales, que este vector 00:42:24
Su producto escalar con 00:42:26
Dr me dé 0, entonces 00:42:28
O sea, es 2 por todo esto de aquí, menos 1 por todo esto de aquí, menos 3 por todo esto de aquí, tiene que ser 0. 00:42:29
¿Qué es lo que ocurre? 00:42:38
Que yo agrupo y me va a salir una ecuación con dos incógnitas, que son los parámetros lambda y mu. 00:42:39
Hago exactamente lo mismo con el vector de S y me sale otra ecuación con dos incógnitas. 00:42:46
Pues entonces esto que hago, resuelvo un sistema con dos ecuaciones con dos incógnitas, de tal forma que yo ya tengo un mu y tengo un lambda, sustituyo en mi punto genérico de la r el lambda, en la s la mu y me dan dos puntos. 00:42:56
Y ahora tengo que hallar el vector que une un punto con otro, hallar su módulo, hartarme de llorar, acostarme, para obtener realmente la distancia que hay entre las dos restas. 00:43:14
Entonces, yo este método de aquí, que es evidentemente igual de válido, pero para mí, yo decía, gracias por conocerte, pero hasta luego. 00:43:28
Yo personalmente me iría al segundo método 00:43:38
Lo que pasa es que implica 00:43:42
Aprenderse una fórmula, ¿vale? 00:43:43
Y saber realmente qué es cada cosa 00:43:44
¿Vale? A mí me gusta más el primero 00:43:46
Porque es de pensar 00:43:49
Si tienes las ideas claras, las saques 00:43:50
Pero el segundo es mucho más rápido 00:43:52
¿Vale, chavales? 00:43:53
Mañana tenemos clase 00:43:56
Tenemos que ver cositas de superficie 00:43:57
Que es un poco rollo 00:43:59
¿Vale? 00:44:00
Y ya empezamos a hierro el viernes 00:44:01
Hacer ejercicios, ¿vale? 00:44:03
¿Sí? 00:44:05
pero esto lo ha 00:44:05
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Idioma/s:
es
Idioma/s subtítulos:
es
Materias:
Matemáticas
Niveles educativos:
▼ Mostrar / ocultar niveles
  • Bachillerato
    • Segundo Curso
Autor/es:
Roberto Aznar
Subido por:
Roberto A.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
5
Fecha:
2 de diciembre de 2025 - 13:58
Visibilidad:
Público
Centro:
IES JIMENA MENÉNDEZ PIDAL
Duración:
44′ 15″
Relación de aspecto:
1.97:1
Resolución:
1024x520 píxeles
Tamaño:
117.23 MBytes

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