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AN1. 2.2 Reglas para el cálculo de límites - Contenido educativo

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Subido el 28 de octubre de 2024 por Raúl C.

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Hola a todos, soy Raúl Corraliza, profesor de matemáticas de bachillerato en el IES 00:00:12
Arquitecto Pedro Gomiel de Alcalá de Henares y os doy la bienvenida a esta serie de videoclases 00:00:18
de la unidad AN1 dedicada a los límites. En la videoclase de hoy estudiaremos las reglas 00:00:22
para el cálculo de límites. En esta videoclase vamos a ver algunas reglas que, junto con 00:00:34
las propiedades que habíamos estudiado en la videoclase anterior, en referencia a las 00:00:51
operaciones con funciones y los límites finitos van a ser muy útiles para la determinación de 00:00:55
límites. Como veis aquí, lo que vamos a hacer en esencia va a ser determinar los límites por 00:01:00
evaluación de la función en el valor x0 en el cual se está determinando el límite. Vamos a tomar 00:01:06
provecho de esa última regla, de esa última propiedad que mencionábamos en la videoclase 00:01:12
anterior. Nosotros habitualmente estaremos trabajando con funciones continuas y, 00:01:17
consecuentemente los límites se podrán determinar, como veis, por evaluación directa sustituyendo el 00:01:21
valor de x por el x0 en el cual se está calculando el límite. Hay que tener en cuenta, aparte de las 00:01:27
propiedades de la videoclase anterior, ciertas peculiaridades que involucran al valor 0 y son 00:01:33
las siguientes. Si nos encontramos con que tenemos que multiplicar 0 por un valor real cualquiera, 00:01:38
el resultado va a ser 0. Si tenemos que dividir 0 entre un valor real cualquiera siempre y cuando 00:01:43
este no sea cero, el resultado será cero. Si tenemos que dividir un número real cualquiera 00:01:49
que no sea cero entre cero, el resultado va a ser una divergencia hacia más infinito 00:01:55
o hacia menos infinito. Y fijaos cómo lo he representado, sin signo, porque en este 00:02:00
momento lo único que podemos saber es que el límite va a ser o bien divergente hacia 00:02:06
más infinito o hacia menos infinito, no sabemos cuál sea. Muy probablemente no nos sea necesario 00:02:11
determinar o identificar cuál de los dos sea y esto sea suficiente. 00:02:17
En el caso en el que necesitáramos saber si es más o menos infinito 00:02:21
deberemos tener en cuenta el límite lateral en el cual estamos tomándolo 00:02:24
puesto que muy probablemente la divergencia sea distinta 00:02:28
si es límite por la derecha o por la izquierda y el signo de esta K. 00:02:31
Por último, dentro del capítulo de estas reglas 00:02:35
podemos encontrarnos con que tenemos que determinar el logaritmo de 00:02:39
el límite de una cierta función. 00:02:42
Y entonces nos encontramos con logaritmo de cero, por supuesto, por la derecha, puesto que la función logaritmo estaría definida únicamente para valores positivos del argumento. 00:02:44
En este caso, dependiendo de cuál sea la base, si es menor que uno, está entre cero y uno, o bien si es mayor que uno, este límite será más infinito o menos infinito. 00:02:54
Atendiendo a esto que acabo de mencionar, que los límites en su amplia mayoría se van a poder determinar por evaluación 00:03:03
sustituyendo el valor x por este x0 en el cual se está determinando el límite 00:03:10
ya se podrían realizar todos estos ejercicios que discutiremos en clase 00:03:14
que podremos discutir en alguna videoclase posterior 00:03:19
Continuamos con las reglas y vamos a preguntarnos qué es lo que ocurre 00:03:22
cuando la variable independiente x no tiene un valor concreto x0 00:03:28
sino como veis aquí cuando tiende a más o a menos infinito 00:03:31
cuando toma valores arbitrariamente grandes o arbitrariamente pequeños. 00:03:34
Y vamos a comenzar con el caso particular de una función polinómica. 00:03:38
Es una de las más importantes con las que vamos a trabajar. 00:03:42
Bien, en este caso, si estamos calculando el límite de una función polinómica, 00:03:45
en el límite cuando x tendrá a más o a menos infinito, 00:03:49
lo que hemos de hacer es tener en consideración que el término dominante va a ser el de mayor grado. 00:03:53
Vamos a poder despreciar todos los términos que no sean el de mayor grado 00:03:58
Y entonces lo que haremos será, una vez que nos quedemos únicamente con este, tener en cuenta estas propiedades que vemos aquí para las operaciones con infinitos, que van a ser válidas únicamente en este contexto de cálculo de límites. 00:04:02
Más o menos infinito elevado a un número natural n se puede calcular, o el resultado se puede determinar como más infinito si n es par, o bien más o menos infinito si n es impar. 00:04:15
Y en este caso, lo que quiero decir es que, con independencia del signo del infinito, si n es par, el resultado va a ser más infinito. 00:04:27
Y en el caso en el que tengamos más infinito elevado a n impar, el resultado será más infinito, el signo de arriba va con el de arriba. 00:04:35
Si es menos infinito elevado a n y n es impar, el resultado será menos infinito, el signo de abajo va con el de abajo. 00:04:44
Si tenemos una constante, un número real cualquiera, que multiplica a más o a menos infinito, 00:04:52
dependiendo del signo de k, el resultado puede ser que cambie de signo. 00:04:58
Si k es positivo, más por más es más, más por menos es menos, 00:05:01
y k por más menos infinito será más menos infinito, igual que antes. 00:05:06
Signo de arriba con el de arriba, signo de abajo con el de abajo. 00:05:10
En el caso en el que k sea negativo, menos por más es menos, menos por menos es más, 00:05:13
vemos que nos cambiaría el signo. 00:05:17
Y entonces el resultado, como veis, será menos más infinito el signo de arriba con el de arriba, el signo de abajo con el de abajo. 00:05:19
Con esto ya se pueden determinar los límites que tenéis aquí y que discutiremos en clase y en alguna de las videoclases posteriores. 00:05:27
Finalizamos esta videoclase de reglas, también con reglas para límites, cuando x tiende a más o menos infinito, pero en este caso ya no, para el caso de funciones polinómicas. 00:05:37
En este caso, las reglas que tenemos que tener en cuenta son estas que tenemos aquí en relación con los infinitos. 00:05:47
La primera que vemos aquí es la misma que habíamos visto anteriormente con el caso de los polinomios. 00:05:54
¿Qué ocurre cuando una constante, un número real, multiplica a más o a menos infinito? 00:05:58
Pues que dependiendo del signo de este valor real, puede ser que cambie o no el signo del infinito. 00:06:03
Si K es positivo, no cambia el signo. Si K es negativo, sí lo cambiaría. 00:06:09
¿Qué ocurre si tenemos un infinito dividido entre un número real distinto de 0, por supuesto? 00:06:13
Bueno, pues dependiendo del signo de k, nos cambiará o no el signo del infinito. 00:06:19
Infinito entre un valor distinto de 0 constante va a ser infinito. 00:06:23
Si k es negativo, el signo cambiará. Si k es positivo, el signo no cambiará. 00:06:28
Al revés, ¿qué ocurre si en lugar de dividir infinito entre un número real, dividimos un número real entre infinito? 00:06:33
Pues en ese caso lo que vamos a obtener es un valor 0. 00:06:38
¿Qué ocurre si tenemos un cierto valor real, constante, elevado bien a más infinito, bien a menos infinito, como tenemos aquí? 00:06:41
Bien, pues lo primero, este valor constante no va a poder ser negativo, no va a poder ser cero, no va a poder ser uno, 00:06:49
y dependiendo de si la base está entre cero o uno o es mayor que uno, nos encontramos con estos resultados, 00:06:55
que se corresponden, por cierto, con lo que nosotros conocemos de las funciones exponenciales. 00:07:00
Si la base está entre 0 y 1 y estamos en el límite con x tendiendo a menos infinito, el límite es más infinito. 00:07:05
Mientras que si la base es mayor que 1, el mismo límite será 0. 00:07:12
Si la base está entre 0 y 1 y tenemos el límite hacia más infinito, lo que tenemos es 0. 00:07:16
Mientras que si la base es mayor que 1, el límite sería más infinito. 00:07:22
Se corresponde con las propiedades de las funciones exponenciales. 00:07:26
En el caso de los logaritmos, cuando tenemos el logaritmo de infinito, lo que tenemos son las propiedades de los límites. 00:07:30
En el límite del infinito, este límite va a ser 0, con independencia de si la base va a ser un número entre 0 y 1 o va a ser un número mayor que 1. 00:07:37
Con esto que hemos discutido, junto con lo que hemos discutido anteriormente, ya se va a poder resolver estos ejercicios que discutiremos en clase, 00:07:48
podremos discutir en alguna videoclase posterior. 00:07:57
En el aula virtual de la asignatura tenéis disponibles otros recursos y cuestionarios. 00:08:02
Asimismo, tenéis más información en las fuentes bibliográficas y en la web. 00:08:08
No dudéis en traer vuestras dudas e inquietudes a clase o al foro de dudas en el aula virtual. 00:08:13
Un saludo y hasta pronto. 00:08:18
Idioma/s:
es
Materias:
Matemáticas
Etiquetas:
Flipped Classroom
Niveles educativos:
▼ Mostrar / ocultar niveles
  • Bachillerato
    • Primer Curso
    • Segundo Curso
Autor/es:
Raúl Corraliza Nieto
Subido por:
Raúl C.
Licencia:
Reconocimiento - Compartir igual
Visualizaciones:
5
Fecha:
28 de octubre de 2024 - 13:09
Visibilidad:
Público
Centro:
IES ARQUITECTO PEDRO GUMIEL
Duración:
08′ 47″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1280x720 píxeles
Tamaño:
20.66 MBytes

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