1.-Producto escalar en una base ortonormal

Continuamos con los vectores. 00:00:01

En general, siempre o la mayor parte del tiempo estaremos trabajando en bases ortonormales. 00:00:03

Acordaos que una base es ortonormal, puesto que estamos en el plano tendremos dos vectores 00:00:09

que serán los que conforman la base. 00:00:14

Diremos que es base ortonormal si los vectores tienen módulo 1 y son perpendiculares. 00:00:15

Esto es lo que define una base ortonormal. 00:00:27

Bueno, pues en esta base, en una base ortonormal 00:00:31

se cumplen una serie de condiciones 00:00:34

que nos permiten calcular el producto escalar de una forma más sencilla 00:00:38

y deducir el módulo también de una forma más sencilla 00:00:42

coordenadas de vectores perpendiculares 00:00:45

todo se simplifica cuando consideramos una base ortonormal 00:00:47

por eso lo interesante es siempre referir todos los vectores a este tipo de base 00:00:50

Supongamos ahora que tenemos una base ortonormal de este tipo 00:00:55

vamos a considerar, por seguir el ejemplo que tenéis en el libro 00:00:59

una base de otro animal i, j, además que me decíais el otro día 00:01:03

que son las coordenadas que se utilizan en física también 00:01:06

el vector i será el 1, 0 00:01:10

y el vector j el 0, 1 00:01:15

se trata por tanto de vectores de módulo 1 00:01:18

y perpendiculares entre sí 00:01:21

si nosotros lo representamos, este es el 1, 0 00:01:22

y este es el 0, 1 00:01:25

Bueno, pues suponiendo que tenemos esta base, lo que se cumple es que si tenemos las coordenadas de u respecto de esta base como u sub 1 y u sub 2 00:01:28

y las coordenadas de v respecto de esta base v sub 1 y v sub 2, se verifica que el producto escalar u por v, 00:01:38

aparte de ser módulo de u por módulo de v por el coseno del ángulo que forman, sería directamente u sub 1 por v1 más u sub 2 por v2. 00:01:48

¿Vale? Entendiendo esta multiplicación como la multiplicación normal, ¿vale? 00:01:58

Ya no estamos hablando de producto escalar, ya estamos hablando de multiplicación de números, ¿vale? 00:02:05

v sub 1 multiplicado por v, u sub 1 multiplicado por v sub 1 normal más u sub 2 multiplicado por v sub 2, 00:02:09

lo que es la multiplicación normal, este sería el producto escalar. 00:02:15

Esto solo pasa si tengo una base ortonormal, ¿vale? 00:02:18

Si están los vectores referenciados respecto de una base ortonormal. 00:02:21

Bueno, para esto hay una demostración que es la que aparece en el libro y es muy sencilla 00:02:24

porque se trata únicamente de aplicar las propiedades del producto escalar y de espacio. 00:02:29

Entonces, imaginaos que yo quiero demostrar esta igualdad. 00:02:34

Bueno, pues voy a partir de la izquierda y voy a intentar llegar a la derecha. 00:02:39

Si yo escribo el vector u en su base ortonormal, esto tendría el siguiente aspecto. 00:02:43

sería u1 por el vector i más u2 por el vector j, puesto que u1 y u2 son las coordenadas 00:02:50

respecto de esa base. Todo esto producto escalar de v1 por i más v2 por j. Bueno, pues ahora 00:03:03

voy a aplicar la propiedad distributiva y voy a ir multiplicando este por todo este 00:03:13

y este por todo este, cada sumando por el siguiente paréntesis. 00:03:17

Si voy multiplicando, me quedaría u sub 1 i que multiplica a v1 por i más v2 por j. 00:03:24

Esto sería producto escalar más u sub 2 j, producto escalar v1 i más v2 j. 00:03:37

De nuevo vuelvo a aplicar las propiedades del producto escalar, ahora lo que voy a hacer es multiplicar este por este y luego por este propiedad distributiva y este por este y luego por este propiedad distributiva y voy a tener en cuenta aquello de que cuando tengo un número que multiplica a un vector producto escalar otro número que multiplica a otro vector es lo mismo que multiplicar esos dos números y luego hacer el producto escalar de los correspondientes vectores. 00:03:49

Entonces, teniendo esto en cuenta, que son las propiedades que vimos ayer, pues puedo escribir u sub 1 por v1 que multiplica a i producto escalar i más u sub 1 v2 que multiplica a i producto escalar j. 00:04:17

Del mismo modo, U2V1 que multiplica a J producto escalar I, más U2V2 que multiplica a J producto escalar J. 00:04:39

bueno, puesto que se trata de una base ortonormal 00:04:57

este producto escalar va a dar 0 porque los vectores son perpendiculares 00:05:03

este producto va a dar 0 porque los vectores son perpendiculares 00:05:09

y en estos casos el módulo de y por el módulo de y por el coseno del ángulo que forman que es 0 00:05:12

es lo mismo que el módulo de y al cuadrado que como es 1, pues 1 al cuadrado es 1 00:05:21

Lo mismo pasa con este, módulo de j por módulo de j por el coseno que forma j consigo mismo que es el coseno del ángulo que forma j consigo mismo que es 0, luego el coseno de 0 es 1, esto sería el módulo de j al cuadrado, pero como tiene módulo 1 pues es 1. 00:05:32

Con lo cual me quedaría u sub 1 por v1 más u sub 2 por v2, ¿vale? 00:05:51

Porque como hemos dicho, esto vale 1 y esto vale 1. 00:06:00

Así que hemos demostrado lo que buscábamos, ¿de acuerdo? 00:06:07

Esto siempre, siempre que estén referenciados los vectores con respecto a una base ortonormal. 00:06:12