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Integrales racionales - Contenido educativo

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Subido el 30 de octubre de 2023 por Pablo Jesus T.

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Bueno, pues como no me acuerdo el ejercicio que hemos hecho en clase, se busca uno incluso 00:00:00
un poquito más difícil para ver cómo se hacen estas integrales. 00:00:06
Bien, empezamos que el grado de arriba es igual que el grado de abajo. 00:00:11
Si el grado de arriba fuera mayor que el grado de abajo o igual como en este caso, podemos 00:00:15
empezar por hacer la división, hacer la prueba de la división, descomponerlo en cociente 00:00:20
más resto partido por divisor, pues podemos hacer la división, es una de las maneras. 00:00:28
Lo voy a hacer con la división para que después entendáis todavía mejor lo de completar. 00:00:35
Evidentemente cabe a 2, sería menos 2x cuadrado menos 4x menos 10 y queda de resto menos 5x 00:00:40
menos 7. 00:00:51
La otra manera que os proponía esta mañana era 2x cuadrado menos x más 3 y quiero completarlo 00:00:54
para poder hacer la división sin hacer la división. 00:01:02
Entonces la dificultad aquí, que por eso lo he hecho, es que además de poner lo mismo 00:01:08
que abajo, hay que poner el doble de lo de abajo, porque hay el doble de x cuadrado. 00:01:17
Realmente nosotros lo que pondríamos es el doble de x cuadrado 2x cuadrado y hasta 00:01:22
el doble de 2x, 4x, pero al poner 4x tengo que poner menos 4x. 00:01:28
El doble de 5, 10, pues además de poner más 10 tengo que poner menos 10 y eso me ha permitido 00:01:35
que ahora tengo 2x cuadrado más 4x más 10, que es el doble exactamente del denominador 00:01:43
y por tanto esta división vale 2, ¿vale? 00:01:56
Y por otro lado ¿qué me ha quedado? 00:02:03
Menos x menos 4x menos 5x y más 3 menos 10 menos 7, que es la otra integral que tengo 00:02:07
que hacer. 00:02:14
¿Cómo podéis comprobar? 00:02:15
Es muy fácil comprobar, os ha quedado lo mismo que en la división, menos 5x menos 00:02:16
7 del resto, ¿vale? 00:02:21
Luego volveremos a esta integral, a estas dos integrales, porque ahora lo que voy a 00:02:24
hacer es copiar esta segunda integral aquí, menos 5x menos 7 y la voy a hacer aparte, 00:02:31
es decir, como si fuera la única que tengo que hacer, ¿vale? 00:02:38
Lo primero que hago para este tipo es comprobar que el denominador no tiene raíces reales. 00:02:43
Si yo intento resolver esto, si os acordáis el discriminante b cuadrado menos 4ac, pues 00:02:50
da menos 16, que es menor que 0. 00:03:00
Por tanto, no tiene soluciones reales, porque si no se haría de manera diferente. 00:03:03
Lo segundo que voy a hacer es darme cuenta que la derivada del denominador es 2x más 00:03:10
Entonces yo lo que voy a buscar es que arriba haya 2x más 2 y por tanto voy a intentar 00:03:18
que menos 5x, lo voy a poner un poco más a la derecha, menos 5x menos 7 me quede algo 00:03:25
por 2x más 2. 00:03:32
Lo primero que hago, como quiero que quede 2x, pues multiplico y divido por 2. 00:03:35
Si no multiplicaría y dividiría por 2 sería trampa, ¿no? 00:03:40
Entonces tengo menos 10x menos 14 partido por 2. 00:03:43
Y entonces veo que menos 10x, esto lo tengo que ver, es menos 5 por 2x más 2, ¿de acuerdo? 00:03:49
Porque es la única manera de que me quede menos 10x, que es lo que me ha salido de esta 00:04:01
multiplicación. 00:04:05
Pero por otro lado, si yo pongo que esto es menos 5 por 2x más 2, si vosotros hicierais 00:04:07
eso ¿qué quedaría? 00:04:15
Menos 10x menos 10, menos 10x menos 10 y yo no tengo menos 10x menos 10, tengo menos 00:04:17
10x menos 14, o sea que me falta un menos 4. 00:04:24
Y esto me queda menos 5 medios de 2x más 2 y menos 2. 00:04:28
Entonces esto es el numerador, esto si os dais cuenta no es nada más que el numerador, 00:04:34
por tanto puedo ponerlo en lugar del numerador. 00:04:42
Y me quedará que tengo menos 5 medios por 2x más 2, en integral por supuesto el menos 00:04:45
5 medios, si queréis lo sacamos fuera de la integral, de 2x más 2 partido x cuadrado 00:04:55
más 2x más 5, que obviamente va a ser un logaritmo y por otro lado menos 2 la integral 00:05:02
de 1 partido x cuadrado más 2x más 5, fijaros que no he hecho nada más que descomponer 00:05:14
el numerador en 2, descomponer el numerador en 2, ¿vale? 00:05:20
Y ahora tengo dos integrales nuevas, la primera integral que es la integral de 2x más 2 partido 00:05:25
x cuadrado más 2x más 5, que como lo de arriba es la derivada de lo de abajo, pues 00:05:34
simplemente es el logaritmo neperiano del denominador, fácil ¿no? 00:05:40
Y por otro lado tengo otra integral que es 1 partido por x cuadrado más 2x más 5, bien, 00:05:47
esta como no es un logaritmo, arriba tiene un número, tiene que ser por narices un arco 00:05:57
tangente y para que sea un arco tangente tiene que quedar la suma de 2 cuadrados, 1 más 00:06:02
algo al cuadrado. Si a mí no se me ocurriera, nosotros tenemos esto, si a mí no se me ocurriera 00:06:10
lo puedo siempre igualar a esto, trabajarlo y ver cuánto valen a y b. Pongo x cuadrado 00:06:18
más 2x más 5, sería x cuadrado menos 2ax más a cuadrado más b cuadrado. Una rápida 00:06:28
comparación, me permite ver que eso está bien, 2x sería esto, así que eso implica 00:06:38
a igual a menos 1. Y la última, perdón, que se quiere ir esto, y la última pues quedaría 00:06:49
que 5 es a cuadrado más b cuadrado. Como a cuadrado es 1, pues b cuadrado es 4. Y entonces 00:07:05
ya he descompuesto eso en lo que quería. También podía haberme dado cuenta que x 00:07:15
cuadrado más 2x más 5 no es nada más que x cuadrado más 2x más 1 más 4, y x cuadrado 00:07:20
más 2x más 1 es x más 1 al cuadrado más 4 o más 2 al cuadrado. ¿De acuerdo? Y ya 00:07:28
tengo lo que busco para hacer un arco tangente. Lo meto aquí y tengo 1 partido x más 1 al 00:07:36
cuadrado más 4. Divido todo por 4, como hacemos en nuestros arcos tangentes, me queda un cuarto 00:07:47
de la integral, cambio el orden que es lo de menos en la suma, y me queda que es más 1 partido por 00:07:58
2 al cuadrado. O sea que esto es la integral de un cuarto de la arco tangente de x más 1 partido 00:08:08
por 2, así. Y como la derivada de x partido por 2 es un medio, pues tengo que añadir un 2. O en 00:08:17
otras palabras, esto me queda un medio. Y ya ha terminado. Ya tengo las dos integrales hechas. 00:08:26
Lo único que tengo que hacer ahora es subirlas. Y me queda menos 5 medios de el logaritmo neperiano 00:08:33
de x cuadrado más 2x más 5, y aquí menos 2 por un medio menos arco tangente de x más 1 partido por 00:08:43
2. Y a su vez, esta integral la tendría que subir aquí arriba. Sería 2x menos 5 medios del logaritmo 00:08:55
neperiano de x cuadrado más 2x más 5, menos el arco tangente, el arco tangente de x más 1 partido 00:09:07
por 2, y más c. Y este es el resultado final. ¿De acuerdo? 2x menos 5 medios del logaritmo neperiano de x cuadrado 00:09:23
más 2x más 5, menos el arco tangente. Y por si acaso, pues bueno, yo se me ha ocurrido, tengo aquí, 00:09:36
hacerlo con GeoGebra. Lo podía haber preparado antes la copia, pero bueno. 00:09:48
Una captura de pantalla que tendría que haber por aquí. Esto es... 00:10:06
A ver, sí, copiar. ¿No tiene esto el botón copiar? Bueno, insertar. ¿No tiene esto insertar? 00:10:10
Luego lo editaré. A ver aquí, imágenes, sí. Lo hacemos así. X, Y, J, G, N, 24, apuntes, 00:10:30
examen 2, captura de pantalla. Vale, pues ahí lo tenéis. He puesto 00:10:43
que GeoGebra nos derivara la función esa que habíamos escrito ahí arriba. 2x menos 5 medios del logaritmo neperiano de x cuadrado 00:10:49
más 2x más 5, menos el arco tangente de x más 1 partido por 2. Y resulta que nos dice que la derivada de 2x cuadrado 00:11:03
menos x más 3 partido de x cuadrado más 2x más 5, que era nuestra integral. Y por tanto, 00:11:11
demostrado que la hemos hecho bien. Bueno, espero que lo hayáis entendido. 00:11:20
Autor/es:
Pablo J. Triviño Rodríguez
Subido por:
Pablo Jesus T.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Sin obra derivada
Visualizaciones:
127
Fecha:
30 de octubre de 2023 - 21:30
Visibilidad:
Público
Centro:
IES JOSÉ GARCÍA NIETO
Duración:
11′ 28″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1280x720 píxeles
Tamaño:
218.88 MBytes

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