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AN5. 2.1. Integrales inmediatas + Ejercicio 1 resuelto - Contenido educativo

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Subido el 10 de diciembre de 2024 por Raúl C.

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Hola a todos, soy Raúl Corraliza, profesor de matemáticas de bachillerato en el IES 00:00:12
arquitecto Pedro Gumiel de Alcalá de Henares y os doy la bienvenida a esta serie de videoclases 00:00:17
de la unidad AN5 dedicada a las integrales. En la videoclase de hoy estudiaremos las integrales 00:00:22
inmediatas y resolveremos el ejercicio propuesto 1. En esta videoclase vamos a iniciar el estudio 00:00:34
de las técnicas de integración, las técnicas que se emplean para determinar las integrales 00:00:49
indefinidas de ciertas funciones con las denominadas integrales inmediatas. Son aquellas que se 00:00:54
obtienen de leer directamente en sentido contrario la tabla de derivadas. Por ejemplo, tenemos 00:00:59
la integral de una cierta constante lambda perteneciente a los números reales. Bien, 00:01:05
pues la integral de lambda es lambda por x más k, más k, un número real. Puesto que 00:01:10
si derivamos una constante por x más otra constante, esta constante aditiva desaparece, 00:01:15
eso va a ocurrir en todas las integrales que vamos a ver, ya no lo voy a mencionar más, 00:01:22
y la derivada de lambda por x es lambda. 00:01:26
En el caso de una función potencial, x elevado a un número real, distinto de menos 1, 00:01:29
pues lo que tenemos es x elevado a el mismo exponente, una unidad superior, 00:01:34
y todo ello dividido entre ese nuevo exponente, por supuesto, más k. 00:01:39
La razón es que al derivar x elevado a a menos 1, 00:01:44
este a menos 1 quedaría multiplicando por delante y simplificaría a este a más 1 que tenemos aquí, 00:01:48
al exponente se le restaría una unidad y tendríamos x elevado a a. 00:01:54
En el caso de una función exponencial, la integral de una función exponencial es la misma función exponencial 00:01:58
dividido entre el logaritmo neperiano de la base, por supuesto más la constante aditiva, 00:02:06
puesto que al derivar esta exponencial lo que obtenemos es ella misma multiplicado por el logaritmo neperiano 00:02:11
de la base que cancelaría este logaritmo neperiano y obtendríamos la exponencial. 00:02:18
En el caso particular de la función exponencial, con base el número e, la integral es ella 00:02:22
misma al igual que la derivada de la función exponencial es ella misma. 00:02:28
En el caso de la función logarítmica la obtenemos como integral de 1 partido de x. 00:02:33
Recordad que la derivada del logaritmo neperiano de x es 1 partido de x, así que en este caso 00:02:38
para obtener una función logarítmica tenemos que tener 1 partido por x. 00:02:43
Y aquí tenemos estas barras de valor absoluto importantes en el argumento del logaritmo, 00:02:48
puesto que si la x fuera negativa, el logaritmo de x no estaría definido, pero el logaritmo del valor absoluto. 00:02:52
Recordad, la integral de 1 partido por x es logaritmo neperiano del valor absoluto de x, por supuesto, más la constante aditiva k. 00:02:59
A continuación, para el caso del bachillerato de ciencias, tenemos las funciones trigonométricas y las funciones trigonométricas inversas. 00:03:07
Puesto que la derivada del coseno era menos el seno, no es de extrañar que la integral del seno sea menos el coseno. 00:03:17
Puesto que la derivada del seno era el coseno, no es de extrañar que la integral del coseno sea el seno. 00:03:24
Recordad que la derivada de la tangente de x era 1 más tangente cuadrado, o lo que era lo mismo, 00:03:32
atendiendo la igualdad fundamental de la trigonometría, a 1 partido por coseno cuadrado. 00:03:39
Así que la integral de cualquiera de estas dos expresiones será, por supuesto, la tangente de x. 00:03:42
En el caso del arco seno de x, su derivada era 1 partido de la raíz cuadrada de 1 menos x al cuadrado. 00:03:49
Luego, al integrar esta función, obtendríamos el arco seno. 00:03:55
Y en lo que respecta al arco tangente, su derivada es 1 partido de 1 más x al cuadrado, 00:03:59
por lo que la integral de 1 entre 1 más x al cuadrado será el arco tangente. 00:04:04
En todos los casos, por supuesto, más la constante aditiva. 00:04:08
Como ejemplo vamos a resolver el ejercicio propuesto 1, en el que se nos pide calcular una serie de integrales indefinidas inmediatas. 00:04:14
En primer lugar tenemos la integral de x al cuadrado más 5. 00:04:21
Aplicando la propiedad de la suma de funciones tenemos, en primer lugar, la integral de x al cuadrado, 00:04:25
es una función potencial, sumando 1 al exponente tenemos x al cubo partido por 3. 00:04:30
La integral de 5, que es una constante, su integral es 5x, y para finalizar más k, k perteneciente a los números reales. 00:04:35
Una forma de comprobar que la integral está bien es nada más que derivarla para comprobar que obtenemos la función que teníamos en el integrando anteriormente. 00:04:42
La derivada de x al cubo es 3x al cuadrado, el 3 que multiplica con este que divide se simplifica, aquí tenemos x al cuadrado. 00:04:51
La derivada de 5x es este 5 y la derivada de este elemento aditivo, de este más k, es 0, desaparece. 00:04:59
A continuación tenemos la integral de 1 partido de x a la cuarta 00:05:06
1 partido de x a la cuarta es x elevado a menos 4 00:05:11
así que podemos aplicar la regla de la función potencial 00:05:14
Sumamos 1 al exponente y entonces tenemos que la integral es 00:05:17
x elevado a menos 3 partido por menos 3 más k 00:05:22
Si queremos expresar esto como una función racional 00:05:26
evitando el exponente negativo y desde luego quitando este signo menos del denominador 00:05:30
podríamos reescribirlo como menos 1 partido de 3x al cubo más k. 00:05:35
Y una vez más, derivando deberíamos obtener 1 partido de x a la cuarta. 00:05:40
En el caso de la integral de 5 partido por x diferencial de x 00:05:44
podemos este 5 que está multiplicando sacarlo fuera 00:05:48
y tenemos la integral de 1 partido por x que es logaritmo neperiano del valor absoluto. 00:05:51
Así que la integral de 5 partido por x diferencial de x es 5 por el logaritmo neperiano del valor absoluto de x más k. 00:05:56
En el siguiente apartado tenemos la integral de 2 por el coseno de x, para los estudiantes de ciencias. 00:06:05
Sacamos el 2 fuera, la integral del coseno de x es seno de x, y entonces tenemos 2 seno de x más k, k perteneciente a r. 00:06:13
Aquí tenemos a continuación la integral de 3x más e elevado a x, diferencial de x. 00:06:22
Si hacemos la integral sumando a sumando, sería la integral de 3x, que es 3x al cuadrado partido por 2, 00:06:29
el 3 por un lado, que está multiplicando, y luego la integral de x es x al cuadrado partido por 2, 00:06:36
y luego la integral de la función exponencial es ella misma, e elevado a x más k. 00:06:42
En el caso en el que tenemos la integral de 5 elevado a x es una función exponencial, pero no la función exponencial, 00:06:47
Aplicando la regla lo que tenemos es 5 elevado a x, la misma exponencial, 00:06:54
dividido entre el logaritmo que pertenece a 5 más k, k perteneciente a r. 00:06:58
En el caso de la integral de la raíz cuadrada de x tenemos que reescribir esto como una potencia. 00:07:03
La raíz cuadrada de x se puede escribir como x elevado a 1 medio con exponente fraccionario. 00:07:09
Y aplicamos la regla de la función potencial. 00:07:13
Sumamos 1 al exponente que es 3 medios, en ese caso, dividimos entre 3 medios 00:07:16
y una vez más, si reescribimos esto para que tenga forma de raíz 00:07:21
y expresamos de otra manera este dividido entre tres medios, 00:07:26
obtenemos 2 por la raíz cuadrada de x al cubo partido por 3, más k, k perteneciente a r. 00:07:30
Si tuviéramos la raíz cúbica de 5x al cuadrado, aquí podemos hacer dos cosas. 00:07:39
Debemos hacer dos cosas. En primer lugar, reescribir esto como una potencia con exponente fraccionario y separar por un lado y extraer 5 elevado a 1 tercio, que sería la raíz cúbica de 5, por x elevado a 2 tercios, que es la raíz cúbica de x al cuadrado. 00:07:46
Digo separar porque 5 elevado a 1 tercio es una constante que multiplica, quedaría fuera de la integral, tendría la integral de x elevado a 2 tercios, se integra como una función potencial, sumamos 1 al exponente, 00:08:02
tendríamos 5 elevado a 1 tercio, de antes, por x elevado a 5 tercios dividido entre 5 tercios. 00:08:13
Igual que antes, si reescribimos estas potencias con exponente fraccionario como radicales 00:08:21
y este dividido entre 5 tercios lo cambiamos para que quede mejor, 00:08:27
lo que nos queda es 3 por la raíz cúbica de 5x a la quinta entre 5 más k, k perteneciente a r. 00:08:31
En el aula virtual de la asignatura tenéis disponibles otros recursos y cuestionarios. 00:08:38
Asimismo, tenéis más información en las fuentes bibliográficas y en la web. 00:08:47
No dudéis en traer vuestras dudas e inquietudes a clase o al foro de dudas en el aula virtual. 00:08:52
Un saludo y hasta pronto. 00:08:57
Idioma/s:
es
Materias:
Matemáticas
Etiquetas:
Flipped Classroom
Niveles educativos:
▼ Mostrar / ocultar niveles
  • Bachillerato
    • Segundo Curso
Autor/es:
Raúl Corraliza Nieto
Subido por:
Raúl C.
Licencia:
Reconocimiento - Compartir igual
Visualizaciones:
11
Fecha:
10 de diciembre de 2024 - 12:01
Visibilidad:
Público
Centro:
IES ARQUITECTO PEDRO GUMIEL
Duración:
09′ 26″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1280x720 píxeles
Tamaño:
21.22 MBytes

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