Saltar navegación

Activa JavaScript para disfrutar de los vídeos de la Mediateca.

Discusión de un sistema que depende de un parámetro - Contenido educativo

Ajuste de pantalla

El ajuste de pantalla se aprecia al ver el vídeo en pantalla completa. Elige la presentación que más te guste:

Subido el 26 de julio de 2018 por Manuel D.

244 visualizaciones

Se resuelve un problema de la EvAU de Madrid 2018 en el que hay que discutir un sistema que depende de un parámetro

Más información Transcripción

Descargar la transcripción

Hola, ¿qué tal? Bienvenidos de nuevo a este curso de matemáticas de segundo de bachillerato. 00:00:02
Hoy nos vamos a centrar en un ejemplo típico de ejercicio de selectividad, que es discutir 00:00:12
un sistema de ecuaciones que depende de un parámetro, es decir, en función de los valores 00:00:19
de un parámetro, decidir si el sistema es compatible o no, si es determinado o indeterminado. 00:00:23
En el ejercicio nos piden discutir en función del valor del parámetro m el sistema de ecuaciones, es decir, tenemos que mirar a ver cuándo el sistema es compatible o incompatible, cuando es compatible determinado o indeterminado en función de lo que valga la m. 00:00:28
Para ello lo primero que tenemos que hacer es sacar las matrices de coeficientes y la matriz ampliada y después vamos a mirar cuál es el rango de estas dos matrices en función del valor del parámetro m. 00:00:47
Por último, lo que tendremos que hacer es comparar a ver cuándo estos rangos coinciden 00:01:00
para poder aplicar el teorema de Roche-Frobenes. 00:01:04
Ese es el camino. 00:01:07
Bien, pues lo primero, ya digo, calculamos las matrices de coeficientes. 00:01:08
Esta es la matriz de coeficientes, vamos con la ampliada. 00:01:17
Bien, ahora vamos a calcular los rangos. 00:01:25
Para ello, empezamos por el rango de A. 00:01:27
Como es una matriz 3x3, el rango va a valer entre 1 y 3. 00:01:30
Pero a simple vista, somos capaces de encontrar un menor de orden 2 no nulo. 00:01:34
¿Cuál? 00:01:38
Por ejemplo, este menor será no nulo, lo que significa que el rango de A vale entre 2 y 3. 00:01:39
Para calcular, mirar cuando el rango es 3 y cuando es 2, calculamos el determinante, porque es una matriz cuadrada. 00:01:50
Bien, y el rango, o sea, y el determinante vale m cuadrado menos 1. 00:02:22
Entonces, ¿qué va a pasar? Pues que el rango cuando este determinante no sea 0, el rango será 3, y cuando sea 0 será 2. 00:02:25
Pues muy fácil. Resolvemos y se acabó. 00:02:32
Ahora, deducimos que, como esta ecuación, las raíces son 1 y menos 1, por tanto, ya deduzco que el rango de la matriz A va a ser 2 si la M vale o 1 menos 1, 3 si la M no vale ni 1 ni menos 1. 00:02:35
Bien, pues ahora lo que vamos a hacer es calcular el rango de la matriz A barra, A ampliada. 00:03:04
Para ello, fijémonos que hemos partido de la primera y tercera columna para orlar. Por tanto, esas dos deben ser fijas y lo que vamos a hacer es añadir la tercera columna. 00:03:08
Nos va a dar eso un determinante, una matriz de orden 3. Cuando ese determinante sea 0, el rango será 2. Cuando no sea 0, el rango de la ampliada será 3. 00:03:23
Vamos con ello pues. Entonces, tendríamos que calcular este determinante. ¿Y eso qué significa? Bueno, pues significa que el rango de la matriz a barra va a valer 3 si la m es distinta de 1. 00:03:32
Fijaos que para m igual a 1 el determinante de orden 3 se anula y por lo tanto el rango vale 2. 00:04:08
Y 2, por tanto, si la m vale 1. 00:04:15
Bueno, hemos calculado los dos rangos. Ahora hay que compararlos y mirar cuándo son iguales y cuándo son distintos. 00:04:23
Voy a borrar un poco y seguimos. ¿Qué ocurre? Pues vamos a ver los distintos casos posibles. 00:04:28
Entonces, M igual a 1, M igual a menos 1 y M distinto de 1 y menos 1. 00:04:36
Estos son los tres casos que tenemos que analizar. 00:04:48
Empezamos por el primero. 00:04:51
Si M es igual a 1, tendremos que rango de A es 2, 00:04:56
rango de A barra es también 2 00:05:03
o por lo tanto el sistema es 00:05:08
compatible indeterminado 00:05:10
porque el número de incógnitas es 3 00:05:14
que es menor que el que es mayor que el rango 00:05:18
si la M es menos 1 00:05:20
tendremos rango de A 2 00:05:24
rango de A barra como 00:05:28
para cualquier otro valor de 1 00:05:31
el rango de A barra es 3 00:05:33
pues el rango de la barra será 3. ¿Y eso qué significa? Que los rangos no coinciden y, por lo tanto, sistema incompatible. 00:05:34
Y si la m no es ni 1 ni menos 1, los rangos valen lo mismo y valen igual a 3. Por lo tanto, sistema compatible determinado. 00:05:46
Y esto concluye la discusión. Muy importante que ordenemos bien el ejercicio, que calculemos bien los rangos de a y de a barra en función del parámetro m. 00:06:00
Y luego que analicemos cada uno de los casos distintos que nos salen a utilizando el teorema de Rochefort-Royos. 00:06:21
Muy bien, esto ha sido todo. Espero que os haya resultado sencillo y agradable. Nos vemos en el siguiente vídeo. ¡Un saludo! 00:06:27
Valoración:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
Eres el primero. Inicia sesión para valorar el vídeo.
Idioma/s:
es
Materias:
Matemáticas
Niveles educativos:
▼ Mostrar / ocultar niveles
  • Bachillerato
    • Segundo Curso
Autor/es:
Manuel Domínguez Romero
Subido por:
Manuel D.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
244
Fecha:
26 de julio de 2018 - 23:41
Visibilidad:
Público
Centro:
IES RAMON Y CAJAL
Duración:
06′ 37″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
137.03 MBytes

Del mismo autor…

Ver más del mismo autor

EducaMadrid, Plataforma Educativa de la Comunidad de Madrid

Plataforma Educativa EducaMadrid