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4º ESO - TECNO. Introducción al Álgebra de Boole. - Contenido educativo

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Subido el 12 de enero de 2021 por Juan Ramã‼N G.

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Brevísima introducción al álgebra de Boole y al manejo de las variables y funciones lógicas.

Bueno, por lo cual necesito que estéis sumamente atentos. Hasta ahora es más o menos fácil seguir esto, pero ahora es cuando os empezáis a liar. 00:00:00

Fijaros, cuando yo hago algebra, el algebra es una de las matemáticas, ¿no? Todo el mundo está de acuerdo conmigo. 00:00:11

¿O hay alguien que dice que no, verdad? 00:00:19

Cuando yo hago algebra, ¿qué tengo? Tengo unas funciones. 00:00:22

¿Cuáles son las funciones de la algebra normal que utilizamos? 00:00:26

Pues la función suma, la función producto, la función división, la función resta, son funciones, ¿de acuerdo? 00:00:28

Y yo ¿qué es lo que hago? Cojo números, que son los elementos que yo manejo en la álgebra normal, y puedo hacer operaciones sobre ellos. 00:00:41

Cojo un número, hago una operación sobre otro número y eso me da un resultado, que es otro número 00:00:51

Con lo cual cojo elementos, elementos que tienen que ver con el álgebra normal 00:01:02

Les aplico las operaciones y obtengo un resultado 00:01:08

Si yo hago, por ejemplo, 3 más 2, menos 1, 3 menos 5, menos 1, 4 00:01:11

Si yo hago 3 por 2 más 1, 3 por 2 es 6, más 1 es 7 00:01:20

Es decir, yo puedo hacer operaciones, no tiene que ser siempre la misma 00:01:28

Y no tiene por qué ser solo una 00:01:33

Y esas operaciones sobre los elementos 00:01:35

Que en matemáticas se llaman los elementos del espacio algebraico 00:01:39

Al que pertenecen en este caso los números 00:01:43

me da un resultado que también pertenece al mismo espacio algebraico, que también es un número. 00:01:46

¿Entendéis lo que acabo de decir? 00:01:52

¿Os suena chino o no? 00:01:55

¿Eh? 00:01:57

Bastante. 00:01:59

Hombre, lo que es una operación, sí. 00:02:00

Y lo que son números, también. 00:02:03

Los números es los elementos. 00:02:06

¿Qué elementos le meto yo a una operación algebraica? 00:02:09

pues no le puedo meter una manzana 00:02:15

ni le puedo meter una miogueta 00:02:17

le tengo que meter un número 00:02:19

¿por qué? porque estas operaciones 00:02:21

estas operaciones son válidas 00:02:22

escuchadme porque es importante lo que estoy diciendo 00:02:25

estas operaciones son válidas 00:02:27

sobre unos elementos concretos 00:02:29

que son los elementos 00:02:31

que están definidos 00:02:33

para aplicar estas funciones 00:02:35

esos elementos son los números 00:02:37

con lo cual, si yo cojo números 00:02:38

que son elementos que pertenecen 00:02:41

a ese conjunto 00:02:43

válido, cojo números 00:02:44

y le aplico operaciones 00:02:47

obtengo otros números 00:02:48

¿vale? que son los resultados 00:02:50

¿si o no? 00:02:53

estoy diciendo lo que estáis haciendo 00:02:56

desde pequeños, coger números 00:02:59

aplicar una función y obtener un resultado 00:03:01

pero lo que quiero que veáis 00:03:03

es que las funciones no tienen por qué ir de una en una 00:03:05

sino que pueden ser 00:03:07

varias funciones todas ellas 00:03:09

bueno, en el espacio 00:03:10

algebraico que yo me voy a manejar ahora 00:03:13

no es el espacio de los números 00:03:15

sino que es el espacio 00:03:17

de estas 00:03:19

cosas que solo pueden valer 0,1 00:03:21

es decir, no voy a utilizar números, voy a utilizar 00:03:23

variables 00:03:27

si yo aquí te pongo, por ejemplo, imagínate 00:03:29

voy a hacer una cosa en el espacio 00:03:31

algebraico normal 00:03:33

esto no es algebra de 1, esto es algebra normal 00:03:34

x más y 00:03:37

es una función 00:03:39

definida sobre qué 00:03:41

Sobre dos variables 00:03:43

Yo te digo, mira, x vale 3 00:03:44

Y vale 5 00:03:47

¿Cuánto vale el resultado de esa operación? 00:03:50

¿Eh? 00:03:57

8 00:03:57

Porque como x vale 3 00:03:58

Y vale 5 00:04:00

5 más 3 00:04:02

Aplico la operación sobre estos valores 00:04:03

Y me da 8 00:04:05

Vale, ahora voy a hacer la corporación 00:04:06

x más y 00:04:09

Multiplicado 00:04:11

Multiplicado por x 00:04:13

Hacerme esas operaciones 00:04:15

Sobre esto, estos son los mismos valores 00:04:19

No los he cambiado, pero hacerme otras operaciones 00:04:21

¿Qué pasa? ¿Cuánto da? 00:04:23

8 por 3 00:04:29

24 00:04:30

¿Vale? 00:04:32

Ahora es que era normal 00:04:36

Esto que tengo aquí 00:04:37

Se llaman variables, ¿por qué se llaman variables? 00:04:40

Porque yo puedo variar su valor 00:04:42

En vez de un 5, ahora lo voy a variar 00:04:44

Por un 3, con lo cual 00:04:46

¿Cuánto vale ahora esa función? 00:04:48

3 y 3 es 00:04:51

¿Vale? 00:04:52

Son variables porque sin cambiar la función 00:04:53

Yo estoy cambiando los valores 00:04:56

Entonces 00:04:57

Estos tres conceptos que estoy manejando 00:04:58

En álgebra normal y que más o menos os suenan 00:05:01

Que son una variable 00:05:03

El valor de esa variable 00:05:05

Y una función 00:05:09

Tres conceptos 00:05:12

Una variable 00:05:14

que es el nombre que yo le doy a un objeto de ese espacio, es decir, a un número, en mi caso, el nombre que yo le doy a los números, 00:05:20

el valor que tiene la variable, el valor que tiene la variable, que puede cambiar, por eso es variable, 00:05:30

y la función que aplico. 00:05:39

Cuando yo tengo esos tres elementos, puedo obtener un resultado. 00:05:44

¿Vale? Esto es el caso de lo que se supone que debería ser la matemática del segundo de la ESO y del tercero de la ESO. 00:05:51

Son simplemente conceptos y estoy dando nombre a los elementos. 00:05:58

Una variable, que es un nombre, un valor que es el valor que realmente tiene ese nombre, ¿vale? 00:06:03

Para poder aplicarla. Yo no puedo aplicar una suma de dos letras, ¿a que no? 00:06:12

Yo no puedo hacer X más Y, eso no existe, una suma de dos letras. 00:06:17

Pero si esas letras lo que están haciendo es identificar a dos elementos que sí son válidos, en este caso los valores, que son números, entonces ya sí puedo hacer esta operación porque realmente estas letras no representan letras, representan su valor, que es un número. 00:06:20

y un número es un elemento válido 00:06:36

para poder aplicar esta función 00:06:38

¿entendéis? 00:06:40

entonces 00:06:43

variables, que es el nombre 00:06:43

que yo le doy, el valor que es el 00:06:46

contenido de esa variable, el elemento 00:06:48

válido para el que yo pueda aplicar 00:06:51

la función y la función que yo 00:06:52

esté aplicando 00:06:54

y lo mismo hago ahora 00:06:55

x más y por x 00:06:57

fijaros 00:07:00

las variables son las mismas 00:07:03

¿Sí o no? X e Y. 00:07:06

Los valores no han cambiado, son los mismos. 00:07:08

Pero ¿qué ha cambiado aquí? 00:07:12

La función que yo aplico sobre esas variables o sobre esos valores. 00:07:14

Al cambiar la función, cambia el resultado. 00:07:18

Si yo cambio uno de los valores, también cambia el resultado, aunque no cambie la función. 00:07:21

Por lo tanto, para que yo tenga un resultado, necesito tener las variables definidas, 00:07:28

un valor para esas variables y aplicar una función concreta a esas variables. 00:07:33

Y esa combinación de tres elementos me da un resultado. 00:07:41

Que es lo que yo uso, una salida, un resultado. 00:07:45

Vale, esto es necesario, lo sepáis, porque ahora vamos a hacer lo mismo, 00:07:48

pero vamos a cambiar de espacio el ejemplo. 00:07:55

Es decir, ahora, en el álgebra de Boole, lo que vamos a manejar son un espacio donde solamente hay dos posibles valores. 00:07:56

Ya no tengo dos números, sino que tengo solo dos cosas, cero y uno. 00:08:10

Con lo cual los valores son cero y uno. 00:08:15

No hay más valores posibles. 00:08:21

Hemos simplificado. 00:08:23

en vez de tener del 0 al 9 00:08:24

tengo solo 0 y 1 00:08:26

en este caso 00:08:29

las variables 00:08:33

van a ser 00:08:33

las entradas 00:08:38

y 00:08:40

las 00:08:47

funciones 00:08:51

si en el ángel 00:08:53

era normal yo tenía la función suma 00:08:58

yo tenía la función resta 00:09:00

tenía la función multiplicación 00:09:02

y tenía la función división 00:09:03

qué funciones tengo para aplicar 00:09:05

sobre las variables booleanas 00:09:07

las variables de la rótula de Boole 00:09:09

las que acabo de definir allí 00:09:11

las funciones que yo puedo aplicar 00:09:14

sobre estas variables 00:09:15

son la función and 00:09:17

la función or 00:09:18

la función not 00:09:20

¿vale? 00:09:22

con lo cual los mismos tres elementos que tenía 00:09:25

para la álgebra normal, el de los números 00:09:27

que eran números 00:09:29

que yo les llamaba de una determinada forma 00:09:31

que le llamaba variable 00:09:33

y que aplicamos a determinadas funciones 00:09:34

que eran suma, resta, multiplicación y división 00:09:36

análogamente voy a utilizar 00:09:38

los valores 00:09:40

0 y 1, solo 00:09:43

las variables 00:09:44

es el nombre con el que yo le llamo 00:09:46

las entradas, en este caso eran E1 00:09:48

y E2 00:09:50

eran dos variables 00:09:51

dos nombres 00:09:53

y los valores de esas variables 00:09:55

fijaros que yo los he descrito aquí 00:09:58

en esta posición, el valor es 0 y el valor es 0 00:10:00

¿Vale? 00:10:02

En esta posición el valor es 1 y el valor es 0 00:10:05

Entonces 00:10:07

Con estas tres cosas yo puedo hacer 00:10:08

Yo puedo hacer álgebra 00:10:13

Igual que el algo con números 00:10:16

Y fijaros lo que vamos a hacer 00:10:17

Si yo digo 00:10:19

Una función al 00:10:21

La voy a representar 00:10:23

Con el mismo símbolo 00:10:26

Por eso os liáis a veces 00:10:28

Que el producto 00:10:29

Y la función por 00:10:31

con el mismo que la suma, y la función not la voy a representar poniéndole una rayita 00:10:33

encima del nombre de la variable, una rayita encima del nombre de la variable, ¿vale? 00:10:45

Es decir, en este caso, concreto sería E con una raíz menos 1, que es el nombre de la variante. 00:10:55

Entonces, fijaros, la funcional, ¿cómo la describimos? 00:11:04

Como una función que es E1 por E2. 00:11:11

Y este por, en la reserva de Boone, significa ángulo. 00:11:17

Este que es 1 y este que es 2 son dos variables que pueden coger el valor 0 o 1, y esto nos da un resultado, fijaros, ¿cuánto vale esto?, depende, ¿cuánto vale, en el ejemplo que puse antes, cuánto valía x más y?, depende de cuánto valga x y de cuánto valga y, ¿no? 00:11:25

Si x vale 2 y y vale 2, será 4, y si vale 2 y 3, nos faltará 5. 00:11:50

Entonces, cuando yo hago una función, depende de qué valores adopten las variables. 00:11:56

Pero en este caso es muy fácil, porque solamente podemos coger el 0 o el 1. 00:12:03

Fijaros, si el 1 vale 0 y el 2 vale 0, ¿cuánto me da la función? 00:12:06

¿Cuánto me da la función? 00:12:14

¿A? 00:12:15

0. 00:12:17

por lo tanto si yo digo que uno es igual a cero 00:12:17

cuánto me da la función 00:12:23

estoy poniendo lo mismo que he puesto en la tabla de verdad, pero ahora lo estoy poniendo como una función 00:12:27

como una función escrita para la quebra de punts, porque esto es otra forma de utilizar esta forma de escribir las cosas 00:12:32

Si pongo otro ejemplo, ¿vale? Este es el ejemplo 1, el ejemplo 2. Imaginaos que E2 vale 1, bueno, E1 vale 1, y E2 vale 0. 00:12:40

En este caso, ¿cuánto vale esta función? 1 y 0. ¿Por qué? Porque la funcional solo me dará 1 cuando los dos sean 1. 00:12:54

En el tercer caso, voy a poner el 1 igual a 1 00:13:05

Y el 2 es igual a 1 00:13:07

¿Cuánto me da la función? 00:13:09

Me dará un 1 00:13:12

Fijaros lo que estoy haciendo 00:13:13

Estoy haciendo lo mismo que antes con los números 00:13:16

Tengo dos variables 00:13:17

Que tienen valores 00:13:19

Los valores, ¿dónde están? 00:13:22

Dentro de los elementos válidos de mi espacio 00:13:25

Antes eran números 00:13:28

Ahora que son, que son mis elementos 00:13:30

yo trabajo solo con estos valores 00:13:32

0 o 1 00:13:35

antes eran números, ahora son 0 o 1 00:13:36

tengo variables 00:13:39

a esas variables les puedo dar valores 00:13:40

y sobre esas variables puedo aplicar 00:13:43

una función que me da un resultado 00:13:45

en el caso de 00:13:47

el álgebra normal 00:13:49

dos números sumados 00:13:50

pues me da la suma de esos números 00:13:52

en este caso la función and 00:13:54

sobre dos variables 00:13:56

si es solamente me dará un 1 00:13:57

cuando las dos variables valgan 1 y si no me dará 0 00:14:00

Esa es la función que yo estoy aplicando. Entonces hemos convertido este concepto, que esto es un concepto mental, en algo matemático. En algo que yo puedo trabajar con ello, igual que puedo sumar y puedo restar, ahora voy a poder trabajar con estas operaciones. 00:14:02

Pero no nos olvidemos nunca que las variables no tienen números, tienen ceros o unos, porque son mis elementos válidos del espacio, ¿vale? Del espacio algebraico. 00:14:21

La función cor la vamos a representar como e1 más e2 00:14:32

Y esto no es que sume, si yo digo un 0 más un 1 00:14:39

No quiere decir que tenga que sumar 0 y 1 00:14:44

Y si hago un 1 más un 1 no me tiene que quedar un 2 00:14:47

Porque el 2 no es un elemento de mi espacio 00:14:50

Estamos hablando de funciones de h al cuadrado de 1 00:14:52

Y de variables de la algebra de vueltas 00:14:55

Entonces, ¿qué pasa en este caso? 00:14:58

si E1 vale 1 00:15:00

y E2 00:15:02

vale 1 00:15:04

pues que en este caso 00:15:05

1 00:15:08

o 1, fijaros que no he llamado más 00:15:09

he dicho o, porque esto es una 00:15:13

función, o 00:15:15

1 o 1, ¿cuánto me da? 00:15:16

me da 1, no 00:15:19

es un elemento válido 00:15:20

si estuviera en el álgebra normal 00:15:23

me hubiera dicho 1 más 1 igual a 2 00:15:24

que el 2 es un 00:15:26

elemento válido en el álgebra normal, pero no estoy en el álgebra normal, estoy utilizando 00:15:28

álgebra del 1, que solamente tiene como elementos válidos el 0 y el 1, y no me puedo salir 00:15:33

de ahí, jamás me puedo dar un número que no sea 0 o 1, ¿vale? Todo mi mundo se ha 00:15:41

reducido a esos dos valores, 0 y 1. Vale, ¿cómo funciona la función NOT? Bueno, la 00:15:46

que la voy a marcar con una entrada negada. Una variable con una raya encima. Si e vale 00:15:53

0, ¿cuánto vale e negado? 1. Y si e vale 1, ¿cuánto vale e negado? 0. ¿Entendéis 00:16:04

que estoy haciendo lo mismo? ¿Entendéis que estoy haciendo exactamente lo mismo? Lo 00:16:23

único que estoy haciendo es coger este concepto y escribirlo de forma que no tenga que escribir 00:16:27

toda la tabla, sino que solamente voy a utilizar esta expresión y estoy diciendo exactamente 00:16:35

lo mismo. Por lo tanto, esta función yo la voy a representar como E1 por E2. Esta función 00:16:41

La voy a representar 00:16:53

Como E1 00:16:58

Más E2 00:17:01

Y esta función 00:17:03

La voy a representar como 00:17:07

NK 00:17:11

Este E tiene una raíz de alfino 00:17:12

¿Vale? 00:17:15

La E tiene una raíz de alfino 00:17:18

¿De acuerdo? 00:17:19

Esta es la forma de escribir esta función 00:17:21

En vez de escribir toda la tabla 00:17:24

Yo puedo escribir esto 00:17:25

Estoy escribiendo lo mismo 00:17:26

No sé si lo veis. 00:17:27

¿Vale? Estoy escribiendo lo mismo. ¿Por qué? 00:17:29

Porque cuando yo hago esto, estoy aplicando la función AND. 00:17:31

Y ahora te pregunto, 00:17:34

si E1 vale 0 00:17:36

y E2 vale 1, pues tú aplicas 00:17:37

la operación AND 00:17:39

y me das un resultado. 00:17:41

Si tengo 0 y 0, 00:17:44

0. Si tengo 0 y 1, 00:17:45

0. Si tengo 1 y 0, 1. 00:17:47

O sea, 0. Y si yo tengo 1 y 1, 1. 00:17:49

Y es lo mismo 00:17:52

que la tabla de arriba, pero lo he llevado a una 00:17:53

función. Bueno, 00:17:55

Pues lo que vamos a hacer es estudiar una forma para que cuando yo tengo una tabla de verdad 00:17:57

que me representa un sistema, cuando tengo una tabla que me representa un sistema complejo 00:18:06

como el de la puerta de la discoteca que fuese el otro día, vamos a estudiar una forma mecánica 00:18:13

que me va a convertir esa tabla de verdad en una función algebraica de este tipo. 00:18:18

Y ese va a ser el primer paso que necesito para construir los circuitos 00:18:24

Bueno, mejor dicho, el segundo 00:18:28

El primer paso que tengo que hacer para construir circuitos 00:18:31

Es coger mi enunciado, mi sistema 00:18:35

Una puerta de discoteca con un sensor de presencia 00:18:39

Con un sensor de tarjetas inteligentes 00:18:42

Con una puerta que puede estar abierta o cerrada 00:18:44

Y convertir eso en una tabla de verdad 00:18:47

Es un primer paso relativamente fácil 00:18:50

Segundo, una vez que tenga la tabla de verdad completa 00:18:55

Tengo que convertir esa tabla de verdad 00:18:59

En una función algebraica 00:19:03

En una función que tenga esta actividad 00:19:06

Que va a ser, ya no va a ser una suma 00:19:08

O un producto 00:19:11

Va a ser una suma de un producto 00:19:12

De una suma 00:19:15

Va a ser algo más complicado 00:19:16

Igual que las funciones con números 00:19:17

no son solamente una suma o una multiplicación, sino que pueden ser 00:19:20

con varias cosas mezcladas. Bueno, pues en este caso siempre vamos a llegar 00:19:24

a la misma forma, ya veréis que no es nada complicado, ¿vale? 00:19:28

Y vamos a ir cogiendo la función 00:19:32

que es equivalente a una tabla 00:19:36

de verdad. Esa es la segunda parte importante 00:19:40

de un total de cuatro. Es decir, 00:19:43

la primera es construir una tabla, la segunda será transformarlo en una funcionalidad algebraica y son pasos totalmente secuenciales, son una manivela, 00:19:48

cojo, hago mi tabla, si la tabla está bien hecha, es ir cogiendo por líneas y ya veréis que es un procedimiento súper fácil, ¿vale? 00:20:01

¿Habéis aprendido esto? 00:20:09

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Autor/es:

JUAN RAMÓN GARCÍA MONTES

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