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Producto escalar de vectores - Contenido educativo

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Subido el 29 de octubre de 2025 por Roberto A.

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Bueno chavales, venga, empezamos la clase, hoy es día 29 y me gustaría que todo lo que hemos visto 00:00:00
que hicierais ustedes, que os he dejado cosas para hacer en el sentido de que os pongáis ustedes 00:00:09
tres vectores, tres vectores, intentad que sean linealmente independientes y allá las coordenadas 00:00:15
de otro cuarto vector en función de esos mismos, ¿vale? 00:00:23
Yo ayer lo resolví sin hacer todo el proceso 00:00:27
y os invité a que lo hicierais. 00:00:30
No sé si alguno lo ha hecho o no, 00:00:32
pero lo suyo es que os tenía que haber salido el 2, el 1 y el 0 00:00:34
como coordenadas de W respecto a esos tres vectores, ¿vale? 00:00:38
Bueno, ahora vamos a pasar a una cosa que ya visteis en el primero, 00:00:42
que es el producto escalar de vectores, ¿vale? 00:00:47
Entonces, lo que sí quiero que veáis es, 00:00:49
Como siempre vamos a analizar las palabras, ¿de acuerdo? 00:00:52
Un producto que es, ¿ya vale? 00:00:55
Una multiplicación y una escala que es un número. 00:00:58
Por lo tanto, lo que tenemos que tener claro es eso. 00:01:02
Si yo hago el producto escalar de dos vectores, 00:01:05
lo que voy a obtener es un número. 00:01:09
Porque luego vamos a ver el producto vectorial de vectores. 00:01:14
Entonces, cuando yo haga el producto vectorial de vectores, 00:01:18
¿qué voy a obtener? 00:01:21
Un vector, ¿vale? Entonces, ¿qué ocurre? La definición, definición de producto escalar, ¿vale? Yo tengo dos vectores, u y v, entiendo que tanto u como v son distintos de cero, por lo tanto, la definición de producto escalar es el módulo de u, ¿os acordáis cómo se llama el módulo de u? 00:01:22
el módulo de un vector, la raíz cuadrada 00:01:45
de cada uno de los componentes al cuadrado 00:01:46
por el módulo de v 00:01:48
¿de acuerdo? que es 00:01:50
lo diré, la raíz 00:01:52
cuadrada de cada componente al cuadrado 00:01:55
por el coseno del ángulo 00:01:57
que forma, es decir, si yo tengo 00:01:58
aquí chavales, este es 00:02:00
mi v 00:02:02
y yo tengo aquí 00:02:04
mi u, ¿de acuerdo? 00:02:06
tengo dos vectores y aquí hay 00:02:09
un ángulo alfa, ¿vale? 00:02:10
es el ángulo que los separa 00:02:12
Entonces, ¿qué ocurre? 00:02:14
Que yo lo que tendría que multiplicar es, 00:02:16
hallo el módulo de u, hallo el módulo de v, 00:02:20
que el módulo de u que me va a dar un... 00:02:23
¿Qué me da el módulo de u? 00:02:26
Un número, porque además siempre es positivo, ¿verdad? 00:02:27
Porque es lo que mide. 00:02:31
El módulo de v también es positivo, ¿de acuerdo? 00:02:32
Luego, el coseno del ángulo, eso ya puede variar. 00:02:37
¿Entre qué dos valores varía el coseno de un ángulo? ¿Entre qué dos valores varía el coseno de un ángulo? Entre menos uno y uno, ¿de acuerdo? Entre menos uno y uno, ¿de acuerdo? Y entonces, eso también nos va a decir mucha información respecto a cómo están los vectores entre ellos, ¿vale? 00:02:41
Entonces, el módulo de u es un número, el módulo de v es un número, 00:03:06
el coseno del ángulo que forman u y v va a estar entre menos 1 y 1, 00:03:11
por lo tanto, yo al multiplicar tres números, ¿qué me va a dar? 00:03:17
Pues otro número, ¿vale? 00:03:21
Entonces, chavales, si el ángulo es agudo, 00:03:23
si el ángulo es agudo, ¿qué era un ángulo agudo? 00:03:26
Menos de 90. 00:03:30
El coseno es positivo, por lo tanto, u y v, ¿vale? 00:03:31
Es positivo. Sin embargo, si el ángulo es obtuso, ¿de acuerdo? Si el ángulo es obtuso, pues el coseno del ángulo es menor que cero y por lo tanto u y v es negativo, ¿vale? 00:03:36
Siempre se coge como ángulo el más chico de los dos, me refiero, si yo tengo aquí este es mi vector u y este es mi vector v, ¿vale? 00:03:51
En vez de coger este ángulo de aquí, se coge el más chico, ¿vale? Este es el ángulo alfa, ¿de acuerdo? 00:04:02
Y aquí, ¿qué ocurre? Aquí, como el ángulo de este alfa es mayor que 90, ¿vale? 00:04:09
Es mayor que 90 grados, mayor que pi medio, entonces el coseno es negativo y el producto escalar de los dos es negativo, ¿vale? 00:04:15
En este caso de aquí, como alfa es más chico que 90, es un ángulo agudo, el coseno es positivo y el producto escalar es positivo. 00:04:25
Dime. 00:04:34
¿Así va bien, Guillo? 00:04:41
Sí. 00:04:42
Vale, perdona. 00:04:44
¿Vale? 00:04:45
Entonces, ¿todo el mundo bien con esto? 00:04:45
¿Sí? Vale 00:04:52
Pues entonces, ¿qué ocurre? 00:04:53
Que evidentemente una propiedad de Perogrullo 00:04:56
Si el vector u o el vector v es el vector nulo 00:04:59
¿Cuánto vale su módulo? 00:05:02
Cero 00:05:05
Y cuando yo multiplico un número por cero, ¿cuánto da? 00:05:05
Cero 00:05:09
Entonces, ¿qué es lo que ocurre? 00:05:09
Que el producto escalar de dos vectores 00:05:11
siendo uno de ellos cero es cero vale sí o no y luego también otra súper importante súper 00:05:14
importante que esto nos va a proporcionar muchísima muchísima información es el producto escalar de 00:05:22
dos vectores que no son nulos vale cero cuando son perpendiculares de acuerdo que quiere decir 00:05:29
que dos vectores sean perpendiculares chavales alguien me lo sabe decir forma un ángulo de 90 00:05:38
¿De acuerdo? Es decir, dos vectores son perpendiculares y se representan con este símbolo de aquí, ¿vale? 00:05:46
Perpendiculares si forman un ángulo de 90 grados, ¿vale? 00:05:58
¿Y cuánto es el coseno de 90 grados? 00:06:10
Un ángulo de 90 grados. 00:06:13
Entonces, como el coseno de 90 grados es 0, pues resulta que u por v es igual a 0 si solo si u es perpendicular a v si u es distinto de 0 y v es distinto de 0. 00:06:15
porque si no, resulta que el producto me puede dar cero si yo estoy multiplicando algún vector en u. 00:06:39
¿Hasta ahí bien? ¿Ya vale? ¿Sí? Vale. 00:06:47
Entonces, una cosita. 00:06:51
La definición de producto escalar u por v, como hemos dicho que es el módulo de u por el módulo de v 00:06:54
por el coseno del ángulo que forman u y v, ¿vale? 00:07:02
Esto me permite a mí hallar muchas cosas, ¿vale? Me permite hallar muchas cosas. Si yo sé el producto escalar, sé el módulo de 1, sé el ángulo que forman, ¿verdad? Puedo hallar el módulo del otro, ¿verdad? 00:07:08
O si yo, por ejemplo, tengo cuánto vale el producto escalar o lo puedo hallar con otra fórmula que ahora veremos, si es el módulo de u y el módulo de v, yo puedo hallar el coseno del ángulo que los forma y, por ende, puedo hallar el ángulo que forman los dos. ¿Sí o no? ¿Sí? 00:07:24
¿Qué más, qué más? Pues dependiendo, yo aquí tengo al final 1, 2, 3, 4 parámetros, ¿de acuerdo? 00:07:42
Si yo sé 3 de ellos, al final es despejar. Por lo tanto, esta fórmula de aquí, súper importante, ¿vale? 00:07:51
Muy importante y nos la tenemos que saber. 00:07:58
Entonces, ¿qué ocurre? Pues que a partir de ahí vienen una serie de definiciones, ¿vale? 00:08:05
Que es el módulo, el ángulo y la proyección. 00:08:10
Entonces, precisamente relacionado con lo que hemos dicho, ¿cómo sé yo el módulo de un vector? El módulo de un vector coincide también con la raíz del producto escalar de ese vector consigo mismo. 00:08:13
Es decir, si yo hago el producto escalar de ese vector con eso mismo y le hago la raíz, tengo el módulo del vector. ¿Vale? Porque si yo tengo mi vector u, ¿vale? Yo ahora hallo el producto escalar con mi vector u, que es el mismo, ¿vale? ¿Cuál es el ángulo que forma u consigo mismo? 00:08:40
¿Cuál es el ángulo que forma U consigo mismo? 00:09:05
Cero. 00:09:08
¿Y sabe alguien decirme cuánto vale el coseno de cero grado? 00:09:09
Uno. 00:09:14
Por lo tanto, si yo hago el producto escalar de un vector consigo mismo, 00:09:16
es el módulo de U, ¿verdad? 00:09:23
Por el módulo de U, por el coseno de U con U, que es el sí mismo, 00:09:25
Hemos dicho que esto, ¿cuánto vale? Esto vale 1, ¿verdad? 00:09:33
Y entonces, ¿qué me queda? Módulo de u por módulo de u. 00:09:38
¿Y el módulo de u por módulo de u qué es? 00:09:42
Módulo de u al cuadrado. 00:09:46
¿Sí o no? 00:09:48
Entonces, si yo tengo que el producto escalar de u por u, si yo tengo que u por u es igual al módulo de u al cuadrado, ¿verdad? 00:09:50
si yo hago la raíz a todo 00:10:00
que tengo, que el módulo de U 00:10:02
es igual a la raíz 00:10:04
producto escalar de un vector 00:10:07
consigo. 00:10:10
¿Sí o sí? 00:10:12
Lo que has puesto 00:10:15
debajo de la flecha 00:10:16
es debajo de eso. 00:10:17
¿El producto escalar? 00:10:20
No, no, perdón. 00:10:22
Es el producto escalar, ¿vale? 00:10:24
Y ahora, ¿cuál es el ángulo 00:10:26
¿Qué es lo que hay entre dos vectores? Pues yo, de mi fórmula de la definición, recordar que u por v es igual al módulo de u por el módulo de v por el coseno de uv. 00:10:28
Si yo despejo el coseno de uv, ¿verdad? 00:10:45
¿Qué es lo que tengo? 00:10:51
Pues el producto escalar de u por v 00:10:53
y pasa dividiendo el módulo de u y el módulo de v. 00:10:55
¿Cómo hallo yo luego el ángulo como tal? 00:11:02
¿Qué tengo que aplicar? 00:11:05
Pues yo aquí sé el coseno del ángulo. 00:11:06
¿Cómo sé el ángulo? 00:11:08
Con el arcoseno. 00:11:10
¿Vale? 00:11:12
¿Todo el mundo sabe eso o no? 00:11:13
por ejemplo 00:11:14
un ejemplito 00:11:16
un ejemplo 00:11:18
¿vale? es que luego hay otra fórmula 00:11:30
para hallar el producto escalar 00:11:31
que es un poquito 00:11:33
más sencilla que esta ¿vale? 00:11:35
pero entonces si a mí me dice 00:11:37
que u por v ¿vale? 00:11:38
es igual a 00:11:41
a 3 00:11:44
¿vale? 00:11:45
el módulo de u 00:11:47
es igual a 00:11:49
que el módulo de V es igual a 4, ¿vale? 00:11:52
¿Cómo hallo el ángulo entre U y V? 00:11:58
¿Cómo lo hallaría, chavales? 00:12:03
Pues si yo aplico la fórmula, ¿no? 00:12:06
El coseno entre U y V, ¿verdad? 00:12:08
¿A qué es igual? 00:12:11
El producto escalar de U por V partido del módulo de U por módulo de V, ¿verdad? 00:12:12
¿Cuánto es el producto escalar? 00:12:19
¿cuánto vale el módulo? 00:12:21
un 2, ¿cuánto vale el otro? 00:12:23
un 4 00:12:25
entonces, dime, dime 00:12:26
lo único que yo sustituí 00:12:29
es el ángulo que forma 00:12:30
u y v, que es lo que me pide 00:12:36
es que en principio 00:12:39
tu fórmula es hecha 00:12:43
¿vale? 00:12:45
si tú defines que alfa es el ángulo 00:12:46
entre u y v, sí, pero tienes que definir 00:13:00
eso me ha pasado también en algunos 00:13:02
exámenes, un momentillo Elena, ahora me pregunta 00:13:03
en algunos exámenes hay alguien 00:13:06
que sin decirme cuál es la 00:13:07
prima o la a estrella y demás 00:13:09
me ha hallado el rango, entonces 00:13:11
claro, yo te pregunto, y bueno, ¿y qué es 00:13:13
a estrella? ¿vale? entonces 00:13:15
si tú quieres utilizar alfa 00:13:17
define, alfa es el ángulo 00:13:19
que hay entre los vectores u y v 00:13:22
y ya lo puedes utilizar, dime Elena 00:13:24
porque 00:13:25
¿cuánto vale el ángulo que forma 00:13:31
un ángulo consigo mismo? 00:13:34
yo tengo mi ángulo u 00:13:39
perdona, mi vector u, discúlpame 00:13:41
y ahora tengo 00:13:43
voy a hacer el producto escalar 00:13:45
de u consigo mismo 00:13:46
¿vale? 00:13:48
entonces, yo tengo que hacer 00:13:50
el producto escalar de este vector u 00:13:52
con el mismo? ¿Cuánto es el ángulo que forma U consigo mismo? Cero. ¿Y cuánto vale el coseno de 00:13:55
cero? Uno. ¿Vale? Por eso vale U. ¿Vale? Paula, me tiras el chicle, no te importa. Gracias, mi 00:14:03
hermana. Entonces, ¿qué ocurre? ¿Cuánto vale, cuánto vale la fuerza de U y V, chavales? Es el 00:14:11
arcoceno, el arcococeno, perdonad, ¿vale? De hecho lo voy a echar a una mejita más 00:14:21
para acá, para que me quede para aquí, ¿vale? Es el arcococeno de 3 octavos, ¿vale? ¿Y 00:14:25
esto cuánto es? 68, que rima con la vida. 68 grados aproximadamente, ¿vale? Sí, aproximadamente. 00:14:35
Más o menos, ¿vale? Los ciudadanos mejor que deis dos decimales, una cosilla así. Chavales, una pregunta, una pregunta, una pregunta. Si el módulo, si el producto extra de UV hubiese sido 9, ¿qué hubiese ocurrido aquí? 00:14:47
muy bien Andrés 00:15:04
¿había escuchado a Andrés? 00:15:14
escucharlo sí, entenderlo no 00:15:16
venga, vale, te lo compro 00:15:18
yo lo que le he preguntado 00:15:20
a Andrés es 00:15:22
¿podría ser posible 00:15:24
esto? es decir 00:15:26
u por v 00:15:27
¿qué he dicho? ¿9? 00:15:29
el módulo de u era 2 00:15:30
¿verdad? y el módulo de v 00:15:34
era 4 00:15:36
me preguntan, ese alfa entre 00:15:37
u y v verdad entonces alfa es verdad que es el arco coseno de u por v partido de u entre v ya 00:15:40
despejado toda la fórmula vale entonces esto es el arco coseno de 9 octavos tenéis calculadora 00:15:53
chicos dice 00:16:03
y por qué 00:16:05
porque el argumento 00:16:07
un coseno, esto de aquí 00:16:13
es mayor que 1, vale chavales 00:16:15
es mayor que 1 00:16:16
y entonces no existe 00:16:18
el arco coseno 00:16:21
de un valor que no esté 00:16:23
entre menos 1 00:16:25
y 1 00:16:26
vale chavales 00:16:29
here's the 00:16:32
power ranger 00:16:33
vale 00:16:35
Entonces, chavales. 00:16:39
El coseno de un ángulo siempre está entre menos uno y uno. 00:16:44
Entonces, claro, si yo voy a hallar el arcocoseno de algo que es mayor que uno o más chico que menos uno, 00:16:48
pues me va a decir que es natillas de anones, ¿vale? 00:16:54
¿Sí? 00:16:56
Venga, esto de aquí que le suele costar un poquito a la gente, ¿vale? 00:16:59
Que es el vector proyección. 00:17:02
Natillas. 00:17:05
A ver si soy capaz de... 00:17:08
Aquí, ¿vale? 00:17:09
Se ve muy chico, ¿verdad, Raúl Padré? 00:17:17
Bueno, esto está en el libro, ¿vale? 00:17:21
Lo que pasa es que lo he querido coger todo para verlo más grande. 00:17:23
Entonces, ¿qué ocurre, chavales? 00:17:28
Esto lo habéis visto ya en física realmente, ¿vale? 00:17:30
Usted lo que habéis visto en física, no sé si os acordáis, 00:17:33
es decir, yo tengo aquí una fuerza, ¿vale? 00:17:36
Yo tengo una fuerza. 00:17:39
¿Os acordáis más o menos? 00:17:41
Y si este era el eje X y este era el eje Y, 00:17:42
yo mi fuerza la podía descomponer, ¿verdad? 00:17:49
Como F sub X y F sub Y. 00:17:52
¿Eso más o menos ustedes os acordáis? 00:17:55
¿Sí? 00:17:57
Vale. 00:17:58
¿Todo el mundo da física aquí? 00:17:59
Algunos son felices. 00:18:03
Entonces, ¿qué ocurre? 00:18:04
A mí me gusta la física, pero me gustan mucho más las mates. 00:18:06
Entonces, ¿qué ocurre? 00:18:10
Con fx y con fi, ¿vale? 00:18:12
Realmente, si yo proyecto mi fuerza sobre el eje x, voy a obtener, 00:18:14
obtengo aquí, ¿verdad?, la componente x de la fuerza. 00:18:22
Si yo proyecto este vector f sobre el eje y, tengo aquí la componente y de mi fuerza. 00:18:27
Eso más o menos lo recordáis cuando hacíais los problemas de fuerzas y demás, 00:18:36
que había aquí un arfa 00:18:40
y que f de x 00:18:42
precisamente era f 00:18:45
por el coseno de arfa 00:18:47
y que fi era igual a 00:18:48
f por el seno de arfa 00:18:51
eso más o menos 00:18:52
more or less 00:18:54
oh yeah, you're a good person 00:18:55
entonces, ¿qué ocurre? 00:18:57
que yo ahora 00:19:00
yo realmente no tengo 00:19:01
una fuerza única 00:19:04
yo tengo dos vectores, tengo aquí 00:19:05
mi u y mi v, de hecho 00:19:08
Lo voy a poner aquí y voy a coger esto para que se vea más grande, ¿vale? 00:19:10
Entonces, si yo tengo aquí mis dos vectores u y v, ¿vale? 00:19:19
Yo puedo hallar la proyección de u sobre v, ¿lo puedo hallar? 00:19:24
Sí, ¿no? Sin problema, ¿vale? 00:19:30
Entonces, ¿qué es lo que ocurre? 00:19:37
Que la proyección de u sobre v, si te fijas, si nos vamos a esta formulita de aquí, la proyección de u sobre v a que es igual al módulo de u, ¿verdad? Por el coseno, si esto es alfa, ¿vale? Por el coseno de alfa. 00:19:38
¿Eso todo el mundo lo ve? 00:20:00
¿Eso todo el mundo lo ve? 00:20:04
¿Circing o Norcing? 00:20:07
¿Norcing? 00:20:09
Do you want me to repeat? 00:20:10
Aquí tienes tu vector U 00:20:14
y aquí tienes tu vector V 00:20:15
¿Vale? 00:20:17
Realmente puede tener cualquier posición 00:20:18
pero yo si lo desplazo todo 00:20:20
al final el ángulo que forman U y V 00:20:22
es el mismo 00:20:24
¿Sí o no? 00:20:26
Entonces, si yo ahora 00:20:28
imaginaros que estoy con las fuerzas 00:20:29
¿tú has entendido que la f de x 00:20:30
era f por el coseno y la f de y 00:20:33
era f por el seno? 00:20:35
¿sí? 00:20:37
aquí esto viene chavales 00:20:39
esto se da en 00:20:41
el cuarto de la esotriconometría 00:20:42
cuando tenemos un ángulo agudo 00:20:44
¿alguien me sabe decir la definición 00:20:47
de coseno de un ángulo? 00:20:49
el caputeto contiguo 00:20:50
el caputeto contiguo 00:20:55
entre la hipotenusa 00:20:57
¿vale? realmente 00:20:58
¿Veis aquí todo el mundo que esto es un triángulo rectángulo? 00:21:01
¿Veis que esto es un triángulo rectángulo o no? 00:21:07
Os conozco bien. 00:21:10
Esto de aquí, chavales, fijarse. 00:21:17
Uy, ahí va a ver hostia, María. 00:21:20
Con la noa. 00:21:22
Reventa de la cabeza. 00:21:26
Esto es mi fuerza, ¿vale? 00:21:27
Esta es mi fuerza. 00:21:31
Este es mi arfa. 00:21:34
Esto es 90 grados, ¿vale? 00:21:36
Esta es mi f de x. Aquí realmente, esto de aquí, si yo me llevo esto de aquí, que es mi f de y, aquí miden lo mismo, pues esto es mi f de y, ¿vale? 00:21:38
La definición, si os acordáis, coseno de arfa era cateto contiguo partido de hipotenusa. 00:21:52
Y el seno de arfa era cateto opuesto partido de hipotenusa. 00:22:00
Estos chavales, solamente es viable esta definición si el ángulo es agudo, ¿vale? 00:22:06
Si el ángulo es agudo. 00:22:13
Si el ángulo no es agudo, hay una cosa, una monja muy buena, 00:22:15
se llama sorcartoa, sorcartoa. 00:22:21
Sorcartoa, ¿qué quiere decir? 00:22:29
Que el seno, esto es válido para todos los ángulos, ¿eh? 00:22:31
El seno es igual a la ordenada, a la ordenada a partir del radio. 00:22:34
El coseno es la abscisa partido del radio y la tangente es la ordenada partido de la abscisa. 00:22:40
¿Por qué? Porque yo al final puedo hacer una circunferencia, ¿de acuerdo? 00:22:48
Yo tengo una circunferencia, puedo al final hallar esto de que viene, chavales. 00:22:52
A ver. 00:22:58
Uy, este es el cartón, creo que hay otro sitio. 00:23:00
Quedate un segundo porque si no... 00:23:03
A ver, es que se me va en la grabación, me achaca lo otro, no sé por qué, tío. 00:23:06
A ver, yo lo que quiero que veáis es que esta definición de cateto contiguo con hipotenusa solamente es válido, ¿vale? 00:23:14
En este contexto de ángulo agudo, ¿vale? 00:23:25
Pero que realmente hay una ayuda, que es una regla memotécnica, que es esto, el sol cartoa. 00:23:27
Cuando yo tengo aquí, por ejemplo, yo tengo esto de aquí y quiero hallar el seno o el coseno de este ángulo de aquí alfa, ¿vale? 00:23:32
Pues si yo tengo aquí este punto, yo tengo aquí una ordenada, ¿verdad? 00:23:44
Y tengo aquí una cisa, ¿vale? 00:23:49
Entonces, si yo divido, y aquí tengo un módulo que es mi radio, ¿vale? 00:23:53
Si yo divido para el seno la ordenada entre el módulo, tengo lo que es el seno de ese ángulo, ¿vale? 00:23:58
Y si yo divido la ascisa por su módulo, que es el radio, tengo el coseno de ese ángulo. 00:24:09
Y si yo divido la ordenada por la ascisa, yo tengo la tangente de ese ángulo, ¿vale? 00:24:15
Eso como recordatorio. Aquí como tal no lo vamos a utilizar, pero que sepáis que estas definiciones solamente son válidas si el ángulo es agudo. ¿Vale? Entonces, basándome en eso, veis que si yo, Diego, si yo proyecto este de aquí, este u sobre v que está aquí, yo aquí también tengo un triángulo rectángulo, ¿sí o no? 00:24:22
Y precisamente la proyección de u sobre v es mi módulo de u, pero lo tengo que multiplicar por el coseno del ángulo que forman u y v. 00:24:47
¿Sí o no? 00:25:02
¿Y con eso qué hay? 00:25:05
Pues hay precisamente la proyección de un vector sobre otro. 00:25:08
¿Qué ocurre? Que yo luego, si lo vemos aquí en grande, ¿lo veis? La proyección de u sobre v es el u por el coseno del ángulo que forma. Y el coseno del ángulo que forma lo vimos antes, ¿verdad? Era el producto escalar de u por v, ¿lo veis? Partido del módulo de u por el módulo de v. 00:25:13
si yo ahora aquí 00:25:35
tacho esto con esto 00:25:38
me queda la proyección realmente 00:25:40
el producto escalar de U con V 00:25:42
partido 00:25:44
del módulo 00:25:45
del módulo del vector V 00:25:47
que es sobre el que yo he hecho la proyección 00:25:50
¿vale? entonces 00:25:52
si yo imaginaros 00:25:54
si yo proyecto al final 00:25:55
un vector A sobre un vector B 00:25:57
para que esto es la 00:25:59
mnemotécnica ¿vale? 00:26:01
Este que está aquí abajo es sobre el que proyecto, ¿verdad? Pues módulo de B. Y luego aquí arriba es el producto escalar de A por B. 00:26:02
Más o menos, chavales, pero ¿entendéis de dónde viene la fórmula o no? ¿Vale? 00:26:13
Entonces, ¿qué ocurre? Pues la proyección de uso BV realmente es la longitud del segmento AB. 00:26:20
Y el signo más o menos depende de si el ángulo es agudo, como es aquí, esto es agudo, y esto de aquí, ¿qué ocurre? Que es obtuso. 00:26:28
Y aquí igual. Aquí si yo proyecto u sobre la dirección de v, esta es mi proyección, esto de aquí es mi proyección de u sobre el vector v, esto de aquí. 00:26:43
vale chavales 00:26:56
que igualmente me forma un triángulo 00:26:58
rectángulo 00:27:01
y estoy como las fuerzas de física 00:27:02
vale 00:27:05
lo que pasa que ocurre 00:27:07
como el ángulo es obtuso 00:27:08
fijaros la proyección 00:27:10
la proyección tiene la misma dirección que V 00:27:11
tiene la misma dirección que V 00:27:14
tiene la misma dirección que V 00:27:17
tiene la misma 00:27:19
dirección que V 00:27:21
tiene el mismo sentido 00:27:24
No. Y aquí, esta es la proyección de U sobre V. ¿Tiene la misma dirección U y V? ¿Y tienen el mismo sentido? Sí. ¿Vale? ¿Nadie la tiene chicle? Venga, sin cartiz, que aquí ya no te tenga que llamar la atención más. 00:27:26
¿vale chavales? ¿entendéis 00:27:44
de dónde viene esta fórmula que al final 00:27:47
puede ser una regla memotécnica? 00:27:49
la proyección de u sobre v 00:27:51
lo de abajo, el módulo 00:27:53
de abajo y al final es 00:27:55
el producto escalar de los dos, pero viene de todo 00:27:57
este desarrollo de aquí y que 00:27:59
si yo soy antifórmula 00:28:01
yo de esta fórmula nunca 00:28:03
yo lo explico ahora, mañana 00:28:05
se me olvida, pasado se me olvida 00:28:07
¿vale? la del producto escalar 00:28:08
no, la del producto escalar 00:28:11
esa hay que saberla, ¿de acuerdo? 00:28:12
el producto escalar que es módulo de u 00:28:15
por módulo de v por el coseno 00:28:17
de la angulo que forma, esa hay que saberla 00:28:18
la proyección 00:28:21
es una fórmula que oye, que si la sabéis 00:28:23
pues para adelante, yo es que soy antifórmula 00:28:25
y a mí se me olvidan las fórmulas 00:28:27
pero yo la 00:28:29
la consigo en un momento 00:28:30
y si encima, si me dan ya el truquito este 00:28:32
pues oye, si la recuerdas así, pues para adelante 00:28:35
pero lo que yo quiero que vengáis 00:28:37
que sepáis de dónde viene, dime hija 00:28:38
¿Lo que ponía arriba, lo de Q por V partido de módulo de la cuadrada? 00:28:41
Sí. 00:28:45
Esto es el vector proyector de U sobre V. 00:28:47
¿Vale? 00:28:51
El vector proyector de aquí. 00:28:52
Pero no es lo mismo que lo de abajo. 00:28:55
El otro es la proyección. 00:28:56
Esto es la proyección y este es el vector proyección, que es distinto. 00:28:59
Eso se multiplica. 00:29:06
La V de la derecha está multiplicando. 00:29:06
¿La V de la derecha? 00:29:08
¿Esto de aquí? 00:29:10
el vector proyección de u sobre v 00:29:11
si te das cuenta, aquí 00:29:17
yo tengo 00:29:19
a ver, lo voy a hacer en otra 00:29:21
a ver, aquí de todas formas creo que viene 00:29:24
dice, recuerda que la proyección de u 00:29:41
es esto de aquí, ahora sustituyo 00:29:45
en la longitud del segmento a y b del margen con signo más o menos 00:29:48
dependiendo del ángulo, si es agudo o 00:29:51
ostuso, dice, si este número 00:29:53
lo multiplicamos por el vector 00:29:55
unitario, por el vector 00:29:57
unitario, que aquí es donde yo quería 00:29:59
llegar, ¿vale? ¿Esto es 00:30:01
un vector unitario, chavales? 00:30:03
¿O no es un vector unitario? Esto de aquí. 00:30:05
¿Por qué es un vector 00:30:08
unitario? 00:30:09
Si yo tengo cualquier 00:30:13
vector, lo divido por su 00:30:14
módulo, tengo un vector unitario. 00:30:17
¿Vale? Por ejemplo, ejemplo, 00:30:19
Katia, dime tres números al azar 00:30:20
¿Vale? 00:30:23
Este vector es unitario, chavales 00:30:28
Si yo hallo el módulo 00:30:30
Esto es C de Katia 00:30:31
Esto es C de Katia 00:30:33
Si yo hago el módulo de C 00:30:37
Esto realmente, chavales 00:30:39
Es 49 más 9 más 16 00:30:41
¿Sí o no? 00:30:43
¿Sí? Y esto es distinto de 1 00:30:45
¿Estáis de acuerdo o no? 00:30:47
De hecho 00:30:50
De hecho, chavales 00:30:50
Entonces, esto de aquí, si no me equivoco, es la raíz de 58, ¿no? 58 y 16 son 74, ¿no? La raíz de 74. No sé si me he equivocado, a ver si alguien me lo puede confirmar. 00:30:59
Entonces, ¿cuál sería el vector unitario en el sentido de f? Sería 7 partido de raíz de 74, 3 partido de raíz de 74. ¿Está bien hecho lo de 74, chavales? Sí. Raíz de 74. ¿Vale? 00:31:15
Y os invito a que si a ustedes le halláis el módulo de esto, os va a dar 1, ¿vale? Os va a dar 1, ¿vale? Entonces, ¿qué ocurre? Si a todo esto de aquí, que es la proyección sobre v, lo multiplicamos por el vector unitario que tiene la misma dirección y el mismo sentido que v, se obtiene el vector proyección. 00:31:34
estos son conceptos un poquito abstractos 00:32:04
pero el vector proyección de u sobre v 00:32:11
es la proyección que hemos visto anteriormente 00:32:14
multiplicado por el vector unitario 00:32:17
en la dirección de v 00:32:21
¿vale? 00:32:23
que al final ¿qué es decir esto? 00:32:25
esto es un módulo es uno 00:32:28
pues que esto es 00:32:29
realmente esto me va a dar un valor ¿verdad? 00:32:30
pues entonces aquí en este caso 00:32:33
A ojo, U realmente es 2 veces V, ¿no? 00:32:35
¿Lo veis así más o menos? 00:32:39
Bueno, 1,70 y algo, 1,80. 00:32:41
¿Vale? 00:32:44
Yo mi vista no es mi fuerte. 00:32:44
Y aquí U, ¿qué sería? 00:32:46
Como menos 2,8, menos 2,8V. 00:32:48
¿Lo veis? 00:32:53
¿Sí o no? 00:32:56
¿Sí o no? 00:32:58
Sí. 00:32:59
Dime. 00:32:59
Y lo de la fórmula, lo de arriba siempre tiene que ser positivo. 00:33:00
La proyección, no. 00:33:04
Depende del ángulo, ¿no? 00:33:08
El ángulo, el coseno puede ser positivo o negativo. 00:33:10
¿El qué, hijo? 00:33:16
La proyección. 00:33:18
Lo que pasa es que en física las fuerzas siempre son positivas. 00:33:19
¿No? 00:33:24
¿Qué es lo que ocurre aquí? 00:33:25
Que aquí el signo lo que me dice es el sentido. 00:33:26
Si va en la misma dirección o no va... 00:33:31
Perdona, me dicen el sentido, en la misma dirección siempre va a ir, ¿vale? 00:33:33
La proyección de u sobre v siempre va a ir en la misma dirección que v, 00:33:37
pero el signo más o menos me dicen si va en el mismo sentido o en el sentido contrario. 00:33:42
¿Sí, chavales, o no? 00:33:47
Venga. 00:33:53
Entonces, chavales, la operativa con el número, con la escala y las propiedades, ¿vale? 00:33:56
Pues se cumple, chavales, que es conmutativo. 00:34:03
¿Por qué es conmutativo el producto escalar? 00:34:07
¿Por qué es conmutativo? 00:34:11
Porque al final son dos números 00:34:13
¿Y qué ocurre? 00:34:15
Que yo, por ejemplo, si hallo 00:34:17
El u por v 00:34:18
Fijaros, u por v 00:34:21
Eso aquí es igual a módulo de u, ¿verdad? 00:34:22
Por el módulo de v 00:34:25
Por el coseno 00:34:26
Vamos a llamarle alfa 00:34:28
Alfa es igual a uv 00:34:30
Así 00:34:33
¿Vale? ¿Sí o no? 00:34:34
Eso es el u por v. 00:34:37
Y si yo hago, chavales, v por u, ¿qué ocurre? 00:34:38
Bueno, voy a ponerlo mejor esto. 00:34:43
No voy a utilizar alfa, ahora digo por qué. 00:34:44
Es u, v, casita. 00:34:47
Esto es módulo de v por módulo de u por el coseno del ángulo que forma v con u. 00:34:51
¿Sí? 00:34:59
Por definición. 00:35:00
Esto es la definición. 00:35:01
Y ahora yo os digo, ¿el módulo de u es igual al módulo de u? 00:35:03
¿El módulo de v es igual al módulo de v? 00:35:07
¿El ángulo que forma u con v es el mismo que forma v con u? 00:35:10
Sí. 00:35:14
Por lo tanto, ¿esto qué es? 00:35:15
Lo mismo, ¿verdad? 00:35:16
Entonces yo puedo decir que u por v es lo mismo que v. 00:35:17
Esto se supone que son flechas, ¿eh? 00:35:22
Que v por u. 00:35:24
¿Vale? 00:35:26
La asociativa, la asociativa que me dice que si yo tengo un escalar lambda, 00:35:26
es un escalar, ¿eh? 00:35:31
Y yo multiplico, chavales. 00:35:34
Es decir, yo hago primero el producto escalar de u por v, lo multiplico por lambda, es lo mismo que si yo lambda lo multiplico por un vector, ¿vale? Por un vector y al multiplicar lambda por un vector le hago el producto escalar con el otro. 00:35:36
o multiplico lambda por el otro vector 00:35:51
y le hago el producto escalar con el otro vector. 00:35:55
Y después la distributiva es 00:35:59
que si yo tengo el producto escalar de un vector 00:36:01
con la suma de vectores, 00:36:05
eso es lo mismo que si yo hago el producto escalar 00:36:08
del u con v primero, 00:36:11
le sumo el producto escalar de u con v2. 00:36:13
¿Vale? 00:36:17
¿Sí? 00:36:18
Esto es la propiedad distributiva de toda la vida. 00:36:19
¿Sí, chavales, o no? Vale. Entonces, esta es la expresión que más nos suele gustar, ¿vale? Y es la que más se utiliza y más fácil es de hallar. Bueno, viene después de esto, ¿vale? Pero bueno. 00:36:21
A ver chavales, ¿alguien recuerda IJK que eran? ¿IJK qué es? Son IJK y JK son vectores unitarios y además ¿qué ocurre? Que son perpendiculares entre sí, son perpendiculares entre sí. 00:36:38
Esto es lo que representamos, chavales 00:37:06
Si yo tengo aquí esto, esto y esto 00:37:09
Esto podría ser la Y 00:37:14
Si esto es la X 00:37:20
Esto era la J 00:37:22
Si esto es Y 00:37:24
Y esto es la Z 00:37:25
¿Vale? 00:37:26
Ay, qué coño 00:37:29
Esto es Y, J, K, ¿no? 00:37:29
Si esto era la Z 00:37:31
¿De acuerdo? 00:37:33
Entonces, son vectores unitarios 00:37:35
y además perpendiculares entre sí. 00:37:38
Entonces, chavales, ¿qué ocurre? 00:37:40
Si yo multiplico dos vectores unitarios, 00:37:41
es decir, y por sí mismo, 00:37:45
¿cuánto es el módulo de y? 00:37:47
Uno. 00:37:49
¿Por qué? 00:37:50
Porque es unitario. 00:37:52
¿Vale? 00:37:53
¿Cuánto es el módulo de y otra vez? 00:37:54
Uno, porque es unitario. 00:37:56
¿Cuánto es el coseno que forma un ángulo consigo mismo? 00:37:57
Cero. 00:38:02
¿Cuánto es el coseno de cero? 00:38:03
Uno. 00:38:04
Por lo tanto, y por y, ¿veis que es uno? 00:38:05
¿Veis que pasa lo mismo con J con J? 00:38:08
Y pasa lo mismo con K y con K 00:38:12
Estoy aplicando la definición de producto escalar 00:38:14
¿Vale? 00:38:18
Recordad, U por V es igual al módulo de U por el módulo de V 00:38:19
Por el coseno que forman U y V 00:38:26
¿Vale? 00:38:29
todo el mundo ve que si yo hago 00:38:32
el producto de dos vectores 00:38:35
de dos vectores 00:38:37
perpendiculares 00:38:39
es perpendicular a J 00:38:39
entonces si yo hago 00:38:42
por J 00:38:45
esto que es el módulo de I 00:38:46
por el módulo de J 00:38:48
por el coseno 00:38:51
¿qué ángulo forma IJ? 00:38:53
90 grados 00:38:55
¿cuánto es el módulo 00:38:57
de I chavales? 00:38:59
1 y dj 00:39:01
1 y el coseno de 90 00:39:03
0, ¿cuánto da esto? 0 00:39:05
¿lo ves? 00:39:07
basándonos en esto de aquí 00:39:09
basándonos en esto de aquí 00:39:11
es lo que ocurre 00:39:13
que nos simplifica mucho 00:39:15
una cosita 00:39:16
ay, perdóname 00:39:18
hija, anterior 00:39:21
¿vale? 00:39:26
si yo basándome 00:39:29
en una base, fijaros lo importante 00:39:31
de ser una base ortonormal? 00:39:33
¿Qué era una base ortonormal? 00:39:35
Una base, ¿cómo tienen que ser? 00:39:37
Este en este caso son tres vectores. 00:39:39
¿Cómo tienen que ser? 00:39:42
Tres vectores para que formen una base. 00:39:44
Linealmente independiente. 00:39:48
Linealmente independiente. 00:39:50
¿Qué significa que tres vectores 00:39:51
sean linealmente independientes? 00:39:53
Que no son coplanarios. 00:39:55
¿Vale? 00:39:58
No son coplanarios. 00:39:58
Son linealmente independientes. 00:39:59
¿Qué significa que sea una base ortogonal? 00:40:01
¿Qué era ortogonal? 00:40:06
Que sean perpendiculares entre sí. 00:40:07
Y si ya son ortonormales, ¿qué era? 00:40:10
Que eran precisamente perpendiculares entre sí 00:40:14
y de módulo unitario los tres. 00:40:17
Por eso en física se utiliza siempre el IJK. 00:40:19
¿Vale? 00:40:23
Entonces es una base muy especial, 00:40:23
una base que además nos facilita mucho 00:40:26
para nosotros hacer la representación gráfica en tres dimensiones. 00:40:28
Entonces, ¿qué ocurre? 00:40:32
Pues que basándonos precisamente cuando yo tengo 00:40:34
las coordenadas de mi vector u y v 00:40:38
respecto al i, j, k 00:40:41
o respecto a cualquier base ortonormal, 00:40:43
resulta que precisamente por las propiedades estas de aquí, 00:40:47
de que i por i es 1, 00:40:52
de que i por j es 0, 00:40:54
de que j por j es 1 00:40:56
y demás, que aquí está la demostración 00:40:58
que yo os invito a que la veáis 00:41:00
resulta que el producto 00:41:02
escalar de un vector que es donde yo 00:41:04
quería llegar, que es mucho más fácil 00:41:06
el producto escalar 00:41:07
de un vector es 00:41:10
realmente la multiplicación 00:41:12
de las componentes sumadas 00:41:14
¿vale? fijaros un 00:41:15
momentillo una cosa 00:41:18
si yo mi vector u 00:41:19
es 3, 4, 7 00:41:21
mi vector v 00:41:25
es 2, 0, 1 00:41:26
¿vale? 00:41:29
¿quiere ir al baño? 00:41:31
vale, un segundo 00:41:34
y yo voy rápido, ¿vale? que esto me interesa mucho 00:41:35
aquí yo sé cuánto vale 00:41:37
el ángulo 00:41:39
¿sé cuánto vale el ángulo de ellos? 00:41:40
no, están referenciados 00:41:43
a una base 00:41:45
de IJK 00:41:47
me lo tendrían que decir, sería un detalle 00:41:48
¿vale? pero se supone que sí, ¿vale? 00:41:51
pues entonces ¿qué ocurre? que el producto 00:41:53
escalar de U por V 00:41:55
Es tan fácil como hacer 3 por 2 más 4 por 0 más 7 por 1, ¿vale, chavales? 00:41:56
¿Sí o no? 00:42:05
¿Y esto cuánto es? 00:42:06
6, 7, 13 con premio, ¿vale? 00:42:08
Es más, es más. 00:42:11
Fijaros una cosa. 00:42:13
¿Sé el ángulo qué es? 00:42:15
¿Sé cuánto vale el ángulo? 00:42:17
No. 00:42:18
¿Pero qué dijimos que era el ángulo de U y de V? 00:42:19
¿Os acordáis? 00:42:23
¿Qué es lo que era? 00:42:24
si yo despejaba en las fórmulas, ¿acordáis? 00:42:24
el producto escalar de u por v 00:42:29
partido del módulo de u por el módulo de v 00:42:31
¿sé cuánto vale el producto escalar? 00:42:35
¿cuánto? 13 con premio 00:42:37
y el otro que es, esto es 3 al cuadrado 00:42:40
más 4 al cuadrado más 7 al cuadrado 00:42:43
multiplicado por 2 al cuadrado más 1 al cuadrado 00:42:46
y lo que ve, ¿vale? 00:42:49
le hallo el arco coseno 00:42:51
y tengo el ángulo 00:42:54
¿lo veis? 00:42:55
si alguien me ayuda, 13, esto cuánto es 00:42:57
la raíz de cuánto 00:43:00
49 más 9 00:43:01
más 16 00:43:06
74, ¿no? 00:43:07
lo que teníamos antes, ¿verdad? 74 00:43:09
y esto es raíz de 5, no sé si lo he hecho bien 00:43:11
si me hace esta división, ¿cuánto da? 00:43:13
multiplica primero esto 00:43:21
luego le dais al inverso y multiplicáis por 13 00:43:22
0,67 00:43:24
y ahora me hallas el arco coseno 00:43:27
vale, tened mucho cuidado cuando 00:43:29
hagáis la calculadora esto, vale 00:43:34
47,9 00:43:37
47,9, ¿verdad? 00:43:41
pues dejadme un segundillo solo 00:43:41
dime hijo 00:43:43
ahora voy con ustedes, vale 00:43:48
dame un segundo 00:43:55
¿Alguien me dice 00:43:57
cuáles eran los vectores, chavales? 00:44:04
¿El U qué era? 00:44:07
¿3, 4, 7? 00:44:08
¿3, 4, 7? ¿Vale? ¿Y el V? 00:44:10
¿2, 0, 1? 00:44:13
¿Sí? Vale. 00:44:15
Voy a ver si soy capaz de 00:44:16
hallar el ángulo 00:44:18
entre U 00:44:19
y V. 00:44:21
47,48. ¿Nos daba eso? 00:44:24
¿Vale? Porque habrá... 00:44:27
¿Vale? Lo veis, 47,48 grados. 00:44:30
¿Lo ve todo el mundo esto o no? 00:44:33
¿Seguro? 00:44:36
Oye, venga, voy a repartir los exámenes, ¿vale? 00:44:38
A ver, venga. 00:44:50
Voy a capturar esto, voy a parar la clase, ¿no? 00:44:51
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Idioma/s:
es
Idioma/s subtítulos:
es
Materias:
Matemáticas
Niveles educativos:
▼ Mostrar / ocultar niveles
  • Bachillerato
    • Segundo Curso
Autor/es:
Roberto Aznar
Subido por:
Roberto A.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
5
Fecha:
29 de octubre de 2025 - 18:06
Visibilidad:
Público
Centro:
IES JIMENA MENÉNDEZ PIDAL
Duración:
44′ 59″
Relación de aspecto:
1.97:1
Resolución:
1024x520 píxeles
Tamaño:
89.62 MBytes

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