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Matrices_ordinaria - Contenido educativo

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Subido el 26 de julio de 2023 por Francisco J. C.

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Ejercicio de matrices EVAU ordinaria

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Buenos días a todos. En este vídeo vamos a aprender cómo se opera con matrices, matrices que tienen un parámetro 00:00:00
y aprenderemos también a calcular la inversa cuando el parámetro toma un valor determinado. 00:00:09
Es un ejercicio que se presentó en la BAO del curso pasado y con una matriz 3x3. 00:00:14
El enunciado es el siguiente. Se considera la matriz A dada de la siguiente manera. 00:00:22
Observamos que aparece aquí un parámetro, un parámetro m desconocido y el ejercicio se compone de dos apartados. 00:00:29
El primer apartado, calcular el valor de sm para que se cumpla esta igualdad, una igualdad entre matrices, 00:00:36
donde i es la identidad, y el apartado b, donde se dice que para un valor concreto de m, en este caso para m igual a 1, 00:00:42
se indique si la matriz tiene inversa, es decir, es invertible, y en caso afirmativo, en caso de que sea inversible o invertible, 00:00:50
calculemos su inversa, es decir, calculemos a menos 1, en el caso de que se pueda. 00:01:00
Empezamos con el apartado a. En el apartado a tenemos que calcular el valor de m para que se cumpla la igualdad de esta expresión. 00:01:05
Esta expresión es a cuadrado menos 5a igual a menos 4i, donde i es la identidad. 00:01:14
Recordad que la matriz identidad es la matriz que tiene unos en la diagonal principal y fuera de ella todo cero. 00:01:20
Hacemos la operación a por a, que sería a cuadrado, a por a, menos 5 por a, igual a menos 4i. 00:01:27
Lo que hemos hecho es sustituir en esta expresión por el valor de a y por el valor de i. 00:01:38
Ahora tenemos que hacer esta operación a por a, recordad que para multiplicar dos matrices se multiplica primera fila por primera columna y se pone aquí, 00:01:45
primera fila por segunda columna se pone aquí, primera fila por tercera columna se pone aquí, y se repite con la demás fila, 00:01:55
es decir, segunda fila por primera columna iría aquí. 00:02:02
Si hacemos esta operación sería 3 por 3, 9, más 1 por 0, 0, más 2 por 1, 2, 9 más 0 más 2, 11. 00:02:06
3 por 1, 3, 1 por m, m, 2 por menos 1, menos 2, 3 más m menos 2, m más 1. 00:02:16
3 por 2, 6, 1 por 0, 0, 2 por 2, 4, 6 más 4, 10. 00:02:26
Segunda fila por primera columna, 0 por 3, 0, m por 0, 0, 0 por 1, 0, total 0. 00:02:33
0 por 1, 0, m por m, m cuadrado, 0 por menos 1, 0, total m cuadrado. 00:02:41
0 por 2, 0, m por 0, 0, 0 por 2, 0, total 0. 00:02:48
1 por 3, 3, menos 1 por 0, 0, 2 por 1, 2, 3 más 2, 5. 00:02:55
1 por 1, 1, menos 1 por m, menos m, 2 por menos 1, menos 2. 00:03:02
1 menos m, menos 2, es menos m menos 1. 00:03:09
1 por 2, 2, menos 1 por 0, 0, 2 por 2, 4, 2 más 0 más 4, total 6. 00:03:14
Ahora multiplicamos 5 por esta matriz. 00:03:23
Recordad que hay que multiplicar el 5 por cada uno de los elementos. 00:03:26
Y sería el menos se deje igual y 5 por 3, 15. 00:03:30
5 por 1, 5. 5 por 2, 10. 00:03:34
5 por 0, 0. 5 por m, 5m. 00:03:37
5 por 0, 0. 5 por 1, 5. 00:03:41
5 por menos 1, menos 5. 5 por 2, 10. 00:03:44
Hacemos lo mismo con esta matriz, multiplicando menos 4 por cada uno de estos elementos. 00:03:48
Multiplicamos menos 4 por 0, por los elementos que son 0, damos 0. 00:03:53
Y solamente entonces tendríamos que hacer menos 4 por los elementos de la matriz, 00:03:57
de la diagonal principal, que sería menos 4, menos 4, menos 4 y el resto 0. 00:04:01
Ahora tenemos que hacer esta operación. 00:04:06
Tenemos que 11 le tenemos que restar 15. 00:04:09
A m más 1 tenemos que restarle 5. 00:04:13
A 10 tenemos que restarle 10. 00:04:17
A 0 tenemos que restarle 0. 00:04:19
Es decir, restar elemento a elemento e igualar a los elementos de esta matriz. 00:04:21
Si hacemos esta operación, que se encuentra en la página siguiente, 00:04:26
obtendríamos menos 4 m, menos 4, 0, 0, m cuadrado menos 5m, 0, 5, 4 menos m, menos 4. 00:04:29
Aquí observamos que menos 4 es igual a menos 4, m menos 4 es igual a 0, 0 es igual a 0, 0 es igual a 0, m cuadrado menos 5m es igual a menos 4, 0 es igual a 0, 5 igual a 0, 4 menos m es igual a 0, y menos 4 es igual a menos 4. 00:04:42
Aquí observamos que el ejercicio está mal o hay un error porque 5 no puede ser igual a 0. 00:04:57
Entonces volvemos aquí atrás y evidentemente nos hemos equivocado. 00:05:02
Fijaros, 5 menos 5 tiene que aparecer 0. 00:05:07
Por lo tanto, este valor es 0. 00:05:14
Eso nos puede pasar en cualquier ejercicio porque tiene que ser cada elemento de esta primera matriz igual a este elemento. 00:05:20
No puede suceder que 5 fuese igual a 0. 00:05:28
Entonces aquí igualamos cada una. 00:05:31
El menos 4 es igual a menos 4. Perfecto. 00:05:35
Se cumple m menos 4 es igual a 0, 0 es igual a 0, m cuadrado menos 5m es igual a menos 4, 0 es igual a 0, 4 menos m es igual a 0, y menos 4 es igual a menos 4. 00:05:37
Perfecto. 00:05:53
De aquí obtenemos los posibles valores de m, ¿vale? 00:05:54
Los posibles valores de m que cumplen la igualdad. 00:06:00
¿Qué tenemos que hacer ahora? 00:06:02
Fijaros, resolver esto. 00:06:04
¿Cómo sería? De aquí sacamos que m vale 4, ¿vale? 00:06:06
Tanto en la primera ecuación como en la última. 00:06:10
Y solamente nos faltaría aquí m cuadrado menos 5m más 4 igual a 0. 00:06:13
Resolver esta ecuación que sería... 00:06:20
Y daría... 00:06:29
Estos son 9, que son 3, daría por un lado 4 y por otro lado daría 1, ¿vale? 00:06:32
Entonces, el único valor que hace, tenemos dos valores, 4 y 1. 00:06:45
De la primera hemos sacado que m vale 4 y de la última también que m vale 4. 00:06:50
La pregunta es, ¿puede ser m igual a 1? 00:06:56
No, evidentemente m no puede ser igual a 1 porque si fuera m igual a 1 esta expresión de aquí no se cumpliría. 00:06:59
Por lo tanto, la respuesta a calcular el valor de m para que se cumpla la igualdad tendría que ser m igual a 4, m igual a 4, m igual a 4 y este valor m igual a 1 se desecharía. 00:07:06
¿De acuerdo? 00:07:19
En el segundo apartado lo que vamos a hacer es, para ese valor de m igual a 1 que nos dice el enunciado, calcular la inversa. 00:07:21
¿Qué es lo que tenemos que hacer? 00:07:28
Pues lo que tenemos que hacer es sustituir en la matriz que teníamos m por 1 y obtenemos una matriz, esta matriz A. 00:07:30
Para ver si tiene inversa lo primero que tenemos que hacer es calcular su determinante. 00:07:38
¿Cómo se calcula el determinante? 00:07:42
3 por 1 por 2, 6, 1 por 0 por 1, 0 por menos 1 por 2, menos 1 por 1 por 2, 0 por 1 por 2, menos 1 por 0 por 3. 00:07:43
Si hacemos esta operación, 6 menos 2 es igual a 4. 00:07:58
Por lo tanto, aquí podemos decir ya que existe la inversa. 00:08:02
Una vez que existe la inversa lo que vamos a hacer es calcular dicha inversa. 00:08:09
¿Cómo se calcula la inversa? 00:08:15
A menos 1 es 1 partido determinante de A por la traspuesta de ese adjunto. 00:08:17
¿Qué tenemos que hacer ahora? 00:08:24
Calcular cada uno de los adjuntos. 00:08:25
Calcular los adjuntos, como es una matriz de orden 3 por 3, una matriz cuadrada, tendrá 9 adjuntos que tenemos que calcular. 00:08:27
Empezamos calculando el A11. 00:08:36
El A11 sería menos 1 elevado a 2, que sería la soma de 1 más 1, y el resultado de tachar el elemento 11. 00:08:39
Y quedaría el determinante 10 menos 12. 00:08:47
Queda 2, esto es 0, y esto es positivo, total 2. 00:08:50
A12 sería menos 1 elevado al cubo, que viene a sumar 1 más 2. 00:08:55
Tachamos el A12 y quedaría 0012, que un determinante con una fila de ceros vale 0. 00:09:00
Si no lo hacemos y resulta que también vale 0. 00:09:09
A13 sería menos 1 elevado a 4. 00:09:12
Tachamos la fila 1 y la columna 3 y nos queda 011-1. 00:09:15
Quedaría 0-1, y esto es positivo, total menos 1. 00:09:22
A21 sería menos 1 elevado a 3, 12-12, y esto daría 2 más 2. 00:09:28
2 más 2 que es 4, con este menos 1, sería menos 4. 00:09:40
A22 sería menos 1 elevado a 4, 3-2-1-2, 2x3-6-2-4, esto es positivo, total 6-2-4. 00:09:45
A23 sería menos 1 elevado a la quinta, de sumar 2 más 3, y entonces sería 3-1-1-1. 00:09:57
Esto es menos 3, menos 1 es menos 4, con un menos 1 total, menos 1 por menos 4, más 4. 00:10:06
Nos faltaría solamente calcular A31, A32 y A33. 00:10:14
A31 es menos 1 a la cuarta, y quedaría 1210. 00:10:18
Esto da 0, menos 2, esto es positivo, total menos 2. 00:10:24
A32 sería menos 1 a la quinta, que es menos 1, y sería 3-2-0-0, 3x0-0, 0x2-0, total 0. 00:10:29
A33 sería menos 1 elevado a 6, que sería 3x1-3, 0x1-0, esto es positivo, total 3. 00:10:40
Ahora lo que hacemos es A-1, la inversa, y será 1 por el terminante de A. 00:10:47
El terminante de A era 4, pues ponemos 1 partido por 4. 00:10:51
Ahora, a continuación, esto era A11, A12 y A13. 00:10:56
Lo podemos ver aquí, ¿vale? 00:11:00
Que era 2, 0, menos 1, 2, 0, menos 1. 00:11:02
Esto era A21, A22, A23. 00:11:08
Pues aquí veremos que era menos 4, 4, 4. 00:11:12
Volvemos, menos 4, 4, 4. 00:11:17
Y aquí tienen que ir A31, A32, A33, que serían menos 2, 0 y 3. 00:11:20
Una vez que tenemos puesto esto, tenemos que hacer la operación 1 cuarto por cada uno de ellos. 00:11:28
2 por 1 cuarto sería 2 cuartos, que es 1 medio. 00:11:33
Menos 4 por 1 cuarto sería menos 1. 00:11:37
Menos 2 por 1 cuarto sería menos 1 medio. 00:11:39
0 por 1 cuarto sería 0. 00:11:41
4 por 1 cuarto sería 1. 00:11:43
0 por 1 cuarto sería 0. 00:11:45
Menos 1 por 1 cuarto, menos 1 cuarto. 00:11:47
4 por 1 cuarto, 1. 00:11:49
Porque sería 4 cuartos. 00:11:51
Y 3 por 1 cuarto, 3 cuartos. 00:11:53
Finalmente, esta es la matriz inversa para el caso del parámetro M igual a 1. 00:11:55
¿Vale? Bueno, espero que os hayáis enterado y os sirva este ejercicio para repasar. 00:12:03
Idioma/s:
es
Autor/es:
Javier Claros Mellado
Subido por:
Francisco J. C.
Licencia:
Todos los derechos reservados
Visualizaciones:
9
Fecha:
26 de julio de 2023 - 15:02
Visibilidad:
Clave
Centro:
IES CALDERÓN DE LA BARCA
Duración:
12′ 09″
Relación de aspecto:
1.40:1
Resolución:
1008x720 píxeles
Tamaño:
55.01 MBytes

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