Posición relativa de rectas - Contenido educativo

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Subido el 20 de octubre de 2023 por Elias M.

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Hola, lo primero quería resolveros uno de los ejercicios que os mandé el otro día. 00:00:00

Este creo que era del martes, en el que os pedía que a partir del vector-director 00:00:09

u otra de las representaciones de la pendiente de la recta, me hallarais las otras que os había explicado. 00:00:18

En el apartado 1 os decía que el vector-director era 3-2 y a partir de ahí teníamos que averiguar 00:00:25

el vector normal, la pendiente y el ángulo que forma la recta con la horizontal. 00:00:33

La primera parte y la segunda la habéis hecho bien casi todos, porque es muy fácil sacar el vector normal 00:00:43

a partir del vector-director, con el truco que veíamos que nos permite hallar un vector perpendicular a otro 00:00:50

simplemente cambiando el orden de sus componentes y el signo de una de ellas. 00:00:57

Entonces lo más fácil sería, el 2 estaba en la y, pues ahora lo ponemos en la x y el 3 pasa de la x a la y 00:01:04

y le cambio el signo a uno de los dos, pues para que queden los dos positivos le cambio el signo al menos dos 00:01:13

y ahora se convierte en dos. Entonces el vector normal sale muy fácil. 00:01:19

La pendiente también era fácil de averiguar, porque era dividir la componente y del vector-director 00:01:23

la pendiente de la componente x sería menos dos tercios. Esto haciendo la división sería menos cero coma sesenta y siete. 00:01:29

Y si queremos averiguar el ángulo, y aquí es donde os quería explicar algo, sería 00:01:43

habíamos quedado que la tangente del ángulo era la pendiente, luego el ángulo será la arcotangente de la pendiente. 00:01:53

Entonces para averiguar el ángulo teníamos que hacer arcotangente de menos cero coma sesenta y siete. 00:02:01

La calculadora. Si hacemos arcotangente de menos cero coma sesenta y siete, 00:02:10

la calculadora me da menos treinta y tres coma ochenta y dos grados. 00:02:28

Pero dar los grados en negativo es un poco raro. Además yo os había dicho que teníais que dar los resultados con ángulos que estuvieran entre cero y trescientos sesenta. 00:02:41

Entonces vamos a interpretar qué significa eso de menos treinta y tres con ochenta y tres grados. 00:02:54

Lo dibujo, lo primero, aproximadamente, y los ángulos negativos ya sabéis que se empieza desde cero, 00:03:01

pero en vez de ir en sentido contrario las agujas del reloj, vamos en el sentido de las agujas del reloj, entonces caería más o menos por aquí. 00:03:11

Voy a poner treinta y tres coma ochenta y dos grados. Esto es el ángulo negativo. 00:03:21

O sea que la recta tendría esta inclinación. 00:03:29

Bueno, si os acordáis de las ecuaciones trigonométricas hay dos ángulos que tienen esta tangente. 00:03:36

Sería este y el que está enfrente. 00:03:43

Pues siempre vamos a coger el primero que nos encontramos partiendo desde el cero. 00:03:47

El ángulo que tenemos que dar como resultado es este. Desde cero hasta aquí. 00:03:52

¿Cómo averiguamos el valor de este ángulo? ¿Qué es el ángulo que yo quiero como respuesta? 00:03:58

Pues fijándonos que este ángulo es igual, mide lo mismo que este de aquí porque son opuestos por el vértice. 00:04:05

Entonces si esto también mide treinta y tres coma ochenta y dos, para saber este ángulo sería... 00:04:14

Si hubiéramos llegado hasta aquí, hasta hacer una línea recta, serían ciento ochenta grados, que es un ángulo llano. 00:04:20

Pero son treinta y tres con ochenta y dos menos. 00:04:29

Así que el ángulo que yo busco en realidad es este. 00:04:32

Ciento ochenta menos treinta y tres con ochenta y dos. 00:04:35

Así lo hago. 00:04:41

Ciento ochenta menos treinta y tres con ochenta y dos. 00:04:44

Ciento cuarenta y seis coma dieciocho grados. 00:04:49

Esa es la respuesta correcta, la que tenéis que dar bien en el cuestionario. 00:04:54

Así que acordaros de varias cosas. 00:04:58

Hay dos ángulos que tienen la misma tangente. 00:05:01

Tenéis que saber cuál cogemos. 00:05:03

Porque podría haber cogido todo este, que sería unos trescientos veintisiete o así. 00:05:05

O mejor, este que llegamos antes y es ciento cuarenta y seis con dieciocho grados. 00:05:12

Así que recordad cómo se tiene que hacer. 00:05:18

Los ángulos siempre me los tenéis que dar... 00:05:21

El resultado de ángulos siempre me lo tenéis que dar en positivo. 00:05:23

Ángulos entre cero y trescientos sesenta grados. 00:05:26

Y cuando estamos hablando del ángulo que forma un vector con la horizontal 00:05:28

o el ángulo que forma una recta con la horizontal, 00:05:31

siempre el primero de los dos, el primero que nos encontramos. 00:05:34

Bueno, pues ya que estamos con ángulos, 00:05:40

esto era el ángulo de una recta con la horizontal, 00:05:42

que es lo que resolvisteis el otro día. 00:05:44

Ahora vamos a ver cuál sería el ángulo entre dos rectas. 00:05:46

Imaginaos que tenemos dos rectas, una y otra, 00:05:51

que pueden ser de cualquier forma, 00:05:56

y queremos saber el ángulo que hay entre las dos. 00:05:59

Bueno, para saber el ángulo entre las dos rectas, 00:06:02

una forma fácil sería ver el ángulo que forman sus vectores directores. 00:06:05

Esta es la recta R, esta es la recta S, 00:06:12

entonces esta tiene el vector director de R 00:06:16

y esta el vector director de la recta S. 00:06:20

De R le llamo al vector director de la recta R, 00:06:24

y de S al de la recta S. 00:06:27

Entonces queremos saber el ángulo que hay entre las dos rectas, 00:06:29

que eso es un ejercicio que nos preguntan mucho. 00:06:34

Normalmente lo que nos dan es la ecuación de la recta, 00:06:37

pero claro, ya sabéis que una recta nos puede dar su ecuación 00:06:41

de muchas formas diferentes. 00:06:44

Hemos visto muchas formas de representar la ecuación de una recta. 00:06:46

Imaginaos que nos dan una recta en forma explícita, 00:06:49

por ejemplo, 2x más 3. 00:06:54

Esta sería la recta R. 00:06:56

Esta fórmula no tiene por qué ser el dibujo S que he puesto. 00:06:58

El dibujo me lo he inventado, no tiene nada que ver con esta fórmula. 00:07:03

Pero esta va a ser la recta R. 00:07:08

Y la recta S nos la van a dar en ecuaciones paramétricas. 00:07:11

Las ecuaciones paramétricas de la recta S serían estas. 00:07:19

Así que nos dan por un lado esta ecuación, que es de la recta R, 00:07:25

y esta ecuación de la recta S, 00:07:30

y a partir de ahí nos preguntan cuál es el ángulo que forman 00:07:33

esas dos rectas entre sí. 00:07:37

Podría ser un dibujo así o podrían estar inclinadas de otra manera. 00:07:39

No me he preocupado en dibujarlas bien, 00:07:42

porque eso tendría que hacer una tabla, dar puntos... 00:07:45

Me llevaría un rato. 00:07:48

Así que nos da igual el dibujo, nosotros solo queremos saber el ángulo. 00:07:50

Y para eso hemos dicho que sabíamos una fórmula del tema anterior 00:07:53

que nos permitía averiguar el ángulo entre dos vectores. 00:07:57

Si conseguimos el vector director de la recta R y el vector director de la recta S 00:08:01

y calculamos con esa fórmula el ángulo que forman los dos vectores, 00:08:07

tenemos el ángulo entre las dos rectas. 00:08:12

Vamos a ver si sacamos esos vectores directores. 00:08:15

De la recta R. 00:08:21

Esta fórmula es la ecuación explícita de la recta, 00:08:23

que sabéis que la receta que yo llamo es mx más e. 00:08:28

Así que aquí el vector director no aparece directamente, 00:08:33

pero aparece otra cosa que también sirve para dar la inclinación, que es la m. 00:08:39

La m, la pendiente. 00:08:44

La pendiente sirve para lo mismo que el vector director. 00:08:46

Nos indica la inclinación de esta recta. 00:08:49

Y m es 2, porque m es el número que acompaña la x. 00:08:52

Pero si m es igual a 2, yo de aquí puedo deducir un vector director, 00:08:56

que lo hicimos en el ejercicio del otro día, 00:09:02

buscando un vector que al dividir su y entre su x de 2 hay infinitos. 00:09:05

Coged el que más os guste. 00:09:12

Yo no me quiero complicar la vida y voy a coger el vector 1,2, 00:09:14

porque si divido 2 entre 1 me da 2. 00:09:19

Podríais haber cogido el 4,2, el 6,3, 00:09:23

mientras que al dividir la y entre la x de 2, de la pendiente, 00:09:27

van a ser correspondientes y van a tener la misma inclinación. 00:09:33

La pendiente y este vector director indicarán la misma inclinación de la recta. 00:09:37

Este será dr, el vector director de la primera recta, de la recta r. 00:09:42

Y el vector director de la recta s es muy fácil, 00:09:48

porque en las ecuaciones paramétricas, como esta de aquí, 00:09:52

cuando el vector director sale, 00:09:59

sus componentes son las que acompañan a la t. 00:10:04

Y aquí tenemos que a la t acompaña el número menos uno y aquí dos. 00:10:08

Así que estos dos vectores son muy parecidos, pero no son iguales. 00:10:15

¿Son perpendiculares? 00:10:21

No, porque para ser perpendiculares no solo tiene que haber uno cambiado de signo, 00:10:23

sino que tendrían que estar dados la vuelta. 00:10:27

Qué pena, porque si fueran perpendiculares ya sabríamos que el ángulo que forman entre sí son 90º. 00:10:29

¿Son paralelos? 00:10:34

Para que fueran paralelos, uno se tendría que obtener del otro multiplicándolo por un número. 00:10:37

Tendrían que ser linealmente dependientes. 00:10:44

Si este 2 en vez de 2 hubiera sido menos 2, sí que serían paralelos. 00:10:47

Serían iguales, pero con distinto sentido, 00:10:53

este lo tendría multiplicando por menos uno este, pero tampoco. 00:10:56

Así que vamos a tener que utilizar la fórmula. 00:11:01

¿Y cuál era la fórmula para hallar el ángulo entre dos vectores? 00:11:04

Pues era la fórmula que salía del producto escalar, de la definición del producto escalar. 00:11:09

Yo la definición no la había explicado así. 00:11:15

u por v es igual al módulo de u por el módulo de v por el coseno del ángulo que forman u y v. 00:11:18

Y de aquí despejábamos. 00:11:27

El coseno del ángulo que forman u y v se obtiene como la división del producto escalar entre el módulo de u por el módulo de v. 00:11:30

En esta ocasión no se llaman u y v los vectores, sino que se llaman dr y ds. 00:11:43

Pues vamos a ir completando las cosas que conozcamos de esta fórmula. 00:11:57

Primero voy a hacer el producto escalar de los dos vectores, que es muy fácil. 00:12:02

dr por ds. 00:12:07

¿Cómo se hacía el producto escalar? 00:12:11

Pues multiplicando la x de uno por la x del otro y sumándole al resultado de eso la y de uno por la y del otro. 00:12:13

Entonces esto sería menos uno por uno más dos por dos. 00:12:21

Esto es menos uno más cuatro. 00:12:27

Me ha dado tres. 00:12:30

Ya tenemos la parte de arriba. 00:12:32

Y ahora hay que calcular los módulos. 00:12:36

Voy a calcular el módulo de ds, que era la raíz cuadrada de la suma del cuadrado de sus componentes. 00:12:38

Entonces de menos uno al cuadrado más dos al cuadrado. 00:12:49

Menos uno al cuadrado da uno, más cuatro, raíz de cinco. 00:12:54

Y de forma parecida el módulo de dr. 00:13:00

Aquí sería uno al cuadrado más dos al cuadrado. 00:13:07

Tienen el mismo módulo, son igual de largos. No pasa nada. 00:13:10

Voy a poner ya la fórmula. 00:13:14

El coseno del ángulo que forman dr y ds será el producto escalar de dr y ds partido de los módulos de dr y ds. 00:13:17

Sustituyo. Aquí sería tres raíz de cinco por raíz de cinco. 00:13:39

Raíz de cinco por raíz de cinco sería raíz de cinco al cuadrado. 00:13:46

La raíz se va con el cuadrado. 00:13:49

Entonces es tres quintos. 00:13:51

Ese es el coseno del ángulo. 00:13:54

Pero yo quiero el ángulo. 00:13:56

El ángulo que forman dr y ds será el arco coseno de tres quintos. 00:13:58

Me voy a la calculadora. 00:14:10

Y le digo arco coseno de tres entre cinco. 00:14:13

Observad que pongo el paréntesis para que me dé bien el resultado, si no daría mal. 00:14:19

53,13 grados es el ángulo que forman esas dos rectas. 00:14:25

Fácil, ¿no? 00:14:33

Se puede hacer lo mismo con los dos vectores normales. 00:14:35

Lo que no podéis hacer es mezclar el vector normal de una recta con el vector director de la otra. 00:14:39

Podemos calcular el ángulo entre los dos vectores normales o entre los dos vectores directores. 00:14:44

Pero no mezclemos una cosa con la otra. 00:14:50

Y hay más formas de calcularlo, pero bueno, con que conozcáis esa... 00:14:53

Imaginaos que me hubiesen dado la misma recta que antes y igual a 2x más 3. 00:14:57

Y la otra, en vez de dárnosla en coordenadas paramétricas, nos la hubieran dado en la forma general o implícita. 00:15:04

Que sería, por ejemplo, esta. 00:15:11

5x más 4y menos 7 igual a 0. 00:15:14

Esta sería la recta R y esta sería la recta T. 00:15:25

Pues lo mismo, el vector director de esta ya lo teníamos. 00:15:31

1, 2... 00:15:38

Y de aquí no sale fácil el vector director. El que sale fácil es el vector normal. 00:15:43

Porque sus componentes serían las que acompañan a la x y a la y. 00:15:50

El vector normal de la recta T sería 5, 4. 00:15:55

Pero bueno, como hemos practicado cómo averiguar el vector director a partir del vector normal, pues muy fácil. 00:15:59

El vector director de T sería, cambiándole el orden y el signo, sería este. 00:16:06

Entonces ya hacemos lo mismo, aplicamos la fórmula, pero con estos dos vectores. 00:16:16

Tendríamos que hacer el coseno del ángulo entre DR y DT. 00:16:20

Sería DR por DT partido del módulo de R por el módulo de DT. 00:16:29

Lo calculamos cada cosa por separado, luego hacemos el arco coseno y ya tenemos el ángulo entre estas dos rectas. 00:16:41

Así que el ángulo entre dos rectas es fácil si sabemos sacar los componentes de cada una de las ecuaciones de la recta. 00:16:50

Es decir, si a mí me dan la ecuación que me den de la recta, sé sacar su vector director. 00:16:58

Por ejemplo, de aquí he sabido sacar el vector director, de aquí también el vector director. 00:17:03

Cuando ya los tengo, la formulita y ya tenemos el ángulo entre dos rectas. 00:17:07

Bueno, pues hemos visto el ángulo entre dos rectas y ahora vamos a ver cómo estudiar la posición relativa entre dos rectas. 00:17:13

¿Qué significa esto de posición relativa entre dos rectas? 00:17:25

Pues si te dan dos rectas, ¿de qué maneras pueden estar colocadas una respecto a la otra? 00:17:28

Y hay tres. Si miramos en un folio, en dos dimensiones, habría solo tres formas. 00:17:35

Si lo miráramos en tres dimensiones, habría alguna más. 00:17:41

Pero en un folio, dos rectas, las podemos colocar de estas tres formas. 00:17:45

O son paralelas, con lo cual por mucho que las alarguemos, nunca se van a cruzar. 00:17:50

O son secantes, que significa que se cortan. Si las alargamos lo suficiente, se cortan en un punto. 00:17:56

O podrían ser coincidentes, que dibujáramos una encima de la otra. 00:18:04

Que viene a ser lo mismo de que es la misma recta, una que la otra. 00:18:08

Lo que pasa es que, por lo que sea, la ecuación está un poco modificada y parece que sean rectas diferentes, pero en el fondo sería la misma recta. 00:18:13

Entonces fijaos que, para poder distinguir entre los tres casos, hay que fijarse en dos cosas. 00:18:22

Y esas dos cosas son la inclinación y si tienen algún punto en común. 00:18:31

Eso es lo que va a permitirnos decidir si dos rectas son paralelas, secantes o coincidentes. 00:18:36

Fijándonos solo en esas dos cosas. En la inclinación que tienen y en si tienen algún punto en común. 00:18:42

Fijaos en el primer caso. Rectas paralelas. 00:18:49

Dos rectas paralelas tienen la misma inclinación y no tienen ningún punto en común. 00:18:53

Porque si solo nos fijamos en que tienen la misma inclinación, podrían ser paralelas o coincidentes. 00:18:59

Si solo nos fijamos en la inclinación, ¿vale? 00:19:05

Porque tanto las rectas que son paralelas como las que son coincidentes tienen la misma inclinación. 00:19:08

La diferencia es que las paralelas, aparte de tener la misma inclinación, no tienen ningún punto en común. 00:19:14

Mientras que las coincidentes tienen la misma inclinación, pero todos los puntos que sean de una recta también están en la otra. 00:19:20

Es decir, tienen todos los puntos en común, infinitos puntos en común. 00:19:29

Y el tercer caso es más fácil de distinguir porque simplemente son dos rectas que no tienen la misma inclinación. 00:19:33

Con que ya no tengan la misma inclinación ya podemos afirmar que son secantes. 00:19:41

Y en este caso solo tendrán un punto en común, que es donde se cruzan, ¿vale? 00:19:46

Y los demás pues no coincidirán, ¿vale? 00:19:52

Pues un ejercicio que tenéis que aprender a hacer es que tened las fórmulas de dos rectas, dos ecuaciones de la recta, 00:19:55

y saber distinguir si son paralelas, secantes o coincidentes. 00:20:06

Y si son secantes, pues muy probablemente tendréis que saber hallar el punto donde se cortan y a lo mejor también el ángulo que forman las dos. 00:20:09

Lo del ángulo que forman las dos lo he explicado antes en el vídeo anterior. 00:20:24

Y el punto donde se cortan pues lo veremos en un ejercicio más adelante, ¿vale? 00:20:28

Pero de momento vamos a ver cómo a partir de las ecuaciones de la recta distinguimos entre los tres casos. 00:20:34

Y fijaos que aquí os he puesto cuatro rectas diferentes y las he llamado recta R, recta U, recta V y recta W. 00:20:41

Y para fastidiar más, lo que he hecho es que cada una la he puesto con un tipo de ecuación diferente. 00:20:50

Bueno, para fastidiar más no, para que practiquéis con los distintos tipos de ecuaciones. 00:20:57

Pero bueno, cada cual que piense lo que quiera. 00:21:03

Esta primera ecuación es la explícita, ¿vale? 00:21:08

Esta es la continua, ya nos las tenemos que saber en memoria. 00:21:16

Esta es la general o implícita. 00:21:20

Y esta es la ecuación vectorial, ¿vale? 00:21:22

De cada forma, ¿vale? 00:21:25

Como os había dicho que nos tenemos que fijar en dos cosas, que son la inclinación y si tienen puntos en común, 00:21:28

pues lo primero que vamos a hacer es intentar averiguar la inclinación de cada una de ellas. 00:21:35

Y para eso, pues o podemos averiguar la pendiente de todas, o el vector director de todas, o el vector normal de todas, o el ángulo de todas. 00:21:40

Yo voy a averiguar el vector director de todas, ¿vale? 00:21:48

Porque bueno, de esta es fácil sacar la pendiente. 00:21:52

De esta es fácil sacar el vector director. 00:21:55

De esta es fácil sacar el vector normal. 00:21:57

De esta también es fácil el vector director. 00:21:59

Hay dos que es fácil sacar el vector director. 00:22:02

Así que lo que voy a hacer es sacar el vector director de todas. 00:22:04

Porque ya que hay dos que es fácil, yo creo que es lo mejor. 00:22:07

Entonces de esta primera lo fácil es sacar la pendiente. 00:22:10

M es igual a 2. 00:22:13

Y de la pendiente saco el vector director. 00:22:15

Es el mismo ejemplo que os he puesto en el vídeo de antes. 00:22:17

Así que el vector director podría ser, por ejemplo, 1, 2. 00:22:19

Porque al dividir 2 entre 1, da 2, ¿vale? 00:22:23

Ese vector director me vale. 00:22:25

Y sí, esto es lo que indica la inclinación de la primera. 00:22:27

De esta segunda, el vector director. 00:22:31

El vector director sale aquí debajo. 00:22:33

De estas dos. 00:22:35

Si os habéis aprendido bien la ecuación continua. 00:22:37

Entonces, el vector director sería 3, 6. 00:22:40

Sale muy fácil, ¿vale? 00:22:46

De esta. 00:22:48

De esta lo que sale fácil es el vector normal. 00:22:50

Porque en la ecuación general, el vector normal de V sería... 00:22:52

Estas dos coeficientes. 00:22:58

El de la X y el de la Y. 00:23:01

Entonces es 1, 2. 00:23:03

Y entonces el vector director de V es perpendicular a este. 00:23:05

Así que le doy la vuelta y cambio una de las dos coordenadas. 00:23:14

Entonces es menos 2, 1. 00:23:17

¿De acuerdo? 00:23:20

Y la última también sale fácil el vector director. 00:23:22

Voy a la ecuación vectorial y ya está el vector director aquí. 00:23:26

Puesto claramente. 00:23:30

2, 4. 00:23:32

Vale, ya tengo los cuatro vectores directores. 00:23:34

No me ha costado mucho de sacar. 00:23:39

Y ahora vamos a ver cuáles de ellos tienen la misma inclinación. 00:23:41

Y cuáles de ellos tienen diferente inclinación. 00:23:45

Quiero saber la recta R respecto a las otras. 00:23:48

Voy a comparar la recta R con las otras tres. 00:23:52

Y voy a ver qué posición relativa tiene R respecto a cada una de las otras tres. 00:23:55

¿De acuerdo? 00:24:01

Pues primero vamos a fijarnos en estos dos vectores directores. 00:24:03

Voy a comparar la R y la U. 00:24:07

Y voy a ver si la R y la U son paralelas, secantes o coincidentes entre sí. 00:24:09

Pues nos fijamos en el vector director. 00:24:15

Y para que tengan la misma inclinación tienen que ser linealmente dependientes. 00:24:18

Eso significaba que si yo este lo multiplico por un número, 00:24:25

por el número adecuado, tengo que poder obtener este otro. 00:24:29

Si os fijáis, es bastante fácil ver que DU se puede obtener multiplicando por 3 el vector de R. 00:24:33

Si multiplico por 3, 1,2, obtengo... 00:24:46

Bueno, se llevaba el portalete. 00:24:55

Ahora continúa. 00:24:57

Bueno, entonces habíamos creado que la recta R y la recta U tienen la misma inclinación, la misma dirección. 00:24:59

Porque sus vectores son proporcionales. 00:25:10

Uno se obtiene multiplicando el otro por una cierta cantidad, en este caso 3. 00:25:13

Son linealmente dependientes, se dice, estos dos vectores. 00:25:18

La única diferencia es que uno es 3 veces más largo que el otro, pero la dirección, y en este caso el sentido, también es el mismo. 00:25:23

Entonces, si los dos vectores, las dos rectas, tienen la misma inclinación, 00:25:31

o son paralelas o son coincidentes, 00:25:37

la recta R y la recta U, 00:25:41

o son paralelas o coincidentes. 00:25:43

No lo sabemos todavía. 00:25:45

Lo único que sabemos es que tienen la misma inclinación, pero no sabemos si son paralelas o coincidentes. 00:25:47

Entonces, para saberlo, tendríamos que ver si un punto que esté en la recta R estará también en la recta U. 00:25:51

Pues fijaos en la ecuación continua. 00:26:01

En la ecuación continua es muy fácil sacar un punto por el que pasa la recta U. 00:26:05

Porque eran estos números que sumaban o restaban a la X y a la Y. 00:26:11

Si es un punto de la recta U, vamos a llamarle el punto A, sería (-1, 1). 00:26:17

Es un punto en la recta U. 00:26:29

¿Ese punto estará también en la recta R? 00:26:41

Si es así, serán coincidentes. 00:26:47

Si son coincidentes, todos los puntos de una están en la de otra. 00:26:49

Y si ese punto que está en U no está en R también, significará que son paralelas. 00:26:55

Lo que vamos a hacer es ver si la recta R pasa por este punto. 00:27:03

Lo que hay que hacer es sustituir la X del punto en la X de la ecuación y la Y en la Y. 00:27:07

Entonces sustituyo Y en la ecuación de E y veo si se cumple. 00:27:13

Esto sería 1 es igual a 2 por (-1, 3). 00:27:18

Vamos a hacer cuentas. 00:27:26

Esto sería lo mismo que decir que 1 es igual a (-2, 3). 00:27:29

Pues sí, 1 es igual a 1. 00:27:36

El punto A también pertenece a R. 00:27:43

Y luego son coincidentes. 00:27:58

Ya sabemos la posición relativa entre R y U. 00:28:08

Son coincidentes. 00:28:12

Muy bien. 00:28:14

Vamos a ver ahora qué pasa entre R y V. 00:28:16

Lo primero nos fijamos en los dos vectores directores. 00:28:22

¿Creéis que son linealmente dependientes? 00:28:27

¿Podemos obtener el vector director de V multiplicando por un número el vector director de R? 00:28:31

Pues para pasar de 1 lo más fácil es que hagamos la división y ver si da lo mismo. 00:28:40

Si hago (-2, 1), da lo mismo que 1 entre 2. 00:28:50

He dividido este entre este. 00:28:57

Esa sería la manera de ver si hay un número al multiplicarlo por R de V. 00:28:59

Vamos a ver. 00:29:09

2 entre 1 es menos 2, pero 1 entre 2 es 0,5. 00:29:11

Luego esto no es igual. 00:29:14

No tienen la misma dirección. 00:29:16

Por lo tanto son secantes. 00:29:27

No hace falta comprobar nada más. 00:29:32

Son secantes. 00:29:34

Así que R y V son secantes. 00:29:36

Y esto era R y U. 00:29:42

Vamos a la última recta. 00:29:46

Vamos a comparar R y W. 00:29:50

Lo primero vamos a ver los dos vectores. 00:29:53

Fijaos, yo a simple vista ya me doy cuenta que si multiplico este por 2 vamos a tener esto. 00:29:57

Pero si no me diera cuenta sería dividir uno entre el otro. 00:30:01

2 entre 1 es lo mismo que 4 entre 2. 00:30:05

Esto sería 2. 00:30:10

Es decir que el vector director de V se puede obtener multiplicando por 2 el vector director de R. 00:30:13

Esto se puede poner así también. 00:30:29

2, 4 lo podemos obtener como 2 por 1, 2. 00:30:31

Sí, está claro. 00:30:36

Son números fáciles. 00:30:38

Muy bien. 00:30:40

Tienen la misma dirección. 00:30:41

Luego o son paralelas o son coincidentes. 00:30:42

Para eso tenemos que encontrar un punto de una de las dos y sustituirlo en la otra para ver si también lo cumple. 00:30:45

Aquí es muy fácil encontrar un punto. 00:30:53

El punto lo voy a llamar B porque en la ecuación vectorial aparece un punto aquí y aquí el vector director. 00:30:55

Si os habéis aprendido bien la receta, la fórmula, vale. 00:31:03

Entonces B, que tiene coordenadas 1, 2, es un punto de la recta W. 00:31:07

Pertenecerá a la recta R. 00:31:23

¿Qué hacemos? 00:31:25

Sustituimos la y del punto en la y de la ecuación. 00:31:26

2 es igual que, y la x en la x, que 2 por 1 más 3. 00:31:30

Nos hacemos cuentas y vemos que no, que es mentira. 00:31:37

2 no es lo mismo que eso. 00:31:43

Luego, como no tienen puntos en común, o los tienen todos o no tienen ninguno, vale, 00:31:45

luego R y W son paralelas. 00:31:52

Muy bien, pues estos son los tres casos que nos pueden ocurrir. 00:32:05

Por último, os he puesto aquí un pequeño truco, que la verdad es que es muy rápido y muy práctico, 00:32:12

para descubrir la posición relativa entre dos rectas. 00:32:19

Este truco tiene una condición, y es que tenemos que tener las dos ecuaciones de la recta en forma general. 00:32:23

¿Vale? Acordaros de cuál era la ecuación general de una recta. 00:32:28

Ax más Bi más C igual a 0. 00:32:31

Y acordaros que la A y la B representan el vector normal de la recta, ¿vale? 00:32:34

Que es lo que nos da la inclinación. 00:32:39

En realidad, lo que estamos haciendo es algo parecido a lo que he hecho en el ejemplo anterior, 00:32:41

lo que pasa que utilizando los vectores normales en lugar de los vectores directores, 00:32:44

pero se puede hacer sin problema, ¿vale? 00:32:49

Entonces, fijaos, si tú coges los números que hay delante de la X, de la Y y el que queda suelto, 00:32:51

y los divides entre sí, y todo siempre te da igual, son la misma recta, son coincidentes. 00:32:58

Lo único que en la ecuación una está multiplicada por un número y la otra está sin multiplicar, 00:33:03

pero, como los tres coeficientes son iguales, al dividirlos da lo mismo, 00:33:09

decimos que las rectas son coincidentes. 00:33:14

Si los que son iguales son los dos primeros, ¿vale?, 00:33:17

pero el tercero no, son paralelas. ¿Por qué? 00:33:23

Porque los vectores normales serían proporcionales, 00:33:26

es decir, tendrían la misma dirección las dos rectas, 00:33:31

pero no tendrían ningún punto en común, por eso son paralelas. 00:33:34

Si ya directamente los dos primeros coeficientes, cuando los dividimos, no da lo mismo, 00:33:38

significa que tienen distinta dirección, que los vectores normales no son proporcionales, 00:33:43

entonces son secantes, así que es muy fácil de ver esto. 00:33:47

Un ejemplo... 00:33:51

Mira, por ejemplo, la recta V que hemos visto antes. 00:33:54

x más 2y menos 1 igual a 0. 00:33:59

Esa es la recta V de antes. 00:34:06

Y la recta R nos la daban así, y igual a 2x más 3, ¿vale? 00:34:09

Esta es en forma general y esta sería en forma explícita, ¿vale? 00:34:15

Vamos a pasar de la explícita a la general, que es muy fácil, 00:34:21

solo es pasarlo todo al mismo lado, ¿vale? Por ejemplo, voy a pasar la y a este lado. 00:34:25

Entonces la recta R se puede poner así también, 2x menos y más 3. 00:34:29

Hay que darlo ordenado, ¿vale? 00:34:34

Y la recta V la copio aquí arriba para que la veáis igual. 00:34:36

x más 2y menos 1 igual a 0, ¿vale? 00:34:39

Pues si utilizamos el truco este, tendría que dividir cada pareja de números entre sí y ver si dan igual o no. 00:34:46

El de arriba es 1. 1 entre 2 tiene que ser igual que 2 entre menos 1. 00:34:53

Y quiero ver también si es igual que 1 entre 3. 00:35:00

Si estas tres fracciones fueran equivalentes y la división entre estas tres divisiones dieran lo mismo, serían coincidentes. 00:35:04

¿Creéis que es lo mismo? 1 entre 2 es 0,5. 2 entre menos 1 es menos 2. 00:35:14

Ya no es lo mismo. Esto no es igual. 00:35:18

Esto ya me da igual, porque si los dos primeros no son iguales, ya sé que son secantes. 00:35:20

Es decir, la V y la R son secantes. 00:35:26

¿Es lo mismo que nos había dado antes? 00:35:28

La V y la R son secantes, ¿vale? 00:35:30

Veis que de esta forma es muy fácil de ver. 00:35:34

Bueno, las otras es que cuesta un poquito más de pasar a forma general. 00:35:39

Si yo ahora me invento, por ejemplo, la Vx más 2y menos 1 es igual a 0. 00:35:43

Y aquí otra recta que me inventé yo, la recta P, por ejemplo, que fuera 3x más 5 igual a 0. 00:35:52

¿Vale? Y ahora hago la división de los números. 00:36:03

1 tercio es igual que 2 sextos igual que menos 1 entre 5. 00:36:07

¿Vale? Pues este 1 tercio y 2 sextos sí que es lo mismo. 00:36:14

¿Vale? La 0,3 periódico. 00:36:19

Este sí que es igual. ¿Vale? 00:36:21

Y este, en cambio, no es lo mismo. 1 tercio que menos 1 quinto. 00:36:23

Esto no es igual. Entonces, como las primeras sí que son iguales y la siguiente no, 00:36:28

pues habíamos creado que esto eran paralelas. 00:36:33

Muy fácil, ¿vale? 00:36:38

Lo que pasa es que es bueno entender todo lo que os he dicho antes por qué sucede esto. 00:36:41

Y es porque el vector normal de la primera, el normal de V, es el vector 1,2, 00:36:45

y el vector normal de la otra, de la recta P de ahora, sería 3,6. 00:36:53

Entonces son linealmente dependientes porque el vector 3,6 se obtiene multiplicando por 3 el vector n,V. 00:37:01

¿Vale? Pues es un truquillo que puede venir bien en muchas ocasiones. 00:37:08

Estas dos rectas que he puesto como ejemplo antes, la V y la R, 00:37:14

me pueden servir para explicaros cómo, como hemos visto antes que son secantes, 00:37:31

eso quiere decir que se cortan en un punto. 00:37:37

¿Cómo averiguar ese punto donde se cortan? 00:37:39

Pues el punto tendrá coordenadas X e Y y ese punto cumplirá a la vez la ecuación de V y la ecuación de Y. 00:37:42

¿Qué X y qué Y cumplen a la vez la ecuación V y la ecuación R? 00:37:52

Unas X y una Y que cumplen a la vez V y R. 00:37:59

Lo que nos están diciendo es que hagamos un sistema. 00:38:03

Si hacemos el sistema con las dos ecuaciones de la recta, 00:38:06

los valores de X y de Y que cumplan a la vez esta ecuación y esta son las coordenadas del punto donde se cruzan. 00:38:10

Pues vamos a colocar esto de la manera que estamos más acostumbrados. 00:38:18

X más 2Y es igual a 1, pasándole 1 al otro lado. 00:38:22

Y aquí paso la Y a este lado, el 3 al otro lado, 00:38:28

si me falto algún paso, vosotros lo hacéis más despacito si no lo veis, 00:38:32

entonces esto daría así. El sistema es este. 00:38:39

Lo podemos resolver por cualquiera de los métodos que hemos estudiado, sustitución, igualación o reducción. 00:38:44

Yo voy a utilizar el método de reducción que me parece bastante fácil en este caso 00:38:50

y voy a multiplicar por 2 la ecuación de abajo. 00:38:56

X más 2Y es igual a 1, la de arriba la dejo igual, la de abajo la multiplico toda por 2. 00:39:01

4X menos 2Y es igual a menos 6. 00:39:07

Sumo y entonces se me va la Y, que por eso multiplico menos 2, para que esto sucediera. 00:39:12

Esto da 5X es igual a menos 5. 00:39:19

Luego la X es igual a menos 5 entre 5 igual a menos 1. 00:39:26

Y ahora ya, teniendo la X, puedo sustituir por ejemplo aquí para averiguar la Y. 00:39:33

Y es igual a 2 por menos 1 más 3. 00:39:39

2 por menos 1 es menos 2, más 3 es igual a 1. 00:39:46

Y la solución es X igual a menos 1, Y igual a 1. 00:39:51

Y las coordenadas de ese punto, menos 1, 1, es el punto de corte. 00:40:01

El punto donde se cortan las rectas. 00:40:10

Si nos pidieran también el ángulo que forman, tendríamos que buscar el vector director o el vector normal 00:40:18

y utilizar la fórmula que hemos visto en un vídeo anterior. 00:40:23

Idioma/s:
Autor/es:: Elías Martí Borredà
Subido por:: Elias M.
Licencia:: Reconocimiento - No comercial - Sin obra derivada
Visualizaciones:: 4
Fecha:: 20 de octubre de 2023 - 14:02
Visibilidad:: Clave
Centro:: IES VILLA DE VALLECAS
Duración:: 40′ 30″
Relación de aspecto:: 3:2 El estándar usado en la televisión NTSC. Sólo lo usan dichas pantallas.
Resolución:: 720x480 píxeles
Tamaño:: 111.71 MBytes