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Ejercicios resueltos de factorización - Contenido educativo

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Subido el 9 de julio de 2024 por Jesús Pascual M.

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Ejercicios resueltos de factorización

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Vamos a corregir los cinco ejercicios propuestos para practicar la factorización de polinomios. 00:00:00
Lo haremos de una manera más rápida que el vídeo donde explicábamos cómo se hacía todo esto con detalle. 00:00:07
Podéis hacer dos cosas, o bien realizar varios ejercicios y luego mirar sus correcciones, 00:00:17
o bien, pues, mirar aquí cómo pongo un ejercicio, realizarlo en ese momento y ver acto subido o corrección. 00:00:23
Así uno tras otro. 00:00:30
lo que veáis mejor 00:00:32
aquí tenéis los ejercicios 00:00:34
por si preferís hacerlos seguidos ahora mismo 00:00:38
no obstante, en los siguientes ejercicios 00:00:41
por si acaso quisierais hacer uno 00:00:46
luego ver la corrección 00:00:49
luego hacer otro, luego la corrección 00:00:50
seguiré diciendo aquello de 00:00:52
paréis la grabación, lo hacéis y luego corregimos 00:00:54
aquí tenéis el primer ejercicio 00:00:57
podéis parar la grabación 00:01:10
realizarlo 00:01:12
y luego corregimos 00:01:14
empezamos la corrección 00:01:15
Empezamos dibujando la tabla 00:01:19
Tenemos 1, menos 8, 23, menos 28 y 12 00:01:21
Lo primero que hacemos es sumar los coeficientes 00:01:30
1, menos 8, menos 7, más 23, 16, menos 28 es menos 12 00:01:34
Que más 12 da 0 00:01:39
Entonces la suma es 0 00:01:40
Luego 1 funciona como raíz 00:01:43
Así que ponemos Ruffini con el 1 00:01:48
1, 1, menos 7, menos 7, 16, 16, menos 12, 12 y 0 00:01:51
Si ahora subamos, tenemos que 1 menos 7 es menos 6, más 16 es 10, 10 menos 12 nos da menos 2 00:02:02
Distinto del 0, luego entonces el 1 ya no funciona 00:02:17
Por lo tanto hay que probar otro número 00:02:21
¿Cuáles vamos probando? Los divisores de 12 00:02:26
que serían 00:02:30
más 1, menos 1, más 2 00:02:32
menos 2, etc 00:02:34
vamos a seguir con el menos 1 00:02:35
a ver si da 00:02:38
1, menos 1, menos 8 00:02:39
8, 24 00:02:43
menos 24, menos 36 00:02:45
no da 00:02:48
así que volvemos a copiar otra vez los coeficientes 00:02:49
1, menos 7, 16 00:02:51
menos 12 00:02:53
y hacemos Ruffini con el siguiente 00:02:54
que sería el 2, tendríamos el 2, 1, 2, menos 5, menos 10, 6, 12 y 0, por lo tanto 2 es raíz 00:03:00
y ahora ya realicemos la ecuación de segundo grado, tenemos x cuadrado menos 5x más 6 00:03:23
Y tenemos que, bueno, igualamos a 0 00:03:30
Y tenemos que x es igual a 5 más menos la raíz cuadrada de 25 menos 24 entre 2 00:03:34
5 más menos la raíz cuadrada de 1 entre 2 00:03:42
5 más menos 1 entre 2 00:03:44
5 más 1 entre 2 que es 3 00:03:47
5 menos 1 entre 2 que es 2 00:03:50
Así pues las raíces son el 1, el 2, el 3 y el 2 00:03:55
Si las ordenamos tenemos 1, 2, 2, 3 00:04:01
De modo que el 2 es doble 00:04:06
La fatorización sería x-1 por x-2 al cuadrado por x-3 00:04:10
Hay 4 raíces y el polinomio tiene el grado 4 00:04:21
Hay el máximo de raíces 00:04:24
Ahora tenéis el eje 2 00:04:27
Podéis parar la grabación 00:04:40
realizarlo y después mirar la corrección 00:04:42
bien, corregimos 00:04:46
primero dibujamos la tabla 00:04:49
los coeficientes son 2, 4, 6 00:04:52
perdón, menos 6, menos 16 y menos 8 00:04:57
si sumamos los coeficientes tenemos 00:05:00
4 y 2, 6 00:05:03
6 menos 6, 0 00:05:06
menos 16 es menos 16 00:05:09
menos 8 00:05:12
menos 24 00:05:12
la suma es menos 24 00:05:14
distinto de 0, luego el 1 no funciona 00:05:17
entonces hay que probar con el siguiente 00:05:19
que es el menos 1 00:05:27
vamos a ver 00:05:28
2 menos 2 00:05:30
2 menos 2 00:05:33
menos 8 00:05:36
menos 8 00:05:38
8, 0 00:05:40
luego el menos 1 es raíz 00:05:43
pero hay que seguir probando 00:05:45
con el menos 1 00:05:47
tenemos 00:05:49
2 menos 2 00:05:52
0, 0, menos 8 00:05:55
8, 0 00:05:57
y ahora ya tenemos 00:06:00
3 términos con lo cual 00:06:02
ya podemos hacer la ecuación de segundo grado 00:06:06
2x cuadrado 00:06:08
menos 8 porque no hay término con x 00:06:10
que es 0 00:06:13
igualamos a 0 00:06:14
y lo más fácil es 00:06:15
2x cuadrado igual a 8 00:06:17
luego x al cuadrado es igual a 8 partido por 2 que es 4 00:06:19
x es más o menos la raíz cuadrada de 4 que es más o menos 2 00:06:24
con lo cual tendríamos dos raíces 00:06:28
por una parte 2 y por otra parte menos 2 00:06:31
así pues las raíces son menos 1 que es doble 00:06:37
el 2 y el menos 2 00:06:40
tendríamos menos 1, menos 1 00:06:42
2 y menos 2 00:06:46
por lo tanto la factorización es 00:06:50
x más 1 al cuadrado 00:06:52
por esto 2 menos 1 00:06:56
luego x menos 2 00:06:58
por este 2 00:07:02
y por último x más 2 00:07:04
por este 2 00:07:08
pero muy importante 00:07:14
tenemos que mirar el 2 que multiplica a la x4, porque este 2 estaría aquí. 00:07:18
Y ahora tendríamos la factorización correcta. 00:07:29
Bien, sigamos. 00:07:35
Aquí tenéis el tercer ejercicio. 00:07:40
Podéis parar la grabación, después realizarlo, y después retomar la grabación para ver la corrección. 00:07:53
Corregimos. 00:08:01
En este ejercicio tenemos algo especial y es que no hay término independiente, mejor dicho es cero 00:08:02
Entonces tenemos dos opciones 00:08:07
O bien sacamos factor común de la x 00:08:09
Que nos daría x por 2x4 más 4x cubo menos 3x cuadrado más 5x más 2 00:08:13
De modo que aquí este x nos da una raíz con cero 00:08:24
O bien hacemos Ruffini 00:08:28
Incluyendo el término independiente que es 0 00:08:31
2, menos 4, menos 3, 5, 2 y 0 00:08:35
Si hacemos eso, tendríamos 00:08:40
2, 0, menos 4, 0, menos 3, 0, 5, 0, 2, 0 y 0 00:08:43
Y de ambas formas obtenemos aquí la raíz 0 y aquí la raíz 0 00:08:52
Aquí este polinomio que logra que pasa a Ruffini 00:08:59
obteniendo este que es el mismo 00:09:02
obtenemos lo mismo 00:09:04
bien, sigamos 00:09:06
vamos a comprobar ahora 00:09:08
si el 1 es raíz 00:09:11
¿cuáles son las raíces que 00:09:12
consideramos? pues los divisores de 2 00:09:14
que son 00:09:17
más 1 menos 1 más 2 00:09:19
y menos 2 00:09:21
bien 00:09:22
bueno, pues para ver si 1 es raíz 00:09:23
sumamos los coeficientes 00:09:26
2 menos 4 menos 2 menos 3 00:09:28
Entonces, menos 5, menos 5 más 5 es 0, más 2 es 2. La suma es 2, luego 1 no es raíz. 00:09:31
Entonces probamos con la siguiente, que es menos 1. 00:09:44
Tenemos 2, menos 2, menos 6, 6, 3, menos 3, 2, menos 2 y 0. Luego menos 1 es raíz. 00:09:50
Vamos a ver si sigue siendo raíz 00:10:02
Menos 1, 2, menos 2, menos 8, 8, 11, menos 11, menos 9 00:10:05
Menos 1 ya no es raíz 00:10:18
Entonces hay que probar con la siguiente que es el 2 00:10:21
Pero antes de probar con el 2 00:10:24
Copiamos los últimos coeficientes que saldrían bien 00:10:26
Que son estos 00:10:30
2, menos 6, 3 y 2 00:10:32
probamos con el 2 00:10:40
2, 4, menos 2, menos 4, menos 1, menos 2 y 0 00:10:42
por lo tanto 2 también es raíz 00:10:51
y ahora ya tenemos 3 términos 00:10:54
de modo que obtenemos una ecuación de segundo grado 00:10:57
que es 2x cuadrado menos 2x menos 1 00:11:01
Entonces x es igual a 2 más menos la raíz cuadrada de b cuadrado que es 4 00:11:05
Más 4c que es 8 entre 2a que es 4 00:11:14
Igual a 2 más menos la raíz cuadrada de 12 entre 4 00:11:21
Así pues había dos soluciones 00:11:24
2 más raíz de 12 entre 4 y 2 menos raíz de 12 entre 4 00:11:26
Eso se puede simplificar 00:11:31
Pero bueno, como muchos no os daréis cuenta, lo voy a poner todo sin simplificar hasta el final 00:11:33
¿Cuáles son las raíces? Pues 0, 1, esta ya no cuenta, 2, esta y esta 00:11:37
Las escribimos, 0, menos 1, 2, 2 más raíz de 12 entre 2 y 2 menos raíz de 12 entre 2 00:11:50
¿Cuál es la factorización? Bueno, lo primero que hacemos es mirar el coeficiente principal 00:12:04
que es 2 y va a empezar con un 2. Y ahora ya empezamos con los demás términos. Por el 0 ponemos aquí una x. Por el menos 1 ponemos aquí un x más 1. 00:12:10
Por el 2 ponemos aquí un x menos 2 00:12:26
Por esta raíz nos ponemos aquí un x menos 2 más raíz de 12 entre 2 00:12:31
Y por esta raíz ponemos aquí x menos 2 menos raíz de 12 entre 2 00:12:39
Y ya está 00:12:46
Bueno, he dicho que eso se puede simplificar 00:12:50
Porque, a ver, raíz de 12 es la raíz cuadrada de 4 por 3 00:12:52
Que es raíz de 4 raíz de 3 00:12:57
y eso es 2 raíz de 3 00:12:59
por tanto esto es 2 más 2 raíz de 3 entre 4 00:13:00
y eso es 2 menos 2 raíz de 3 entre 4 00:13:05
si dividimos todo entre 2 00:13:08
y cuando se divide entre 2 hay que dividir los dos términos 00:13:11
nos da 1 más raíz de 3 entre 2 00:13:17
y aquí nos da 1 menos raíz de 3 entre 2 00:13:21
de modo que aquí podemos haber puesto 00:13:25
1 más raíz de 3 entre 2 00:13:27
Aquí 1 menos raíz de 3 entre 2. Aquí podríamos haber puesto 1 más raíz de 3 entre 2. Y aquí 1 menos raíz de 3 entre 2. 00:13:30
Bueno, sigamos. El menos 1, el 2, el x. Vale. 00:13:40
Aquí tenemos el cuarto ejercicio. Podéis, para la grabación, realizarlo y después reanudaréis la grabación para ver la corrección. 00:13:52
observamos que no hay término independiente 00:14:01
o mejor dicho que es 0 00:14:03
de modo que tenemos dos posibilidades 00:14:05
una es sacar factor común de la x 00:14:08
obteniendo x por 6x4 menos 7x cubo 00:14:12
menos 12x cuadrado 00:14:16
más 3x más 2 00:14:17
por lo tanto el 0 sería raíz 00:14:20
la otra opción es realizar el método de Ruffini 00:14:25
con los coeficientes del polinomio 00:14:29
incluyendo el término independiente que es 0 00:14:34
y nada, pues puesto que esto es 0 00:14:37
hacemos Ruffini con el 0 00:14:42
tenemos 6, 0, menos 7, 0, menos 12, 0, 3, 0, 2, 0 00:14:45
de modo que el 0 es raíz igual que antes 00:14:52
hemos obtenido aquí los coeficientes 00:14:56
que habríamos obtenido igualmente 00:14:58
pues tomándolos de aquí 00:15:00
y tenemos que 0 raíz por dos vías 00:15:02
distintas. Probamos la siguiente raíz. 00:15:06
Los candidatos a raíz son 00:15:13
1, menos 1, 2 y menos 2 00:15:15
que son los divisores de 2 00:15:18
que son los divisores de dependiente 00:15:22
que tenemos ahora. Bien. 00:15:28
Probamos con el 1. Eso lo podemos hacer directamente sumando las cifras. 00:15:31
6 menos 7 menos 1 menos 12 00:15:36
es menos 13 más 3 es menos 10 00:15:38
más 2 menos 8. Entonces 00:15:41
Entonces, la suma es menos 8, distinto de 0, luego el 1 no funciona. 00:15:43
Podemos probar con el menos 1. 00:15:53
Tenemos 6, menos 6, menos 13, 13, 1, menos 1, 2, menos 2 y 0. 00:15:55
Por lo tanto, el menos 1 es raíz. 00:16:07
habría que seguir probando con el menos 1 00:16:09
6, menos 6, menos 19 00:16:12
ya se ve que no va a funcionar 00:16:19
podríamos parar aquí y seguir 00:16:21
lo voy a poner no obstante pero podría parar aquí 00:16:23
porque no va a dar Ruffini en absoluto 00:16:26
19, 20, menos 20, menos 18 00:16:30
por tanto hay que volver a hacer Ruffini 00:16:34
con los últimos coeficientes 00:16:42
donde realizamos Ruffini con éxito 00:16:44
Que son estos de aquí. Los copiamos. 6, menos 13, 1 y 2. El siguiente candidato es el 2. Probamos. Tenemos 6, 12, menos 1, menos 2, menos 1, menos 2 y 0. 00:16:46
por lo tanto 2 es raíz 00:17:11
así pues podemos realizar la ecuación de segundo grado 00:17:14
que obtenemos por esos tres términos 00:17:20
que es 6x cuadrado menos x menos 1 00:17:22
entonces x es igual a 1 más menos raíz cuadrada de 1 00:17:27
más 24 partido por 12 00:17:34
1 más menos raíz de 25 partido por 12 00:17:41
1 más menos 5 partido por 12 00:17:44
tendríamos 1 más 5 partido por 12 00:17:48
que es 6 partido por 12 00:17:51
que es 1 medio 00:17:53
y 1 menos 5 partido por 12 00:17:54
que es menos 4 partido por 12 00:17:57
que es menos 1 tercio 00:17:59
así pues las raíces son 00:18:01
el 0, el menos 1, el 2, el 1 medio 00:18:04
y el menos un tercio 00:18:08
les ponemos 00:18:12
cero menos uno 00:18:13
dos 00:18:17
un medio y menos un tercio 00:18:19
empezamos la factorización 00:18:21
lo primero que hacemos es observar 00:18:24
este seis 00:18:27
porque la factorización hay que comenzarla con ese seis 00:18:29
y ahora ya 00:18:33
vamos poniendo pues los 00:18:37
monomios asociados a cada raíz 00:18:40
el uno monomio asociado a cero es x 00:18:45
a menos uno es 00:18:47
x más uno 00:18:50
a dos es 00:18:53
x menos dos 00:18:55
a un medio 00:18:58
es x menos un medio 00:18:59
y a menos un tercio 00:19:02
es x más un tercio 00:19:05
y ya hemos factorizado 00:19:08
aquí tenéis el quinto y último ejercicio 00:19:10
podéis parar la grabación 00:19:20
realizar el ejercicio 00:19:21
y luego pues reanudar la grabación 00:19:24
para ver la corrección 00:19:26
corregimos 00:19:27
empezamos realizando el método Ruffini 00:19:30
ya que tenemos grado 4 00:19:34
hay que tener cuidado 00:19:36
porque falta el término en x al cubo 00:19:38
y es porque 00:19:41
realmente es que es 0 00:19:44
así pues ponemos los coeficientes 00:19:45
tendríamos 2, 0, menos 9, menos 22 y menos 15. Empezamos a buscar las raíces. Los candidatos 00:19:49
serían 1, menos 1, 3, menos 3, 5, menos 5, 15 y menos 15, que son los divisores de 15. 00:20:01
En realidad no haría falta escribirlos todos, podríamos haber escrito hasta el 3. Y luego, 00:20:10
si funcionan estos perfectos y si no funcionan 00:20:16
añadir después más 00:20:18
posibles raíces 00:20:20
por ello voy a poner 00:20:23
tres puntos suspensivos 00:20:25
para indicar que hay más 00:20:26
bueno pues hacemos 00:20:28
Rufini con el 1 00:20:30
vamos a comprobar 00:20:33
si es viable 00:20:34
no va a ser viable porque es imposible que la suma de estos 00:20:35
coeficientes 00:20:38
de 1 ya que tenemos 3 negativos grandes 00:20:39
y 1 pequeño positivo 00:20:43
la suma no puede dar 0 00:20:45
No bastante, voy a recorrer la suma para tener mayor claridad. 2, menos 9, menos 7, menos 22, menos 29, menos 15, menos 34, que es distinto de 0. 00:20:46
luego el 1 no funciona o no da raíz. Entonces probamos con el siguiente que es menos 1. 2, menos 2, menos 2, 2, menos 7, 7, menos 15, 15 y 0. 00:21:03
el menos 1 funciona 00:21:25
habrá que seguir probando con el menos 1 00:21:28
a ver si sigue siendo raíz 00:21:32
menos 2 00:21:36
menos 4 00:21:37
4, menos 3 00:21:40
menos 12 00:21:43
pues ya no funciona 00:21:45
así que vamos al siguiente paso 00:21:47
¿qué habrá que hacer en mi lugar? 00:21:50
pues añadir los coeficientes 00:21:55
que salieron bien en el último método rufino 00:21:57
o sea, que salieron con éxito 00:22:01
que son estos 00:22:03
pues los ponemos 00:22:04
2, menos 2, menos 7 y menos 15 00:22:06
volvamos con el siguiente número 00:22:11
que es el 3 00:22:13
pues volvamos con el 3 00:22:15
2 por 3, 6 00:22:17
12, 5, 15 y 0 00:22:23
por lo tanto 3 es raíz 00:22:29
nos quedan 3 términos 00:22:32
que dan lugar a una ecuación de segundo grado 00:22:34
2x cuadrado más 4x más 5 00:22:36
igualamos a 0 00:22:41
y obtenemos que x es igual a 00:22:41
menos 4 más menos raíz cuadrada de 16 00:22:45
menos 5 por 2 es 10 00:22:47
por 4 es 20 00:22:50
partido por 4 00:22:51
que es menos 4 00:22:54
menos raíz cuadrada de menos 4 partido por 4 00:22:56
y entonces no hay solución 00:22:59
por lo tanto las raíces son las dos que hemos obtenido 00:23:01
con Ruffini que son esta y esta 00:23:07
las raíces son 00:23:10
menos 1 y 3 00:23:11
ahora bien, cuando obtenemos en la factorización 00:23:14
un polinomio irreducible 00:23:17
que es este 00:23:19
ya que las dos raíces no existen 00:23:20
Podemos poner en la factorización directamente el x más 1 por el menos 1, el x menos 3 y después el polinomio que teníamos y hemos obtenido aquí, que es 2x cuadrado más 4x más 5. 00:23:22
pues este es irreducible 00:23:44
y ya como tenemos aquí el 2 00:23:47
no hace falta poner ningún 2 aquí 00:23:50
ya sería correcto 00:23:51
y ya tendríamos hecha la factorización 00:23:55
bueno, pues ya hemos terminado todos los ejemplos 00:24:00
Autor/es:
Jesús P Moreno
Subido por:
Jesús Pascual M.
Licencia:
Todos los derechos reservados
Visualizaciones:
28
Fecha:
9 de julio de 2024 - 17:40
Visibilidad:
Público
Centro:
IES LA ESTRELLA
Duración:
24′ 05″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
165.76 MBytes

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