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4º ESO - Logaritmos (1ª Parte) - Contenido educativo

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Subido el 10 de febrero de 2023 por Jesús G.

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En este vídeo definimos lo que es un logaritmo, estudiamos algunas estrategias para calcularlos y vemos sus principales propiedades.

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Hola chicos, en el presente vídeo vamos a hablar de los logaritmos. 00:00:00
Va a ser un vídeo sobre la definición de logaritmo, sus propiedades, cómo calcular logaritmos, 00:00:21
es decir, una pequeña introducción al mundo de los logaritmos. 00:00:28
Posteriormente a este vídeo quiero hacer otro vídeo, que será la segunda parte, 00:00:33
donde ya trataré exclusivamente las ecuaciones logarítmicas. 00:00:36
Bueno, pues vamos a ver qué es un logaritmo, en primer lugar, y luego ya algunas cositas más, 00:00:43
como calcularlos, propiedades, etc. 00:00:49
¿Qué es un logaritmo? Pues a ver, llamamos logaritmo en base b de a, 00:00:51
donde b y a son dos números, ¿vale? 00:00:56
Al número b le llamaremos base, al número a le llamaremos argumento, 00:01:00
Y además deben de cumplir que la base sea un número mayor que cero y distinto de uno y el argumento un número mayor que cero. 00:01:06
¿De acuerdo? Esto es importante. 00:01:15
Bueno, pues llamaremos logaritmo en base b de a al número tal que cumpla que la base elevado a ese número sea igual al argumento. 00:01:17
Vamos a verlo con algún ejemplo. 00:01:35
Primer ejemplo, logaritmo en base 3 de 9. Fijaos que la base es el 3, efectivamente es mayor que 0 y distinto de 1, y el argumento es 9, que es mayor que 0 también, ¿no? 00:01:39
Pues a ver, estamos buscando un número que cumpla que la base elevado a ese número sea igual a 9. 00:01:49
Pues, ¿a qué tiene que ser igual ese número? Pues, efectivamente, a 2. 00:01:58
Luego, ¿a qué es igual logaritmo en base 3 de 9? Pues a 2. 00:02:03
Segundo ejemplo, logaritmo en base 2 de 16 00:02:07
Estamos buscando aquí otro número tal que cumpla que el 2 elevado a ese número sea igual a 16 00:02:11
Aquí tiene que estar elevado el 2, pues tendrá que estar elevado a 4 00:02:19
Para que se cumpla que 2 elevado a 4 es 16 00:02:25
Muy bien, luego aquí es igual el logaritmo en base 2 de 16 a 4 00:02:29
Otro ejemplo, el logaritmo en base 3 de 3 elevado a 5. 00:02:34
Pues estamos buscando un número que cumpla que la base, es decir, el 3 elevado a ese número sea igual al argumento 3 elevado a 5. 00:02:39
¿A qué tiene que estar elevado el 3? Pues al 5. 00:02:49
Luego, ¿a qué está igual el logaritmo en base 3 de 3 elevado a 5? A 5. 00:02:52
Muy bien, fijaos lo fácil que es calcular el logaritmo de un número en una determinada base cuando el argumento es una potencia que tenga como base, ¿veis? 00:02:57
La misma que la base del logaritmo, simplemente va a ser el exponente, ese valor, ¿vale? 00:03:11
Bueno, vamos a ver ahora algunos logaritmos especiales. Vamos a empezar con los logaritmos decimales. 00:03:18
A ver, ¿a qué llamamos logaritmo decimal? Pues llamaremos logaritmo decimal a un logaritmo en el que la base valga 10. 00:03:23
Ya está, simplemente eso. ¿Y qué tienen de particular estos logaritmos? Pues que al escribirlos, omitimos la base, es decir, ponemos directamente log y el valor que sea. 00:03:31
No se pone log 10 de base, ¿vale? Esto pasa lo mismo que con las raíces cuadradas. Por ejemplo, la raíz de 9, yo sé que es una raíz cuadrada sin necesidad de poner aquí el 2, ¿verdad? 00:03:41
Sin embargo, si yo estoy calculando la raíz cúbica de 9, pues la raíz cúbica sí que tengo que poner el 3. 00:03:51
Pues esto es algo parecido, como la raíz cuadrada es la más comúnmente usada, nos indica el 2 aquí arriba. 00:04:00
Pues pasa algo igual con los logaritmos decimales. 00:04:08
Bueno, vamos a ver otros logaritmos muy importantes y muy usados, que son los logaritmos neperianos. 00:04:12
¿A qué llamamos logaritmo neperiano? Pues un logaritmo neperiano es un logaritmo en base al número e. 00:04:19
¿Qué es el número e? Pues el número e es un número irracional, parecido al número pi, es vale 2, algo, y tiene infinitas cifras decimales, 00:04:25
y bueno, pues tiene unas características bastante particulares en el cálculo, tiene análisis, que no vamos a ver ahora, 00:04:35
Pero bueno, que sepáis que cuando el logaritmo tiene base ese número, el número e, se le llama logaritmo neperiano. 00:04:44
¿Y qué tiene de particular? Pues que no se escribe log base e al cuadrado, sino que se escribe así, 00:04:52
ln de logaritmo neperiano y luego ya el número que sea. 00:04:59
ln significa logaritmo en base e. 00:05:03
Veamos algún ejemplo. 00:05:06
Por ejemplo, logaritmo decimal de 100. 00:05:08
¿Por qué sé que es decimal? Porque no me aparece aquí nada, ¿veis? Cuando no me aparece nada, pues yo sé que es logaritmo decimal, logaritmo en base 10. 00:05:10
Pues bien, ¿a qué tengo que elevar yo? Lo pongo aquí para que lo veáis cómo se calcula. ¿A qué tengo que elevar yo el 10 para que me dé 100? 00:05:22
Pues esto va a ser un número que cumpla que 10 elevado a eso sea igual a 100, que tengo que poner aquí, un 2. 00:05:31
Luego el logaritmo decimal de 100 es igual a 2, muy bien. 00:05:39
Logaritmo neperiano de a al cuadrado, pues logaritmo neperiano de a al cuadrado, 00:05:43
recordad que aunque no viene la base, es como si tuviera de base el número e. 00:05:47
Pues será un número que cumpla que la e elevado a ese número sea igual al argumento, que es e al cuadrado, ¿no? 00:05:51
e al cuadrado. Luego, ¿a qué tiene que estar elevado esto? Pues a 2. Luego, ¿a qué es 00:05:58
igual el logaritmo neperiano de e al cuadrado? Pues a 2 también, ¿vale? Vamos a ver otro 00:06:03
punto. Primera estrategia para calcular logaritmos. Ya hemos visto antes algún ejemplo en el 00:06:09
que aparecía en el argumento alguna potencia y demás, y bueno, nos da una pista de cuál 00:06:17
es la primera estrategia para resolver logaritmos, para calcular logaritmos. Vamos a verlo con 00:06:20
un ejemplo. Logaritmo en base 7 de 49. Pues a ver, ¿cómo nos dice aquí? Tenemos que 00:06:25
intentar expresar el argumento como potencia de base la del logaritmo. Pues a ver, deberíamos 00:06:32
intentar expresar el 49 como potencia de base 7, para que nos salga casi inmediato el logaritmo. 00:06:38
¿A qué es igual 49? Pues 49 es igual a 7 al cuadrado, ¿no? Por lo tanto, este logaritmo 00:06:47
lo podríamos poner como logaritmo en base 7, de 7 elevado al cuadrado. 00:06:51
¿Y a qué es igual el logaritmo en base 7, de 7 elevado al cuadrado? 00:06:58
Pues a ver, estamos buscando un numerito tal que cumpla que la base del logaritmo elevado a ese número 00:07:04
sea igual al argumento, que en este caso es el 7 al cuadrado. 00:07:11
Y en este, fijaos que cuando el argumento es una potencia de base, 00:07:15
La base del logaritmo es inmediato el logaritmo, ¿vale? Porque tiene que ser 2. Muy bien. Veamos un segundo ejemplo. Logaritmo en base 2 de 512. Pues a ver, así, si yo no utilizo nada, simplemente la definición del logaritmo, estoy buscando un número tal que cumpla que 2 elevado a ese número es igual a 512, pues así de cabeza tampoco es tan fácil saberlo, ¿no? 00:07:19
¿A qué tengo que elevar el 2 para que me dé 512? Tampoco es inmediato. Pero si yo utilizo esta primera estrategia que os acabo de comentar, es decir, intentar expresar, siempre que podamos, claro, intentar expresar el argumento como potencia de base, la del logaritmo. 00:07:42
¿Qué base tiene el logaritmo? Base 2. ¿El 512 lo puedo expresar como una potencia de base 2? Sí, es 2 elevado a 9, ¿vale? Muy bien, pues expreso el 512 como 2 elevado a 9, ¿vale? 00:08:03
Y ahora, digo, ahora ya sí que lo puedo resolver, ¿no? ¿A qué tengo que elevar el 2 para que me dé 2 elevado a 9? Entonces, será igual a un valor que cumpla, que la base del logaritmo elevado a eso sea igual al argumento. 00:08:20
Ya hemos dicho que en estos casos es inmediato el cálculo, pues un 9. 00:08:36
Luego el logaritmo en base 2 de 512 es igual a 9. 00:08:40
Otro ejemplo, logaritmo decimal de 0,01. 00:08:45
Aquí hemos puesto logaritmo en base 10, pero ya hemos dicho que esto nos va a venir siempre así, sin el 10. 00:08:54
Como logaritmo de 0,01, eso significa logaritmo decimal, como si hubiera un 10, pero nos lo vamos a encontrar así, sin el 10. 00:09:01
Muy bien, pues eso, ¿a qué va a ser igual? Vamos a intentar, fijaos que hacerlo directamente no es nada fácil, pero si decimos, vamos a intentar expresar el argumento del logaritmo como potencia de base, en este caso base 10, porque acordaos que aquí es como si tuviéramos un 10, ¿no? 00:09:07
Bueno, pues vamos a intentar expresar el 0,01 como potencia de base 10. Primero, 0,01 es igual a qué? A 1 partido por 100, ¿verdad? Y 1 partido por 100, ¿esto a qué es igual? Pues esto es igual a 10 elevado a menos 2, ¿verdad? 00:09:30
definición de potencias de exponente negativo 00:09:50
muy bien, y ahora fijaos, ya tenemos, aquí es como si tuviéramos un 10, repito 00:09:53
¿a qué tenemos? esto va a ser igual a un valor que cumpla 00:09:58
pues que 10 elevado a eso sea igual a 10 elevado a menos 2 00:10:02
¿cuánto tiene que valer? pues menos 2 00:10:06
¿a qué va a ser igual el logaritmo en base 10 de 10 elevado a menos 2? pues a menos 2 00:10:08
¿de acuerdo? muy bien 00:10:15
Veamos otro ejemplo. Logaritmo en base 5 de 125. Pues expresamos el argumento como potencia de base 5, la de la base del logaritmo, que es 5 elevado al cubo. 00:10:17
¿A qué va a ser igual esto? Pues ya lo hemos visto mil veces, lo ponemos directamente a 3. 00:10:33
El logaritmo neperiano de 1 partido por e elevado a 5. Pues a ver, fijaos, el logaritmo neperiano es el logaritmo que tuviese una base e. 00:10:39
Pues igual expresamos el argumento como potencia de base e 00:10:46
¿A qué es igual 1 partido por e elevado a 5? 00:10:52
Pues e elevado a menos 5, potencia de exponente negativo 00:10:55
¿A qué es igual este logaritmo? 00:11:00
Pues tiene que ser igual a menos 5 00:11:02
Recuerdo que es como si tuviéramos un e aquí 00:11:04
Muy bien, pues esta será la primera herramienta que usemos para intentar calcular logaritmos 00:11:06
Veamos alguna más que vamos a usar 00:11:14
Para ello, vamos a ver algunas propiedades de los logaritmos. 00:11:17
Primera propiedad, el logaritmo en cualquier base del número 1 es igual a 0. 00:11:20
¿Por qué? Pues porque b elevado a 0, siendo cualquier número el número b, esto es igual a 1. 00:11:25
Cualquier número que pueda ser base, claro, del logaritmo. 00:11:36
Bueno, pues por eso el logaritmo en cualquier base de 1 es 0. 00:11:38
Segunda propiedad, el logaritmo en base b de b, es decir, cuando el argumento y la base son iguales, el mismo número, ese logaritmo es 1. 00:11:41
¿Por qué? Porque b elevado a 1 es igual a b, ¿verdad? Sí. Bueno, pues las primeras propiedades son estas dos. 00:11:52
Vamos con la tercera propiedad. Tercera propiedad nos dice que el logaritmo de un producto en una determinada base es igual a la suma de los logaritmos. 00:12:02
¿Vale? Pues ya veremos cómo la utilizaremos luego. 00:12:12
Que el logaritmo en una determinada base de un cociente es la diferencia de los logaritmos. 00:12:15
Muy bien. 00:12:21
Y la última propiedad, que el logaritmo de una potencia es el exponente multiplicado por el logaritmo en base b de la base de esa potencia. 00:12:22
¿Vale? Bueno, pues ya veremos cómo utilizamos estas propiedades. 00:12:35
Vamos a verlo aquí en algunos ejemplos. 00:12:39
Primer ejemplo. Imaginaos que queramos calcular el logaritmo en base 2 de 1 más el logaritmo en base 3 de 3. 00:12:41
Ya hemos dicho que el logaritmo en base cualquiera de 1, ¿a qué es igual? Pues a 0, ¿no? 00:12:47
Porque 2 elevado a 0 es 1. ¿Y a qué es igual el logaritmo cuando la base coincide con el argumento? Pues a 1. 00:12:53
¿A qué es igual esta expresión de logaritmos? Pues 0 más 1, 1. 00:13:00
Segundo ejemplo. Logaritmo en base 5 de 100 menos logaritmo en base 5 de 4. 00:13:04
A ver, visto así, si intentásemos calcular los logaritmos de forma separada, pues vemos que podemos expresar el 100M como potencia de base 5, pues no tiene muy buena pinta. 00:13:09
E igual pasa si intentamos expresar el 4 como potencia de base 5. 00:13:22
Luego tenemos que buscar otra estrategia para calcularlo. 00:13:27
Fijaos, si utilizamos esta propiedad de aquí, el logaritmo de un cociente, ¿qué ocurre? Pues intentamos expresarla, pues lo que ocurre es que, fijaos, nos dice que el logaritmo de un cociente es igual a la diferencia o la resta de los logaritmos. 00:13:30
nosotros tenemos una expresión parecida a esta, ¿verdad? Aquí abajo en el ejemplo, ¿sí o no? 00:13:56
Pues vamos a intentar eso, expresarlo como el logaritmo de un cociente, es decir, la propiedad, en este sentido. 00:14:01
Tenemos lo de la derecha, vamos a expresarlo como lo de la izquierda. 00:14:09
Pues a ver, eso lo podemos poner como logaritmo base 5 de 100 partido por 4. 00:14:13
¿A qué es igual esto? Pues al logaritmo en base 5, sin entre 4, ¿a qué es igual? A 25. 00:14:22
Y ahora, la estrategia que os comenté, intentar expresar el argumento como potencia de base la que tenga el logaritmo, 5 al cuadrado. 00:14:28
¿Y a qué va a ser igual esto? A 2, efectivamente. 00:14:38
Vamos a ver ahora a qué sería igual el logaritmo de 25 más logaritmo de 4. 00:14:41
¿Vale? Pues vamos a ver 00:14:48
Vamos a aplicar ahora esta propiedad 00:14:51
Porque intentar hacerlos directamente por separado tampoco podemos 00:14:54
El 25 yo no lo puedo poner como potencia de base 10 00:14:58
Y el 4 no lo puedo poner como potencia de base 10 00:15:01
Vamos a ver otra estrategia 00:15:04
Pues la otra estrategia ¿Cuál es? 00:15:05
Aplicar la propiedad del logaritmo de un producto en este sentido 00:15:08
¿Vale? Tengo algo parecido a esto, a lo de la derecha 00:15:11
Y lo voy a expresar de la forma de la izquierda 00:15:15
Como el logaritmo de un producto. Pues vamos a ver cómo. Logaritmo de 25 más logaritmo de 4, ya hemos dicho que sería logaritmo, en este caso el mismo logaritmo decimal, de 25 por 4. 00:15:18
¿A qué es igual eso? Pues al logaritmo 25 por 4, ¿a qué es igual? Pues a 100, ¿verdad? 00:15:32
Y ahora lo resuelvo utilizando la estrategia de expresar el argumento del logaritmo como potencia de base, 00:15:38
la que tenga el logaritmo, en este caso 10. 00:15:49
Recordad que aquí es como si hubiera un 10. 00:15:51
Bueno, pues el 100, ¿cómo se puede poner? Como 10 al cuadrado. 00:15:53
¿Y a qué es igual eso? Pues esto es igual, esto es como si hubiera aquí un 10, esto es igual a 2. 00:15:57
Muy bien. Vamos a ver otro punto, el cambio de base. ¿Vale? Pues vamos a ver. ¿El cambio de base, para qué se utiliza el cambio de base? Pues a ver, el cambio de base nos sirve para calcular un logaritmo conociendo otros logaritmos en otras determinadas bases. ¿Vale? 00:16:01
¿Qué utilidad tiene esto? Pues a ver, hace algunos años, cuando estudiábamos en instituto y teníamos otras calculadoras, no como las de ahora, pues las calculadoras un poco más antiguas que las de ahora, pues solo nos calculaban logaritmos decimales y logaritmos neperianos. 00:16:24
¿Qué significaba eso? Que si me pedían, por ejemplo, calcula el logaritmo en base 2 de 14, pudiendo usar una calculadora, fijaos que directamente, ¿cómo puedo calcular logaritmo en base 2 de 14? 00:16:42
¿Puedo expresar el 14 como potencia de base 2? No. Luego directamente no lo puedo calcular. 00:16:57
Usando una calculadora, pues en las de ahora sí pongo logaritmo en base 2 de 14 y me dice lo que vale. Pero en las calculadoras de antes, pues no podía. 00:17:03
Entonces, tenía que utilizar esta estrategia. ¿En qué consiste? Pues nos dice que el logaritmo en base b de un número a se puede expresar como un cociente donde en el numerador yo puedo poner el logaritmo en la base que yo quiera, elegido en este primer logaritmo en base 2, del argumento partido por el logaritmo en la misma base que el numerador de la base. 00:17:12
Por ejemplo, también lo puedo poner como logaritmo decimal de a partido por logaritmo decimal de b, como logaritmo neperiano de a partido por logaritmo neperiano de b, como logaritmo el que yo quiera, de 5 en base a partido por logaritmo en base 5 de b. 00:17:39
La utilidad que tenía esto para calcular logaritmos con las calculadoras antiguas era que yo expresaba el logaritmo como cociente de logaritmos decimales o neperianos. 00:17:55
¿De acuerdo? Esta era la principal utilidad que tenía. 00:18:10
Veamos este ejemplo. 00:18:13
Imaginaos que yo quiero calcular el logaritmo en base 4 de 12, 00:18:14
sabiendo que el logaritmo decimal de 12 es 1,079, 00:18:22
porque, por ejemplo, me lo da mi calculadora, 00:18:26
y sabiendo que el logaritmo decimal de 4 es 0,602. 00:18:28
Pues a ver, voy a aplicar un cambio de base. 00:18:31
Logaritmo en base 4 de 12. 00:18:34
En este caso, ¿qué cambio de base voy a utilizar? Pues como lo que conozco son logaritmos decimales, logaritmos en base 10, pues voy a poner logaritmo decimal de el argumento, fijaos, a argumento arriba y abajo logaritmo base 10, la que he elegido, de la base. 00:18:38
Fijaos que esta es la A y la B. Orden alfabético, para que os acordéis. Alfabético. Primero la A, arriba, y luego la B, abajo, para que os acordéis del cambio de base. 00:18:59
Orden alfabético. Muy bien, pues ¿a qué sería igual esto? ¿Conozco el logaritmo de 12? Pues sí, 1,079. ¿Conozco el logaritmo de 4? Sí, 0,602. 00:19:12
Sé cuánto vale ese cociente. Pues si hago esa simple división con una calculadora normal, pues 1,792. Luego, fijaos cómo he calculado el logaritmo en base 4 de 12 a través de logaritmos decimales. 00:19:30
¿Vale? 00:19:49
Bueno, pues esta estrategia se utilizaba mucho antes con las calculadoras antiguas. 00:19:50
Vamos a ver en último lugar la expresión de un número como un logaritmo. 00:19:55
Pues a ver, en este punto, cuando estamos definiendo un logaritmo, viendo propiedades, calculando logaritmos, parece que no tiene mucha utilidad. 00:20:00
Si me dan un número, expresarlo como un logaritmo, ¿no? 00:20:07
Bueno, en este punto no. 00:20:10
Pero cuando veamos ecuaciones logarítmicas, veamos que sí que tiene utilidad muchas veces expresar un número, un valor, como en forma de logaritmo, para poder luego aplicar alguna propiedad, ¿vale? 00:20:11
Pues fijaos, yo puedo expresar un número como un logaritmo en la base que yo quiera, voy a poner por ejemplo logaritmo en base 2, ¿vale? 00:20:24
¿Y qué pongo en el argumento? Pues pongo un 2 y elevado a el numerito que yo tenga aquí. 00:20:32
Ya he expresado el 4 como logaritmo en la base que yo he querido. 00:20:40
Si yo lo quiero expresar logaritmo en base 5, ¿cómo lo pondría? 00:20:44
Pues aquí vuelvo a poner lo mismo, el mismo número que la base, elevado a 4. 00:20:48
Fijaos que esto luego logaritmo en base 5. 00:20:52
De 5 elevado a 4, ya dijimos antes que cuando tenía un argumento en la misma base que la del logaritmo era inmediato. 00:20:54
¿Y cómo lo podría poner en forma de logaritmo decimal? Pues como logaritmo decimal de 10 elevado a 4. 00:21:02
¿Y en forma de logaritmo neperiano? Pues como logaritmo neperiano de elevado a 4. 00:21:08
¿Cómo puedo expresar el menos 5 en forma de logaritmo? Pues a ver, en base 2, logaritmo de 2, de 2 elevado a menos 5. 00:21:13
En base 5, logaritmo de 5, base 5 de 5 elevado a menos 5. 00:21:22
Base 10, logaritmo decimal de 10 elevado a menos 5. 00:21:30
Logaritmo neperiano, logaritmo neperiano de elevado a menos 5. 00:21:37
Muy bien, pues hasta aquí este vídeo, primer vídeo introductorio sobre logaritmo y sobre algunas estrategias para calcularlos. 00:21:43
En el siguiente vídeo veremos lo que os he comentado, ecuaciones logarítmicas. 00:21:51
Muy bien, pues muchas gracias. 00:21:56
Autor/es:
Jesús Gómez Terrel
Subido por:
Jesús G.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
203
Fecha:
10 de febrero de 2023 - 18:38
Visibilidad:
Público
Centro:
IES LUIS DE GONGORA
Duración:
22′ 15″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
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Tamaño:
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