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Video de optimización - Contenido educativo

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Subido el 31 de enero de 2021 por Yolanda S.

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Vamos a ver, vamos a empezar con otros problemas de optimización, ¿vale? Para que tengáis más amplitud de ejercicios. 00:00:05
A ver, me dicen, por ejemplo, que se sabe que el beneficio en los seis primeros meses de una empresa del sector editorial 00:00:15
En miles de euros viene dado por la función f de t igual a 10t menos t cuadrado, donde t indica número de meses, ¿vale? 00:00:24
Me preguntan en qué momento se obtuvo el máximo beneficio y a cuánto ascendió su valor, ¿de acuerdo? 00:00:51
Perdón. Como es una función para maximizar, lo único que tengo que hacer es calcular la primera derivada, que en mi caso sería 10 menos 2t. 00:01:02
Y como siempre que quiero calcular un máximo o un mínimo, igualo esa derivada a 0 y despejo en este caso t, que sería t igual a 5, ¿vale? 5 meses. 00:01:16
Este sería el candidato a máximo o mínimo. 00:01:32
Para saber cuál de las dos cosas es, tendríamos que calcular la segunda derivada de t, que en mi caso es menos 2. 00:01:37
Este valor es siempre negativo, con lo cual en t igual a 5 tengo un máximo. 00:01:47
¿Vale? Eso significa que se va a alcanzar el momento con mayor beneficio va a ser a los cinco meses. 00:01:55
¿De acuerdo? Y también me preguntaban el valor al que ascendió ese beneficio. 00:02:06
Entonces lo que me piden es calcular f de 5, que en mi caso sería 10 por 5 menos 5 al cuadrado, es decir, 25. 00:02:14
Como el beneficio estaba en miles de euros, entonces el beneficio obtenido serían 25.000 euros. 00:02:30
¿De acuerdo? Vale, pues a ver, ¿puedo bajar esto y seguir escribiendo? ¿Vale? 00:02:39
Otro problema. Me dicen que el producto de dos números que desconozco, es decir, x por y, es 125. 00:02:55
Me piden que calcule esos números de manera que el cuadrado del primero, es decir, x al cuadrado, más el doble del segundo sea mínimo, más 2y sea un mínimo. 00:03:07
Esto es una función que es la que tengo que minimizar. 00:03:24
Como veis es una función que depende de dos variables, ¿vale? 00:03:29
Y nosotros con lo que estamos trabajando es con una función de x. 00:03:32
Si aquí despejamos la y, obtengo que y es 125 dividido con x, de x, perdón. 00:03:37
Si sustituimos ese valor de la y en mi función, lo que obtengo es 00:03:49
que la función f de x sería igual a x al cuadrado más 125 por 2, que es, a ver, 250 dividido entre x. 00:03:55
Y esta es mi función a la que tengo que calcular el máximo o el mínimo, ¿de acuerdo? 00:04:20
Bien, como siempre, lo primero que hacemos es calcular la primera derivada. 00:04:30
Calculamos ahora la primera derivada, ¿vale? 00:04:39
Entonces tenemos que f'x sería 2x menos 250 dividido de x al cuadrado. 00:04:43
Vale, os recuerdo que esto es la derivada de un cociente, 00:04:58
Con lo cual sería derivada del numerador, que es cero, por x es cero, menos, que es este menos que tengo aquí, el numerador por la derivada del denominador, que es x, y dividido entre el denominador al cuadrado. 00:05:01
¿Vale? Esto lo igualamos a 0 y después de operar tendríamos 2x cubo menos 250 dividido todo ello de x al cuadrado. 00:05:17
Y esto es 0 si y solo si 2x cubo es igual a 250 y por tanto x es igual a 5. 00:05:35
Ahora tenemos que saber si se trata de un máximo o un mínimo y para ello calculamos la segunda derivada. 00:05:53
En nuestro caso la derivada de 2x es 2 y la derivada de ese cociente como antes sería aplicando la regla del producto, perdón, a ver, más 500 dividido entre x al cuadrado. 00:06:01
¿Vale? Calculamos esa derivada en el valor obtenido, x igual a 5 y obtenemos que es un valor mayor que 0, por tanto tenemos un mínimo. 00:06:24
Y ya estaría. Si x es como teníamos inicialmente un sistema, si x es 0, sustituyendo en la función, tendríamos que y vale 25. 00:06:40
Por tanto, los números que me están pidiendo son 5 y 25, que son los dos que cumplen las condiciones que nos están pidiendo. 00:07:09
Vamos con un tercer ejercicio. 00:07:33
Se quiere vallar un terreno que es rectangular para criar conejos y gallinas. 00:07:36
Para que los animales no se mezclen, se divide el terreno en dos rectángulos iguales, colocando parte de la valla de forma paralela a uno de los lados. 00:07:41
Disponemos de 96 metros de valla. 00:07:55
¿Cuáles serán las dimensiones para obtener la mayor superficie? 00:08:04
¿Y cuál será esa superficie máxima? 00:08:09
¿De acuerdo? 00:08:12
A ver, como estamos hablando de un rectángulo, la situación sería esta, vamos a llamar a esto x y a esto y, y por tanto luego hay que dividir por aquí para que no se mezclen. 00:08:14
Bueno, hacerlo un poquito mejor, ¿vale? La función que quiero maximizar en este caso sería la del área y es x por y. 00:08:30
¿De acuerdo? Lo que sí que sé es que tenemos aquí nuevamente una función que depende de dos variables, x y, y necesito quedarme en una única variable que como siempre consideramos la x. 00:08:45
A ver, otra de las cosas que sé es que el perímetro de ese recinto sería 3 veces x más 2y, ¿de acuerdo? 00:09:02
Porque tengo este lado, este otro que he punteado y este otro y además sería esto y esto. 00:09:21
y este valor debe ser igual a los 96 metros de alambrada que tengo, ¿de acuerdo? 00:09:30
Como siempre, despejamos de aquí la Y y tenemos que Y será 96 menos 3X, todo ello dividido, ay, perdón, entre 2, ¿vale? 00:09:41
Si operamos esto, me quedaría que y es 48 menos 3 medios de x. 00:10:02
Con este valor nos iríamos a la función del área y tendríamos en este caso que a de x sería igual a x por y, es decir, x por y que es 48 menos 3 medios de x. 00:10:17
¿Vale? O si queréis operar, 48x menos 3x cuadrado medios. 00:10:42
¿Vale? Bueno, pues esa función, la a de x, es la que tenemos que maximizar. 00:10:57
Como siempre calculamos la primera derivada, bueno voy a escribir aquí nuevamente la función, después de operar nos quedaba 48x menos 3 medios de x cuadrado, ¿vale? 00:11:07
Calculamos la primera derivada y me quedaría 48 menos 3 medios por 2x, que simplificando me quedaría 48 menos 3x, ¿vale? 00:11:26
Esta es la función que voy a igualar a 0 y al despejar la x obtengo que x es 16 metros 00:11:48
Y como siempre tengo que comprobar si efectivamente ese valor que he obtenido para la x es un máximo, un mínimo o qué 00:12:01
Calculamos la segunda derivada y obtenemos que es menos 3, que es un valor negativo 00:12:13
Por tanto, x igual a 16 es un máximo 00:12:28
¿De acuerdo? 00:12:34
Vale, nos pedían lo que miden tanto x como y 00:12:40
Con lo cual, ya que teníamos la Y despejada y era, si recordáis, 48 menos 3 medios de X, de aquí al sustituir la Y por 16 obtenemos que Y es 24 metros. 00:12:47
Por tanto, lo que queremos es que nuestra valla mida 16 metros de alto por 24 de largo 00:13:09
y el área máxima, es decir, a de x y, que era x por y, sería 16 por 24, que son 384 metros cuadrados. 00:13:25
Esa sería la superficie máxima. 00:13:46
Vamos a ver un último ejercicio, ¿vale? ¿Qué pasaría en el caso de que tengamos una función definida a trozos? ¿Vale? Entonces, a ver, ahora. Vamos a ver. Me dicen que el beneficio de un parque de atracciones depende principalmente de la extracción del año en la que nos encontramos. 00:13:50
Y la función que corresponde al beneficio, en cientos de miles de euros, viene dado por la siguiente función, f de x va a ser igual a x más 3 medios, 00:14:24
Si estoy entre 0 y 5, es decir, en los meses que van de enero a mayo, va a ser menos x al cuadrado más 14x menos 41. 00:14:42
Bueno, si estoy entre mayo y septiembre, menor o igual, y por último, va a ser cuatro en los últimos meses del año. 00:15:05
es decir, entre, perdón, esto es un menú estricto, entre septiembre y diciembre, ¿vale? 00:15:29
Bueno, pues vamos a ver cómo hacemos esto. 00:15:46
Me piden que calculen qué momento se obtienen los máximos y mínimos beneficios 00:15:51
y a cuánto ascienden estas cantidades, ¿de acuerdo? 00:15:56
Bien, como siempre, lo que hacemos es calcular primeramente la primera derivada. 00:16:01
En el primer intervalo, es decir, entre los meses de enero y mayo, la derivada sería un medio. 00:16:10
Derivando la segunda rama me quedaría menos 2x más 14. 00:16:25
Si estoy entre mayo y septiembre 00:16:31
Y por último será 0 ya que es una constante en los últimos meses del año 00:16:35
¿De acuerdo? 00:16:44
Bien, vamos a ver 00:16:48
Una vez que tengo esto, lo que necesito saber, como siempre 00:16:50
Es para que valores la primera derivada es 0 00:16:55
¿Y esto cuándo ocurre? 00:17:00
A ver, en la primera rama no puede ser cero, puesto que vale un medio, ¿lo veis? 00:17:03
Entonces ahí no se va a anular nunca. 00:17:09
En la segunda rama obtengo que x es 7 y en la última va a ser siempre cero, 00:17:13
es decir, entre septiembre y diciembre también va a ser cero, ¿vale? 00:17:25
Bien, una vez que tengo estos candidatos, lo que tengo que hacer es ver cuáles son los valores, cuál de estos valores es máximo o mínimo. 00:17:35
¿De acuerdo? Calculamos la segunda derivada. f segunda de x será 0 porque es una constante en los primeros meses, menos 2 entre mayo y septiembre y 0 en los últimos meses del año. 00:17:49
¿De acuerdo? Por tanto, f segunda en 7 va a ser menos 2, que es un número negativo, y por tanto, cuando x es 7, es decir, en el mes de junio, alcanzaríamos un máximo. 00:18:17
¿Y cuál sería el beneficio que obtenemos? 00:18:49
Bueno, pues pasamos este valor a la función y obtenemos que F de 7 es 800.000 euros. 00:18:56
¿Vale? 00:19:25
¿Qué pasa en la última rama? 00:19:27
La función es constante y por tanto no va a tener ni máximos ni mínimos, pero el mínimo se alcanza al empezar el año, es decir, en el mes de enero, y en ese caso el valor son 15.000 euros, perdón, 150.000 euros. 00:19:31
¿De acuerdo? 00:20:01
Bueno, pues yo creo que tenéis un tipo de cada uno de los ejercicios 00:20:05
Con lo cual, si tenéis alguna duda 00:20:12
Después de haber visto el vídeo me preguntáis en clase 00:20:17
¿Vale? 00:20:21
Espero que os haya servido 00:20:23
Subido por:
Yolanda S.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial
Visualizaciones:
80
Fecha:
31 de enero de 2021 - 21:28
Visibilidad:
Clave
Centro:
IES IGNACIO ALDECOA
Duración:
20′ 31″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1280x720 píxeles
Tamaño:
38.23 MBytes

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