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Medianas de un triángulo - Contenido educativo

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Subido el 7 de enero de 2020 por Pablo M.

92 visualizaciones

Demostración de que las tres medianas se cortan en un punto G, llamado baricentro, que además las divide en proporción 1:2.

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En este tutorial vamos a demostrar que las tres medianas de un triángulo se cortan en un punto G llamado varicento del triángulo. 00:00:00
Para ello, lo primero que hacemos es calcular una razón de semejanza entre dos triángulos. 00:00:08
Aquí vamos a pensar en el triángulo ANM que en relación con el triángulo ABC. 00:00:18
Estos dos triángulos son semejantes porque tienen un ángulo en común, el ángulo A, y los otros lados son proporcionales, en proporción 1 a 2, por cierto. 00:00:25
Así podemos deducir que las bases son obligatoriamente paralelas y 2AQ será exactamente AP. 00:00:41
Luego podemos encontrar que el punto Q divide al segmento apéndolos. 00:00:50
Lo segundo que vamos a demostrar es que también los triángulos NMG y BGC también van a ser semejantes. 00:00:57
y lo van a hacer por tener un ángulo igual que antes en común 00:01:12
y los ángulos van a ser iguales en 2 a 2 00:01:19
por ser la recta, para haber demostrado antes que NIM y BC eran paralelas 00:01:28
de esta manera como las bases son el doble 00:01:36
pues forzosamente los lados también van a tener que estar el doble 00:01:39
luego podemos deducir que si llamamos a un lado 00:01:43
por ejemplo 2X y 2Y 00:01:46
a los otros hay que llamarlos X e Y 00:01:51
bien, aquí si nos fijamos en 00:01:53
utilizando el concepto anterior de que el punto Q es el punto medio 00:02:00
y viendo esta relación 1 a 2 en esta semejanza 00:02:04
tenemos de abajo a arriba 2NN4N, lo que nos permite comparar que la distancia AG entre GP es exactamente 2, luego AG dos veces GP. 00:02:07
El siguiente paso que vamos a demostrar ahora es que la recta MP también es paralela a la recta AB. 00:02:20
Para ello vamos a construir el triángulo MPG, que va a ser semejante al triángulo ABG. 00:02:32
La razón es porque van a tener un ángulo igual, que es el ángulo opuesto, y por el apartado anterior hemos visto que van a tener los lados proporcionales. 00:02:50
Así que si recordamos que habíamos llamado a un lado x y 2x, al otro lo llamaremos y y 2y. 00:03:07
Perdón, se llamaba 2n y 4n. 00:03:20
Bien, de esta forma estos triángulos también son semejantes en relación, en este caso 2 a 1, 00:03:26
y podemos concluir que AB es paralelo a MP. 00:03:33
Y ya por último, vamos a hacer uso del teorema de Tales, que nos afirma que si tenemos tres rectas paralelas, que son estas que estoy dibujando en negro, que le hemos demostrado en el apartado anterior, la primera la hemos puesto paralela por c, 00:03:35
la relación que guarden cualquiera de las secantes 00:03:56
va a ser siempre la misma 00:04:03
luego en este caso 00:04:06
como hemos creado la paralela intermedia 00:04:08
por la mitad del lado AC 00:04:11
que lo divide en dos segmentos de longitudes B y B 00:04:14
esta longitud de 1 a 1 00:04:17
va a ser la que tenemos que asociar a BP y PC 00:04:19
Es decir, BP y PC miden lo mismo, con lo que nuestro punto P es el punto medio y por tanto AP es una mediana, que era justamente lo que queríamos demostrar al principio de este ejercicio. 00:04:23
Materias:
Matemáticas
Niveles educativos:
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  • Educación Secundaria Obligatoria
    • Ordinaria
      • Segundo Ciclo
        • Tercer Curso
Autor/es:
Pablo Marrinez Dalmau
Subido por:
Pablo M.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
92
Fecha:
7 de enero de 2020 - 22:49
Visibilidad:
Público
Enlace Relacionado:
http://cloud.educa.madrid.org/index.php/s/0IAqjOtjoKcnPeU
Centro:
IES CARMEN CONDE
Duración:
04′ 41″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1180x664 píxeles
Tamaño:
40.64 MBytes

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