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2º bach determinantes 4x4 - Contenido educativo
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hola chicos y chicas bueno vamos a ver cómo se hace un determinante de orden 4 bueno para hacerlo
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vamos a usar dos propiedades que de mis apuntes son la número 9 que dice que sea una fila de una
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matriz se le suma otra fila multiplicada por un número su determinante no cambia y también la
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propiedad número 11 que bueno en realidad esta propiedad es la que la que nos va a decir cómo
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hacer el determinante, que dice que si los elementos de una fila o columna se multiplican
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por sus respectivos adjuntos y se suman los resultados, se obtiene el determinante de
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la matriz inicial. Bueno, esto en realidad se llama desarrollar el determinante por una
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fila o columna. Y bueno, lo que viene a decir la propiedad, lo que viene a decir en este
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caso es que si yo multiplico, por ejemplo, los elementos de la primera columna por sus
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respectivos adjuntos obtengo el valor del determinante, es decir, sería el elemento
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1, 1 que es 2 por su adjunto más el elemento 2, 1 que es menos 1 por su adjunto más el
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elemento 3, 1 por su adjunto más el elemento 4, 1 por su adjunto. Hay 4, 1. Bueno, esto, como os digo, es la propiedad
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número 11 aplicada a este determinante y multiplicando los elementos, en este caso de la primera columna, por sus adjuntos.
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¿Por qué he cogido la primera columna? Pues fijaos que el elemento A4,1 es un 0. Lo veis aquí, ¿no? Es un 0. Entonces, ¿qué significa eso? Pues que como A4,1 es 0, entonces no importa lo que valga el adjunto 4,1.
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Sé que esto va a dar 0. Así que de los 4 adjuntos que habría que calcular, que son 4 determinantes de orden 3, porque recordad que el adjunto tengo que elegir un elemento, quitar la fila y quitar la columna y me queda un determinante de un orden más pequeño.
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En este caso, como este es de orden 4, pues quedaría determinantes de orden 3. Entonces, de los 4 que hay que hacer, solo tendría que hacer 3. Hacer 3 determinantes de orden 3, bueno, no está mal, pero podríamos ver si algún elemento más de esto, del A11, el A21, el A31, también podríamos hacerlo 0.
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Y para eso es para lo que se aplica la propiedad número 9. Entonces, lo que voy a hacer es lo siguiente. Le voy a poner aquí debajo y vamos a hacer, bueno, en la cuarta fila ya tengo un 0, que es el que he usado para lo que os he estado diciendo hasta ahora.
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Ahora la fila 2 también la voy a dejar y ahora veréis por qué. 1, 2. Y la primera fila lo que voy a hacer es sustituir la fila 1 por la fila 1 a la que le voy a añadir dos veces la fila 2.
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Es decir, sustituyo, o si queréis, tal como está en la propiedad, si a la fila 1 le añado la fila 2 multiplicada por 2, el determinante no cambia. Por lo tanto, puedo hacerlo.
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Y al hacerlo, fijaos, al multiplicar esta fila por 2 queda menos 2 más 2, 0. Al multiplicar aquí por 2 queda 2 más 1, 3. Al multiplicar aquí por 2 queda 2 más 0, 2. Y al multiplicar aquí por 2 queda 4 más 1, 5.
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Y algo parecido con la fila 3. A la fila 3 le voy a añadir la fila 2 multiplicada por 3. 3 por la fila 2.
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Entonces, multiplico la fila 2 por 3 y queda menos 3 más 3, 0. Al multiplicar aquí por 3 queda 3 más 1, 4.
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Al multiplicar aquí por 3 queda 3 y 2, 5. Y al multiplicar aquí por 3 queda 6 y 2, 8. Con lo cual, fijaos que ahora si hago lo anterior quedaría A11 por A11 más lo mismo A21 por A21 más A31 por A31 más A41 por A41.
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Entonces ahora aquí 4, 1. Entonces tenemos que el elemento 1, 1 que es este, bueno os lo voy a ir poniendo de otro color, por ejemplo de verde, este elemento da 0 con lo cual todo esto es 0.
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Este elemento es 0, que es el elemento 3, 1, con lo cual todo esto es 0. Y el elemento 4, 1, ya los teníamos de antes, también es 0, por lo tanto todo esto es 0.
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Así que esto quedaría que es igual a A21 por su adjunto A2. Bueno, por lo tanto solo tengo que hallar el adjunto A21.
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Recordad que para hallar el adjunto primero hay que hallar el menor complementario que se llama alfa 2,1.
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Alfa 2,1 se obtiene a partir del elemento 2,1, os lo voy a poner con esto, el elemento 2,1 es este, si quito su fila y quito su columna, pues me queda que alfa 2,1 es este determinante.
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sería 3, 2, 5, 4, 5, 8, 2, 1, menos 2.
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Así que, bueno, lo hacemos, queda 3 por 5, 15, por 2, menos 30,
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2 por 8, 16, bueno, perdón, menos 30, no sé lo que he hecho,
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voy a borrar, se me ha puesto aquí, voy a borrar, a ver,
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Bueno, empiezo de nuevo. 3 por 5, 15, por 2, menos 30. 2 por 8, 16, por 2, 32. 4 por 2, 4, por 5, 20.
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Los que cambian el signo son 5 por 5, 25, por 2, 50, pero cambia el signo. 8 por 2, 8, por 3, 24, cambia el signo.
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Y 2 por 4 es 8, por 2 es 16, por menos 2 menos 16 cambia el signo más 16. Y esto, si lo hacéis, sale menos 36.
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Por lo tanto, de aquí tenemos que a21 es menos menos 36, porque si os acordáis, como 1 y 2 suman impar, entonces el adjunto es el menor cambiado de signo.
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Entonces, como el menor da menos 36, pues esto daría 36. Y, bueno, continuaría por aquí con esto. Fijaos que, bueno, lo hago aquí.
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Ahí, bueno, perdonad, esto lo he hecho muy mal. Vale, sería en este caso A21 que es menos 1, que es el menos 1 aquí donde se cruzan las líneas de color naranja, por A21 que es 36, es decir, menos 36.
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Por lo tanto, este determinante vale menos 36. Bueno, y ya está hecho. Y siempre es así. La opción de sacar ceros la tenéis, pero si no la queréis usar podéis no hacerlo.
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Es decir, en vez de hacer un único determinante, que es el menor alfa 2,1, pues haríais tres. Y tendréis que sumar aquí los tres sumandos que aparecen.
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Pero yo creo que merece la pena hacerlo, porque lo de sacar ceros normalmente es fácil de hacer y hay que tener en cuenta también de aplicar bien la propiedad.
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recordad que es que a una fila le añado otra multiplicada por un número pero a la fila en
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cuestión no le puedo multiplicar por ningún número en este caso a la a la fila a la fila 2 perdón a
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la fila 1 a la fila 3 que son donde he sacado ceros no les puedo hacer nada o sea les puedo
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añadir otra multiplicada por un número pero como tal la fila 1 tiene que quedar fila 1 y la fila
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3 tiene que quedar fila 3 vale bueno pues con esto terminamos y espero que os hayáis enterado
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- Francisco M.
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- 2 de octubre de 2020 - 20:36
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- Público
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- IES LUIS GARCIA BERLANGA
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