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2023 Problema de optimización - Contenido educativo
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Explicación de la resolución de un problema de optimización siguiendo todos los pasos necesarios.
Vamos a resolver un problema de optimización, concretamente un ejercicio planteado en la
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EBAU de 2023 en la extraordinaria coincidente. Dice así, se quiere construir un depósito
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de barro cilíndrico de volumen 432 pi decímetros cúbicos para elaborar un vino artesanal usando
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técnicas antiguas. El depósito se sitúa verticalmente, apoyado sobre su base circular.
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Se sabe que al utilizar ese material poroso se produce, con el tiempo,
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una pérdida de líquido a través de la superficie que está en contacto con el vino.
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Dicha pérdida, a través de la pared lateral, es de 10 centilitros por decímetro cuadrado
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y a través del suelo, de 20 centilitros por decímetro cuadrado.
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Calcular las dimensiones que debe tener el depósito para que la filtración de vino sea mínima.
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Luego, básicamente, tenemos un cilindro sin tapa, solo con la base,
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del que desconocemos el radio y la altura, que vamos a llamar respectivamente x e y.
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Lo que sí que sabemos es que el volumen es 432 pi.
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Como lo que vamos a buscar es una función que haga la función pérdida mínima,
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lo que nos dicen es que en función del área de la base y lateral es diferente.
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En función del área de la base, que vemos al desarrollar la figura, que es un rectángulo de base 2pi x y altura y, pierde 10 centilitros por decímetro cuadrado.
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Y hay que sumarle lo que pierde por la base, que es pi x cuadrado por 20.
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Con lo que nos queda una función de dos variables definida como 20pi paréntesis x por y más x cuadrado.
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no sabemos optimizar funciones de dos variables
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así que tenemos que crear la ligadura
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¿cuál es la ligadura?
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la ligadura es el volumen que es 432 pi
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y eso que es área de la base pi x cuadrado por la altura
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luego es fácil despejar la altura
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que es 432 entre x cuadrado
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siempre que la x no sea cero
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así nuestra función solo depende de una variable
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y se puede simplificar a 20pi por 432 entre x más x cuadrado.
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Es completamente necesario hablar del dominio de esta función.
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Esta función existe siempre que el radio sea mayor estrictamente que cero
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y podría ser en principio ilimitado.
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Así que ponemos de cero infinito.
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Bien, como hemos visto en la teoría, lo primero que hacemos es derivar la función.
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porque tenemos que estudiar tres cosas de esa función al hacer la derivada la
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derivada de 432 por x a la menos 1 nos queda 4 menos 432 por x a la menos 2 y
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la del polinomio x cuadrado se convierte en 2x con lo cual no tiene puntos
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angulosos porque siempre existe la la derivada para los valores de 0 en
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adelante extremos relativos son aquellos que
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tienen la tangente horizontal luego cuando la derivada 0 bueno pues la
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derivada 0 no cuando 20 pies 0 sino cuando lo dentro del paréntesis es 0 es
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decir cuando 2x es 432 entre x cuadrado simplificando entre 2 y cambiando de
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lado las x cuando x cubos 216 es decir cuando x es la raíz cúbica de 216 es
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es decir, cuando es 6.
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Bien, no tiene puntos angulosos,
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hemos encontrado un candidato a extremo relativo
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que no nos molestamos en mirar si es máximo o mínimo,
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finalmente será mínimo,
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pero ya lo veremos más adelante comparando los valores.
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¿Qué valores?
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Los extremos del dominio de la función
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que hemos visto que era un intervalo abierto y no acotado,
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el 0 e infinito,
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con lo cual no podemos hacer f de 0 y f de infinito,
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sino el límite cuando x tiende a 0 y cuando tiende a infinito,
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que en ambos casos también es infinito
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como resulta que f de 6 es un valor menor que infinito
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en concreto 2160pi
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pues podemos concluir que en x igual a 6 se alcanza un mínimo absoluto
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por tanto en y igual a 432 entre 6 al cuadrado que sale 12
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también se alcanza un mínimo
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el radio debe ser por tanto 6
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y la altura 12 centímetros, 12 decímetros de altura
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bueno, replicar esto para resolver vuestros problemas
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un saludo
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- Idioma/s:
- Autor/es:
- Pablo Martínez Dalmau
- Subido por:
- Pablo M.
- Licencia:
- Reconocimiento - Compartir igual
- Visualizaciones:
- 50
- Fecha:
- 1 de julio de 2024 - 20:27
- Visibilidad:
- Público
- Centro:
- IES MARGARITA SALAS
- Duración:
- 04′ 36″
- Relación de aspecto:
- 4:3 Hasta 2009 fue el estándar utilizado en la televisión PAL; muchas pantallas de ordenador y televisores usan este estándar, erróneamente llamado cuadrado, cuando en la realidad es rectangular o wide.
- Resolución:
- 1440x1080 píxeles
- Tamaño:
- 80.23 MBytes
