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NIVEL II (2_3_2022) - Contenido educativo

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Subido el 4 de marzo de 2022 por M. Yolanda B.

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Problemas de ecuaciones y sistemas de ecuaciones

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Bien, el otro día estuvimos haciendo una serie de problemas, entre ellos de geometría y hubo uno de geometría que dije, mejor no lo hago y ya lo explico más tranquilamente. 00:00:00
Y lo voy a explicar ahora, que es, por ejemplo, vamos a ver, ¿dónde está? Teníamos aquí, este de aquí, por ejemplo, el último, ¿vale? Luego haremos otro por ahí, o lo tenéis, incluso, casi mejor, voy a hacer este, luego, en los que hay arriba, que están en color, 00:00:14
Hay uno que está viendo un triángulo rectángulo que se va a hacer poco más o menos 00:00:47
Lo voy a plantear para que lo podáis resolver vosotros 00:00:52
Y tenéis la solución 00:00:54
Bien, esto en este problema nos dice que un triángulo rectángulo 00:00:56
En un triángulo rectángulo la hipotenusa mide 10 centímetros 00:01:01
Y las longitudes de sus dos catetos suman 14 centímetros 00:01:04
Calcular la área del triángulo 00:01:09
Bien, lo primero que tenemos que saber es qué es un triángulo rectángulo 00:01:10
¿vale? Un triángulo rectángulo es un triángulo, bueno, más o menos así, que tiene un ángulo de 90 grados, ¿de acuerdo? Este es un ángulo de 90 grados, todo lo que tenga una, sean perpendiculares, ¿de acuerdo? 00:01:15
¿Verdad? El, dijéramos, el lado que está enfrente, ¿vale? Enfrente del ángulo recto, del ángulo de 90 grados, es decir, el lado más largo que está enfrente, ese se llama, es la hipotenusa. 00:01:31
Yo esto lo recuerdo, aunque se supone que esto ya lo tenéis que saber las personas que estáis en este nivel, en el nivel 2, ¿vale? Y luego, los lados que contienen o que forman ese ángulo recto, ese ángulo de 90 grados, se le llaman catetos, ¿vale? Este dijéramos que es el cateto 1, vamos a llamarlo así, y este es el cateto 2, ¿de acuerdo? Y esta es la que vamos a llamar hipotenusa H, ¿de acuerdo? 00:01:48
Bien, un teorema que se cumple siempre, es decir, como una ley que se cumple siempre en un triángulo rectángulo es el teorema de Pitágoras, ¿vale? El teorema de Pitágoras. Todo esto lo tendríais que saber, pero bueno, lo resolvemos. 00:02:16
¿Y qué se cumple siempre en un triángulo rectángulo? ¿Qué se cumple siempre en el teorema de Pitágoras? Se cumple que la hipotenusa al cuadrado es igual a uno de los catetos al cuadrado y el otro cateto al cuadrado, ¿vale? 00:02:37
Por ejemplo, se ve muy bien en este triángulo rectángulo de donde tenemos este cateto que vale 2, este cateto que vale 3 y este cateto que vale 4, ¿vale? No, perdón, perdón, perdón, este no. Es 3, 4 y 5 centímetros o lo que sea, las unidades, ¿vale? 00:02:53
Bien, el cateto 3 al cuadrado más el cateto 4 al cuadrado ha de ser igual al cateto, perdón, a la hipotenusa al cuadrado, ¿vale? Entonces tenemos que la hipotenusa al cuadrado, 5 al cuadrado, ha de ser igual a 3 al cuadrado más 4 al cuadrado. 00:03:18
y si nos damos cuenta lo hacemos, nos da que 25 es igual a 9 más 16 00:03:37
y 16 más 9 son 25, o sea que en este caso 00:03:41
veis que se cumple perfectamente 00:03:45
¿de acuerdo? esto se cumple siempre en un triángulo rectángulo 00:03:49
¿vale? puedes tener 00:03:53
este valor de este cateto, este otro valor de este cateto y la suma de los cuadrados 00:03:55
de ambos catetos, la suma de los cuadrados de ambos catetos es igual 00:04:01
a la hipotenusa al cuadrado, ¿vale? No me voy a poner ahora porque esto es un tema de geometría 00:04:05
que ya más o menos se tenía que saber, pero bueno, si no se sabe 00:04:09
lo sabéis ahora, ¿de acuerdo? Entonces, siempre que tengamos un problema 00:04:13
normalmente de triángulos, rectángulos y tal 00:04:17
se trata de aplicar el teorema de Pitágoras, ¿de acuerdo? Entonces, bueno 00:04:21
vamos a resolver este problema y es, tenemos 00:04:25
vamos a dibujar siempre en geometría, lo primero que se hace es dibujar 00:04:34
En los problemas de geometría, dibujar. Tenemos el triángulo rectángulo y dice que la hipotenusa mide 10 centímetros. ¿De acuerdo? Dice que la longitud de sus dos catetos suman 14. Bien, este problema se puede hacer de dos maneras, o con una incógnita o con dos incógnitas. 00:04:41
Lo vamos a resolver de las dos maneras, ¿vale? Un momento, bueno, a ver, un momentito, es un poquito mejor, bueno, más o menos, este mide 10 centímetros, hemos dicho, vale. 00:05:01
Bien, el primer dato está colocado, la hipotenusa mide 10 cm y dice que las longitudes de sus dos catetos suman 14 00:05:26
Es decir, entre este cateto más pequeño y este otro cateto más grande suman 14 00:05:36
Quiere decirse, imaginemos para que lo entendáis, imaginemos que este de aquí suma 9, que este de aquí son 9 cm 00:05:43
Quiere decirse que si entre los dos suman 14, ¿vale? 00:05:52
Este de aquí tiene que sumar, ¿qué? 5 centímetros. 00:05:58
¿De dónde han salido estos 5 centímetros? 00:06:01
De quitarle al total, le he quitado 9, ¿verdad? 00:06:03
¿Sí o no? Vale. 00:06:08
Pero yo no sé si este mide 9 o cuánto mide, no tengo ni idea, ¿vale? 00:06:10
Yo, si no sé lo que mide, ¿qué pongo? X, que mide X. 00:06:15
Lo que sí sé es que entre los dos miden 14, me lo dice el problema 00:06:19
Con lo cual, este cateto lo que va a medir es que 14, el total, menos lo que mide el otro cateto 00:06:25
Es decir, 14 menos X 00:06:36
¿No? 00:06:37
¿Vale? Si este mide X y entre estos dos miden 14, pues este medirá el total menos lo que mide el otro 00:06:40
Es decir, 14 menos X 00:06:47
¿De acuerdo? Voy a centrar el... ¿Eso se entiende? ¿Se entiende esto? Que si este mide X, este mide 14 menos X. Vale. Bien. De acuerdo. Muy bien, entonces. 00:06:49
vale, pues ya tengo mis datos colocados en mi 00:07:09
en mi triángulo y ahora me dice 00:07:14
calcula el área del triángulo, bien, una cosa que tengo que saber 00:07:17
es cuál es, ah bueno 00:07:22
en este caso, perdonad, que tonta 00:07:26
me acabo de dar cuenta de que aquí no se aplica Pitágoras porque me están calculando el área 00:07:29
me están pidiendo que calcule el área del triángulo, pero bueno, voy a utilizar estos datos 00:07:34
para, sí, sí, perdón, sí, hay que hacer pitágoras, exactamente, hay que aplicar pitágoras, porque me preguntan por el área del triángulo, ¿vale? 00:07:37
Pero para calcular el área del triángulo, que el área de un triángulo es base por altura partido de 2, donde la base es esta, ¿vale? 00:07:52
Esta es la base, esta es la altura, esta es la base y esta es, ojo, la altura, evidentemente, altura no se pone con H, pero siempre en geometría, no sé por qué, la H se identifica con esta altura, ¿vale? 00:08:01
del triángulo, se llama h a la altura 00:08:21
entonces, si yo quiero calcular el área 00:08:24
necesito saber cuánto valen cada uno de los lados 00:08:28
y para calcular cada uno de los lados 00:08:31
aplico Pitágoras 00:08:36
y entonces tengo 00:08:37
que me dice Pitágoras que la hipotenusa al cuadrado 00:08:42
es igual a cateto cuadrado más cateto cuadrado 00:08:46
¿Cuánto vale la hipotenusa? La hipotenusa vale 10, con lo cual esto es 10 al cuadrado 00:08:48
Ahora, cateto, ¿cuánto vale este cateto? X, por tanto es X cuadrado 00:08:54
Más el otro cateto que es 14 menos X, entre paréntesis, 14 menos X al cuadrado 00:09:04
¿De acuerdo? El problema me podría haber preguntado simplemente cuáles son las dimensiones del triángulo 00:09:14
Bueno, de acuerdo, no tenía por qué preguntarme el área 00:09:19
Puede decir todo y dice, calcula las dimensiones del triángulo 00:09:23
Es decir, cuánto vale cada lado 00:09:26
Pero bueno, nos pregunta el área 00:09:27
Y para calcular el área necesito saber esas dimensiones 00:09:30
Entonces, ¿qué es lo que me queda aquí? 00:09:33
Aquí lo que me queda es una ecuación de segundo grado 00:09:36
Una ecuación de segundo grado donde lo que tengo que resolver aquí 00:09:39
Es el cuadrado de esta resta 00:09:43
¿Vale? El cuadrado de esta resta que vamos a hacer 00:09:46
¿Cómo? Pues nada, multiplicando 14 menos x por 14 menos x, ¿de acuerdo? 00:09:49
Esto es una multiplicación de lo que tengo dentro del paréntesis por sí mismo, es decir, dos veces. 00:09:57
Entonces tenemos que esto es x por x es x cuadrado, menos por menos, más. 00:10:04
Ahora, 14 por X, 14X 00:10:15
Y más, porque este 14 es positivo, más por menos, menos 00:10:20
Luego tengo 00:10:27
14 por X, otra vez 14X 00:10:30
Lo pongo debajo de 14X 00:10:34
Más por menos, menos 00:10:36
Y 14 por 14 son 196 00:10:41
¿De acuerdo? 00:10:46
Con lo cual tenemos, ahora sumamos 00:10:49
Cada uno, su columna, ¿verdad? 00:10:51
x cuadrado, pues es x cuadrado, positivo, menos 14x, menos 14x es menos, porque es, debo 14, debo 14, ¿vale? 00:10:54
Menos 28x y aquí 196, con lo cual me queda, este 10 al cuadrado es 100, 10 por 10, 100, x cuadrado es x cuadrado, 00:11:05
Y ahora tengo más todo lo que acabo de hacer, ¿vale? Positivo este, pues copio simplemente 196 menos 28x más x cuadrado, ¿de acuerdo? 00:11:18
Voy a hacer una cosa y es pasar este 100 para acá, ¿vale? Y pongo aquí que un 0, entonces a este lado me quedaría x cuadrado más 196 menos 28x más x cuadrado. 00:11:31
y el 100 que estaba positivo pasa a ser 00:11:45
negativo. ¿De acuerdo? 00:11:47
Voy a borrar esto. 00:11:49
Vale. 00:12:00
Me queda 00:12:02
entonces, si os dais cuenta, 00:12:03
bueno, sigo. Tengo aquí 00:12:04
un x cuadrado y un x cuadrado 00:12:07
que tiene coeficiente 1 y 1. 00:12:08
Por tanto, una x cuadrado 00:12:11
más una x cuadrado me queda 2x cuadrado. 00:12:12
¿Vale? Luego 00:12:15
tengo en grado 1 menos 00:12:17
28x. 00:12:18
y luego tengo los términos independientes 00:12:19
que es más 196 y menos 100 00:12:23
con lo cual me queda más 96 00:12:26
¿de acuerdo? 00:12:29
evidentemente 00:12:34
esta ecuación que tenemos aquí que es de segundo grado 00:12:35
me da lo mismo que este 0 que tengo 00:12:38
a la izquierda la tenga a la derecha 00:12:40
¿vale? para que lo veáis como más 00:12:44
parecido a las ecuaciones de segundo grado que tenemos 00:12:46
¿de acuerdo? igual a cero 00:12:51
bien, aquí se podría hacer otra cosa 00:12:53
que era dividir todo esto entre dos 00:12:56
para que los números sean más pequeños 00:12:58
pero como eso no lo hemos hecho nunca 00:13:00
no tenemos tampoco un montón de tiempo 00:13:01
para andar haciendo muchos ejercicios 00:13:05
entonces simplemente lo voy a aplicar 00:13:08
porque es una ecuación de segundo grado 00:13:12
hay que aplicar fórmula 00:13:14
la voy a aplicar directamente 00:13:15
¿Vale? Sabemos que nuestra fórmula es x igual a menos b más menos b cuadrado menos 4ac partido de 2a. 00:13:16
Luego tenemos que a vale 2, b vale menos 28 y c vale 96. 00:13:32
¿Tenemos calculadora? Me la he traído yo. 00:13:40
Entonces tenemos aquí, que es menos, ¿cuánto vale b? 00:13:42
b vale menos 28, pues pongo, ojo, menos 28, ¿de acuerdo? 00:13:47
Más menos raíz cuadrada de b al cuadrado, es decir, de menos 28 al cuadrado 00:13:55
Menos 4 por a que vale 2 y por c que vale 96 00:14:00
Y aquí necesito que me echéis una manilla 00:14:05
Un momentito, menos por menos más, ¿vale? Este menos por menos es más, más 28, más 28, más menos raíz cuadrada, 28 al cuadrado da 784, menos 4 por 2, 8, y 8 por 96, 7, 6, 8, partido de 4. 00:14:08
Con lo cual me queda 00:14:32
Más 28 más menos raíz cuadrada de 16 00:14:34
Que bien, partido de 4 00:14:40
De 4 00:14:42
Y esto me da igual, me pongo aquí abajo, ¿vale? 00:14:44
Para no hacer más pequeña la pantalla 00:14:47
Y es 28 más menos raíz de 16 00:14:49
Que es 4 partido de 4 00:14:52
Y me da dos valores 00:14:54
28 más 4 partido de 4 00:14:55
y 28 menos 4 partido de 4, con lo cual me da 32 entre 4 a 8 y 24 entre 4 a 6, vale, esto es lo que vale x, vale, esto es lo que vale x y tengo dos valores, el 8 y el 6 00:15:00
y digo, después de hacer todo esto 00:15:22
ya es que uno hasta se pierde, ¿verdad? 00:15:25
me voy a mi 00:15:27
voy a cerrar aquí 00:15:28
me voy a la 00:15:31
a mi dibujo, ¿vale? 00:15:33
a lo que yo tengo dibujado 00:15:35
a ver si quiere dejarme 00:15:36
esto un poquito más pequeño 00:15:38
tal vez 00:15:41
vale, me voy a lo que he dibujado 00:15:41
antes, ¿verdad? 00:15:45
y tengo que la X, a la X le he llamado 00:15:46
a este cateto de aquí, al más pequeño 00:15:49
¿Vale? Al más pequeño 00:15:50
Y al otro de aquí le he llamado 14 menos X 00:15:52
¿Vale? Bien 00:15:56
Y tengo dos valores 00:15:58
Que la X puede valer 8 y que la X puede valer 6 00:16:01
Porque son los dos valores que he obtenido al resolver 00:16:05
Lo que yo quiero aquí es que tengamos 00:16:07
Que seamos lógicos con lo que vamos a ver ahora 00:16:11
Entonces, quiere decirse 00:16:14
Que si esta X vale 8 00:16:17
¿Vale? Decido que porque puede valer 8 o puede valer 6 00:16:19
¿Verdad? Si esta x vale 8 00:16:23
Quiere decirse que este lado de aquí vale 14 menos 8 ¿Verdad? ¿Vale? 00:16:26
14 menos 8, es decir, vale 6 00:16:31
¿Y qué es lo que ocurre? Que en mi dibujo este lado de aquí es más pequeño que este de aquí 00:16:34
Con lo cual no tiene sentido, ¿Vale? Que este lado 00:16:39
valga 8 y que este lado valga 6, con lo cual lo voy a descartar 00:16:43
en mi dibujo, ojo, en mi dibujo este 8, ¿vale? 00:16:47
Con lo cual, a ver, con lo cual 00:16:51
voy a suponer que este lado entonces vale 6 00:17:02
y si este lado vale 6, pues 14 menos 6 que vale 8. 00:17:06
Daros cuenta que al final los dos valores que hemos obtenido 00:17:10
si salen en la, en mi 00:17:14
en mi triángulo, si este vale 8, este vale 6 00:17:18
Y si vale 6, este, este vale 8. Es decir, al final salen los dos datos que necesito, pero por lógica el más pequeño ha de ser 6 y el más largo ha de ser 8. 00:17:21
Con lo cual ya tengo las medidas de mi triángulo. Yo ya tengo las medidas de mi triángulo. Yo ya sé que mi triángulo, por tanto, es este. 00:17:31
Que este vale 6, que este vale 8 y que este vale 10 00:17:44
Ahora, ¿cuál es el área de este triángulo? 00:17:48
El área es base por altura partido de 2 00:17:51
La base vale 8, la altura vale 6 00:17:54
Y partido de 2, con lo cual 00:17:57
8 por 6, 48 00:18:00
Entre 2, 24 00:18:02
24 que 00:18:04
Las medidas son en centímetros, ¿vale? 00:18:06
Todos son centímetros, centímetro y centímetro 00:18:09
Por tanto, estos son centímetros cuadrados, ¿vale? Bueno, todo esto para resolver este problema, ¿verdad? Un poquito largo, ¿verdad? Esta es la primera manera de resolver. Vamos a ver cómo resolver de la segunda manera. 00:18:12
Vamos a ver cómo resolver de la segunda manera. 00:18:33
Y nos vamos a este, a este otro que tengo aquí. 00:18:36
Yo tengo que saber, para resolver el área, tengo que ver cuál es la base y cuál es la altura. 00:18:42
Tengo dos variables, la b y la h. 00:18:52
de tal manera 00:18:55
que vamos a llamarle a este la base 00:18:57
y le vamos a llamar a este la altura 00:19:01
¿de acuerdo? 00:19:03
y tengo un dato que he colocado 00:19:06
en mi 00:19:09
en mi dibujo 00:19:10
y luego tengo 00:19:15
este otro dato 00:19:17
que es el que los dos catetos suman 00:19:19
con lo cual 00:19:22
un poquito complicado va a ser este, me había dado cuenta 00:19:23
que es un poquito complicado, bueno, voy a plantearlo 00:19:29
¿vale? no lo voy a resolver, simplemente lo voy a plantear 00:19:31
y no voy a pedir 00:19:34
si saliera un problema de este tipo en el examen 00:19:36
como el que vais a ver el planteamiento ahora 00:19:41
no voy a poder resolverlo, pero sí 00:19:43
pediría que se expresaran 00:19:46
las ecuaciones ¿vale? del sistema, porque esto 00:19:50
va a ser un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, daos cuenta que aquí 00:19:52
hay dos incógnitas, la base y la altura, con estas dos incógnitas 00:19:56
¿qué hago? pues simplemente lo que me dice el problema es que la suma de los dos catetos 00:20:00
de la base más la altura 00:20:04
suman 14, a esto tengo una ecuación, por tanto 00:20:07
si yo tengo dos incógnitas, necesito 00:20:12
dos ecuaciones, ¿vale? tantas incógnitas 00:20:16
tantas ecuaciones, si hay dos incógnitas 00:20:21
necesito dos ecuaciones 00:20:23
aquí cuántas incógnitas había, una, la x 00:20:25
por tanto sacábamos solamente una ecuación 00:20:27
como aquí tengo dos incógnitas 00:20:29
aparte de esta ecuación necesito 00:20:31
otra, y cuál me va a dar 00:20:33
la, qué es lo que me va a dar la otra ecuación 00:20:35
precisamente el teorema 00:20:37
de Pitágoras, que me dice que 00:20:39
uno de los catetos al cuadrado 00:20:41
más el otro cateto al cuadrado 00:20:45
es igual a la hipotenusa 00:20:47
al cuadrado 00:20:49
¿De acuerdo? Estas dos serían las dos ecuaciones 00:20:50
Y bueno, vamos a ver 00:20:56
Es que no quiero complicar tampoco mucho la cosa 00:21:00
Pero bueno, voy a intentar por lo menos plantear un poquito 00:21:04
Si este sistema de ecuaciones lo resolviera por sustitución 00:21:08
Lo que haría por ejemplo en esta de aquí, en esta primera ecuación 00:21:13
Es despejar una de las incógnitas 00:21:16
¿Vale? Donde la base, por ejemplo, sería igual a 14 menos la altura 00:21:18
¿De acuerdo? 00:21:24
Y esta, entonces, si es por sustitución, esto lo que haríamos sería sustituirlo en la otra ecuación 00:21:26
Aquí 00:21:33
Con lo cual, ¿qué me queda? 00:21:34
La base, ¿vale? Que es 14 menos h elevado al cuadrado 00:21:36
Más h cuadrado es igual a 10 al cuadrado 00:21:43
Y si os dais cuenta, realmente esta ecuación de aquí que acabamos de obtener es lo mismo que esto de aquí. 00:21:47
Lo que pasa es que a uno de los catetos, en este caso, le hemos llamado X y a este cateto le hemos llamado H, ¿vale? 00:21:57
Y se haría exactamente igual, ¿de acuerdo? 00:22:06
Bueno, es un poquito más difícil de los otros problemas que hicimos el otro día, pero es un problema bastante típico que suele aparecer muchísimo en los sistemas de ecuaciones o en los problemas de ecuaciones en general. 00:22:09
¿De acuerdo? 00:22:27
Bien, para relajarnos un poco vamos a hacer otro tipo de problemas que son un poquito más sencillos. 00:22:28
me interesaba ver este por el tema de que es cuadrática 00:22:33
y por aplicar el teorema de Pitágoras 00:22:38
vale, bueno, pues vamos con algún otro problema 00:22:40
por ejemplo 00:22:45
el 14, vamos a hacer este de aquí 00:22:46
bueno, este me hubiera dicho para relajarnos un poco 00:22:51
un poquito más, un momentito 00:22:55
vamos a hacer el 2 00:22:59
Este de aquí. Este no sé si lo hicimos el otro día. No, no. Este no lo hemos hecho. Voy a borrar por aquí lo que tengo. Vamos a ver este. Dice, un librero vende 125 libros a dos precios distintos. Uno lo vende a 15 euros cada uno y otros a 12 euros. 00:23:05
Si obtiene 1.680 euros por la venta, ¿cuántos libros vendió de cada clase? 00:24:01
Bien, aquí a veces el lío que tenemos un poco es ver qué tipo de ecuación o qué tipo, si es un sistema, si es una ecuación de primer grado, segundo grado o demás. 00:24:06
Si lo que tengo son dos cosas a averiguar, normalmente se puede resolver perfectamente con un sistema de ecuaciones, que es lo más fácil, ¿vale? 00:24:19
Lo más fácil. Si lo que tenemos es que nos preguntan una sola cosa, pues puede ser una ecuación de primer grado o de segundo grado, pero con una sola incógnita, ¿de acuerdo? 00:24:27
En este caso, como son dos tipos de libro los que va a vender, pues es que veo claramente que va a ser un sistema de ecuaciones con dos incógnitas, ¿de acuerdo? 00:24:39
¿Cuántos libros va a vender? Va a vender dos tipos. Por ejemplo, vamos a poner el libro X, que es el que, vamos a ver, un momentito, vamos a poner que X son el número de libros, porque me está preguntando cuántos libros vende de cada clase. 00:24:48
Es decir, X será el número de libros que se venden a 15 euros, es decir, los más caros, y la Y va a ser el número de libros que vende a 12 euros. 00:25:09
¿De acuerdo? 00:25:24
Dice que vende en total, entre un tipo y otro, de libros vende 125. 00:25:25
Con este dato yo me saco una ecuación. 00:25:30
Y es que los libros caros que vende más los libros baratos que vende suman un total de 125 libros, ¿vale? 00:25:32
Primer dato que utilizo. 00:25:42
Segundo dato, me dice que la venta que hace de libros es de 1.680 euros, ¿vale? 00:25:45
¿Vale? Quiere decirse que, si imaginemos, para que lo entendamos, que vendo 10 libros que cuestan 15 euros, ¿vale? Y vendo 8 libros que cuestan 12 euros. ¿Cuánto dinero obtengo en total? 00:25:52
Pues lo que haría es multiplicar 10 por 15, multiplicar 8 por 12, ¿vale? 00:26:11
Me haría aquí, por ejemplo, 8 por 2, 16, 96 y aquí 150. 00:26:19
¿Cuánto me he ganado? Pues me he ganado 246 euros. 00:26:23
Eso lo entendemos perfectamente, ¿verdad? 00:26:27
Pero resulta que yo no sé cuántos libros he vendido de cada tipo. 00:26:30
Con lo cual, yo no puedo hacer nada más que, en vez de vender 10 libros, he vendido X 00:26:34
Porque hemos dicho que la X es el número de libros que vende a 15 euros 00:26:42
Y en vez de vender 8 libros a 12 euros, lo que voy a vender son Y libros 00:26:47
Que es a los que he llamado, a los libros más baratos que he vendido 00:26:53
¿Vale? Con lo cual, ¿cuántos euros voy a sacar de los libros vendidos a 15 euros? 00:26:57
Pues en vez del 10 que tengo que poner una X y los de la, en este caso en vez de 8 libros vendo Y 00:27:05
Es sustituir, ¿vale? Si lo que haces es sustituir X e Y 00:27:12
Con lo cual, tenemos que la cantidad de euros que yo voy a sacar, ¿vale? La cantidad de euros que yo voy a sacar de la venta de estos libros es multiplicar lo que vale cada libro, ¿verdad? Por el número de libros que he vendido. 00:27:18
Esto es lo mismo que esto, ¿eh? 00:27:39
Y decirse, X15 es lo mismo que 15X 00:27:41
Y 12 es lo mismo que 12Y 00:27:44
¿Vale? 00:27:46
Estos son los euros de venta 00:27:48
¿Vale? Esto de aquí 00:27:52
Los euros de venta 00:27:54
¿Y cuánto voy a vender? 00:27:56
Al final, me dice el problema, 1680 00:27:58
Quiere decirse que la suma de la venta de los libros caros 00:28:00
con la venta de los libros más baratos son 1680 00:28:06
y ahí tengo ya mi sistema de ecuaciones 00:28:11
¿vale? 00:28:16
¿cómo resolvemos esto? pues cualquiera de los tres métodos que ya 00:28:19
conocemos, sustitución, igualación o reducción 00:28:24
¿cuál es el método más fácil? para mí 00:28:28
el método más fácil es el de reducción 00:28:32
pero, bueno, podemos hacer el de sustitución 00:28:36
si hiciéramos el de sustitución 00:28:41
por ejemplo, desde luego tendría claro 00:28:43
que la incógnita que despejo es o la x o la y de la primera ecuación 00:28:49
¿por qué? porque los coeficientes son, ¿vale? 00:28:53
por ejemplo, vamos a despejar la x 00:28:56
x es igual a 125 menos y 00:28:58
¿vale? 125 menos y 00:29:02
Y ahora este valor de aquí lo sustituimos aquí, en la otra ecuación. 00:29:05
Me queda que 15 multiplicado por 125 menos i más 12i es igual a 1680. 00:29:14
En los problemas voy a intentar hacer distintos métodos para repasar. 00:29:24
¿Vale? Bueno, 125 por 15 son 1.875 menos 15i más 12i es igual a 1.680, ¿vale? Vale, esto me queda menos 15i más 12i es igual a 1.680 menos 1.875 00:29:28
Y me queda menos 15 más 12, menos 3. 00:30:02
Y 1680 menos 1875 me queda menos 195, ¿no? 00:30:07
Luego i es igual a menos 195 partido de menos 3, ojo, que el menos se arrastra, ¿de acuerdo? 00:30:18
Luego menos entre menos más, y me queda que i es igual a 65. 00:30:25
Y ya nos hemos perdido. 00:30:31
Y ahora digo, ¿y qué era 65? 00:30:33
Pues me voy a mi problema y digo que 65, ¿a qué le he llamado la i? 00:30:34
La i le he llamado al número de libros que vendo de los baratos, de los de 12 euros 00:30:44
Entonces son 65 libros a 12 euros el libro 00:30:49
Este es ya uno de los datos que he calculado 00:30:56
Ahora, ¿cuántos libros de los caros he vendido? 00:31:02
Pues nada, me voy aquí, que ya lo tengo despejado. Si tenía en total 125 libros, la X, que son los libros caros, serán 125 menos 65. 00:31:05
Ah, bueno, que no hay nadie por allí, ¿no? Está Álvaro, ¿no? Vale. Del 5 al 5, 0. Y del 6 al 12, 60. Son 60. Quiere decir que X son 60 libros a 15 euros el libro. ¿Vale? 00:31:22
¿Cómo puedo saber que el problema está bien resuelto? 00:31:46
Pues lo único que tendría que hacer es multiplicar 60 por 15 00:31:53
multiplicar 65 por 12 00:31:56
sumar esas cantidades y eso me darán los euros totales 00:32:00
que tendrá que ser los 1680 euros 00:32:05
que me dice el problema y que da. No lo voy a hacer para no perder el tiempo 00:32:08
¿Vale? Es decir, sé que 60 por 15 00:32:13
más 65 por 12 00:32:16
me tiene que dar 00:32:19
1680 euros 00:32:20
que es la venta 00:32:22
¿de acuerdo? 00:32:23
más o menos 00:32:25
vamos a hacer otro 00:32:26
este por ejemplo 00:32:30
el 16 es del mismo tipo 00:32:34
¿vale? 00:32:39
y te compro de un cuaderno que costaba 3 euros 00:32:40
utilizando 9 monedas 00:32:42
unas de 20 centitos y otras de 50 00:32:44
¿vale? 00:32:46
¿cuántas monedas de cada clase he utilizado? 00:32:48
Vamos a hacer el planteamiento. No lo voy a resolver porque además os dan ya el resultado, pero sí voy a plantear las ecuaciones. ¿Qué hora tenemos? El 16. Dice, he comprado un cuaderno que costaba 3 euros utilizando 9 monedas. 00:32:50
Unas de 20 céntimos y otras de 50 céntimos 00:33:23
¿Cuántas monedas de cada clase he utilizado? 00:33:26
La clave aquí para saber quién es una incógnita y quién es otra 00:33:30
O si tengo que usar dos incógnitas o una 00:33:33
Es la pregunta, normalmente casi al 100% la pregunta nos da esa clave 00:33:36
¿Cuántas monedas de cada clase? Estoy utilizando dos monedas 00:33:40
Quiere decirse que una moneda será la X y otro tipo de monedas será la Y 00:33:44
¿Quiénes las monedas X son? 00:33:49
número de monedas de 20 céntimos 00:33:52
¿vale? que voy a, con las que voy a contar con ellas 00:33:57
y la i será el número de monedas de 50 céntimos 00:34:01
¿de acuerdo? vale, ya tengo las incógnitas 00:34:06
ahora me voy a los datos, ya he utilizado este dato 00:34:10
he utilizado a este, utilizo 9 monedas 00:34:14
quiere decirse que entre el número de monedas 00:34:18
de 20 céntimos y las monedas que tengo de 50 00:34:21
en total tengo 9 monedas, quiere decir que ya tengo la primera 00:34:26
ecuación, x más y es igual a 9 monedas 00:34:29
ahora bien, si yo sumo el valor de todas esas 9 monedas 00:34:33
resulta que tengo 3 euros, ¿vale? 00:34:39
quiere decirse que si tengo 00:34:43
las monedas de 20 céntimos y las multiplico 00:34:45
Por su valor, imaginemos que tengo 8 monedas de 20, no, perdón, 6 monedas de 20 céntimos y 3 monedas de 50 céntimos, ¿vale? Entre las dos, los dos tipos de monedas me suman 9. 00:34:49
Y luego, ¿cuántos euros tengo en total? 00:35:09
¿Qué es lo que haría? 00:35:13
Pues multiplicar 6 por 20 céntimos 00:35:14
Es que eso es hacerse como teatralizar la situación 00:35:17
Yo en mi mano tengo estas monedas 00:35:22
¿Cuántos euros tengo? 00:35:24
Tengo 9 monedas 00:35:26
Pues cada moneda tiene un valor 00:35:27
Multiplico cada moneda por el número total de monedas iguales 00:35:29
Por el valor que tienen, ¿no? 00:35:33
¿Y cuánto tengo en este? 00:35:36
Pues tengo 3 monedas de 50 céntimos, pues tengo aquí, aquí son 150 céntimos y aquí son 120 céntimos, pues tengo 270 céntimos. 00:35:37
Es decir, 2 euros y 70 céntimos, ¿vale? 00:35:47
Pero yo no sé el número de monedas que tengo. 00:35:50
Tengo X monedas de una cosa e Y monedas de otra. 00:35:52
Pero sí sé la operación matemática que tengo que hacer, que es multiplicar las monedas por su valor. 00:35:55
Tengo X monedas de 20 céntimos, tengo todos estos céntimos. Tengo Y monedas de 50 céntimos, pues las multiplico y tengo ese valor. Y si lo sumo, resulta que lo que tengo son, ojo, 3 euros. 00:36:03
Estos son céntimos 00:36:20
Estos son céntimos 00:36:22
Y el valor que me tiene que dar aquí son céntimos 00:36:24
Si tengo 3 euros 00:36:27
Los céntimos que tengo son 00:36:29
300 00:36:30
Ojo con esto 00:36:32
Yo no puedo sumar peras y peras y que me dé manzanas 00:36:33
¿De acuerdo? 00:36:37
Si yo sumo peras y peras me dan peras 00:36:38
¿De acuerdo? Tienen que tener las mismas unidades 00:36:40
¿De acuerdo? 00:36:43
Y este sería mi sistema 00:36:43
Bien facilito 00:36:46
¿Vale? Bien facilito 00:36:47
que no voy a resolver, o sí, venga, lo resuelvo en un pispás, y lo voy a hacer este por reducción, lo voy a resolver por reducción. 00:36:49
¿Qué significa resolver por reducción? Significa anular una de las magnitudes, o bien la x o bien la y. 00:37:00
Si quiero anular la x, tengo que tener aquí en el coeficiente lo mismo que tengo aquí, pero cambiado de signo, el opuesto, ¿vale? 00:37:07
Si tengo aquí un 20, aquí tengo un menos 20, ¿vale? Un menos 20, pero yo no puedo poner aquí alegremente un menos 20, sino lo que tengo que hacer es multiplicar toda la ecuación, con lo cual encierro entre paréntesis la ecuación y multiplico, todo por menos 20. 00:37:15
Menos 20 por X, pues menos 20X. Menos por más, menos. 20 por Y, 20Y. Igual a menos por más, menos. Y 9 por 2, 18. 180. Y el de abajo no lo toco. 20X más 50Y igual a 300. 00:37:35
Y ahora sumamos. Menos 20 más 20 se anulan. Menos 20 más 50, ¿vale? 30Y. Y menos 180 más 300, 120. Luego la Y es igual a 120 partido de 30. Este y este se va. Y me queda que la Y es igual a 23, 4. 00:38:03
Aquí he llamado y a las monedas de 50 céntimos que tengo, es decir, tengo 4 monedas. ¿Y cuántos euros supone eso? Pues son 4 por 50, son 200 céntimos, ojo que son 2 euros. 00:38:28
¿Vale? Dos euros, muy bien 00:38:48
Ahora la X, ¿no? Me falta la variable X 00:38:50
Pues me cojo cualquiera de las dos ecuaciones 00:38:56
Evidentemente me cojo la primera que es mucho más fácil 00:38:58
Tengo la X más Y igual a 9 00:39:01
Y donde hay una Y pongo un 4, que es lo que acabo de calcular 00:39:05
Luego X es igual a 9 menos 4 00:39:08
X es igual a 5 00:39:12
¿Y qué es X? 00:39:14
X son las 5 monedas que tengo de 20 céntimos. ¿Cuántos céntimos voy a tener en total? Pues 5 por 20. Y 5 por 20, 5 por 2, 10, son 100 céntimos, que son 1 euro. ¿Cuánto me suman en total? 3 euros, que es lo que me dice el problema, con lo cual acabo de demostrar que el problema está bien resuelto. 00:39:16
Daros cuenta lo poquito que me ha ocupado resolver la primera variable a través del método de reducción 00:39:41
Daros cuenta, yo me parece, no sé si lo he, bueno, este era de, no, no lo tengo, bueno, es igual 00:39:49
Si lo veis en cualquier otro problema que hemos hecho, veis, y además ya lo dije la semana anterior 00:39:56
Porque, sí, la semana pasada, que el más corto es el de reducción, muy cortito, ¿vale? 00:40:03
vale, vamos a hacer 00:40:11
ahora tenemos, perdón 00:40:13
un problema más 00:40:18
un problema más 00:40:20
que va a ser 00:40:21
el 12 00:40:23
este de aquí, el de las habitaciones 00:40:32
y tal 00:40:35
la semana que viene seguiré haciendo algunos problemas 00:40:35
más de esto 00:40:39
y voy a explicar 00:40:40
el método 00:40:43
un cuarto método que hay 00:40:44
que realmente se da en este tema 00:40:47
pero que yo lo voy a dar en el tema de funciones, que es la resolución 00:40:51
de un sistema de ecuaciones mediante método gráfico 00:40:55
sería un cuarto, pero bueno, haré algún problemilla más de estos que me he quedado 00:41:00
un poquito corta, porque son muy importantes también saber 00:41:03
resolver las ecuaciones 00:41:07
donde estaba el 12, aquí, vale, el problema número 12 00:41:11
dice, un crucero tiene habitaciones dobles y habitaciones simples. 00:41:15
Si en total tiene 47 habitaciones y puede dormir 79 personas, 00:41:19
¿cuántas habitaciones tiene de cada tipo? 00:41:24
Me planteo rápidamente aquí que hay dos tipos de habitaciones, 00:41:27
las dobles y las simples, con lo cual ya sabemos que voy a plantear 00:41:29
de manera mucho más fácil un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, ¿vale? 00:41:34
Entonces, a la X le voy a llamar las habitaciones número de habitaciones simples, ¿vale? Y a la Y le voy a llamar el número de habitaciones dobles, ¿vale? 00:41:39
Estos problemas también se pueden hacer con una ecuación con una incógnita, porque si tengo 47 habitaciones, a ver, en este caso el número de habitaciones es 47, ¿vale? 00:41:53
Pero yo podría haber decidido que la X es el número de habitaciones simples y la Y sería las habitaciones dobles, perdón, la Y no, las habitaciones dobles, perdón, podría decir que son el total de habitaciones que hay menos las simples, en vez de llamarle la Y. 00:42:06
Pero es que sabiendo resolver un sistema de ecuaciones es mucho más fácil el planteamiento de dos sistemas con dos ecuaciones, porque a uno le llamo aquí y al otro ahí, no me complico, ¿vale? Y luego la suma de las habitaciones da 47, ¿vale? En este caso, que es el primer dato que utilizo. 00:42:28
Ahora bien, dice que pueden dormir 79 personas 00:42:49
79 personas, ¿vale? 00:42:54
Que sería el otro dato 00:42:57
Bien, ¿cuántas personas pueden dormir si la habitación es simple? 00:42:58
¿Puede dormir una persona nada más? 00:43:04
Quiere decirse que si hubiera, imaginemos 00:43:07
Imaginemos que hay 30 habitaciones simples 00:43:10
¿Cuántas personas podrían dormir? 00:43:15
30 personas. Es decir, el número de habitaciones simples es igual al número de personas que pueden dormir, 30 y 30. 00:43:19
¿Cuántas habitaciones simples tenemos? X. ¿Cuántas personas van a dormir? X. 00:43:28
Ahora bien, si suponemos que hay 20, bueno, ¿cuántas habitaciones hay en total? 17. 00:43:36
Bueno, pues, o sea, 47, pues no. 17 habitaciones dobles, ¿vale? 00:43:43
si hubiese, imaginemos, 17 habitaciones dobles 00:43:48
¿cuántas personas van a poder dormir? Pues 17 por 2 00:43:51
porque son dobles, en cada habitación duermen 2 personas 00:43:55
por tanto podrán dormir 17 por 2 00:43:59
¿cuántas habitaciones dobles tenemos? Tenemos I 00:44:01
el número de personas que van a poder dormir 00:44:04
lo que tengo que hacer es multiplicarlo por 2 00:44:07
como hemos hecho aquí, lo que pasa que en vez de haber 17 00:44:10
tengo I y sustituyo esa 17 por esa I 00:44:14
¿De acuerdo? ¿Cuántas personas en total van a dormir? Si yo sumo todo esto, ¿van a dormir? 79. Quiere decirse que x más 2y son 79. ¿De acuerdo? 00:44:17
Sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas chupadísima 00:44:33
Que resuelvo y no me queda más remedio que hacerlo como por reducción 00:44:37
¿Vale? Por reducción 00:44:42
¿Y qué es lo que hago para hacerlo por reducción? 00:44:44
Cambiarle a este de signo, ¿vale? 00:44:47
Que decís que toda la primera, por ejemplo 00:44:50
Hablo de la primera como podría poner la segunda, ¿eh? 00:44:52
Puedo hacer en la primera lo mismo que en la segunda 00:44:56
Voy a anular la X, por ejemplo 00:44:58
Si anulo la x, lo único que tengo que hacer es cambiarle de signo, poner un menos aquí, ¿verdad? 00:45:01
Le pongo un menos a la x y santas pascuas. 00:45:05
Pero si pongo un menos es que estoy como que... 00:45:08
Es como si estuviera multiplicando todo por menos uno. 00:45:11
Por un menos uno, ¿verdad? 00:45:14
Entonces, ¿qué ocurre? 00:45:16
Que cambio toda la primera ecuación de signo. 00:45:19
Y la segunda la dejo igual. 00:45:24
He decidido hacerlo en la primera. 00:45:26
Podría haberlo hecho, haberle cambiado de signo a la segunda 00:45:27
Puedo hacerlo en cualquiera de las dos 00:45:31
Entonces, sumamos, con lo cual x y x se me va 00:45:33
Y me queda que es menos 1, ¿vale? 00:45:40
Menos 1 más 2, menos 1 más 2 es 1 00:45:43
Una y, igual a menos 47 más 79 00:45:46
Lo único que tengo que hacer es que a 79 le quito 47 00:45:53
es una resta, me va a dar positivo 00:45:58
de 7 a 9, 2 y de 4 a 7, 3 00:46:00
y me da que la I es 32 00:46:03
¿y a quién hemos llamado I? 00:46:06
a las habitaciones que son dobles 00:46:10
que son entonces 32 habitaciones dobles 00:46:12
por tanto, ¿cuántas habitaciones simples hay? 00:46:15
pues si había 47 habitaciones en total 00:46:19
y 32 son dobles 00:46:22
Quiere decirse que hay 15 simples. ¿Vale? ¿Cómo sé yo que esto está bien? Pues sabiendo el número de personas que van a dormir. En 15 habitaciones simples duermen 15 personas. En 32 habitaciones dobles duermen 64. 00:46:25
Y si yo sumo 15 más 64, me da 79, que es lo que me dice el problema, que tiene que dar 71. 00:46:45
¿De acuerdo? 00:46:59
Bien, pues lo dejamos aquí. 00:47:01
El próximo día haremos algún ejercicio. 00:47:04
Bueno, perdón, este tipo de problemas de habitaciones simples y habitaciones dobles es muy típico también. 00:47:07
y es muy típico 00:47:13
en vez de utilizar habitaciones simples dobles 00:47:17
pues por ejemplo utilizar coches y motos 00:47:20
con ruedas y número de automóviles 00:47:23
totales y número de ruedas, esta tiene dos ruedas 00:47:26
esta tiene cuatro ruedas o el número de 00:47:29
en un corral que hay patos 00:47:31
y cerdos 00:47:35
los patos tienen dos patas, los cerdos tienen cuatro patas 00:47:37
o sea que me da lo mismo que me digan camas 00:47:41
que coches y motos, que animales de corral 00:47:43
o cualquier cosa así, ¿vale? 00:47:46
todos se resuelven igual, ¿vale? 00:47:49
o aquí tenemos una lucha entre moscas y arañas 00:47:51
vale, pues las moscas tienen seis patas y las arañas tienen ocho 00:47:54
pero hay cuarenta y dos cabezas 00:47:58
si hay cuarenta y dos cabezas hay cuarenta y dos perros, esto, animales 00:48:00
una cabeza equivale a una persona 00:48:03
es como si me dije, oye, una persona, perdona, a un animal 00:48:06
de estos, si hay cuarenta y dos cabezas 00:48:10
quiere decirse que hay 42 animales entre moscas y arañas 00:48:12
o sea que bueno, se hacen todos un poco más o menos 00:48:16
la semana que viene hago un par de ejercicios más 00:48:19
y paso a las funciones 00:48:22
a la resolución 00:48:24
a la solución de sistemas mediante gráfico 00:48:26
¿vale? pues nada, que tengáis una buena semana 00:48:32
y descansáis, hasta luego 00:48:35
Autor/es:
Yolanda Bernal
Subido por:
M. Yolanda B.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial
Visualizaciones:
73
Fecha:
4 de marzo de 2022 - 8:56
Visibilidad:
Público
Centro:
CEPAPUB ORCASITAS
Duración:
48′ 40″
Relación de aspecto:
4:3 Hasta 2009 fue el estándar utilizado en la televisión PAL; muchas pantallas de ordenador y televisores usan este estándar, erróneamente llamado cuadrado, cuando en la realidad es rectangular o wide.
Resolución:
640x480 píxeles
Tamaño:
138.71 MBytes

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