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Función Exponencial
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En este vídeo vamos a hablar sobre la función exponencial.
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Este tipo de funciones son las que tienen la x, la variable independiente, en un exponente.
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Todas tienen la forma y igual a a elevado a x.
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a va a ser siempre un número positivo.
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Las características de estas funciones van a depender de la a.
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Todas pasan por el punto 0,1 y por el punto 1a.
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Para a igual a 0 y para a igual a 1 estas funciones no tienen sentido, no son exponenciales.
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¿Qué pasa con esta a?
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Bueno, ya vemos que si a igual a 0 nos queda ahí una recta horizontal, solo media.
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Si a es igual a 1 nos queda la recta horizontal igual a 1.
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Si a es pequeña, 0,01, nos queda una función decreciente, muy decreciente.
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Si a es 0,5 ya es un poco menos decreciente.
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Si a es 0,9 nos queda decreciente pero ya decrece con menos velocidad.
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En el caso de a igual a 1,01 la función es creciente pero muy poquito, creciente pero con una velocidad lenta.
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Sin embargo va cambiando cuando hacemos 1,5 ya crece rápidamente.
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Y si ponemos a igual a 2 crece todavía más rápidamente, veis que se inclina mucho más, y a igual a 10 crece a una velocidad espectacular.
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Así, el crecimiento o decrecimiento depende de la a
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Si a es menor que 1 es decreciente, si a es mayor que 1 es creciente
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Vamos a distinguir entonces si a está entre 0 y 1
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¿Qué ocurriría? Pues tenemos ahí la gráfica de i igual a 0,5x
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Es una función decreciente
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Vemos los valores que toma, por ejemplo para menos 10 toma un valor muy alto, 1024
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Para menos 1 pues ya está en i igual a 2
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En 0 vale 1, en 1 vale 0,5 y para valores grandes, 5, 10, cada vez se acerca más a y igual a 0.
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Entonces en este caso estas características serían comunes para todas.
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El dominio son todos los reales.
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El recorrido de 0 a más infinito del valor 0 no se alcanza nunca.
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Son decrecientes, no tienen máximos ni mínimos.
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No son simétricas, no son periódicas.
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Y igual a 0 sería una asíntota horizontal, porque cuando x tiende a más infinito, y tiende a 0
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Y cuando x tiende a menos infinito, y en este caso tiende a más infinito, se va hacia arriba
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Analizamos ahora el caso en que a sea mayor que 1
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Ahí tenemos la gráfica de y igual a 2 elevado a x
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Vemos que menos 10 está muy cerca de 0
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En menos 1 ya vale 0,5
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En 0 vale 1, como todas
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En 1 ya vale 2, en 5 32 y en 10 ya vale 1024
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Estas serían las características de estas funciones
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El dominio, otra vez, son todos los reales
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El recorrido de 0 a más infinito, aunque el 0 no se toca en ningún momento
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Son crecientes, no tienen máximos ni mínimos, no son simétricas, no son periódicas
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Y igual a 0 es un asíntota horizontal, porque cuando x tiende a menos infinito, hacia la izquierda, y tiende a 0
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Y cuando x tiende a más infinito, y tiende de nuevo a más infinito.
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¿Qué ocurriría si estas expresiones vienen dadas de otra manera?
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Por ejemplo, y igual a 2 elevado a 0,4x.
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Pues nosotros vamos a utilizar las propiedades de las potencias y de los radicales para transformar esta expresión en algo que conozcamos.
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Por ejemplo, el número 0,4 podríamos ponerlo como fracción como 2 quintos.
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Entonces tendríamos 2 elevado a 2 quintos elevado a x.
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Utilizando la expresión con radicales, pues sería la raíz quinta de 2 al cuadrado elevado a x.
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Eso es más o menos 1,32 elevado a x, y esa sería la gráfica que le corresponde, del tipo de a mayor que 1.
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Otro ejemplo.
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Supongamos que ahora que nos dan 2 elevado a 3x más 1.
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utilizando las propiedades de las potencias podemos separarlo en 2 elevado a 3x por 2
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2 elevado a 3x sería lo mismo que 8 elevado a x y quedaría multiplicado por 2
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o sea que sería como el doble de la función 8 elevado a x
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veis ahí tenemos las dos funciones y una se separa de la otra
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esta nueva pues pasaría por 0,2 y por 1,16 en lugar de pasar por 0,1 y por 1,8
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Otra curiosidad. Estas funciones y igual a a elevado a x e y igual a 1 partido por a elevado a x resulta que son simétricas respecto al eje oi, al eje vertical.
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Ahí en esta animación vemos que elegimos la a y tomamos por ejemplo como a 1,4.
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Pues tendremos dos funciones, y igual a 1,4 elevado a x e igual a 1 partido por 1,4 elevado a x.
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Y vemos que cada una de ellas tiene un punto simétrico en la otra.
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Pues ya está, esto parece que ya no da para más
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Ahora toca que vosotros os lo estudiéis
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- Materias:
- Matemáticas
- Autor/es:
- Alejandro Gallardo Lozano
- Subido por:
- Alejandro G.
- Licencia:
- Reconocimiento - No comercial
- Visualizaciones:
- 99
- Fecha:
- 11 de marzo de 2018 - 8:03
- Visibilidad:
- Público
- Centro:
- CPR INF-PRI-SEC RAFAELA YBARRA
- Duración:
- 05′ 22″
- Relación de aspecto:
- 4:3 Hasta 2009 fue el estándar utilizado en la televisión PAL; muchas pantallas de ordenador y televisores usan este estándar, erróneamente llamado cuadrado, cuando en la realidad es rectangular o wide.
- Resolución:
- 960x720 píxeles
- Tamaño:
- 9.30 MBytes
