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PR4. 5.3. Función de distribución normal - Contenido educativo

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Subido el 14 de marzo de 2025 por Raúl C.

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Hola a todos, soy Raúl Corraliza, profesor de matemáticas de bachillerato en el IES 00:00:12
arquitecto Pedro Gumiel de Alcalá de Henares, y os doy la bienvenida a esta serie de videoclases 00:00:17
de la unidad PR4 dedicada a las variables aleadoras continuas y a la distribución normal. 00:00:21
En la videoclase de hoy estudiaremos la función de distribución de una variable aleatoria 00:00:31
normal. 00:00:35
En esta videoclase vamos a estudiar la función de distribución normal. Esta se va a determinar 00:00:47
a partir de la función de densidad de probabilidad como la integral entre menos infinito y x de la 00:00:53
función de densidad de probabilidad, en la misma manera que habíamos visto para el caso de una 00:00:59
variable aleatoria continua general. A la vista de cuál es la definición de la función de densidad 00:01:03
de probabilidad por una variable normal, la distribución gaussiana, lo que tenemos es, 00:01:09
para el caso de una normal con media mu y desviación típica sigma, 1 partido de la 00:01:14
raíz cuadrada de 2pi la varianza, la integral de menos infinito a x, de e elevado a menos 00:01:19
la variable menos la media al cuadrado dividido entre dos veces la varianza. En el caso de 00:01:25
una variable aleatoria normal, estándar, con media igual a 0 y desviación típica 00:01:31
igual a 1, bien con varianza igual a 1, obtenemos esta función de distribución que corresponde 00:01:35
a la anterior en el caso en el que hacemos sigma igual a 1 y la media igual a 0. Podemos 00:01:41
representarlas gráficamente para distintos valores de la media y distintos valores de la 00:01:46
varianza y vemos un comportamiento similar al que podríamos esperar para el caso de una variable 00:01:52
aleatoria continua genérica. Para el caso de la variable aleatoria normal podemos tabular los 00:01:58
distintos valores de la función de distribución y habitualmente tendremos tablas como esta que 00:02:06
tenemos aquí para valores de z mayores o iguales que cero. Fijaos la forma tan peculiar en la que 00:02:12
tenemos tabulados los valores. Los valores de z vienen representados en este encabezado de filas 00:02:19
y en este encabezado de columnas. Aquí lo que tenemos que buscar es la parte entera y el decimal, 00:02:27
la cifra decimal de z, y aquí lo que tendremos que buscar es la segunda cifra decimal, la cifra 00:02:34
de las centésimas. De tal forma que si estamos buscando el valor de la función de distribución 00:02:41
de la normal estándar cuando z vale 1,28, por ejemplo, tendríamos que buscar en esta columna 00:02:46
1,2, tendríamos que buscar en las columnas la cifra de las centésimas que sea 8 y buscar la 00:02:54
intersección 1,2 en unidades y décimas y buscamos el 8 en centésimas y este 0,8997 se corresponde 00:03:01
con el valor de f de z función de distribución de la variable aleatoria normal estándar y 00:03:13
corresponde con la probabilidad de que una variable aleatoria normal estándar tome un 00:03:20
valor menor o igual que 1,28, ese valor de zeta que hemos buscado en la tabla. A partir de los 00:03:27
valores tabulados en la tabla que acabamos de discutir podemos determinar probabilidades de 00:03:35
distintos intervalos siempre haciendo uso de una variable aleatoria normal estándar. El caso que 00:03:40
he mencionado hace un momento es este primero que tenemos aquí. Probabilidad de que mi variable 00:03:47
aleatoria normal estándar sea menor o igual que un cierto valor z0 mayor o igual que 0. Hemos 00:03:52
mencionado el caso de probabilidad de que z sea menor o igual que 1,28 y hemos dicho que se puede 00:03:58
leer directamente en la tabla. Busco 1,28. Recordad que la cifra de las centésimas está en el 00:04:04
encabezado de columnas 1,28 y esa probabilidad es 0,8997. Insisto en que porque aquí tenemos 00:04:11
representados z mayores o iguales que 0. ¿Qué ocurre si, como tenemos aquí esa abscisa para la 00:04:20
cual estoy preguntándome probabilidad de que z sea menor o igual que ella fuera negativa. ¿Qué 00:04:27
ocurre si, por ejemplo, estoy preguntándome por la probabilidad de que z sea menor o igual que 00:04:33
menos 1,28? En ese caso necesitamos hacer dos transformaciones para poder leer directamente 00:04:37
en la tabla que tenemos. Primero tenemos que pensar en que la función de densidad de probabilidad es 00:04:43
simétrica, de tal forma que la probabilidad de que z sea menor o igual que este z0 negativo va a ser 00:04:49
igual a la probabilidad de que z sea mayor o igual que menos z0. Y pensad en que si z0 00:04:56
es negativo, menos z0 con el signo cambiado va a ser positivo. Este menos z0, que ahora 00:05:02
es positivo, sí está en la tabla de antes, pero en la tabla yo lo que tengo son lo que 00:05:09
se llaman las colas de la izquierda, las probabilidades de que z sea menor o igual que lo que tengo 00:05:15
en la tabla. Nosotros lo que necesitamos es la probabilidad de que z sea mayor que un 00:05:20
valor de estos que tenemos en la tabla. ¿Qué es lo que tenemos que hacer entonces? Pues aplicar la 00:05:25
segunda transformación que es considerar la probabilidad del suceso contrario. La probabilidad 00:05:30
de que z sea mayor o igual que un cierto valor positivo es 1 menos la probabilidad del suceso 00:05:35
contrario que z sea menor que ese valor negativo. Si yo empezaba por probabilidad de que z sea menor 00:05:41
igual que menos 1,28, he acabado con 1 menos la probabilidad de que z sea menor que 1,28, positivo. 00:05:47
Y eso sí lo puedo encontrar en la tabla. Si nos preguntamos por las probabilidades de que z sea 00:05:58
mayor que una z abstisa, z0, las colas de la derecha, como he dicho antes, en el caso en el que este z0 00:06:04
sea mayor o igual que cero, tengo que hacer una transformación. Me pregunto por la probabilidad 00:06:12
de que z sea mayor o igual que 1,28. En la tabla tengo la probabilidad de que z sea menor o igual 00:06:17
que 1,28. Son sucesos contrarios. Bueno, pues la transformación que tengo que hacer es precisamente 00:06:23
esa. La probabilidad de que z sea mayor o igual que este valor positivo es 1 menos la probabilidad 00:06:28
del suceso contrario, que z sea menor que ese valor positivo, que puedo leer en la tabla 00:06:34
directamente. En el caso en el que el z0, esta abscisa, fuera negativa, además de 00:06:39
esta transformación, en lugar de esta transformación, perdón, necesitaría hacer 00:06:45
la transformación que corresponde a la simetría. Yo en la tabla no tengo valores 00:06:49
de abscisas negativas, sólo los tengo positivos. En este caso lo que tengo que 00:06:53
hacer es pensar que esa probabilidad de que z sea mayor o igual que ese z0 00:06:57
negativo por simetría corresponde a la probabilidad de que z sea menor o igual 00:07:01
que esté menos z0. Al cambiar el signo a esta abscisa negativa tendré una abscisa positiva y 00:07:06
eso sí lo puedo leer directamente en la tabla. Así pues, antes de continuar, vamos a recapitular. Si 00:07:12
me piden las colas de la izquierda, probabilidad de que z sea menor o igual que una cierta abscisa 00:07:19
y esa abscisa es positiva, se lee en la tabla. Si esa abscisa es negativa, tengo que hacer dos 00:07:24
transformaciones y será 1 menos la probabilidad de que z sea menor que el 00:07:30
correspondiente valor positivo. Aquí tengo el signo menos que me indica que le he 00:07:36
cambiado el signo. Si me piden las colas de la derecha, en el caso en el que la 00:07:40
abstisa sea positiva, tengo que hacer una transformación y la calcularé como 1 00:07:45
menos la probabilidad de que z sea menor que esa abstisa positiva, que puedo leer 00:07:49
la tabla. Mientras que si la abscisa es negativa, la transformación que tengo que hacer es 00:07:55
distinta. La probabilidad de que z sea mayor que esa abscisa positiva es la probabilidad 00:08:00
de que z sea menor o igual que la abscisa que es positiva al cambiarle el signo. Aquí 00:08:05
tenemos este signo menos que me indica la transformación. En el caso en el que tenga 00:08:11
que calcular la probabilidad para un cierto intervalo, que la variable aleatoria normal 00:08:16
estándar esté comprendido entre estos valores z1 y z2, lo que tengo que hacer es aplicar la 00:08:20
probabilidad que se deduce de la regla de Barrow, del segundo teorema fundamental del cálculo 00:08:26
integral, y calcularé estas probabilidades como la probabilidad de que z sea menor o igual que 00:08:30
el extremo superior, z2, menos la probabilidad de que z sea menor que el extremo inferior, z1. 00:08:35
Estas dos probabilidades se determinarán teniendo en cuenta lo que hemos visto anteriormente, 00:08:42
De tal forma que, dependiendo de cuáles sean esos valores z1 o z2, ambos positivos, uno positivo y uno negativo o los dos negativos, nos encontraremos con distintas situaciones que vienen aquí, resumidas en estas fórmulas. 00:08:47
Con esto que hemos visto, ya se pueden resolver estos ejercicios 5, 6, 7 y estos otros ejercicios 8, 9 y 10 que resolveremos en clase, probablemente veremos en alguna videoclase posterior. 00:09:01
En el aula virtual de la asignatura tenéis disponibles otros recursos y cuestionarios 00:09:15
Asimismo, tenéis más información en las fuentes bibliográficas y en la web 00:09:23
No dudéis en traer vuestras dudas e inquietudes a clase o al foro de dudas en el aula virtual 00:09:28
Un saludo y hasta pronto 00:09:34
Idioma/s:
es
Materias:
Matemáticas
Etiquetas:
Flipped Classroom
Niveles educativos:
▼ Mostrar / ocultar niveles
  • Bachillerato
    • Primer Curso
    • Segundo Curso
Autor/es:
Raúl Corraliza Nieto
Subido por:
Raúl C.
Licencia:
Reconocimiento - Compartir igual
Visualizaciones:
6
Fecha:
14 de marzo de 2025 - 10:32
Visibilidad:
Público
Centro:
IES ARQUITECTO PEDRO GUMIEL
Duración:
10′ 02″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1280x720 píxeles
Tamaño:
25.85 MBytes

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