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Indeterminación 1 elevado a infinito. Continuidad de una función. - Contenido educativo

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Subido el 19 de enero de 2026 por Roberto A.

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Bueno, hoy es 19 de enero y ya estamos terminando lo de los límites de las funciones. Lo que sí os quiero mostrar una cosilla de aquí de GeoGebra, que es el concepto de límite. 00:00:00
¿Vale? Normalmente esto sería un puntazo darlo, pero sí que es verdad que es muy abstracto y entonces el alumno se pierde, ¿no? Pero lo que quiero que veáis, entendáis, y me interesa muchísimo es que entendáis un poco lo que es la definición de límite, que es lo que nosotros damos muchas veces, por supuesto, de que el límite de una función vale un valor cuando realmente es algo tan, tan, tan aproximado a un valor que se da por bueno, ¿no? 00:00:14
Entonces, chavales, ¿qué es lo que quiero que veamos aquí? Pues la definición de límite realmente es esta de aquí, ¿no? Es decir, si existe el límite de una función cuando x tiende a un valor a, ¿vale? 00:00:41
y da L, ese valor finito L, pues yo puedo decir que el límite de una función cuando X tienda A es igual a L, 00:00:57
sí, solo sí, que significa esta doble flecha, si existe un épsilon mayor que cero, es decir, 00:01:05
existe un valor tan sumamente pequeño pero positivo, ¿vale? 00:01:11
Que por pequeño que sea, también existe otro valor delta que también es pequeño, ¿vale? 00:01:15
Que también es mayor que cero, porque si X menos A es menor que este épsilon, este delta, 00:01:20
Entonces, fx menos el límite es menor que silón. ¿Qué ocurre? Tú ves esto y te acojonas un poquillo, ¿vale? Pero esa es la definición rigurosa de matemática de límite, ¿vale? Y lo que quiero que veáis un poco es esto de aquí. 00:01:26
Cuando yo tengo esta función, que no sé por qué se ha hecho tan grande, esta función de aquí, ¿vale? Y yo tengo límites, quiero buscar el límite de esta función cuando x tiende a, ¿de acuerdo? Pues precisamente yo lo que tengo aquí es un intervalo, un intervalo, donde yo aquí tengo a mi delta, ¿vale? 00:01:43
Es decir, yo tengo aquí un intervalo, que este intervalo lo puedo hacer tan sumamente pequeño, que es la idea, ¿vale? Tan sumamente pequeño, de tal forma que el intervalo sea prácticamente el punto A y valores muy, muy, muy próximos a él, ¿vale? 00:02:04
Pues realmente, si os fijáis, también el entorno de la función en torno a ese límite L también se estrecha. Y entonces, siempre que exista la función, siempre que exista la función en ese entorno, que no sé si lo veis bien, en ese entorno tan pequeño de L existe la función, ¿vale? 00:02:20
no se produce ningún salto y lo puedo, digamos, escribir bien, 00:02:42
pues entonces lo que quiero que veáis aquí, 00:02:48
que lo que me interesa un poco que os quedéis con la idea, ¿vale? 00:02:50
No hace falta saber esa definición. 00:02:54
Oye, si lo sabéis, pues muy bien y demás. 00:02:56
Es que tú estás haciendo un entorno de las X tan sumamente pequeño, 00:02:58
de tal forma que si tú haces un entorno en función al límite 00:03:03
dentro de los valores de tu función, ¿vale? 00:03:09
También todos quedan dentro de ese épsilon y de ese delta famoso, ¿vale? 00:03:12
Entonces, si fuese una discontinuidad, pues aquí no existiría la función, 00:03:19
sino que la función estaría por aquí arriba o por aquí abajo y demás. 00:03:24
Sin embargo, si yo todos los valores de x de ese entorno tan pequeñito, 00:03:28
yo hallo su función, ¿vale? Yo hallo su correspondiente f de x, 00:03:34
También esas imágenes que se llaman, que son todas estas imágenes, están en un entorno muy próximo al límite, ¿vale? ¿Qué idea quiero que veáis con esto? Primero, que para que exista el límite no hace falta que exista el valor de la función en ese punto, ¿vale? No hace falta que exista el valor de la función en ese punto. 00:03:39
Y lo que quiero que veáis es que cuando nosotros hemos hallado límite y hemos dicho, realmente el límite es 2, ¿vale? No es que valga exactamente 2, sino que tiende a 2, que son valores tan próximos, tan próximos a 2, que yo cuando lo redondeo puedo decir que es 2. 00:03:59
os quedáis más o menos con la idea 00:04:17
es muy abstracta 00:04:19
pero lo que yo quiero que veáis 00:04:20
yo aquí tuviera una discontinuidad 00:04:24
por ejemplo mi función 00:04:26
se quedara hasta aquí 00:04:27
pero esta sí que llega 00:04:29
a cada vez, es decir, todo esto no existe 00:04:31
lo que quiero que veáis es que yo 00:04:33
mi entorno en torno a la x 00:04:35
es muy pequeño y sin embargo 00:04:37
los valores de mi función también 00:04:40
es muy pequeño y aquí sí que está 00:04:41
definido, por lo tanto existiría el límite 00:04:43
por la izquierda, pero aquí no coge 00:04:46
ningún valor de la función, ¿lo veis? 00:04:48
¿lo veis? entonces no 00:04:50
existiría el límite por la derecha 00:04:51
y por lo tanto no existiría 00:04:54
el límite de la 00:04:55
de la función, ¿vale? 00:04:57
es abstracto, y lo que quiero que veáis también cuando yo 00:04:59
digo que el límite de una función vale 2 00:05:01
realmente es que tiende 00:05:03
a ese 2, no vale 2 00:05:06
exactamente 00:05:07
¿lo entendéis más o menos eso? 00:05:08
eso de ahí, ¿por qué digo 00:05:12
todo esto de aquí? porque nosotros 00:05:13
ahora, en la última 00:05:15
indeterminación que 00:05:17
nos queda 00:05:19
es aquella en la 00:05:21
cual nosotros tenemos 00:05:23
1 elevado a infinito. 00:05:25
¿Vale? ¿Os recordáis la indeterminación 00:05:28
1 elevado a infinito? Entonces 00:05:29
¿por qué es una indeterminación, chavales? 00:05:31
¿Por qué es una indeterminación? 00:05:34
¿Por qué real...? ¿Dime? 00:05:36
Porque 00:05:38
realmente no vale 1. 00:05:39
¿Vale? Yo he de decir, yo tengo 00:05:42
por ejemplo, fijaros aquí, yo que sé, 00:05:43
Límite de x cuadrado menos 3, yo que sé, partido de x cuadrado menos 1, ¿de acuerdo? 00:05:45
Elevado a x, cuando x tiende a, yo que sé, a infinito, ¿vale? 00:05:55
¿Sí o no? 00:06:02
Entonces, si yo hago esto, si yo hago esto, realmente, si yo hago la base, ¿verdad? 00:06:02
Si yo hago aquí la base, donde la base es x cuadrado menos 3 partido de x cuadrado menos 1, 00:06:08
Si yo hago el límite de x cuadrado menos 3 partido de x cuadrado menos 1, 00:06:15
¿esto cuánto da, chavales? 00:06:21
Esto era realmente infinito partido de infinito, que es una indeterminación. 00:06:23
Pero, ¿qué ocurre? 00:06:27
¿Tienen el mismo grado arriba y abajo? 00:06:29
Sí, ¿con qué me quedo? 00:06:31
Con los coeficientes de mayor grado. 00:06:33
Es decir, esto sería realmente 1 partido de 1 es 1. 00:06:35
¿Vale exactamente 1? 00:06:39
¿Vale exactamente 1? 00:06:41
No, sino que el límite de la función, cuando x tiende a infinito, ese límite también tiende a 1, ¿vale? 00:06:42
Seguramente sea 0, 9, 9, 9, 9, 9, 9, o seguramente sea 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 00:06:51
que yo al redondear digo 1 y es válido, y es válido, pero no vale exactamente 1, sino que tiende a 1, tiende a 1, ¿de acuerdo? 00:06:58
¿Y qué ocurre con el exponente, chavales? 00:07:09
El exponente, que es x, ¿verdad? 00:07:12
Si yo hago, esto es una x, 00:07:15
si yo hago el límite de x cuando x tiende a infinito, 00:07:19
¿esto cuánto da? 00:07:22
Infinito. 00:07:24
Por lo tanto, yo aquí tengo 1 elevado a infinito. 00:07:25
¿Y por qué es eso una indeterminación? 00:07:27
Porque aquí el problema viene en el 1, ¿vale? 00:07:33
Yo lo que quiero que sepáis es una cosa. 00:07:37
Si yo tengo algo muy próximo, por ejemplo, a 2, algo muy próximo a 2, 1,99999 o 2,0000001 y yo lo elevo a infinito, ¿alguien me sabe decir cuánto vale? Realmente 1 elevado a infinito, ¿qué significa una potencia? 00:07:38
Yo, por ejemplo, sí, chavales, si yo tengo una potencia de 3 elevado a 4, esto realmente es 3 por 3 por 3 por 3, ¿no? 4 veces, ¿verdad? Entonces, ¿qué ocurre? Si yo tengo 3 elevado a infinito o 2 elevado a infinito, esto realmente es 3 por 3 por 3 infinitas veces, ¿sí o no? 00:08:00
Es decir, yo me muero, sigo escribiendo, siguen mis hijos escribiendo, si algún día tengo nietos y tal, nos morimos y seguimos escribiendo. Entonces, si yo tengo un número mayor que 1, ¿vale? Es decir, yo tengo a elevado a infinito. Si ese a es mayor que 1, ¿qué ocurre? ¿Qué ocurre, chavales, si ese a es mayor que 1? Que da infinito, ¿vale? Da infinito. 00:08:24
realmente es 00:08:49
si hablamos con propiedad, esto sería 00:08:51
valor absoluto de A mayor que 1 00:08:54
esto tiende a infinito 00:08:56
pero alguien me sabe decir 00:08:58
que ocurre si 00:09:00
ese A 00:09:02
es menor que 1 00:09:03
está entre menos 1 y 1 00:09:05
tiende a 0 00:09:07
eso lo ve todo el mundo, es decir 00:09:09
tú te coges por ejemplo 0,9 00:09:11
tú 0,9 lo vuelves a multiplicar 00:09:14
por 0,9 te da 0,81 00:09:16
no ya es más chico. 00:09:18
Si tú era 0,9 y lo multiplicas por 0,81, 00:09:19
te da todavía un número mucho más chico. 00:09:22
Así, más chico, más chico, más chico, 00:09:23
y tiende a 0, ¿de acuerdo? 00:09:25
Tiende a 0, ¿lo veis? 00:09:27
Sí o no. 00:09:29
Entonces, ¿qué ocurre? 00:09:30
Que, claro, si a mí me sale un límite 2 elevado a infinito, 00:09:32
2 elevado a infinito es algo que tiende a 2, 00:09:38
el exponente tiende a infinito, 00:09:41
Pero 1,9999 o 2,00001 elevado a infinito me va a salir infinito, ¿verdad? 00:09:43
¿Sí o no? 00:09:50
¿Sí o no? 00:09:52
O si a mí mi límite es, por ejemplo, tiende a 0,5 elevado a infinito, 00:09:52
0,49999 elevado a infinito o 0,50001 elevado a infinito, 00:09:57
me sale infinito, me sale cero, ¿verdad? 00:10:04
¿Sí o no? 00:10:06
Mi problema viene ¿dónde? 00:10:07
En el 1. 00:10:09
Por eso es una indeterminación. 00:10:10
¿Vale chavales? ¿Por qué? Porque en el 1 me puede pasar cualquier cosa 00:10:12
¿Por qué? Porque el límite se aproxima a 1 no significa que valga 1 00:10:16
¿De acuerdo? Porque si realmente chavales, si yo realmente tengo 1 elevado a 5 00:10:22
Esto que es 1 por 1 por 1 por 1 por 1, esto es un 1 ¿verdad? 00:10:27
Y si yo tengo 1 elevado a infinito pero 1 realmente es x vale 1 00:10:32
esto que es 00:10:38
1 por 1 por 1 por 1 00:10:40
muchas veces y esto es 1 00:10:42
como el límite no vale exactamente 00:10:43
1 sino que tiende a 1 00:10:46
¿vale? ese es el problema 00:10:49
que yo no sé si tiende a 1 00:10:51
por la izquierda o por la derecha 00:10:52
me refiero a no sé si tiende a 0 más 9 00:10:55
9 9 9 que yo lo aproximo a 1 00:10:56
y es válido o a 1 coma 0 0 0 0 1 00:10:58
que lo aproximo a 1 00:11:01
y también es válido 00:11:02
¿entendéis donde viene la problemática del 1 elevado a infinito? 00:11:04
¿sí? 00:11:07
Pues venga, ¿habéis copiado este límite de aquí? 00:11:07
Vamos a hacerlo, ¿vale? 00:11:13
Y vamos con... 00:11:15
Vale, hay una fórmula, yo no me la sé 00:11:28
Si la sabéis, para adelante 00:11:29
Pero aquí lo que yo quiero que veáis es una cosilla 00:11:30
Yo cuando tengo, chavales, algo 00:11:32
Yo le sumo y le resto un 1 00:11:35
¿Se me queda igual o no? 00:11:37
Si yo tengo algo y yo le sumo y le resto un 1, ¿verdad? 00:11:39
Pues se me queda como 00:11:43
Exactamente igual 00:11:44
Entonces yo lo que hago es 00:11:45
¿Eh? 00:11:47
Yo es que no me la sé. 00:11:49
Sí, sí, te la sabes. 00:11:51
¿Cómo? 00:11:53
Este es el procedimiento. 00:11:53
Este es el procedimiento. 00:11:55
¿Por qué existen las fórmulas, chavales? 00:11:56
¿Alguien me sabe decir por qué existen las fórmulas? 00:11:58
Efectivamente. 00:12:03
Entonces, que te saben las fórmulas, 00:12:03
vas más rápido. 00:12:04
Yo no me las sé. 00:12:05
¿Vale? 00:12:06
Entonces, lo que sí me sé es el procedimiento. 00:12:07
Es decir, si yo a algo le sumo, le resto un 1, 00:12:09
es decir, yo tengo un 10, 00:12:12
y me suma un 1, me resta un 1, 00:12:14
¿cómo me quedo? 00:12:15
Igual, igual, se queda con el 10, ¿vale? 00:12:16
Entonces, aquí lo que se suele hacer es le sumo el resto de un 1 y ahora lo que hago es opero, 00:12:19
opero porque, bueno, no sé si recordáis, la definición del número e es el límite cuando x tiende a infinito, ¿vale? 00:12:25
De 1 más 1 partido de algo, ¿vale? Elevado a ese algo, ¿vale? 00:12:33
Bueno, realmente lo que se suele decir es el límite cuando x, perdona, tiende a infinito, esto es una x, 00:12:40
de 1 más 1 partido f de x, hay muchas definiciones de número e, pero una de ellas es esta de aquí. 00:12:51
¿Vale, chavales? ¿Sí o no? 00:12:59
Entonces, ¿qué ocurre? Que yo ahora si opero, como yo lo que necesito es 1 más 1 partido de algo, 00:13:00
Pues yo opero esta parte de aquí 00:13:07
¿Vale? Entonces 00:13:09
Lo que hago realmente 00:13:10
Es, chavales 00:13:12
Convierto el 1 ¿En qué? 00:13:14
En menos x cuadrado menos 1 00:13:16
Partido de x cuadrado menos 1 00:13:19
¿Por qué hago esto? Porque a mí lo que 00:13:20
Me interesa, chavales 00:13:23
Es tener el mínimo como múltiplo 00:13:24
Para operar estas fracciones 00:13:27
Y únicamente puedo operar las fracciones 00:13:28
¿Verdad? Si tienen 00:13:30
El mismo denominador 00:13:32
Si alguien se pierde, por favor que me pida 00:13:34
Y ahora aquí, este menos, súper importante, porque te cambia todos los signos del numerador, ¿vale? 00:13:39
Entonces tengo x cuadrado menos 3 menos x cuadrado más 1. 00:13:44
Lo que estoy haciendo es, estoy intentando llegar a esto de aquí, ¿vale? 00:13:50
Entonces nada, yo opero. 00:13:55
Esto es tedioso, pero en principio lo que me queda aquí es un menos 2 partido x cuadrado menos 1 elevado a x. 00:13:58
Entonces, chavales, ¿qué ocurre? 00:14:07
Pues yo tengo esto de aquí, no lo tengo, yo necesito aquí en el numerador un 1, ¿lo veis? 00:14:09
Entonces, no sé si recordáis una propiedad de las potencias que me dice que si yo tengo, por ejemplo, 00:14:15
a partido de b elevado a menos c, esto es lo mismo que 1 partido b partido de a elevado a c. 00:14:22
¿Eso lo recordáis o no? 00:14:33
realmente lo que me decía 00:14:35
era que esto 00:14:39
a la postre es b partido 00:14:41
de a, esto me he equivocado 00:14:43
perdona, esto es 00:14:45
a partido de b elevado a c 00:14:51
es decir, yo le doy la vuelta 00:14:53
cuando yo tengo un exponente negativo 00:14:54
le doy la vuelta a mi 00:14:56
a mi de esto, entonces 00:14:58
¿qué ocurre? 00:15:01
pues que yo puedo hacer 00:15:02
esto de aquí 00:15:05
límite 00:15:06
Cuando x tiende a infinito de 1 más, a mí me interesa tener aquí un 1, ¿sí o no? Me interesa tener un 1. Realmente la propiedad lo que me dice es, si yo tengo a partido de b, esto es igual que 1 partido de b entre a, ¿vale? Esta es la propiedad que voy a aplicar yo ahora aquí en azul, ¿vale? 00:15:09
entonces, ¿qué es lo que hago? pues 00:15:29
pongo aquí x cuadrado menos 1 00:15:31
partido de menos 2 00:15:35
¿vale chavales? 00:15:37
¿entendéis lo que hago? es sumo 00:15:39
y le resto un 1 porque se quede igual 00:15:41
opero esta parte de aquí porque 00:15:43
claro que yo lo que quiero conseguir es esto 00:15:45
opero esto, convierto el 1 00:15:47
en una fracción donde 00:15:50
numerador y denominador es lo mismo porque 00:15:51
si yo divido esto entre esto como es lo mismo 00:15:53
me da 1, ¿de acuerdo? 00:15:55
opero, me quedo esto de aquí 00:15:57
y lo que hago es, esta parte de aquí 00:15:59
lo pongo 1 y a todo esto 00:16:02
lo que hago es le doy la vuelta 00:16:03
¿vale? precisamente porque 00:16:05
aplico esta propiedad 00:16:07
entonces, ahora 00:16:09
¿qué es lo que me queda chavales? 00:16:11
pues, si yo 00:16:14
también 00:16:16
tengo aquí, esta es mi f de x 00:16:16
¿lo veis? esta es mi f 00:16:19
de x famosa, a mi que es 00:16:21
lo que me interesa, tener aquí 00:16:24
está f de x, ¿verdad? 00:16:25
Entonces, si yo a una 00:16:28
al exponente 00:16:29
le multiplico 00:16:31
y lo divido por lo mismo 00:16:33
¿me queda 00:16:35
ese exponente o no? 00:16:36
Es decir, si tú das cualquier número, el 3 00:16:40
lo multiplicas por 5 00:16:42
y lo divides entre 5 00:16:43
¿qué te queda? El 3, ¿verdad? 00:16:45
Pues entonces yo lo que hago aquí 00:16:48
ya os digo, esto es 00:16:49
tedioso, esto ya lo visteis el año 00:16:51
pasado, ¿vale? 00:16:53
Entonces, yo tengo aquí x cuadrado menos 1 partido de menos 2. 00:16:55
Entonces, ¿qué es lo que hago? 00:16:59
Pongo esto mismo de aquí, ¿vale? 00:17:01
Lo pongo aquí, ¿vale? 00:17:04
Y yo ahora pongo esto dado de la vuelta. 00:17:08
Lo que estoy haciendo es, al multiplicar esto por esto, ¿qué ocurre? 00:17:13
Este se me va con este y este se me va con este, ¿lo veis? 00:17:17
¿Sí o no? 00:17:20
Esto es el principio de fracciones, de parvulitos de fracciones. 00:17:22
Y aquí pongo mi x. ¿Vale? Chavales, esto de aquí ya que es el número e. ¿Vale? Entonces, esto ahora, y escuchadme, si os fijáis, yo el límite no lo he puesto, lo llevo siempre conmigo. 00:17:25
Bueno, pues esto es e elevado al límite, cuando x tiende a infinito, de esta parte de aquí. 00:17:41
Es decir, menos 2 partido x cuadrado menos 1 elevado a x. 00:17:50
Es verdad, por x. 00:17:56
Y esto que es e elevado al límite de menos 2x partido x cuadrado menos 1. 00:17:58
Y aquí ya vale que es lo que tengo. 00:18:05
Una función, ¿cómo es esta función? 00:18:06
Accionar. 00:18:10
comparo los grados 00:18:10
y cuál tiene grado mayor, el numerador 00:18:13
o el denominador, entonces 00:18:15
¿esto cuánto vale? 0, pues esto 00:18:16
es elevado a 0, y elevado a 0 00:18:19
¿cuánto es? 1 00:18:21
¿vale? 00:18:22
dime ahí 00:18:25
entonces aquí normalmente la fórmula, si no recuerdo 00:18:25
mal, es cuando yo tengo 00:18:29
usted sabe 00:18:31
la fórmula de memoria, ¿no? vale 00:18:33
vale, ¿puedo pasar? bueno, aquí lo voy a poner 00:18:34
en negro, ¿vale? si yo tengo 00:18:36
¿puedo pasar? 00:18:38
no sé si veis aquí 00:18:40
esto de aquí chavales 00:18:46
esto que me queda aquí realmente que era 00:18:47
esto es 00:18:50
f de x menos 1 ¿verdad? 00:18:51
f de x menos 1 00:18:54
¿y esto qué es? pues digamos el exponente 00:18:55
entonces la fórmula si no me equivoco 00:18:57
que yo no me lo sé pero ahora viendo esto 00:18:59
yo creo que es cuando tú tienes 00:19:01
el límite de f de x 00:19:03
elevado a g de x ¿vale? 00:19:06
es igual al límite 00:19:08
de e elevado 00:19:10
Perdona, es igual a e elevado al límite de f de x menos 1 por g, ¿no? 00:19:12
Vale. 00:19:17
Entonces, chavales, lo que quiero que veáis es que, coño, 00:19:19
si yo tengo el límite de f de x elevado a g de x, ¿vale? 00:19:23
Cuando x tiende a más infinito y esto me sale la indeterminación 1 elevado a infinito, ¿vale? 00:19:30
1 elevado a infinito, pues resulta que hay una fórmula que me dice que esto es igual 00:19:36
a e 00:19:41
elevado al límite 00:19:43
¿de qué? 00:19:46
de f de x menos 1 00:19:47
por g de x 00:19:50
¿vale? 00:19:51
es a donde yo he llegado con todo el procedimiento 00:19:53
entonces ¿por qué existen las fórmulas? 00:19:56
por la rapidez 00:19:58
yo no me las sé 00:19:58
yo ahora lo he hecho y me he dado cuenta que la fórmula es esta 00:20:00
¿vale? que la sabéis 00:20:03
y la queréis aplicar, para adelante 00:20:05
¿pero qué me ocurre chavales? 00:20:07
¿Qué me ocurre? Me tiene que salir 1 elevado a infinito, es decir, si yo tengo, por ejemplo, esto de aquí, ¿esto de aquí cuánto vale? Esto realmente es 2 tercios, ¿verdad? 00:20:08
Perdón. Esto es 2 tercios elevado a infinito. ¿Y esto cuánto da realmente? ¿Vale? ¿Por qué? Porque si tú 2 tercios, que es un número menor que 1, 00:20:46
tú lo vas multiplicando por 2 tercios 00:21:01
por 2 tercios, por 2 tercios, por 2 tercios 00:21:03
por 2 tercios, al final como lo 00:21:05
multiplicas infinitas veces 00:21:07
se te hace tan pequeño que va a ser 00:21:08
¿Y cuando es mayor que 1? 00:21:11
¿Cuánto que es lo que me da? 00:21:14
Infinito, es decir, si yo tengo 00:21:15
aquí estos chavales, límite 00:21:17
cuando x tiende a más infinito 00:21:18
de por ejemplo, yo que sé 00:21:21
5x a la cuarta 00:21:23
menos 8, partido 00:21:25
de yo que sé, 3x a la 00:21:27
cuarta, más 8x cuadrado más 10, ¿vale? Elevado a x, ¿vale, chavales? Pues esto que ocurre, que esto es 5 tercios elevado a infinito, 00:21:29
y esto da más infinito. Pero también tened cuidado de una cosa, si yo tengo límite, cuando x tiende a más infinito, 00:21:42
Por ejemplo, 5x a la cuarta menos 8 partido de 3x a la cuarta, por ejemplo, y aquí yo tengo x cuadrado menos 1 partido de menos x. ¿Esto cuánto da, chavales? 00:21:50
efectivamente 5 tercios elevado a menos infinito 00:22:05
y esto que ocurre 00:22:12
pues que esto es igual a que como tengo 00:22:14
un exponente negativo 00:22:16
le doy la vuelta 00:22:17
a la fracción 00:22:19
ahora se me queda 3 quintos elevado a infinito 00:22:21
y 3 quintos elevado a infinito ¿cuánto es? 00:22:24
¿vale chavales? 00:22:28
¿sí o no? y si yo tengo 00:22:30
aquí ¿qué hora es más o menos? 00:22:31
ojo 00:22:36
¿esto qué es? 00:22:36
¿Esto qué es? 00:22:51
3 quintos también, ¿verdad? 00:22:52
Elevado a menos infinito, ¿verdad? 00:22:55
¿Esto qué ocurre? 00:22:56
Que es 5 tercios elevado a infinito. 00:22:57
¿Y esto cuánto da? 00:23:00
Más infinito. 00:23:02
¿Vale, chavales? 00:23:04
Entonces, tened cuidado porque yo me encuentro 00:23:05
a mucha gente que ve esto de aquí 00:23:07
y directamente hace o la fórmula o todo el procedimiento 00:23:10
y está mal. 00:23:13
¿Vale? 00:23:14
Porque, bueno, o tardas un huevo en hacerlo 00:23:14
cuando esto realmente te pasa así. 00:23:17
¿Vale, chavales? 00:23:20
¿Sí? ¿Vale? Esto recordarlo, es del número E, ¿vale? Esto es de primero de bachillerato. 00:23:21
Entonces, chavales, ahora nos vamos a pasar, que la verdad que vamos mal de tiempo, 00:23:29
vamos a recordar una cosa que ya hemos visto, que está, no sé si habéis visto, 00:23:34
lo que he subido de repaso de primero, que es súper importante, son un PDF de 31 hojas 00:23:37
y es repaso de primero, ¿vale? Y eso me interesa mucho que lo miréis, ¿vale? 00:23:44
es la definición de continuidad. 00:23:48
¿Puedo pasar a la siguiente hoja? 00:23:50
¿Carla? 00:23:53
¿Sí? 00:23:54
¿Puedo todo el mundo? 00:23:55
Vale. 00:23:57
Entonces, chavales. 00:23:58
Esto lo hemos visto ya, pero bueno. 00:24:00
Definición de continuidad. 00:24:02
Definición de continuidad. 00:24:04
Entonces, una función. 00:24:12
Esto es teoría matemática. 00:24:17
Esto lo tenéis que saber. 00:24:18
Una función f de x es continua. 00:24:19
en x igual a a, es decir 00:24:22
es continua en un punto 00:24:28
¿vale? si y solo si 00:24:30
que son las dobles flechitas 00:24:32
¿vale? 00:24:35
ocurren tres cosas, primero 00:24:36
existe el límite 00:24:38
de f de x 00:24:40
cuando x tiende a 00:24:43
que es igual a 00:24:44
l, eso significa que es 00:24:47
finito de Córdoba 00:24:48
entonces 00:24:50
existe el límite ¿vale? 00:24:53
Cuando yo hago el límite de f de x, ¿existe y es un valor finito? 00:24:54
Segundo, importante, ¿existe f de a? 00:25:00
Es decir, ¿existe el valor de la función en el punto? 00:25:04
Que fijaros, la de esta, ¿tiene que existir el valor de la función en el punto para que exista el límite? 00:25:09
No, ¿vale? 00:25:18
Eso es una idea errónea que tiene mucha gente. 00:25:19
Dieguito, deja el móvil, mi hermano. 00:25:22
Te llevas toda la clase con el móvil. 00:25:24
Entonces, ¿qué es lo que ocurre, chavales? 00:25:25
¿Qué es lo que ocurre? 00:25:28
Que para que exista el límite, 00:25:29
y es un error bastante común que yo me encuentro en mis alumnos, 00:25:31
como a lo mejor no está definido, 00:25:35
porque a lo mejor tengo una función a trozos, 00:25:36
o no pertenece al dominio, 00:25:38
la gente dice, 00:25:39
pues si no pertenece al dominio, 00:25:40
¿para qué voy a calcular el límite? 00:25:41
Bueno, pues eso es una cosa muy errónea, 00:25:43
porque al final, el límite, 00:25:45
que es lo que he intentado que veáis esa forma abstracta de hoy, 00:25:47
Tú lo que te estás aproximando mucho al valor y me da igual si existe el valor de la función en ese punto. Yo lo que quiero ver es que aproximándome bien por la izquierda y por la derecha a ese valor de x existe el valor del límite donde también mi función evidentemente tanto por la izquierda o por la derecha se aproxima, queda dentro de ese intervalo de los famosos epsilon y delta que hemos dicho. 00:25:51
¿De acuerdo? Entonces, ¿qué ocurre? Que el tercero, para que ya sea continua, es que el límite de f de x cuando x tiende a, tiene que ser igual a f de a. 00:26:17
Entonces, si se cumplen estas tres condiciones, yo puedo afirmar que f de x es continua, ¿vale? En ese punto. 00:26:32
Esto es teoría matemática, esto lo tenéis que saber como el comé, ¿vale? Como el comé. 00:26:40
¿De acuerdo? Entonces, si continua en x igual a, voy a decir f de x, entonces f de x es continua en x igual a, si, solo si, el límite de f de x cuando x tiende a a es igual a l, que es igual a f de a. 00:26:48
Este es mi resumen. ¿De acuerdo? Si se cumplen esas tres condiciones, es decir, existe el límite, el límite es finito y además es igual al valor de f de a, es continuo. ¿De acuerdo? En ese punto. 00:27:22
Ahora, ¿qué puede ocurrir? Pues f de x presenta... L es un número finito. ¿Vale? L es un valor finito de Córdoba. 00:27:35
Entonces, f de x presenta una discontinuidad evitable, sí, sólo sí, el límite de f de x cuando x tiende a es igual a sl, valor finito, ¿vale? 00:27:55
Pero es distinto de FDA, ¿vale? ¿Sí o no? Entonces, realmente se cumple la primera, pero no se cumple la tercera, porque además aquí puede ocurrir, puede ocurrir que no exista, que no existe FDA, ¿vale? 00:28:24
Es decir, existe el valor del límite, ¿de acuerdo? Y o bien es distinto a f de a o directamente no existe, ¿vale? Entonces, esa discontinuidad evitable, como es una confusión continua, tú la puedes dibujar sin levantar el lápiz. 00:28:51
una discontinuidad evitable 00:29:08
pueden ser dos cosas 00:29:10
yo escribo hasta una parte 00:29:11
luego tengo que hacer un redondito en blanco 00:29:15
porque no existe el valor de la función en ese punto 00:29:17
y yo luego continúo dibujando mi función 00:29:20
es decir, si yo voy caminando por aquí 00:29:25
ahora hay aquí el famoso hoyo 00:29:27
y yo no salto, ¿vale? 00:29:29
yo sigo andando 00:29:31
esa es una discontinuidad evitable 00:29:32
que al existir el hoyo 00:29:34
no está definida la función en ese punto 00:29:35
O a lo mejor lo que puede ocurrir es que yo voy andando aquí, aquí está el famoso hoyo, pero yo puedo hacer así y luego vuelvo aquí y yo sigo caminando. Eso es una discontinuidad evitable, ¿de acuerdo? Una discontinuidad evitable. 00:29:38
Y ahora lo tercero es que f de x presenta una discontinuidad de salto finito 00:29:53
si el límite de f de x, cuando x tiende, es decir, si no existe el límite de f de x, 00:30:15
¿Vale? Pero existen los límites laterales. Si no existen límites, ¿cómo existen los límites laterales? ¿Cómo son esos límites laterales, chavales? 00:30:42
distintos, ¿vale? 00:31:03
es decir, son distintos 00:31:07
es decir 00:31:08
estos son distintos 00:31:10
pero son ambos 00:31:13
finitos 00:31:21
¿vale chavales? 00:31:24
voy a copiarlo, ¿vale? para que no 00:31:30
f de x presente una discontinuidad de salto 00:31:39
finito si no existe el límite 00:31:43
¿eso qué quiere decir? 00:31:45
que existe 00:31:47
el límite de f de x cuando x tiende a a por la izquierda, que es igual a un valor L1 finito, 00:31:49
existe el límite de f de x cuando x tiende a un valor por la derecha, que es igual a L2, ¿vale? 00:31:59
L1 es distinto de L2 00:32:07
¿Vale? 00:32:11
Y L1 y L2 son finitos 00:32:14
¿Lo veis, chavales? 00:32:18
¿Sí o no? 00:32:23
¿Cómo se podría representar esto? 00:32:24
Pues si yo tengo esto de aquí 00:32:26
Y esto de aquí 00:32:29
¿Vale? 00:32:30
Y por ejemplo esto es A 00:32:31
Pues mi función, por ejemplo, me hace esto de aquí 00:32:33
Imaginemos 00:32:39
Y luego por aquí me hace esto de aquí. Este es el salto. El salto de la red armonteña. ¿Vale, chavales? Entonces, ¿ese salto es finito? Sí. ¿Lo veis? 00:32:40
Y ahora, f de x presenta una discontinuidad de salto infinito. 00:32:53
Algunos también lo llaman de segunda especie. 00:33:12
El salto infinito. 00:33:16
Si no existe, evidentemente, el límite de f de x. 00:33:19
Y alguno de los límites laterales es más o menos infinito, ¿vale? 00:33:24
Cualquiera de ellos. 00:33:43
Es una discontinuidad de salto finito. 00:33:46
Porque, fijaros aquí, si yo intento hacer aquí un amago de función, ¿vale? 00:33:48
Si te das los dos también, con que sea al menos alguno de los límites, ¿vale? 00:33:56
Entonces, si yo estoy aquí, por ejemplo, ¿vale? ¿Qué me puede pasar? Que mi función, por ejemplo, me haga esto, mi función, por ejemplo, me haga esto, y aquí, sin embargo, pues sea así. ¿Vale? ¿Cuál es el salto este, chavales? ¿Cuál es el salto este? Infinito. 00:34:01
¿Vale? 00:34:23
De hecho, el salto 00:34:25
El salto se define 00:34:27
Como el valor absoluto 00:34:31
Del límite de f de x 00:34:33
Cuando x tiende a 00:34:35
Por la derecha o izquierda, me da igual 00:34:37
Menos el límite 00:34:39
De f de x 00:34:41
Cuando x tiende a la izquierda 00:34:43
En valor absoluto 00:34:45
Entonces, ¿qué ocurre, chavales? 00:34:47
Si uno vale un valor finito 00:34:49
Uno vale 1000 y el otro vale 00:34:51
8, ¿vale? 00:34:53
¿Cuánto vale el salto? 00:34:55
Si uno es límite por la izquierda, por ejemplo, vale 1.000 y por la derecha vale 8, ¿cuánto vale el salto? 00:34:57
992. ¿Ese valor es infinito? 00:35:03
Sí. 00:35:05
Si uno vale infinito y el otro vale 0, ¿ese salto cuánto vale? 00:35:06
Infinito. 00:35:11
Pues el salto es infinito. 00:35:12
¿Que uno vale infinito y el otro más infinito también? 00:35:13
Pues al final, chavales, es infinito también. 00:35:18
¿Vale? 00:35:22
¿Qué es el salto? 00:35:22
A ver, esto es una definición de salto 00:35:23
Yo no lo he visto nunca en la EBAU 00:35:26
Pero si a lo mejor te lo dice 00:35:28
Que sepas que es el límite izquierdo 00:35:30
Lo que te da igual 00:35:32
Como es un valor absoluto 00:35:33
Te da igual restar el izquierdo menos el derecho 00:35:34
Que el derecho y el izquierdo, ¿vale? 00:35:37
Tú lo restas 00:35:39
Pero además también te sirve 00:35:40
Si sabes la definición 00:35:42
Si yo al restar el límite 00:35:43
E por la izquierda, el límite E por la derecha 00:35:46
Me sale un valor finito, ¿verdad? 00:35:48
¿Vale? Sale un valor finito 00:35:50
entonces es una discontinuidad de salto 00:35:51
infinito, que me sale infinito 00:35:54
es una discontinuidad de salto infinito 00:35:55
chavales, ¿qué ocurre si el salto 00:35:57
es cero? 00:36:00
¿qué ocurre 00:36:03
si el salto es cero? 00:36:03
si el salto es cero, ¿qué ocurre? 00:36:06
que ¿cómo son estos 00:36:09
dos? ¿cómo son 00:36:09
estos dos? iguales 00:36:11
y si son iguales, existe el límite 00:36:13
¿vale? existe el límite 00:36:16
entonces, si el salto 00:36:18
es cero, puede ser o 00:36:19
continua o discontinuidad 00:36:21
evitable. ¿Vale? 00:36:24
¿Sí o no? Todo 00:36:26
depende si existe FDA 00:36:27
o si FDA es igual al límite. 00:36:29
¿Vale, chavales? Por favor, 00:36:32
para mañana, 00:36:34
miraros ese PDF 00:36:36
primero de repaso. ¿Vale? 00:36:37
Sí. 00:36:40
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Idioma/s:
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Idioma/s subtítulos:
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Materias:
Matemáticas
Niveles educativos:
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  • Bachillerato
    • Segundo Curso
Autor/es:
Roberto Aznar
Subido por:
Roberto A.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
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Fecha:
19 de enero de 2026 - 16:18
Visibilidad:
Público
Centro:
IES JIMENA MENÉNDEZ PIDAL
Duración:
36′ 44″
Relación de aspecto:
1.97:1
Resolución:
1024x520 píxeles
Tamaño:
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