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Propiedades de los determinantes (2) - Contenido educativo

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Subido el 8 de octubre de 2020 por Ana Maria R.

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Propiedades de los determinantes. Si los elementos de una línea, bien sea fila o columna, son combinación lineal de las dos líneas restantes o de las líneas restantes, el determinante es nulo. 00:00:02
Vale, vamos a ver esto. Por ejemplo, con esta matriz de orden 3. Fijaos, yo esta tercera columna la he descompuesto o se descompone en dos sumandos. 00:00:17
Luego este determinante se podría descomponer como suma de dos determinantes. 00:00:27
Primer determinante que tuviese esta columna, esta columna y este sumando de aquí. 00:00:34
Más un segundo determinante que tiene esta columna, esta columna y este sumando de aquí. 00:00:41
Si pienso en el primer determinante que he dicho, esta columna y esta son proporcionales, determinante cero. 00:00:47
Y si pienso en el segundo determinante, donde la tercera columna es este sumando de aquí, 00:00:54
esta columna y esta columna son proporcionales, determinante nulo. 00:01:00
Demuestra que este determinante, es decir, el determinante donde la tercera columna es combinación lineal de las dos primeras columnas, es cero. 00:01:09
Y luego calcula el determinante de este determinante de los nombres. 00:01:19
Vale, bueno, pues vamos a demostrarlo. 00:01:24
Determinante a1,1,a1,2 y la combinación lineal de los dos primeros elementos. 00:01:27
a2,1,a2,2 y la misma combinación lineal de los dos primeros elementos. 00:01:35
Y a3,1,a3,2 y la misma combinación lineal de los dos primeros elementos. 00:01:43
Bueno, vamos a aplicar propiedades 00:01:55
Lo que no me voy a hacer es ponerme a calcular 00:01:59
Ni por sarros, ni desarrollando por adjuntos 00:02:01
Este determinante 00:02:03
Lo que vamos a hacer es aplicar propiedades conocidas 00:02:05
Entonces, la tercera columna 00:02:09
La hemos puesto en descomposición de dos sumandos 00:02:12
Bueno, pues entonces este determinante 00:02:18
Se puede expresar como la suma de dos determinantes 00:02:21
La suma de dos determinantes 00:02:25
Y entonces, las dos primeras columnas serían iguales en los dos determinantes 00:02:28
Las dos primeras 00:02:34
A21, A31, A12, A22, A32 00:02:43
Y en la tercera columna del primer determinante 00:02:50
Será el primer sumando 00:02:56
R, A, 1, 1, R, A, 2, 1 y R, A, 3, 1 00:02:58
Y la tercera columna, el segundo terminante, será el segundo sumando 00:03:06
S, A, 1, 2, S, A, 2, 2, S, A, 3, 3, S, A, 3, 2, perdón 00:03:10
Ahí aquí era un 3, 2, 3, 2, 3, 2 00:03:19
Entonces, aquí me fijo, la columna 3 es R veces la columna 1 00:03:23
Es decir, que la columna 3 y la columna 1, estas dos, son proporcionales 00:03:31
Y aquí me fijo, que la columna 3 es S veces la columna 1 00:03:39
Es decir, que la columna 1 y la columna 3 son proporcionales 00:03:48
Por lo tanto, hemos visto también otra propiedad que nos dice que cuando dos líneas, fila o columna son proporcionales, entonces el determinante es cero, luego cero más cero, cero. 00:03:54
De ahí que si una de las líneas, fila o columna es combinación lineal de las restantes, ese determinante es cero. 00:04:07
Vale, calcula este determinante. 4, 3, 7, 3, 1, 4, menos 2, 7, 5. 00:04:17
Y yo observo, esto es 4 más 3 00:04:31
4 es 3 más 1 y 5 es menos 2 más 7 00:04:36
Es decir, que la columna 3 es la columna 1 más la columna 2 00:04:40
Es una combinación lineal de las anteriores 00:04:47
Por lo tanto, por la propiedad que acabamos de ver ahora, ese determinante es 0 00:04:49
Si yo tengo soltura con las propiedades de los determinantes 00:04:53
me voy a reducir tiempo en calcular algunos determinantes. 00:04:57
Si a los números de una línea, fila o columna se le suma una combinación lineal 00:05:03
de las restantes líneas paralelas, el determinante no varía. 00:05:08
Si a esta tercera columna lo que he hecho es sumar una combinación lineal de las dos primeras, 00:05:13
pues el determinante queda invariante. 00:05:18
De nuevo, por ejemplo, si yo me fijo, esta tercera columna realmente la puedo descomponer 00:05:20
entre sumandos 1, 2 y 3. Luego este determinante sería la suma de tres determinantes. El primer 00:05:27
determinante tendría como primera columna esta, esta y esta. El segundo determinante 00:05:37
tendría como primera columna esta, esta, invariable, y esta de aquí, que es proporcional 00:05:44
a la primera, luego ese determinante cero. Y el tercer determinante tendría como primera 00:05:52
columna esta, segunda columna esta, invariantes, y tercera columna esta de aquí, que es proporcional 00:05:57
a la segunda, luego ese determinante cero. Por tanto, solo me quedaría este primer determinante 00:06:04
igual a ese determinante. 00:06:09
Dado ese determinante, realiza la transformación. Columna 3 la sustituimos por la columna 3 00:06:13
más columna 1 más 2 veces columna 2, es decir, por una combinación lineal de las 00:06:18
3 y comprueba que el determinante obtenido es igual al de partida. Bueno, vamos lo primero 00:06:22
todo a calcular el determinante de la matriz que me dan, o sea, el determinante que me 00:06:27
dan, perdón. Venga, calculamos el determinante, si lo hacemos por la regla de Sarrus, 0 menos 00:06:32
Menos 4, menos 21 por 5, menos 105, menos 40, más 18 y ya estaría. 00:06:45
Luego me queda menos 149 más 18, menos 131. 00:07:04
Vamos a transformar este determinante con la transformación que me dan, 00:07:11
que me dice que la columna 3 la voy a transformar con la combinación lineal 00:07:18
columna 3 más columna 1 más dos veces columna 2 00:07:28
la primera y la segunda columna por supuesto se quedan iguales 00:07:32
6, 7 menos 4, 1 menos 2, menos 3 00:07:36
y ahora la columna 3 la transformo sumando la columna 3 más la primera más dos veces la segunda 00:07:41
5 más 6, 11 más 2, 13 00:07:47
1 más 7, 8, menos 4, 4 00:07:52
0 menos 4, menos 4, menos 6, menos 10 00:07:59
Y calculamos por sarros mismo 00:08:07
6 por menos, bueno, sería menos 2 por menos 10 00:08:11
20, 20 por 6, 120 00:08:16
menos 16 00:08:19
y menos 21 por 13 00:08:23
o 39 por 7 00:08:28
vamos a hacer 00:08:30
39 por 7, 7 por 9 00:08:31
llevo 6 00:08:35
21 y 6, 27 00:08:37
vale, ahora 00:08:46
menos 8 00:08:48
8 por 13 00:08:50
8 por 3, 24 00:08:51
llevo 2, 8 por 1, 8 00:08:52
y 2, 10, 104 00:08:54
Ahora serían más 12 por 6, 72, y más 70. 00:08:56
Bueno, sumamos por un lado los positivos, 120. 00:09:11
120 más 142, pues 162 menos. 00:09:16
Y ahora los negativos, me quedaría, vamos a sumarlos aparte. 00:09:24
Y 16, ¿no? 00:09:29
Me queda esto es 120, esto de aquí es 120, luego 293. 00:09:32
Y ya restando los valores absolutos, me queda 1, 3, 1, con el signo menos. 00:09:38
Luego, si una columna la transformo por una combinación lineal de las tres columnas, 00:09:48
en este caso, el determinante no varía. 00:09:55
El determinante del producto es el producto de los determinantes 00:09:59
Evidentemente el determinante del producto de dos matrices cuadradas 00:10:03
Vale, calculamos, comprueba que el determinante de A por B es el determinante de A por el determinante de B 00:10:07
Siendo A y B estas matrices de orden 3 00:10:16
Vamos, lo primero de todo calculamos el producto de las dos matrices 00:10:19
A por B, 6, 1, 5, 7, menos 2, 1, menos 4, menos 3, 0 00:10:22
Por 2, 0, 2, 1, 0, menos 1, 2, menos 2, 0 00:10:30
Venga, multiplicamos 00:10:38
12 más 1, 13, más 10, 23 00:10:40
0 más 0, menos 10 00:10:46
12 menos 1, 11 00:10:53
Vale, 14 menos 2, 12, más 2, 14, 0, 0, menos 2, 14 más 2, 16, menos 8, menos 3, menos 11, 0, 0, 0, y menos 8 más 3, menos 5. 00:10:58
Calculamos ahora el determinante de A por B. 00:11:39
El determinante 23 menos 10, 11, 14 menos 2, 16, menos 11, 0, menos 5. 00:11:44
Ese determinante. 00:11:55
Vale, lo podemos, lo vamos a hacer desarrollando por la segunda columna. 00:11:57
Voy a hacerlo esta vez por la regla de Sarros. 00:12:01
Lo hacemos desarrollando la segunda columna. 00:12:04
Venga, desarrollando la segunda columna, primer elemento, menos 10 por menos 1 elevado y sumamos las posiciones que ocupan este elemento, la fila y la columna, fila 1, columna 2, 1 más 2 por el menor complementario, el determinante que resulta de suprimir primera fila y segunda columna, luego 14, 16, menos 11, menos 5. 00:12:06
Siguiente elemento, menos 2 por menos 1 elevado a la suma de la posición fila-columna que ocupa 2 más 2 00:12:30
Este elemento está en la fila 2, columna 2 00:12:41
Por menor complementario que resulta de suprimir segunda columna, segunda fila 00:12:43
23, 11, menos 11, menos 5 00:12:49
Repasamos, a ver, este sería este, esta 00:12:57
14, 16, menos 11, menos 5 00:13:01
Y este sería este 00:13:03
23, 11, menos 11, menos 5 00:13:05
Vale, muy bien, hacemos las operaciones 00:13:08
Y nos queda 00:13:10
Menos elevado a exponente impar 00:13:11
Menos con este menos de aquí 00:13:13
Más 10, que multiplica 00:13:15
Por menos 5 00:13:19
Serían menos 70 00:13:22
¿No? 00:13:24
14 por menos 5, menos 70 00:13:25
Menos 00:13:27
Menos 11 por 16 00:13:29
pues menos por menos más 00:13:31
y 11 por 16 00:13:32
176 00:13:34
menos 1 elevado a la exponente par sería positivo 00:13:36
más 1 con el menos 2 de delante 00:13:40
por menos 2 00:13:42
que multiplica 23 por menos 5 00:13:43
sería menos 00:13:47
15, 115 00:13:48
y menos 00:13:50
menos 11 por 11 00:13:52
pues más 121 00:13:54
luego me queda 10 por 00:13:56
106 menos 2 por 6 00:14:00
Luego 1060 menos 12 00:14:09
Es decir, 1048 00:14:15
1060 menos 12, 1048 00:14:19
Vale, perfecto 00:14:25
Determinante de A 00:14:27
El determinante, 6, 1, 5, 7, menos 2, 1, menos 4, menos 3, 0 00:14:28
Por la regla de Sarrus 00:14:38
6 por menos 2 y por 0, 0 00:14:40
Más 1 por 1 y por menos 4, menos 4 00:14:43
Más 7 por menos 3 y por 5, menos 105 00:14:46
Menos, menos 4 por menos 2 y por 5 00:14:51
Luego, más 40, menos menos 3, por 1 y por 6, pues más 18, perdón, este es un menos 40. 00:14:56
Y la última, si una matriz cuadrada es invertible, el determinante de la inversa es el inverso del determinante. 00:15:09
Esa es una consecuencia de la anterior. 00:15:19
Recordad que si una matriz es invertible, entonces se cumple que a la menos 1 por a es la identidad. 00:15:21
O sea que la matriz A a la menos 1 por A es la identidad. 00:15:27
Por tanto, el determinante de A a la menos 1 por A es igual al determinante de la identidad. 00:15:31
El determinante de la identidad es 1. 00:15:37
Y por la propiedad anterior, el determinante de A a la menos 1 por A se puede descomponer como el producto del determinante de A a la menos 1 por el determinante de A. 00:15:39
Despejando, tendríamos la propiedad 11. 00:15:49
Demuestra que el determinante de la matriz inversa es 1 partido por a 00:15:51
Por supuesto, esto siempre que si a es invertible 00:15:59
Esto por supuesto 00:16:03
Bueno, pues si a es invertible, se cumple que a por a a menos 1 00:16:08
Para que a por su inversa es la matriz identidad 00:16:13
Vale, vamos a calcular el determinante en ambos lados del igual 00:16:18
El determinante de A por A a la menos 1 es igual al determinante de la matriz identidad. 00:16:21
Aplicamos determinantes en los dos lados del igual. 00:16:28
Ahora, por la propiedad que hemos visto que el determinante del producto es el producto de los determinantes, 00:16:31
tendríamos que el determinante de A por el determinante de A a la menos 1 es igual al determinante de la identidad. 00:16:36
El determinante de la identidad es 1. 00:16:42
Por lo tanto, despejando, esto sería 1 partido por el determinante de A. 00:16:45
Por supuesto, esto siempre que el determinante de A sea distinto de 0. 00:16:52
Eso, por supuesto, siempre que el determinante de A sea distinto de 0. 00:17:01
Autor/es:
ANA MARIA RUBIO VILLANUA
Subido por:
Ana Maria R.
Licencia:
Todos los derechos reservados
Visualizaciones:
119
Fecha:
8 de octubre de 2020 - 8:55
Visibilidad:
Clave
Centro:
IES VILLABLANCA
Duración:
17′ 35″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
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Tamaño:
1.51

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