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Cálculo de la bisectriz de dos rectas - Contenido educativo

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Subido el 6 de febrero de 2024 por Manuel D.

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Cálculo de la ecuación de la bisectriz interna de dos rectas a partir de la diagonal de un rombo

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Bueno, pues este es el segundo problema que os quería grabar y es el problema en el que yo tengo que calcular la bisectriz de dos rectas. 00:00:00
Aquí tengo las dos rectas dibujadas, son estas dos, y yo quiero calcular la bisectriz, es decir, es la recta que divide al ángulo en dos partes iguales, más o menos algo tal que así. 00:00:08
En realidad, para ser rigurosos, hay dos bisectrices, porque yo también tendría esta bisectriz. 00:00:20
Entonces, nosotros simplemente vamos a calcular la del ángulo más pequeño. 00:00:26
Entonces, hay varias formas de hacerlo. 00:00:31
Una de ellas incluye utilizar las distancias, porque son los puntos cuya distancia a las dos rectas es la misma. 00:00:36
Puedo utilizar la distancia a dos rectas, pero hay una forma mucho más rápida, que es la siguiente, darnos cuenta del siguiente hecho. 00:00:47
Si yo cojo y sumo dos vectores, por ejemplo, estos dos, lo que me está dando es la diagonal, el vector diagonal, ¿verdad? 00:00:56
Bueno, pues el vector diagonal normalmente no divide a esta figura en dos ángulos iguales. 00:01:07
Estos dos ángulos no son iguales, ¿por qué? Porque esto es un rectángulo. 00:01:14
Entonces, solo van a ser iguales cuando la figura es un cuadrado, es decir, los dos ángulos tienen la misma longitud. 00:01:17
¿Por qué? Porque esto es un rectángulo. 00:01:25
Si yo divido los ángulos, o sea, si yo resulta que los lados tienen la misma longitud, estoy dividiendo los lados de un cuadrado, 00:01:25
el cuadrado en dos por una diagonal, y entonces el ángulo sería 45 grados. 00:01:32
¿Por qué esto es importante? Bueno, pues porque si yo cojo aquí un vector director y otro vector director y lo sumo, 00:01:37
solo va a estar la suma en la diagonal si cojo los vectores de la misma longitud, porque si no, como es este el caso, 00:01:44
como uno es más largo que otro, al ponerlo por aquí, pues la suma va a quedar... 00:01:51
no va a quedar exactamente en la diagonal si yo pongo esto en paralelo, sino que quedaría más o menos tal que así la suma. 00:01:55
Y entonces no me queda en la diagonal, en la bisectriz, quiero decir. 00:02:02
¿Cómo puedo arreglar esto? Bueno, pues consiguiendo que los vectores tengan la misma longitud, es decir, 00:02:06
si yo tengo dos vectores de la misma longitud, al final, si yo los pongo formando una figura de un paralogramo, 00:02:12
¿cómo va a ser el paralogramo? Pues un rombo, porque los lados son iguales. 00:02:20
Por lo tanto, la diagonal divide al ángulo en dos mitades iguales, es decir, va a ser una bisectriz. 00:02:25
En definitiva, ¿qué es lo que yo necesito? Pues necesito dos vectores directores, pero de la misma longitud. 00:02:31
Si yo cojo el vector rojo de una recta y el vector azul de otra, la suma de los dos, como tienen la misma longitud, 00:02:37
aquí se va a formar un rombo y, por lo tanto, la suma, lo voy a pintar de rosa, pues va a caer sobre la diagonal 00:02:45
y, por lo tanto, ese va a ser el vector director. 00:02:53
De mi bisectriz. 00:02:56
En resumen, ¿qué tengo que coger? Pues yo tengo que coger vectores de la misma longitud. 00:02:58
¿Y cuál es la mejor forma? Pues coger vectores que sean unitarios. 00:03:04
Voy a coger el vector director de una recta y el vector director de otra, los voy a dividir por sus módulos 00:03:07
y estos vectores los sumo y ya tengo la dirección de la bisectriz. 00:03:12
Esa es la manera, con menos cuentas, que yo conozco para calcular una bisectriz. 00:03:16
Vamos con ello. 00:03:21
Entonces, primera recta. 00:03:23
Esta, despejo la y, pues me queda 1 menos 2x partido por 3, la pendiente es menos 2 tercios 00:03:25
y, por lo tanto, el vector director de la primera de las rectas es el vector, lo tengo por aquí, 00:03:34
lo voy a hacer con el menos 3, 2, para que me salgan las cuentas. 00:03:41
Menos 3, 2, cuyo módulo es 9 más 4, 13 a raíz de 13. 00:03:44
Perdón. 00:03:54
Y, por lo tanto, al dividir entre raíz de 13 me sale el vector unitario y este vector unitario es el vector 00:03:55
menos 3 partido por raíz de 13, 2 partido por raíz de 13, que lo tengo por aquí redondeado. 00:04:07
Este vector es el menos 0,55, 0,83. 00:04:16
Bueno. 00:04:25
Si hacemos lo mismo con la otra recta, voy rápido porque las cuentas estas ya son las mismas, 00:04:25
pero para la otra recta tendría lo siguiente. 00:04:29
Vamos a ver si puedo bajar. 00:04:32
Sí. 00:04:33
El vector director de la otra recta, de la recta S, si no me equivoco, sale el vector 1,3 porque tiene pendiente 3. 00:04:35
Por lo tanto, su módulo va a ser 1 más 9, 10, raíz de 10. 00:04:43
Y, por lo tanto, al dividir entre su módulo, 00:04:51
va a quedar 1 partido por raíz de 10, 3 partido por raíz de 10. 00:04:55
Que esto, pues, lo tengo por aquí dibujado, calculado, quiero decir, sale el vector 0,32, 0,95. 00:05:02
Bueno, pues, ¿ahora qué me queda por hacer? 00:05:12
Pues, lo único que tengo que hacer es coger este vector y coger este vector y sumarlos. 00:05:14
Y ese va a ser el vector director de mi recta. 00:05:20
Cambio de color azul ya. 00:05:24
Y entonces tendríamos 00:05:25
v sub r partido por el módulo de v sub r más u sub s, el otro vector, partido por su módulo. 00:05:26
Es decir, sumo dos vectores unitarios. 00:05:36
Claro, el vector ya no va a ser unitario. 00:05:38
Estoy sumando estos dos. 00:05:40
Y el resultado que lo tengo por aquí... 00:05:43
Pues, no, no lo tengo por aquí. 00:05:45
Vaya, yo pensé que sí, pero no lo he dado. 00:05:48
Bueno, no pasa nada porque lo tengo aquí hecho con Gebra. 00:05:50
Lo tengo por aquí. 00:05:54
Lo tengo por aquí. 00:05:55
Vamos a ver, es el vector este, 0,24 menos 1,78. 00:05:55
Bien, a partir de aquí yo puedo calcular la pendiente de la recta bisectriz, 00:06:09
que sería dividir menos 1,78 partido por 0,24. 00:06:15
Y esto me da, pues lo tengo por aquí calculado al dividir la y entre la x, 00:06:20
me da menos 7,47. 00:06:25
Y ya tengo la pendiente, es decir, la pendiente de mi bisectriz, 00:06:29
es decir, la ecuación de la bisectriz va a ser de esta forma. 00:06:34
Bien, solo me falta calcular la n. 00:06:40
¿Cómo? 00:06:43
Bueno, pues claro, tengo que calcular la intersección para calcular el punto de corte. 00:06:43
Eso es resolver un sistema. 00:06:49
Creo que en principio lo sabéis hacer. 00:06:50
Dejaríamos, lo dejo como ejercicio. 00:06:52
Lo tengo aquí. 00:06:54
Lo tengo aquí calculado. 00:06:55
El punto sería 0,56 menos 0,33. 00:06:56
Y luego lo sustituís para calcular el valor de la n. 00:07:05
Y resulta que la ecuación final nos queda este. 00:07:10
¿Cuánto vale la n? 00:07:17
La n me da 3,82. 00:07:19
3,82. 00:07:20
Y esta es la bisectriz. 00:07:24
Si quisiese calcular la otra bisectriz, ¿cómo lo haría? 00:07:25
La bisectriz del otro, pues, o bien, aprovechando de que estas dos bisectrices son perpendiculares, 00:07:29
aquí forman 90 grados, 00:07:35
o bien, utilizando el otro vector, el vector menos u. 00:07:37
Y entonces sumo v con menos u, cambiado, o sea, de módulo 1, vaya. 00:07:41
Y me sale este otro vector de por acá. 00:07:46
Bueno, pues esto es una estrategia para calcular las bisectrices, 00:07:48
que si no os las han contado, os toca hacer bastantes más operaciones. 00:07:51
Y sale bastante peor. 00:07:54
Así que, bueno, ya digo que hay otras dos formas, como mínimo, que yo sepa. 00:07:56
Pero, bueno, esta os vale. 00:08:00
Así que, nada, nos vemos en clase. 00:08:01
¡Ciao! 00:08:03
Autor/es:
Manuel Romero Muro
Subido por:
Manuel D.
Licencia:
Reconocimiento - Compartir igual
Visualizaciones:
127
Fecha:
6 de febrero de 2024 - 19:06
Visibilidad:
Público
Centro:
IES RAMON Y CAJAL
Duración:
08′ 05″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1280x720 píxeles
Tamaño:
588.27 MBytes

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