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MAT APLIC 4ESO 22 pag.143 - Contenido educativo

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Subido el 18 de agosto de 2023 por Alberto A.

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Vídeo explicativo del ejercicio 22 de la página 143 del libro SM

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Buenas tardes chicos vamos a resolver el problema 22 que dice haya un punto un vector 00:00:00
director y un vector normal de cada una de las siguientes rectas apartado a b y c comenzando 00:00:08
por el apartado a vemos que la ecuación 4x menos 3 y menos 1 igual a 0 es la ecuación general de 00:00:14
una recta donde las coordenadas del vector normal son los coeficientes que acompañan a la x y a la 00:00:20
y, es decir, el vector normal tendrá por coordenadas 4 menos 3, que coincide con el número que acompaña 00:00:27
la x y la y. Un vector normal y un vector director de la recta son perpendiculares entre sí, por tanto 00:00:35
el producto escalar de esos dos vectores es igual a cero. Si multiplicamos el vector normal, hacemos 00:00:42
el producto escalar del vector normal y el vector director, vemos que el producto escalar tiene que 00:00:50
dar 0. Si llamamos a y b a las coordenadas del vector director, entonces tendremos que 00:00:56
4 por a menos 3 por b tiene que ser igual a 0. Y dando valores a y a b, veremos que 00:01:01
si la a vale 3, 4 por 3, 12 menos 3 y dando a b 4, 12, se cumple esta ecuación. Con lo 00:01:09
cual un vector director de esta ecuación sería el vector director que tiene por coordenadas 00:01:17
3, 4. Para obtener un punto de la recta, vamos a llamar a las coordenadas de ese punto P, 00:01:23
X e Y, supongo que la X vale 1. Entonces, si la X vale 1, ¿cuánto valdrá la Y? Pues 00:01:29
lo que tengo que hacer es sustituir el valor de la X en la ecuación y veremos que 4 por 00:01:36
1 menos 3 por Y menos 1 tiene que igual a 0. Y despejando de aquí la Y, me sale que 00:01:42
la y vale 1. Por tanto, las coordenadas de ese punto P serán 1, 1. Vamos con el apartado 00:01:47
b. En el apartado b vemos que la ecuación que nos dan es una ecuación explícita, que 00:01:54
es de la forma y igual a mx más n. Vemos que si comparamos con la ecuación que nos 00:02:00
dan, en nuestro caso la m vale 1 porque el término que multiplica, el coeficiente que 00:02:07
multiplica la x es un 1 y que la n vale 0 porque no aparece, no hay nada sumando en 00:02:12
esa ecuación, por tanto ya tenemos información para sacar un punto. ¿Cómo podemos obtener un 00:02:17
punto de la ecuación? Pues damos un valor a la x, por ejemplo x igual a 1 y entonces la y valdrá 1 00:02:25
porque la x es igual a la y, de acuerdo con la ecuación explícita de la recta. Para obtener el 00:02:30
vector director vemos que como la pendiente es 1 y sabemos que la pendiente es 1 porque es la m, 00:02:38
el término que multiplica, el coeficiente que multiplica la x, entonces tendremos que el vector director, si le llamamos que tiene por coordenadas v1, v2 o u2, u1, u2, 00:02:43
vemos que la pendiente será la segunda coordenada del vector director dividido por la primera coordenada del vector director. 00:02:56
¿Qué división de números me da que la pendiente sea una? Pues un vector director de la recta será el 1, 1. 00:03:06
Por último, para calcular un vector normal a la recta, como tiene que ser perpendicular, porque el vector normal a la recta es perpendicular al vector director, entonces se cumplirá que el producto escalar del vector normal y del vector director es igual a cero. 00:03:13
llamando c y d a las coordenadas del vector normal vemos que multiplicado por multiplicado haciendo 00:03:28
el producto escalar por el vector director nos tiene que dar 0 c por 1 c más d por 1 d igual a 00:03:36
0 y que por ejemplo un vector normal de esta recta sería el 1 menos 1 ya que si sustituyo la c por 1 00:03:46
y la de por menos 1 se cumple la ecuación. En el caso del apartado C, la ecuación de la recta que nos dan es la vectorial. 00:03:52
Esto nos permite identificar inmediatamente que un punto de la recta es el menos 3, 2, como podemos observar aquí, 00:04:01
y que el vector director de la recta es el menos 1, 4. Por último, aplicando este procedimiento que hemos utilizado 00:04:10
en los casos anteriores de que el producto escalar del vector normal y del vector director 00:04:19
tiene que ser 0, pues obtenemos que las coordenadas del vector normal, de un vector normal a la 00:04:24
recta del apartado C, sería el 4, 1. 00:04:31
Subido por:
Alberto A.
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18 de agosto de 2023 - 7:25
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