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Clase 10/02/22 - Contenido educativo

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Subido el 10 de febrero de 2022 por Pablo Jesus T.

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Bueno, vamos a ver la forma normal de la ecuación del plano. 00:00:00

Vamos a inventarnos un plano. 00:00:08

Ángel, dime un plano. 00:00:12

2X. 00:00:16

A ver si no consigo... 00:00:22

Vale. 00:00:30

Si ha bloqueado, no me fastidie. 00:00:33

Pues, no sé qué ha pasado. 00:00:41

Pues sí que 2X menos 4Y más 6Z menos 20. 00:00:44

No va a cabernos si ponemos eso. 00:00:53

Seguramente nos va a poner menos 3 para que sea impar. 00:00:56

Bueno, ya tenemos un plano 00:01:00

Como veis, ese plano corresponde a menos 3 igual a 0 00:01:04

He querido poner igual a 0 porque es como nos lo vamos a encontrar en todos los sitios 00:01:11

Y ya tengo ese plano, ¿de acuerdo? 00:01:17

Bueno, pues concepto para que apuntéis en la teoría 00:01:21

El vector A mayúscula, B mayúscula, C mayúscula 00:01:23

es decir, el vector formado por los coeficientes de la x, la y, la z, que en este caso, ¿cuál sería? 00:01:29

2 menos 4 más 6. Ese vector va a ser perpendicular al plan. 00:01:37

Vamos a ver por qué es perpendicular al plan. Se podría demostrar, no lo vamos a hacer, pero sí que vamos a ver que lo es. 00:01:44

Entonces vais a coger la herramienta punto 00:01:51

Y vais a hacer clic en dos puntos del plano 00:01:55

Donde queráis 00:02:04

Si movemos el plano vemos que ahí ve donde está 00:02:05

En el plano 00:02:09

Es más, si me voy a la ventana algebraica 00:02:11

¿Cómo están definidos ahí ve? 00:02:13

Como puntos del plano 00:02:16

Es decir, no podríamos sacarlos del plano 00:02:17

¿Vale? 00:02:19

vamos a coger el vector 00:02:20

A B, vamos a hacer el vector 00:02:23

A B, buscamos 00:02:24

la herramienta vector 00:02:26

que no es 00:02:28

obligatorio hacerlo en la misma app 00:02:33

que lo estoy haciendo yo, el que lo 00:02:35

quiera hacer en el Classic o en el 00:02:37

5, lo que pasa es que el 5 00:02:39

en 00:02:41

Max no va, la vista 00:02:41

3D, tendríais que arrancar 00:02:45

en Windows, que podéis arrancar en Windows 00:02:47

si queréis, simplemente me he ocupado 00:02:49

De que esté la última versión de Max 00:02:51

Y que funcionen las cosas 00:02:53

Bueno 00:02:55

¿Lo tenéis? 00:02:56

Bueno 00:02:59

Sí, da igual 00:02:59

Precisamente porque es cualquiera 00:03:02

Vamos a ver que se cumple 00:03:04

Porque no hemos elegido uno en particular 00:03:07

Ahora 00:03:09

Quiero que pintéis 00:03:10

Y esto sabéis hacerlo teóricamente 00:03:12

Saliendo de A 00:03:14

Callaros allí atrás 00:03:16

Saliendo de A 00:03:17

el vector 2 menos 4, 6 00:03:18

del que hemos hablado 00:03:22

si yo escribo 00:03:23

vector 00:03:25

perdón, abro paréntesis 00:03:26

A, A 00:03:30

y después del segundo A 00:03:34

pongo más 00:03:36

2 menos 4, 6 00:03:37

os puedo enseñar después 00:03:40

a cómo podríamos 00:03:43

porque ahora sería estático, si yo de repente cambiara el plano 00:03:47

ya no funcionaría, se puede hacer dinámico 00:03:50

pero bueno, da igual, y ahí lo tenéis 00:03:53

el vector 2 menos 4, 6 00:03:56

saliendo del punto A 00:03:59

y si miráis 00:04:03

si movéis un poco el dibujo como lo estoy haciendo yo 00:04:04

¿qué ángulo forma? 00:04:07

si justo muevo para que como que desaparezca el plano 00:04:10

porque estoy perpendicular 90 00:04:13

pero a lo mejor no forma los 90 00:04:16

vamos a ir a la herramienta ángulo 00:04:18

y si forma 00:04:20

89 00:04:22

vamos a ir a la herramienta ángulo 00:04:23

y vamos a pinchar 00:04:25

en sentido antihorario en los dos 00:04:27

vectores y mirar 00:04:30

ahí, que ángulo sale 00:04:32

ahora, si se ve que 00:04:34

que hay 00:04:36

90 00:04:36

fijaros que ese si que, porque ese 00:04:39

que es un 90 exacto 00:04:42

y no un 90 aproximado por cierto 00:04:43

porque es un cuadradito 00:04:46

cuando a veces apañamos 00:04:48

para que parezca el ángulo 00:04:50

que es o tal y nos ponga 90 00:04:52

pero con un 00:04:54

con un trocito de circunferencia 00:04:55

pues bueno 00:04:57

entonces concepto 00:04:59

concepto 00:05:01

el vector 00:05:03

formado por los 00:05:08

coeficientes A, B y C 00:05:10

del plano 00:05:12

es perpendicular 00:05:13

al plano 00:05:16

Sí, no solo voy a repetirlo, sino que lo voy a escribir aquí. 00:05:19

Otra cosita de nomenclatura que no habíamos dicho, ¿atendéis? 00:05:27

Un plano normalmente se designa por la letra pi. 00:05:32

¿De acuerdo? 00:05:37

Un plano normalmente se designa por la letra pi. 00:05:38

Y detrás se ponen tres rayitas. 00:05:43

En algunos libros encontraréis dos puntos. 00:05:45

Lo correcto, correcto sería poner tres rayitas, que significa equivalente. 00:05:47

Y ahora vendría la ecuación del plano. ¿Cuál era la ecuación del plano? 00:05:53

2x menos 4y más 6z menos 3 igual a 0. 00:05:57

Así es como se debería escribir el plano. 00:06:07

Que bueno, se puede llamar pi o de otra manera. 00:06:10

normalmente las rectas se llaman 00:06:12

RS 00:06:15

en los planos pi 00:06:16

pi 1, pi 2 00:06:18

bueno 00:06:20

entonces hemos dicho que el vector u 00:06:22

formado por 00:06:25

2 menos 4 es 6 00:06:28

es 00:06:30

perpendicular 00:06:32

u ortogonal 00:06:34

no se que le pasa 00:06:35

me estoy quedando flipado 00:06:39

y ahora ha dejado de escribir 00:06:42

es ortogonal al plan 00:06:50

¿de acuerdo? 00:07:03

¿alguna pregunta? 00:07:07

eso me permite escribir 00:07:09

si yo sé que pasa por algún punto 00:07:12

imaginaros que me pidieran un plano paralelo 00:07:15

ejercicio, plano paralelo 00:07:19

a pi 00:07:22

que pasa 00:07:23

por el punto que queráis. 00:07:27

Laura, dime un punto. 00:07:30

Un punto, el que quieras. 00:07:37

1, 0, 2. 00:07:41

Entendido. 00:07:43

Plano paralelo a pi 00:07:44

que pasa por 1, 0, 2. 00:07:45

Hay dos maneras de verlo. 00:07:49

Si quiero que sea 00:07:51

paralelo a pi, lo que hacen 00:07:52

algunos alumnos... 00:07:54

¿Queréis callaros? 00:07:56

Es escribir 2 por 1 menos 4 por 0 más 6 por 2, ya que si pertenece el punto 1, 0, 2 al plano, al sustituirlo tiene que cumplirse la igualdad, más D de Dinamarca igual a 0. 00:08:02

Y eso es una ecuación de primer grado que podría sacar despejando ahí la D, ¿no? Pues a mí no me gusta hacerlo así. A mí me gusta más hacerlo poniendo la expresión normal del plano. 00:08:18

En este caso, que sería así, perdón, por z menos 2, igual a c. 00:08:32

La a, la b y la c, ¿quién sería? 00:08:49

La a, la b y la c son los coeficientes del vector, los de la x, la y y la z, ¿cuál sería? 00:08:53

2 menos 4, 6. 00:09:03

¿Por qué no pinta? 00:09:06

no sé, no sé, algo le está pasando 00:09:07

2 menos 4, 6 00:09:12

y si yo 00:09:16

efectúo eso, ¿qué me queda? 00:09:17

2X 00:09:20

menos 4Y 00:09:21

más 6Z 00:09:24

y ahora operar lo otro 00:09:26

2 por menos 1 00:09:28

menos 2 00:09:30

menos 4 por menos 0 00:09:32

o menos 4 por 0 00:09:33

0 y 6 por menos 2 00:09:35

total que me queda 00:09:37

menos 14 00:09:39

por supuesto 00:09:42

si yo hubiera hecho aquí el despeje de la D 00:09:43

¿qué quedaría? 00:09:46

evidentemente menos 14 00:09:51

que es lo mismo 00:09:52

entonces 00:09:53

lo podéis hacer de las dos maneras 00:09:55

pero yo todos los ejercicios estos 00:09:58

pues pasando al otro lado 00:10:00

todo lo demás 00:10:04

pero yo todos los ejercicios estos 00:10:05

los voy a hacer siempre utilizando la forma 00:10:08

normal 00:10:10

Es decir, en vez de diciendo que D es una cosa que no sé y que me salga, pues utilizando la forma normal y sale por sí solo ya. Tampoco es que sea mejor una que otra, pero yo lo voy a hacer de la manera normal. 00:10:11

Por cierto, ¿por qué se cumple esto? 00:10:29

Porque esto, acabo de decir que se cumple, pero esto ¿por qué es verdad? 00:10:33

¿Qué concepto hay ahí? 00:10:39

¿Alguien lo ve o no? 00:10:43

Sí, ¿de dónde sale esa fórmula? 00:10:47

A ver si después de decirlo, alguien me dice por qué, ¿dónde está ahí el producto escalar? 00:11:00

Estoy multiplicando ese vector 00:11:12

¿Por qué vector? 00:11:17

¿Por qué vector? 00:11:20

¿Por qué vector estoy multiplicando? 00:11:28

¿O eso no es un vector? 00:11:32

¿O eso no es un vector? 00:11:33

Esto es un vector del plano 00:11:42

Extremo menos origen 00:11:43

¿Cuál es el extremo? 00:11:46

¿Y cuál es el origen? 00:11:52

Entonces, si yo multiplico el vector 2 menos 4 es 6 00:12:00

Que es ortogonal al plano 00:12:03

Por el vector AP 00:12:05

Que es un vector del plano 00:12:06

¿Qué tiene que dar el producto escalar? 00:12:09

Cero 00:12:14

Esa es la justificación de esa fórmula 00:12:15

¿Lo habéis entendido? 00:12:17

Esa es la justificación de esa fórmula 00:12:20

En la fórmula de la forma normal del plano 00:12:22

es el producto 00:12:25

escalar, ¿de acuerdo? 00:12:28

Y así no tenemos que estar 00:12:35

hallando la D en ningún ejercicio. 00:12:37

¿Alguna pregunta? 00:12:43

Bueno, 00:12:47

no quiero avanzar mucho 00:12:50

sin ir haciendo algún tipo de ejercicio 00:12:51

porque a lo mejor vamos haciendo cosas 00:12:55

y luego decir que no hemos 00:12:57

visto nada 00:12:59

en el fondo. Entonces, vamos a hacer 00:13:00

ejercicios tontos. 00:13:03

Recta que pasa por dos puntos. 00:13:06

Venga. 00:13:14

¿Quién me dice la ecuación de una recta que pasa por dos puntos? 00:13:15

¿Cómo se calcularía? 00:13:21

Dime un punto A. 00:13:25

Tomás. 00:13:26

Un punto de 00:13:27

Venga 00:13:33

Escribidme todo en la ecuación de la recta 00:13:42

Que pasa por esos dos puntos 00:13:46

¿Qué hay que hacer? 00:13:47

Lo podéis hacer también en GeoGebra 00:13:53

¿Sería eso? 00:13:55

y ahora 00:14:08

¿cómo escribiría la resta? 00:14:12

por ejemplo 00:14:22

en forma continua ¿cómo sería? 00:14:23

ya está contestado el ejercicio 00:14:35

esto 00:14:37

también 00:14:39

Todas las rectas se pueden dar como corte de dos planos 00:14:41

Que es la forma implícita de una recta 00:14:45

Que es como corte de dos planos 00:14:50

Por ejemplo, este sería un plano 00:14:59

Y este sería otro plano 00:15:01

Despejarme ahí, pasármelo todo a un miembro 00:15:07

Para que parezca como la ecuación de un plano 00:15:16

Si tienes que ir 00:15:18

Venga 00:15:26

Lo habéis despejado igual que yo 00:15:28

Perdón, lo he puesto mal 00:15:52

Ahora 00:16:04

Estaba mal 00:16:06

Ahora está bien 00:16:07

El más tres 00:16:11

Hacemos la de abajo 00:16:15

Como me acerque por ahí atrás 00:16:16

Y vea que no estáis haciendo las cosas 00:16:22

Me voy a enfadar 00:16:24

Un poquito solo 00:16:26

Un poquito solo 00:16:28

creo que estáis hablando 00:16:30

luego 00:16:35

llega el examen y pasa lo que pasa 00:16:37

ya tenemos los dos planos 00:16:40

coger el geofiebre y pintar los dos planos 00:16:43

coger el geofiebre y pintar los dos planos 00:16:52

a ver 00:16:57

ya voy a borrar esto 00:17:11

a ver 00:17:18

Ángel, ¿me dices el primer plano? 00:17:25

bueno, yo lo he puesto con positivo 00:17:33

4X más 3Y menos 15 00:17:35

4X más 3Y menos 15 igual a cero. 00:17:48

¿Le veis ahí el primer plano? 00:17:56

Os habrá salido igual, ¿no? 00:17:59

¿El segundo? 00:18:02

2X más alto. 00:18:05

Vale, ahí tenemos el segundo plano. 00:18:12

¿Cómo se corta? 00:18:15

en una recta, ¿no? 00:18:16

Mirad cómo se ve la recta. 00:18:20

Vamos a utilizar, 00:18:22

atender todos, el comando 00:18:24

interseca. 00:18:25

Comando 00:18:29

interseca. 00:18:30

Interseca 00:18:33

¿Quién? 00:18:34

F1 00:18:35

con F2. 00:18:36

¿Y qué me ha salido ahí? 00:18:40

La recta, ¿la veis? 00:18:42

dos planos que se cortan 00:18:50

engendran 00:18:55

una recta 00:18:56

mañana veremos por qué precisamente 00:19:00

¿lo tenéis? 00:19:02

bien 00:19:05

oye, ¿seguro que esa es la recta 00:19:06

que teníamos? 00:19:08

vamos a ver 00:19:10

ahora voy a escribir aquí 00:19:11

la ecuación 00:19:15

de la recta 00:19:17

y GeoGebra me lo admite 00:19:20

en forma continua 00:19:21

Excepto 00:19:23

Si alguno de los denominadores es 0 00:19:24

Entonces no la admite en forma continua 00:19:27

Ángel, ¿me la dictas en forma continua? 00:19:30

X menos 3 00:19:35

Partido de 3 00:19:38

Igual 00:19:41

Y menos 1 00:19:44

Partido de menos 4 00:19:48

igual 00:19:52

z menos 2 00:19:55

partido de 2 00:19:59

fijaros, cuando yo lo escribo 00:20:02

se ve algo en GeoGebra 00:20:05

no se ve ningún cambio 00:20:10

¿por qué? porque está escribiendo 00:20:12

las dos rectas una encima de otra 00:20:14

si ahora 00:20:16

oculto alguno de los puntos 00:20:18

pues veo que efectivamente no desaparece la recta, ¿lo veis? De hecho, si oculto los planos, 00:20:20

pues ahora tengo la recta o tengo la recta, la he pintado en colores diferentes, pero es la misma 00:20:29

recta, ¿lo veis? ¿Lo veis que es la misma recta? Oye, mirad aquí a la pizarra un momentito, 00:20:36

aquí 00:20:53

no parece que sea la misma 00:20:55

recta 00:20:58

¿cómo podría ir a demostrar que es la 00:20:59

misma recta? 00:21:05

bueno, hay una cosa que sí que nos sale igual 00:21:07

que es 00:21:09

el punto que ha elegido por el que pasa 00:21:10

que por cierto 00:21:13

complicado, ¿no? 00:21:14

pero además 00:21:18

esto no 00:21:19

son vectores 00:21:20

¿es el mismo vector? 00:21:23

Son proporcionales 00:21:24

¿Qué habría que hacer? 00:21:27

Si tenéis una calculadora a mano 00:21:32

Y lo probáis 00:21:34

No os va a dar exacto 00:21:35

Porque no están todos los decimales 00:21:36

Pero vamos 00:21:37

¿Cuánto es 9 entre 0,3? 00:21:39

39 00:21:43

Y ahora 00:21:44

12 entre 0,17 00:21:46

¿Cómo? 00:21:48

No, no puede ser 00:21:53

12 entre 0 y 17 00:21:55

Ah, bueno, pues uno da 00:21:59

69 y otro 70 00:22:03

Está dentro del margen de error porque estos 00:22:04

Decimales tienen más 00:22:07

Decimales, ¿entendéis? 00:22:09

Bueno, entonces 00:22:12

Habéis entendido 00:22:13

No solo lo de GeoGebra 00:22:14

sino el concepto que hay detrás 00:22:17

corte de dos planos 00:22:19

da una 00:22:23

recta 00:22:25

si se corta 00:22:27

corte de dos planos da una recta 00:22:28

ahora voy a preguntar una pregunta bastante difícil 00:22:30

me dan los dos planos 00:22:35

vamos a ver si alguien 00:22:39

ha seguido toda la clase hasta aquí 00:22:40

me dan estos dos planos 00:22:42

alguien se le ocurre 00:22:44

cómo y por qué 00:22:47

porque cómo hay gente 00:22:49

que va a segundo de bachillerato 00:22:51

se lo cuenta al profesor, lo aprende 00:22:53

lo pone en el examen, saca un 10 00:22:55

pero no sabe por qué 00:22:57

cómo y por qué 00:22:58

si me dieran 00:23:01

estos dos planos desde el principio 00:23:03

solo 00:23:05

podría sacar el vector director de la red 00:23:05

se ha explicado 00:23:09

no digo que sea fácil 00:23:13

imaginarse, pero se ha explicado 00:23:18

venga, voy a ir ayudándose 00:23:20

hasta que alguien lo saque 00:23:30

¿Cómo es el vector 4, 3, 3? 00:23:31

Perpendicular a este plan. 00:23:38

El 2, 0, menos 3 es perpendicular a los... 00:23:47

El producto vectorial de los dos vectores nos haría el vector director de la red. 00:23:56

Claro. 00:24:03

¿La habéis entendido? 00:24:06

Mirá, voy a pintar los planos 00:24:07

Para que lo veáis 00:24:10

Si yo cojo el vector 00:24:11

El primero que hemos dicho 00:24:19

Y me sale perpendicular a este plano 00:24:21

No tiene por qué estar sobre el otro plano 00:24:23

Que alguien ha dicho algo de eso 00:24:25

No, no, no 00:24:26

Y hago el producto 00:24:27

Y el otro vector perpendicular al otro plano 00:24:29

Lógicamente 00:24:33

El producto vectorial es perpendicular 00:24:35

a los dos 00:24:37

y por tanto está 00:24:39

en los dos planos 00:24:41

es decir, en su intersección 00:24:43

es decir, es el vector director de la vez 00:24:45

vamos a comprobarlo 00:24:47

con números 00:24:49

vámonos todos a nuestra pizarra 00:24:50

y vamos a hacer 00:24:53

el producto vectorial de esos dos 00:24:57

vectores 00:24:58

vamos a hacer el producto vectorial de esos dos vectores 00:24:59

4, 3, 0 00:25:07

2, 0, menos 3 00:25:19

¿Cuánto da esto? 00:25:22

¿En la i? 00:25:30

¿En la j? 00:25:34

¿En la j? 00:25:39

Menos 12, pero como la j se cambia de signo 00:25:42

¿Y en la z? 00:25:45

Menos 6 00:25:52

bueno 00:25:52

pues no sé si es verdad 00:25:54

lo que os he dicho, porque el producto 00:25:57

vectorial nos da esto 00:25:58

y tenía que haber dado 00:26:00

tenía que haber dado 00:26:02

esto 00:26:06

proporcional 00:26:07

¿da proporcional? 00:26:14

pues claro 00:26:16

¿lo veis? 00:26:17

¿lo habéis entendido? 00:26:21

hay un ejercicio típico 00:26:22

también en la EVA 00:26:27

estamos haciendo ejercicios de los más básicos 00:26:28

pero que salen en muchos ejercicios después 00:26:31

si me dan una recta 00:26:33

como corte de dos planos, ¿cómo lo paso a forma 00:26:35

continua? 00:26:37

¿o cómo obtengo el vector 00:26:38

director de la recta? 00:26:41

pues con lo que hemos explicado 00:26:43

si 4, 3, 0 00:26:44

es perpendicular al primer plano 00:26:46

y 2, 0, menos 3 es perpendicular al segundo plano 00:26:48

subproducto vectorial que es perpendicular a ellos dos 00:26:51

es 00:26:53

el de la recta 00:26:53

¿entendido? 00:26:56

vale 00:27:02

y también hemos visto lo contrario 00:27:03

a partir de la forma continua de la recta 00:27:06

pasar la forma 00:27:08

implícita, ¿cómo? 00:27:09

primero con segundo y primero con tercero 00:27:13

o primero con segundo 00:27:15

y segundo con tercero 00:27:16

o segundo con primero 00:27:17

y segundo con tercero 00:27:19

Porque aquí, ¿cuántas ecuaciones dijimos que había? 00:27:21

Dos. 00:27:25

Dos, porque hay dos igual. 00:27:26

¿Entendido? 00:27:28

Son estas dos, en este caso. 00:27:30

Pero podría haber cogido segunda con tercera 00:27:32

en vez de esta o en vez de esta. 00:27:34

Muy bien. 00:27:38

No quiero empezar hoy 00:27:42

con el... 00:27:44

con el otro... 00:27:46

¿Dónde tengo...? 00:27:51

¿Dónde está el gráfico? 00:27:52

no quiero empezar 00:27:54

con las posiciones relativas 00:27:56

he estado mirando 00:27:57

por cierto 00:28:04

el día 2 de febrero 00:28:06

publicaron en el BOE 00:28:08

o el 4, no sé si el 2 o el 4 00:28:09

el nuevo decreto 00:28:11

de la EVAU 00:28:14

estamos esperando 00:28:15

que cambie el modelo que aparece en la página 00:28:17

de la UCM 00:28:20

que todavía sigue apareciendo el que había a principio 00:28:20

de curso, pues uno de estos días 00:28:24

cambiará y aparecerá un nuevo modelo 00:28:26

que no 00:28:27

influye en nada, si queréis tener 00:28:28

más ejercicios 00:28:32

lo tengo 00:28:33

he estado preparando 00:28:39

este ejercicio, a ver si 00:28:43

haya 2020 00:28:44

modelo, creo que 00:28:58

era 00:29:05

no, pues no era 00:29:12

este, a ver si era 00:29:16

la extraordinaria 00:29:19

sí, vamos a ver 00:29:20

si seríais capaces de hacer este 00:29:29

ejercicio completo con GeoGebra 00:29:31

y también 00:29:33

tendréis que ser 00:29:35

ya hoy capaces de hacerlo 00:29:37

en papel 00:29:39

es de la extraordinaria 00:29:41

de Madrid 2020 00:29:43

el 3 00:29:44

el 4 es de probabilidad 00:29:47

venga 00:29:49

vamos con él, coger un 00:29:51

GeoGebra limpio 00:29:53

coger un GeoGebra limpio 00:29:54

y primero 00:29:58

lo vamos a intentar hacer 00:30:01

no sé qué le pasa a la tableta 00:30:03

solo con GeoGebra 00:30:08

y luego le vamos a intentar hacer 00:30:13

Autor/es:: Pablo J. Triviño Rodríguez
Subido por:: Pablo Jesus T.
Licencia:: Reconocimiento - No comercial - Sin obra derivada
Visualizaciones:: 202
Fecha:: 10 de febrero de 2022 - 22:51
Visibilidad:: Público
Centro:: IES JOSÉ GARCÍA NIETO
Duración:: 30′ 18″
Relación de aspecto:: 3:2 El estándar usado en la televisión NTSC. Sólo lo usan dichas pantallas.
Resolución:: 1152x768 píxeles
Tamaño:: 301.00 MBytes