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Matriz inversa 2 - Contenido educativo
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Resolución de ecuación matricial por el método de la inversa
Fijaos ahora qué caso más interesante tenemos, nos dicen que bueno pues
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tenemos una ecuación matricial y que tenemos que hallar x tal que a por x es
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igual a b, siendo a y b pues estas matrices que nos dan. Aquí lo más
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importante cuando tengáis este tipo de sistemas es despejar la x, recordad que
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no existe la división de matrices pero sí que nos podemos aprovechar de
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la existencia de inversa, con lo cual bueno pues una de las cosas que
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tendríamos que comprobar para saber si podemos hacer lo que vamos a hacer es la
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existencia de inversa de a. Entonces asumiendo que existe pues
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multiplicaríais por la izquierda en ambos miembros
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y recordemos que a a la menos 1 por a nos da la matriz identidad y que la
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matriz identidad cuando la multiplicamos por x pues evidentemente esto nos va a
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dar la propia x. En definitiva que si nosotros queremos despejar x va a ser el
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producto de a a la menos 1 por b. Entonces en qué consiste como veis la
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resolución de este ejercicio, en hallar la inversa de a y multiplicarla por b, pues
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vamos a ello si os parece. Entonces ¿cómo hacemos la inversa de a?
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Bueno pues hacemos lo de siempre, lo primero es vamos a ver cuánto vale su
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determinante por el método que queráis, entonces bueno pues el determinante de
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a, 2, 1, menos 1, 0, 2, 3, 1, 1, menos 1, bueno pues por ejemplo si queréis lo podemos
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desarrollar por en este caso la columna 1 y bueno como ya sabemos hacerlo pues
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directamente vamos a ir más rápidos.
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Recordad que el 0 en este caso nos va a contribuir y podemos directamente pasar
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al tercer elemento de la columna 1, que sería 1, si quitamos su fila y su columna
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nos queda 1, menos 1, 2 y 3 y bueno pues desarrollamos 2 por, tenemos menos 2 menos
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3 que es menos 5 y aquí tenemos 3 más 2 igual a 5, más 5 o 1 más 5 que es 5, entonces 5 menos 10 es menos 5, que es distinto de 0, efectivamente
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sabemos que nuestra matriz admite inversa. Lo segundo, como hemos hecho en
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veces anteriores, pues vamos a hacer la matriz de adjuntos, entonces el paso 2,
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paso 2 ya sabéis, pues es hacer la matriz de adjuntos, vamos a intentar
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hacerla, entonces como siempre hacemos esos minideterminantes que hacemos
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siempre, o si queréis pues lo vamos haciendo, por ejemplo de este primer
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elemento tenemos 2, 3, 1, menos 1, del segundo elemento si quitamos fila y columna
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0, 3, 1, menos 1, de ese tercer elemento 0, 2, 1, 1, ahora tenemos los siguientes
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determinantes que vamos a desarrollar para este primer elemento, para este 0
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quitáis fila, quitáis columna, 1, menos 1, 1, menos 1, ese determinante por supuesto
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sabemos que va a dar 0, para el elemento central cogemos los de las esquinas, 2,
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menos 1, 1, menos 1, y para el tercer elemento de la segunda fila pues 2, 1, 1, 1, y por último pues ya nos
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quedan los últimos determinantes, y vamos a hacer lo mismo, para este primer elemento de la
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tercera fila quitáis columna, quitáis fila, 1, menos 1, 2, 3, para el segundo elemento quitáis
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fila, quitáis columna, 2, menos 1, 0, 3, y para el último elemento quitáis fila, quitáis columna, 2, 1, 0, 2, y simplemente pues ahora con un poquito de
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cuidado pues vamos a desarrollar nuestros elementos, entonces 2 por menos 1, menos 2 menos 3 es menos 5, 0, menos 3 sería menos 3 pero como tengo un signo menos me queda 3, 0, menos 2 es menos 2, este hemos dicho que daba 0, menos 2, menos 1 por menos 1
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que es más 1, entonces menos 2 más 1 que es menos 1, 2 menos 1 que es 1 pero como tengo un signo menos también sale menos 1, 3 más 2 que es igual a 5, 2 por 3, 6, menos 0, 6, pero tengo un signo menos, menos 6, y 2 por 2, 4, menos 0, 4.
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El paso 3, era transponer la matriz de adjuntos, entonces la transpuesta que es simplemente cambiamos filas por columnas menos 5, 3, menos 2, ahora es 0, menos 1, menos 1.
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5, menos 6 y 4,
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y por último pues la inversa,
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el último paso,
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último paso,
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es hacer la inversa
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y el determinante si no recuerdo mal pues nos habíamos salido menos 5,
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entonces en este caso
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a la menos 1 era 1 partido del determinante de a
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por adjunto de a
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transpuesto,
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os recuerdo que esto también se puede poner así adjunto de a
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transpuesto
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y bueno pues simplemente es 1 partido por menos 5
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por nuestra matriz,
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menos 5, 0, 5,
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3, menos 1, menos 6,
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y menos 2, menos 1, 4,
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entonces como se trata de que en este caso vamos a resolver un sistema
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lo que vamos a hacer es todavía no vamos a meter este factor,
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vamos a hacer primero el producto de a a la menos 1 por b,
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pero luego con este factor lo que haremos es
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meterlo a lo último,
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entonces
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vamos a poner
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ahora que x
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es igual a la menos 1
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por b,
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entonces pondremos
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menos un quinto
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por menos 5, 0, 5,
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3, menos 1, 6,
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menos 2, menos 1, 4,
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y nuestra matriz b
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pues tiene la forma,
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vamos a verla,
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nuestra matriz b era
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en este caso
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podemos
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incluso intentar,
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vamos a ver si la podemos trasladar,
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entonces
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permitidme un poco, bueno pues eso,
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que la tenga ahí,
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porque me va a ser un poquito más fácil de copiar, la ponemos ahí arriba,
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entonces tenemos 6, 2, 1,
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5, 0, 1, 3, 1, 2,
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y ya digo lo primero que vamos a hacer es multiplicar
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en este caso vamos a multiplicar primero esas dos matrices
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y dejaremos el menos un quinto
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porque es un poquito engorroso a la hora de multiplicar
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y luego ya bueno pues lo aplicaremos,
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vamos a hacer la multiplicación,
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entonces menos 5 por 6 que es menos 30, más 0,
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más 5 por 3 que es 15, entonces menos 30 más 15 es menos 15,
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primera fila por segunda columna sería menos 10,
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0, 5,
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entonces menos 5,
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tenemos aquí primera fila por tercera columna, menos 5, 0, 10,
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10 menos 5 es 5,
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ahora segunda por primera tendríamos 18,
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18 menos 5 es 13,
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18 menos 5 es 13,
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13 más 18 son
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en este caso 31,
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ahora tenemos 3 por 2 es 6, 0, 6,
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6 y 6 es 12,
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3 por 1 es 3, menos 1 es 2,
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más 12 es 14,
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y ahora es menos 12, menos 5 es menos 17,
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menos 17 más 12 es menos 5,
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menos 4 más 0 más 4 es 0,
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y menos 2 menos 1 que es menos 3,
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menos 3 más 8 que es 5,
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y ahora sí, si queréis, por ejemplo,
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podemos intentar
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meter ese factor,
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y siempre que sea posible dividiremos, por ejemplo,
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menos un quinto por menos 15 es 3,
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menos un quinto por menos 5 es 1,
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menos un quinto por 5 es menos 1,
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menos 31 quintos,
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menos 12 quintos,
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menos 14 quintos,
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menos un quinto por menos 5 es 1,
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esto es 0,
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y 5 por menos un quinto es menos 1,
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luego entonces nuestra X,
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nuestra matriz X,
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tendrá
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este valor,
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¿de acuerdo?
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Entonces como veis el asunto es muy sencillo,
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en realidad se trata primero de despejar la X,
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que siempre lo que vamos a hacer habitualmente es
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multiplicar por la izquierda o multiplicar por la derecha,
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y luego a partir de ahí hacer la inversa y hacer el producto
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que ya lo hemos practicado en clases anteriores, ¿de acuerdo?
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Bueno, pues vamos a dejarlo aquí
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y ya seguiremos.
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- Idioma/s:
- Autor/es:
- Gracia Moreno Flores
- Subido por:
- M.gracia M.
- Licencia:
- Todos los derechos reservados
- Visualizaciones:
- 12
- Fecha:
- 24 de octubre de 2023 - 23:03
- Visibilidad:
- Público
- Centro:
- IES DIONISIO AGUADO
- Duración:
- 13′ 16″
- Relación de aspecto:
- 1.91:1
- Resolución:
- 1024x536 píxeles
- Tamaño:
- 24.65 MBytes
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