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T1_NUMEROS REALES_1 - Contenido educativo

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Subido el 19 de septiembre de 2020 por Monica F.

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Empezamos el tema 1 de este primer curso de bachillerato de Ciencias Sociales 00:00:00
y este tema 1 se llama los números reales. 00:00:06
Lo primero que os pongo es un diagrama de todos los conjuntos de números que conocéis hasta ahora. 00:00:09
Lo que vamos a ir haciendo es ir leyendo estos apuntes y os iré señalando lo que voy leyendo cada vez. 00:00:16
Entonces, ahora mismo estamos viendo este diagrama y vemos que los números naturales que conocemos, que son el 1, 2, 3, etc., sería el conjunto más pequeño que aparece en este diagrama. 00:00:25
Si ampliamos ese conjunto y añadimos el número 0 y los números negativos, entonces estamos hablando del conjunto Z de los números enteros. 00:00:41
el conjunto de los números naturales está incluido dentro del conjunto de los números enteros 00:00:51
todos los naturales son enteros 00:00:58
si ampliamos el conjunto de los números enteros que son los positivos, negativos y el cero 00:01:00
ampliamos con números que no son enteros pero que se pueden escribir como una fracción 00:01:05
entonces tenemos el conjunto de los números racionales 00:01:10
y los números racionales como veremos un poquito después 00:01:15
Son aquellos números que se pueden expresar como una fracción, pero hay un conjunto de números que no se puede expresar como una fracción, que es el de los irracionales. 00:01:19
En los irracionales están todos los números con infinitos decimales. 00:01:28
Y englobando racionales e irracionales están los números reales. 00:01:32
Es el conjunto más amplio de números que vamos a estudiar este curso. 00:01:36
Y en el conjunto de los números reales se incluyen todos los que conocéis. 00:01:41
y todos son números decimales, exactos, periódicos o como sean, ¿de acuerdo? 00:01:46
Bueno, pues empezamos el punto 1 que se llama números racionales. 00:01:55
El conjunto de los números racionales se representa con una Q mayúscula. 00:02:03
Como habéis visto en el diagrama, todos los conjuntos de números se expresan con una mayúscula 00:02:07
mayúscula, pero barrada se llama, con una barra en vertical, como veis, ¿vale? Bueno, 00:02:12
pues el conjunto de los números racionales, leemos, está formado por todos los números 00:02:18
que se pueden escribir en forma de fracción, A partido por B, donde A y B, aquí pone con 00:02:24
A y B, que pertenecen, ese símbolo, espero que lo conozcáis, es un símbolo matemático, 00:02:30
es como una e, así, pertenece, se lee y dice aquí, e, a y b pertenecen a z, son enteros, o sea, números positivos o negativos. 00:02:38
Y además, con una condición, un número racional no puede tener el denominador cero, ¿vale? 00:02:49
Importante, porque un número partido por cero, pues ya sabéis que es infinito. 00:02:55
Bueno, entonces vemos aquí que incluye todos los enteros, incluye los enteros y de los decimales los exactos y los periódicos, es decir, los que se pueden expresar como fracción. 00:02:59
Bueno, vamos a hacer un recordatorio de cosas importantes de los números racionales que sabéis más que de sobra de otros años. 00:03:18
Lo primero, dos fracciones son equivalentes, x es igual, es decir, dos fracciones son iguales si representan la misma parte. 00:03:24
Y esto se traduce en esta propiedad matemática importantísima, que si multiplico en aspa los productos que se obtienen son iguales, a por d igual a b por c. 00:03:35
Fracción irreducible es aquella en la que el mínimo común múltiplo entre numerador y denominador es 1, 00:03:47
es decir, ya no puedo simplificar ningún factor arriba y abajo. 00:03:54
Y os pongo aquí, recuadrado, en todas las operaciones que hagamos, aunque sean con fracciones numéricas o algebraicas, 00:03:58
siempre reducir en cuanto se pueda. 00:04:05
Recordamos también lo que son fracciones propias e impropias. 00:04:10
Una fracción propia, el numerador es menor que el denominador. 00:04:13
una fracción impropia, el numerador es mayor, es decir, es mayor de 1, una fracción impropia. 00:04:16
Y luego, como hemos dicho, un número racional son todos los que están en este conjunto, 00:04:23
pero como hay fracciones equivalentes, por ejemplo, 2 tercios es lo mismo que 4 sextos, 00:04:29
es lo mismo que 9 veintisieteavos, ¿vale? 00:04:36
Todo ese conjunto de números equivalentes que representan lo mismo se llama número racional y como un número racional hay muchas formas de expresarlo, elegimos una de ellas que se llama representante canónico para hablar de todo el conjunto de fracciones equivalentes y es la fracción irreducible de denominador positivo. 00:04:42
Es decir, si yo tengo menos dos quintos, eso es un representante canónico y también representa a cuatro partido por menos diez y a toda fracción equivalente a esa. 00:05:02
Y luego vemos aquí, voy a quitar el rotulador para que lo veáis, las propiedades que os tenéis que saber de sobra de hace mil años. 00:05:17
la multiplicación de fracciones se hace en línea 00:05:26
a ver si puedo dibujar, sí, vale 00:05:30
para multiplicar fracciones multiplico en línea 00:05:34
si una fracción está elevada a un número negativo 00:05:39
es igual a la misma fracción dada a la vuelta y el exponente positivo 00:05:42
importantísima y a utilizar montones de veces 00:05:47
Entonces, la división. Para dividir, lo que hago es multiplicar en cruz. Otra manera de hacerlo. Dividir es lo mismo que multiplicar por la inversa. Si quiero dividir entre c partido por d, es lo mismo que multiplicar por d partido por c. 00:05:51
Si lo pongo de esta manera, entonces al final es una multiplicación que se hace en línea. Os lo aprendáis como queráis, ¿vale? La potencia de una potencia, si es la base fraccionaria, es igual que si la base es entera. Se multiplican los exponentes, c por d, si es una base elevado a una potencia y luego elevado a otra potencia. 00:06:10
Ahora, continuamos por aquí. El producto de potencias de fracciones con la misma base es sumar los exponentes. Si tengo la misma base a partido por b, a partido por b, sumo los exponentes. 00:06:34
Pero si tengo distinta base, como en este caso, pero tengo el mismo exponente, puedo encerrar el producto de las fracciones dentro del exponente, es decir, a partido por b elevado a c multiplicado por d partido por e también elevado a c, lo que puedo hacer es poner a partido por b multiplicado por d partido por e y todo ello elevado a c. 00:06:49
Os lo sabéis de memoria, ¿de acuerdo? Bueno, pues continuamos. Hemos visto un repaso rapidito de los números racionales, que son estos de aquí, estos de aquí, y ahora vamos a ver los números irracionales, que son estos de aquí. 00:07:14
Y si los racionales son los que se pueden expresar como una fracción, los irracionales son los que no se pueden expresar como una fracción, ¿de acuerdo? 00:07:34
El conjunto del I mayúscula, barrada, que se llama de los números irracionales, está formado por los números que no pueden expresarse como una fracción. 00:07:45
tienen infinitas cifras decimales que no se repiten de forma periódica 00:07:54
y conocéis muchos de ellos como pi, como e, como 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11 y puntos suspensivos, etc. 00:07:59
Y una propiedad importante es que si tengo un número que es racional, 00:08:09
es decir, que pertenece a q y uno que pertenece a i, que es irracional, 00:08:16
Si lo sumo, el resultado ha perdido la propiedad del racional. Es irracional. Y si lo multiplico, también. En el momento en el que una suma o un producto haya un número irracional, el resultado es irracional. Tiene infinitas cifras decimales. 00:08:19
Bueno, pues una vez vistos los dos conjuntos, os acordáis que en el diagrama de arriba decíamos que esos dos conjuntos unidos forman el conjunto de los números reales. 00:08:38
Y esto es exactamente lo que dice aquí, que los números reales se representan por R mayúscula y este conjunto es igual a la unión de Q e I. 00:08:48
Y, como os decía antes, existe el símbolo matemático pertenece, cuando es un elemento que pertenece a un conjunto, y existe el símbolo matemático, es como una U alargada hacia arriba, que es unión. 00:08:58
Quiere decirse que los elementos de R son la unión del conjunto Q y del conjunto Y. 00:09:13
Bueno, pues leemos, el conjunto R de los números reales está formado por los racionales y los irracionales, como hemos visto en el diagrama. 00:09:19
Y la recta numérica, en la que se representan todos los números reales, se denomina recta real. 00:09:30
Y vamos a utilizarla sobre todo para representar intervalos. 00:09:35
Pues vamos a ver propiedades, bueno, vamos a ver dos operaciones. 00:09:41
En los números reales vamos a hacer sumas y multiplicaciones. 00:09:45
como operaciones básicas. Y vamos a ver las propiedades que cumplen. Bueno, pues la suma 00:09:48
cumple la propiedad conmutativa, quiere decir que puedo sumar a más b o b más a. La multiplicación 00:09:54
también cumple la propiedad conmutativa. Las dos operaciones cumplen la propiedad asociativa, 00:10:00
quiere decir yo puedo hacer primero a más b y sumarle a ese resultado c o a y sumarle el 00:10:06
resultado de b más c y con la multiplicación lo mismo. Vamos a ver el elemento neutro de cada 00:10:12
operación. El elemento neutro se llama neutro porque lo que hace es nada, deja al elemento con 00:10:18
el que está operando como está. ¿Cómo puedo dejar a como está sumándole algo? Pues sumándole cero, 00:10:24
por eso cero es el elemento neutro y a más cero es a. ¿Cuál es el elemento neutro de la multiplicación? 00:10:30
El 1, porque al multiplicar a por 1, a se queda igual. Y el elemento simétrico. El elemento simétrico es 00:10:35
el que a un número a yo opero sumando o multiplicando y me da el neutro, ¿vale? Entonces, ¿qué 00:10:44
le tengo que sumar a a para que me dé 0? Menos a y se llama opuesto. ¿Qué le tengo 00:10:55
que sumar, que multiplicar a a para que me dé 1, que es el neutro? Pues a elevado a 00:11:01
menos 1 o lo que es lo mismo, 1 partido por a y se llama elemento inverso. Espero que 00:11:07
a elevado a menos 1 igual a 1 partido por a, nadie tenga dudas de que es así, que todo el mundo se lo sepa. 00:11:13
Bueno, y luego hay una propiedad que engloba, o sea, que utiliza las dos operaciones a la vez, 00:11:19
la multiplicación y la suma, que se llama la propiedad distributiva, que dice que si yo tengo un número 00:11:25
y a ese le multiplico por el resultado de una suma, lo que puedo hacer es multiplicar el primero por el primer sumando 00:11:31
y sumarle el primero por el segundo sumando. 00:11:41
Eso es lo que yo llamaba la regla de la pinza, 00:11:44
que es como si fuera un cangrejo, 00:11:48
que es que hago esto por esto y esto por esto, ¿vale? 00:11:50
Bueno, pues estas son las propiedades de la suma y la multiplicación de números reales 00:11:54
y lo último ya que os cuento es que, 00:12:02
aunque os suene un poco que no sabéis a qué viene, 00:12:08
Los números, los conjuntos en matemáticas, aparte de describirlos y decir qué propiedades tienen, 00:12:11
una propiedad importantísima es que tengan una relación de orden, que sean conjuntos ordenados. 00:12:19
Bueno, pues el conjunto de los reales es un conjunto ordenado. 00:12:24
Os parecerá que no tiene importancia, pero es importantísimo poder colocarlos en la recta real. 00:12:29
Existe otro conjunto de números que se llaman los números complejos, que no se pueden ordenar. 00:12:35
y entonces nunca puedes decir cuál es mayor que otro, si está por encima o por debajo, si es igual o no, no se pueden ordenar, ¿de acuerdo? 00:12:39
Bueno, pues el conjunto de los reales es un conjunto ordenado. Hasta aquí la clase de hoy. 00:12:46
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Subido por:
Monica F.
Licencia:
Dominio público
Visualizaciones:
138
Fecha:
19 de septiembre de 2020 - 18:02
Visibilidad:
Público
Centro:
IES CORTES DE CÁDIZ
Duración:
12′ 51″
Relación de aspecto:
0.75:1
Resolución:
1200x1600 píxeles
Tamaño:
114.13 MBytes

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