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CLASE CCFF 17 DE FEBRERO - Contenido educativo

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Subido el 17 de febrero de 2026 por M.jose S.

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Bueno, a ver, ayer empezamos con la trigonometría. 00:00:00
Ya os dije que la trigonometría se basa fundamentalmente en el estudio de los triángulos. 00:00:04
Y el estudio de los triángulos es, mediante una serie de fórmulas y una serie de teoremas, 00:00:09
que ya os dejé aquí algunos ayer, pues la trigonometría, el estudio de los triángulos, 00:00:16
consiste en conocido algunos datos de un triángulo y llegar a conocer todos sus datos. 00:00:23
¿Qué datos son los de un triángulo? Pues un triángulo es una figura que tiene tres lados y tres ángulos. 00:00:29
Conocer un triángulo es conocer la medida de sus lados y la medida de sus ángulos. 00:00:39
No me detuve mucho ayer sobre lo que es un ángulo y cómo se mide, etcétera, etcétera, porque bueno, eso es como ya tan básico, tan básico. 00:00:44
ya sabemos que un ángulo es este espacio que hay que dejan dos rectas al cruzarse 00:00:52
esto se mide con un transportador de ángulos 00:01:02
todos habéis conocido cuando sospechamos el cortador de ángulos 00:01:05
entonces si yo lo pongo aquí, si yo el transportador lo pongo aquí 00:01:09
esto es el cero, pues aquí me da la medida de este ángulo 00:01:14
Los ángulos se miden en grados hexagesimales o en radianes. 00:01:18
Los grados hexagesimales, un grado hexagesimal sale, si tú haces una circunferencia y la divides en 360 partes, cada una de esas partes, esto es un grado hexagesimal. 00:01:24
De tal manera que un ángulo recto, es decir, la cuarta parte de la circunferencia total, medido en grados hexagesimales, son 90 grados. 00:01:41
El doble, es decir, la mitad de una circunferencia son 180 y la totalidad son 360. 00:01:54
También se pueden medir en radianes, es una manera muy común de medir los ángulos. 00:02:03
Los ángulos, la diferencia es que la circunferencia yo la divido en dos pi partes 00:02:07
De tal manera que lo que es aquí un ángulo de 360 grados, aquí es un ángulo de dos pi radianes 00:02:14
Un ángulo de la mitad es pi radianes, es decir que un ángulo de 180 grados son pi radianes 00:02:25
El ángulo es el mismo, es solamente la manera de medirlo, es como si medimos una longitud, la medimos en metros o en centímetros. 00:02:35
El hecho, la medida no varía por medirlo de una manera o de otra, es decir, la medida es la misma, lo que pasa es que la medimos de una manera o de otra. 00:02:44
La medida, nosotros trabajaremos, trabajamos casi siempre, trabajamos con ángulos sesagesimales, 00:02:53
aunque a veces 00:02:59
insisto que también 00:03:01
se trabaja con radianes 00:03:02
si queréis pasar 00:03:05
de radianes a grados 00:03:09
o al revés, pues la equivalencia ya sabéis 00:03:11
es pi radianes 00:03:13
son 180 grados 00:03:15
es decir, este ángulo de 180 grados 00:03:17
en grados sesagesimales 00:03:19
son pi radianes 00:03:21
y con esas reglamentes 00:03:22
puedes cambiar de uno a otro 00:03:25
en general no vais a tener que hacerlo 00:03:26
Lo normal es medir los ángulos en grados exagesimales. 00:03:29
Tenéis que poner la calculadora que vayáis a llevar al examen. 00:03:32
Ya os he dicho que vuestra calculadora puede trabajar con ángulos medidos en radianes y en grados exagesimales. 00:03:36
Incluso algunos tienen una tercera medida que son grados centesimales. 00:03:44
Pero tenéis que mirar cómo es vuestra calculadora y ponerla en grados exagesimales. 00:03:48
Ya os dije ayer que para comprobar si una calculadora está en grados exagesimales solo tenéis que hacer el seno de 90, si el seno de 90 es 1, entonces si no, pues tenéis que ver las instrucciones de nuestra calculadora y ponerlo y pasarlo a una cosa bastante... 00:03:53
Entonces, sabiendo lo que es un ángulo, cómo se miden los ángulos y lo que es un triángulo, 00:04:08
la trigonometría empieza o comienza a estudiarse con el estudio de los triángulos rectángulos, 00:04:17
que son aquellos que tienen uno de sus ángulos es 90 grados. 00:04:28
Para el estudio de los triángulos, es decir, conocidos unos datos de un triángulo, sacar todos los demás 00:04:32
Tenemos que echar mano de una serie de teoremas 00:04:40
Uno de ellos es, en el caso de los triángulos rectángulos 00:04:43
En el caso de los triángulos rectángulos, tenemos el teorema de Pitágoras 00:04:47
que relaciona los tres lados de un triángulo rectángulo 00:05:04
y que dice que la longitud del lado mayor, que se llama hipotenusa, elevada al cuadrado 00:05:18
es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. 00:05:24
Es decir, que esta medida al cuadrado es igual a la suma de estas dos. 00:05:29
Y esto siempre se cumple, siempre se cumple en un triángulo rectángulo, solo en el rectángulo, en los que no son rectángulos. 00:05:34
Una cosa que sí se cumple en todos, aunque no sean rectángulos, es que la suma de sus ángulos, de la medida de sus ángulos, son 180 grados siempre. 00:05:44
En el caso de los triángulos rectángulos, como ya tenemos un ángulo que es de 90, pues sabemos que la suma de los otros dos son otros 90. 00:06:03
Bueno, y luego está otra cosa que se cumple con los triángulos rectángulos y de lo que podemos echar mano a la hora de calcular o de buscar las dimensiones o todos los elementos de un triángulo, son las variables trigonométricas. 00:06:14
Que son, fundamentalmente, el seno de un ángulo, vamos a poner el ángulo B, por ejemplo, y el coseno de un ángulo. 00:06:38
Estas son las fundamentales. 00:06:47
El seno de un ángulo se define como, como si yo cojo un ángulo, si tengo un ángulo cualquiera, el que sea, 00:06:49
y yo hago, dibujo un triángulo rectángulo, y tengo este ángulo B, 00:06:59
Bueno, pues lo dibuje como lo dibuje, lo dibuje como lo dibuje, la medida de este ángulo, el seno de este ángulo, el seno de este ángulo es lo que mira el cateto opuesto a él, en este caso B, partido por lo que mide la hipotenusa. 00:07:07
Siempre es así, siempre 00:07:27
Es decir, que si yo cojo, dibujo un ángulo 00:07:30
Si imaginaros que no tuviésemos calculadora, ¿qué haríamos? 00:07:33
Digo, bueno, pues voy a dibujar, quiero saber cuánto vale el seno de 30 grados 00:07:37
Pues cogería un transportador de ángulos 00:07:42
Dibujaría, si estos son 30, pues dibujaría un ángulo de 30 grados 00:07:46
Y luego ya, pues lo que haría sería, trazo cualquier línea que me forme un triángulo rectángulo y sé que el seno de este ángulo de 30 grados es lo que mira esto, dividido lo que mira esto. 00:07:54
¿De acuerdo? Vale. Lógicamente esto nosotros no lo tenemos que hacer, nosotros el seno de un ángulo nos lo da directamente la calculadora y el coseno de un ángulo también. 00:08:18
Lo que sí tengo que saber es la relación geométrica que hay en un triángulo rectángulo entre el valor de ese seno con las medidas del triángulo, es decir, el seno de un ángulo siempre es en un triángulo rectángulo lo que mide el cateto opuesto a partir de lo que mide la hipotenusa. 00:08:27
Y el coseno de un ángulo es lo que mide el cateto contiguo, es decir, el cateto con el que está formando ese ángulo partido de la hipotenusa. 00:08:43
Esos son, no te va a hacer falta, nunca te van a hacer medir nada, ni te van a hacer nada, todo va a ser cálculo. 00:08:59
De estas dos variables trigonométricas sale una tercera, que es la tangente, que es el seno partido el coseno, y que es el cateto opuesto partido el cateto contiguo. 00:09:05
Estas son las tres razones trigonométricas y su relación con los lados de un triángulo rectángulo. 00:09:28
¿De acuerdo? A partir de aquí salen las inversas a estas, que son razones trigonométricas con las que se trabaja menos, que son la inversa del seno es la cotangente, no, no, no, ¿qué va? 00:09:34
La inversa del seno es la cosecante, que es 1 partido el seno. 00:09:54
La inversa del coseno es la secante y la inversa de la tangente es la cotangente. 00:10:03
Estas son las variables o razones trigonométricas que se cumplen siempre en cualquier triángulo rectángulo, siempre se cumplen. 00:10:19
Entonces, disponemos de esa fórmula y luego la fórmula base o básica de la trigonometría que dice que el seno de un ángulo elevado al cuadrado más su coseno elevado al cuadrado es siempre igual a 1. 00:10:31
De ahí podéis deducir de forma rápida que tanto el seno como el coseno de un ángulo son siempre valores menores de uno 00:10:52
Si por alguna razón metéis el seno en la calculadora y os sale que el seno es mayor que uno o el coseno es mayor que uno 00:11:01
Estáis fallando en algo 00:11:11
De una manera de comprobar en trigonometría, los senos y los cosenos son, las tangentes no 00:11:13
Pero los senos y los cosenos son siempre valores menores de 1. 00:11:18
Están entre 0 y 1. 00:11:23
Y los ángulos pueden ser negativos también. 00:11:24
Un ángulo negativo, los ángulos se miden, se miden, si yo tengo un ángulo así, se miden hacia allá. 00:11:27
En el sentido contrario a las agujas del reloj. 00:11:37
Y si lo medimos en sentido contrario, o sea, en el sentido de las agujas del reloj, los ángulos... 00:11:39
Bueno, esto es todo lo que vimos ayer. 00:11:45
¿Qué pasa si con estas herramientas tenéis que ser capaces de sacar cualquiera de los lados o de los ángulos de un triángulo? 00:11:48
Basta con que os den dos cosas o tres cosas o los datos que os den y con estas herramientas tenéis que ser capaces de sacar todos los elementos de un triángulo rectángulo. 00:12:05
Si el triángulo no es rectángulo, bueno, lo tenéis, os doy un resumen de las fórmulas, fijaros que lo tenéis en razones trigonométricas, aquí tenéis el seno, coseno y la tangente, lo veis, siempre fijaros en lo que es B, lo que es A, porque, a ver, una cosa importante, 00:12:16
Yo esto lo he llamado A, lo he llamado B y lo he llamado C, pero yo no sé, este B y este A no son este B y este A, no tienen nada que ver. A ver, ¿no? Olvidaros del A, B y C, o sea, es cateto opuesto partido hipotenusa, en su caso al cateto opuesto lo he llamado B y a la hipotenusa A, pero lo importante es cateto opuesto partido hipotenusa, no que se llamen B, A, C, D o H, en cada ejercicio se llamarán de una manera. 00:12:39
Aquí lo importante es que el seno de este ángulo es su cateto opuesto, que es este, partido de la hipotenusa, ¿de acuerdo? 00:13:08
Que no os fijéis en la nomenclatura, porque la nomenclatura tú, esto lo puedes llamar como quieras, los ángulos y los lados lo puedes llamar como quieras, H, C, F, F. 00:13:17
Lo importante, el concepto es, el seno es cateto opuesto partido de hipotenusa, cateto opuesto al ángulo. 00:13:28
Si estoy trabajando con este ángulo, su cateto opuesto es este, si estoy trabajando con este, su cateto opuesto es este, ¿vale? ¿De acuerdo? ¿Me seguís? Bueno, ahí tenéis las razones fundamentales, las relaciones fundamentales también, que son esa, la de seno cuadrado más coseno cuadrado igual a 1 y la tangente que es seno partido coseno, y luego las otras razones trigonométricas que son estas que os he puesto aquí, que las tenéis aquí, ¿lo veis, no? 00:13:35
Bueno, entonces, eso para los triángulos rectángulos. 00:14:01
¿Qué pasa con los triángulos que no son rectángulos? 00:14:05
Que son la mayoría. 00:14:08
Claro, la mayoría de los triángulos no son rectángulos. 00:14:09
Bueno, para trabajar con los triángulos no rectángulos tenemos dos teoremas. 00:14:15
Solo dos teoremas. 00:14:22
Bueno, tenemos, ya sabéis que se cumplen todos los triángulos. 00:14:23
Bueno, me ha salido casi... 00:14:28
si esto es A, B y C, fijaros que normalmente en geometría en general siempre se nombran los lados 00:14:30
y el ángulo opuesto es el que se nombra como el lado, los ángulos siempre se ponen en mayúscula 00:14:40
y con el acento circunflejo ese y los lados en minúscula y entonces el ángulo A siempre tiene en frente, 00:14:46
generalmente es el que se nombra así. 00:14:53
Bueno, pues tenemos, aparte de que ya sabemos que la suma de los ángulos de un triángulo es 180, esto se cumple para todos los triángulos, no solamente para los triángulos rectángulos. 00:14:55
y luego tenemos el teorema del seno que dice que la medida de un lado partido el ángulo opuesto es una constante 00:15:11
y el teorema del coseno que dice que un lado cualquiera al cuadrado es la suma de los otros lados al cuadrado menos dos veces 00:15:26
Aquí lo veis, pone teorema del coseno en la última página, bueno en la página siguiente, 00:15:53
en la última, en la página siguiente pone teorema del coseno, no, es lo mismo, es esto, b cuadrado más t cuadrado menos 2b por c y coseno de a. 00:16:05
lo que tienes que quitar no es A por B, es B por C, no es menos 2AB, es menos 2BC, ¿lo veis? ¿de acuerdo? 00:16:18
Bueno, ¿qué dice esto? Esto dice que si yo cojo un triángulo cualquiera y divido esta medida por el seno de este ángulo, 00:16:32
me va a dar lo mismo que si divido esta medida por el seno de este ángulo y si divido esta medida por el seno de este ángulo. 00:16:43
Y el teorema del coseno dice que cualquiera de los lados, la longitud de un lado en un triángulo cualquiera elevado al cuadrado 00:16:50
es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos dos veces el producto de los dos lados por el coseno del ángulo, 00:16:58
¿Veis? Que le corresponde a el lado que estoy buscando. 00:17:09
¿De acuerdo? 00:17:14
Bueno, es que cuesta más explicarlo que escribirlo. 00:17:18
Y que luego utilizarlo. 00:17:22
Entonces, vamos a ver, vamos a resolver, por ejemplo, 00:17:25
ayer resolvimos algún triángulo rectángulo. 00:17:30
Vamos a resolver un triángulo no rectángulo, por ejemplo. 00:17:34
Bueno, tenemos un triángulo cualquiera y me dice que un lado mide 20 centímetros, otro lado mide 10 centímetros y el ángulo este mide 20 grados. 00:17:38
¿De acuerdo? 00:17:54
Entonces, fijaros que yo para resolver triángulos no rectángulos dispongo de muchas menos fórmulas o de muchos menos recursos que cuando tenía antes. 00:17:55
Entonces, resolver este triángulo será llegar a saber cuánto valen estos dos ángulos y cuánto mide este lado, ¿no? 00:18:03
Es lo que me falta, son los datos que me faltan. 00:18:13
Entonces, yo tengo el teorema del seno y el teorema del coseno y nada más, 00:18:17
porque luego lo otro que tengo es que la suma de los ángulos tiene que ser 180 grados, 00:18:24
pero de momento como solo tengo uno, no puedo calcular nada más. 00:18:28
Entonces, yo digo, bueno, pues voy a ver con el teorema del seno 00:18:31
El teorema del seno dice que un lado, este de 10 centímetros 00:18:36
Partido por el seno de 20, es decir, por el seno del ángulo opuesto 00:18:41
Va a ser igual, si esto le llamo B 00:18:46
Sería seno de 20, ¿no? 00:18:50
Perdón, sí 00:18:54
Por el seno de 20 00:18:54
Tiene que ser igual a los 20 centímetros estos 00:18:56
partido por el seno 00:19:01
no es ninguno 00:19:05
de los que hay, ninguno 00:19:06
es uno que tengo yo aquí 00:19:07
y resulta que me encuentro 00:19:09
que aplicando la fórmula del seno 00:19:12
ya puedo sacar 00:19:15
cuánto vale el seno de B 00:19:16
¿por qué? 00:19:19
porque tengo una fórmula 00:19:20
en la que tengo 00:19:22
hay cuatro cosas 00:19:23
y de las cuatro cosas 00:19:25
sé tres y me falta una 00:19:26
despejo esto 00:19:27
esto será esto por esto 00:19:29
y este por este, 10 por seno de b es igual a 20 por seno de 20, luego seno de b es 20 00:19:30
por seno de 20 y partido por 10, que alguien me diga cuánto vale eso. Bueno, esa calculadora 00:19:45
chicos, de verdad, es que si la calculadora no hace nada, va a llegar ya el examen y no 00:19:55
ve si se va a utilizar la calculadora, es el seno de B es 0,68, pero yo no quiero saber 00:20:01
cuál es el seno de este ángulo, yo lo que quiero saber es cuál es el ángulo, entonces 00:20:08
la calculadora tiene una tecla que es inversa del seno o arcoseno que metiéndole el seno 00:20:12
de un ángulo te da el ángulo. Entonces, yo lo meto en la calculadora y de aquí saco 00:20:20
que B, el ángulo B es cuánto. Bueno, 42,9 grados. Luego esto, mire, 42,9 grados. Ahora 00:20:25
Y así, ahora tengo dos ángulos, pues nada, 180, para saber C, C será 180 menos 20 más 42,9, que es cuánto, son 40, 60, son 120, 118, esto es 117,1. 00:20:41
Bueno, pues ya tengo mis tres ángulos y dos lados, solamente me queda un lado. 00:21:09
Puedo volver, si queréis, puedo volver al teorema del seno, porque yo teniendo esto, yo digo, bueno, pues lo mismo, ¿no? 00:21:18
Digo, ahora lo que hago es que quiero saber cuánto vale este lado, pues yo sé que si cojo el teorema del seno, 10 partido por el seno, 00:21:26
Bueno, 10 partido por el seno de 20 tiene que ser igual que x partido por el seno de 117 con 1. 00:21:35
Por lo tanto, si despejo aquí, esto por esto, esto por esto, bueno, esto por esto me da que x es igual a 10 por el seno de 117 con 1 y partido por el seno de 20, que tampoco se lo queda, y me da la medida de x. 00:21:49
De acuerdo, fijaros que con el teorema del seno me ha servido 00:22:15
Podría utilizar el teorema del coseno 00:22:22
También, si para sacar x en vez del seno podría utilizar el coseno 00:22:24
¿Cómo utilizaría el coseno? 00:22:29
Pues diría, la medida de x al cuadrado es 10 al cuadrado más 20 al cuadrado 00:22:30
menos dos veces diez por veinte 00:22:39
y por el coseno de ciento diecisiete 00:22:45
que es la otra fórmula 00:22:50
un lado al cuadrado es igual a 00:22:52
el otro lado al cuadrado más el otro lado al cuadrado 00:22:55
menos dos veces la multiplicación de los dos lados 00:22:57
por el coseno del ángulo que le corresponde 00:23:00
más o menos, bueno, es que tenéis que hacer alguno vosotros 00:23:03
si no es imposible 00:23:05
pues si no lo hemos hecho mal 00:23:06
este, 26 00:23:08
¿de acuerdo? 00:23:10
bueno, vamos a finalizar 00:23:12
a ver, vamos a hacer 00:23:14
el 27 00:23:16
bueno, o si queréis 00:23:17
bueno, sí, el 27, venga 00:23:20
el 27, que es la resolución de un triángulo 00:23:22
me dan dos de sus ángulos 00:23:24
y un lado 00:23:26
que esto mide 55 00:23:27
que esto A 00:23:32
este lado 00:23:33
mide 7,5 00:23:35
¿y cómo sabes que es así? 00:23:38
hombre, es mayor que 90 00:23:43
o sea, yo he empezado dibujándolo así 00:23:44
yo he empezado dibujándolo así 00:23:46
dibujándolo así 00:23:48
yo he empezado dibujándolo así 00:23:49
pero claro, cuando he puesto aquí 00:23:53
digo, eso no puede ser, esto tiene que ser mayor de 90 00:23:55
por lo tanto el triángulo tiene que ser así 00:23:57
¿no? 00:23:59
porque si estos 90 son esto 00:24:00
pues si es mayor que 90 tiene que ser así 00:24:03
¿no? 00:24:05
Bueno, y este de aquí son 7,5 00:24:07
¿Por qué sé que ese es el de 7,5? 00:24:12
Porque es el que está enfrente, veis que los ángulos es lo que os he dicho 00:24:16
El ángulo A y el lado A 00:24:21
El ángulo A es 55 y el lado opuesto es 7,5 00:24:22
Venga, a ver si resolvéis el resto 00:24:26
Ya sabéis, suma de ángulos 30, 80 y teorema del seno y teorema del coseno. 00:24:30
Con esas tres cosas os tenéis que apuntar. 00:24:37
Sí, es el 27, pone problemas de resolución de triángulos. 00:24:40
El 27, A, la 0, luego hacemos los... 00:24:45
Tú dibuja un triángulo cualquiera y ponle dos ángulos, en los que quieras. 00:24:48
Y entonces, a ti te dicen, a ti lo que te dan es A, que es un ángulo de 55, B, que es un ángulo de 98 grados, y te dan un lado A. 00:24:54
A y A, ya os he dicho que cuando se nombran, significa que este ángulo es el opuesto, el que está enfrente del lado A. 00:25:12
Entonces yo, este 98 podría estar aquí, yo no sé dónde está. 00:25:22
No se sabe dónde está. 00:25:26
Incluso puedes dibujarlo así, como yo lo he dibujado antes, que da igual. 00:25:28
Me da igual que lo dibujes así. 00:25:31
Si el dibujador ahora mismo lo de menos, es para identificar, tú dices 55, 98, lo que quieras, 98, y entonces ahora eso sí. 00:25:35
A tiene que ser lo que está enfrente de 55. 00:25:46
Me da igual que lo dibujes así. 00:25:50
Tiene que darte entre cero y cero 00:25:51
Pero ahí tienes que sacar el ángulo 00:25:54
Es decir, no nos importa el seno de los ángulos 00:25:56
Nos importa el ángulo 00:25:58
Una vez que tienes el seno 00:25:59
Tienes que sacar el arcoseno 00:26:02
O el seno elevado a menos uno 00:26:03
No sé cómo viene en la calculadora 00:26:06
El total de los ángulos 00:26:08
Lo sacas tú, son 180 00:26:09
Ahí cuánto falta para... 00:26:11
Si tienes dos ángulos, tienes los tres 00:26:14
Siempre 00:26:15
Ahora lo que tienes que conseguir es el valor 00:26:16
Lo que miden los otros dos lados 00:26:19
tenéis que probar el teorema del seno 00:26:20
a ver si con el teorema del seno sale 00:26:23
y si no, pues el teorema del coseno 00:26:24
bueno, a ver 00:26:26
os dan dos ángulos y ya tenéis el tercero 00:26:32
el tercero sale directamente 00:26:34
y luego, digo, bueno, pues voy a probar el teorema del seno 00:26:35
el teorema del seno yo tengo 00:26:39
lo que mide un lado 00:26:40
tengo el ángulo opuesto, sí 00:26:42
porque tendría que ser seno 00:26:47
de 55 00:26:49
y esto tiene que ser igual 00:26:51
a lo que mide otro lado, que no lo sé 00:26:54
cojo cualquiera de ellos, pues C 00:26:56
partido el seno 00:26:57
del ángulo opuesto a él 00:27:00
y de aquí 00:27:02
saco C 00:27:05
C es igual a 00:27:06
7,5 00:27:10
por el seno 00:27:11
de 98 00:27:13
partido por el seno 00:27:15
de 55 00:27:18
si hago lo mismo pero en vez de con C lo hago con B 00:27:19
pero ahora el lado opuesto a B 00:27:24
que es este, es 27 grados 00:27:33
el ángulo opuesto 00:27:36
luego B será 00:27:37
7,5 por el seno de 27 00:27:42
partido por el seno de 55 00:27:49
en este caso con el teorema del seno os sale 00:27:54
¿qué dice el teorema del seno? 00:28:00
que lo que mide un lado por el seno del ángulo opuesto 00:28:02
es igual a lo que mide otro lado por el seno del ángulo opuesto 00:28:05
entonces como yo tengo este lado y su ángulo opuesto 00:28:09
pues saco los otros dos con el teorema del seno 00:28:14
No tiene mayor... 00:28:17
Y ya está. 00:28:19
A ver, ¿cuánto es eso? 00:28:22
¿Esto es 9,06? 00:28:25
Bueno, 9. 00:28:28
9,04. 00:28:31
¿De acuerdo? 00:28:34
Vale. 00:28:36
Venga, siguiente. 00:28:37
Hacemos el otro. 00:28:38
El 28. 00:28:39
El 28 os da dos lados y el ángulo comprendido entre ellos. 00:28:40
Dos lados, vamos a suponer que os da estos dos lados, B, 14, y os da este ángulo comprendido entre el teorema del seno, que es más fácil, y luego... 00:28:47
Hombre, pues no puedes perder el norte de lo que estáis hallando. 00:29:01
A ver, aquí os faltan este ángulo y este ángulo, vamos a llamarle este A, a este B, y este A, que te lo miro. 00:29:04
Yo probaría siempre con el teorema del seno. 00:29:13
Pero resulta que cuando voy a poner el teorema del seno, digo, bueno, vamos a ver, para poder aplicar el teorema del seno y que me sirva, 00:29:16
tengo que tener siempre un lado y el ángulo de enfrente, porque si no, no hay igualdad. 00:29:24
Fijaros que con el teorema del seno, para poder utilizar esta igualdad, yo tengo que tener como mínimo un lado y el ángulo que tiene enfrente, 00:29:30
que no es el caso 00:29:39
porque yo aquí tengo este ángulo 00:29:41
pero no tengo la medida del lado 00:29:44
y tengo la medida de este lado 00:29:46
pero no tengo este ángulo 00:29:48
y tengo la medida de este lado 00:29:49
o sea, que el teorema del seno aquí 00:29:50
si intentáis utilizarlo no os va a servir de nada 00:29:52
no os sirve de nada 00:29:55
entonces tengo que coger el teorema del coseno 00:29:57
¿qué dice el teorema del coseno? 00:30:00
bueno, pues yo voy a coger este 00:30:02
este de aquí 00:30:05
que sé cuál es su ángulo, si yo cojo este, si yo cojo este, vale, si yo cojo este, c al cuadrado va a ser igual a la suma menos dos veces 20 por 14 y por el coseno de 35 grados. 00:30:07
Tengo estos dos lados y tengo el ángulo aquí, entonces como esto es el ángulo que corresponde a esta, es el que tiene enfrente, pues de aquí saco que esto vale lo que vale. 00:30:34
Y aquí me da que C vale aproximadamente 11,7. 00:30:47
Y ahora ya sí que puedo utilizar el teorema del seno, ¿por qué? 00:30:55
Porque ya tengo este lado y este, por lo tanto, si quiero saber cuánto vale este ángulo, pues digo, tenemos el seno, 11,7 partido, bueno, como ya tengo esto, a partir de aquí, digo, bueno, pues entonces, 11,7, lo que mide un lado por el seno de su ángulo opuesto, que le tengo, 00:30:59
Tiene que ser igual a lo que mide el otro partido por el seno del ángulo B 00:31:25
De donde B, seno de B 00:31:35
Esto por esto, esto por esto serían 20 por seno de 35 y partido por 11,7 00:31:39
Y de la misma manera, bueno y ya, de aquí saco B 00:31:52
el seno de B me da 0,98, luego el arco seno de eso son 78, B son 78,5 brazos, estos son 78,5. 00:31:57
Y ahora ya sé que el ángulo que me falta, que es A, es 180, menos 35 y menos 78,5. 00:32:24
A es 66,5. 00:32:41
Repito. 00:32:48
Bien, a mí me dan, inicialmente me dan un triángulo y del triángulo me dan dos lados y el ángulo comprendido, ¿de acuerdo? 00:32:49
Yo sé que con esto no puedo aplicar el teorema del seno, porque para poder aplicar el teorema del seno y que me sirva de algo, 00:33:04
es decir, que yo pueda despejar en esa fórmula algo, tengo que tener como mínimo un lado y el ángulo opuesto. 00:33:11
En este caso no lo tengo porque de este lado no tengo su ángulo, de este lado no tengo su ángulo y de este ángulo no tengo su lado. 00:33:20
O sea que ya sé que ahí con el teorema del seno no voy a ninguna parte. 00:33:28
Entonces yo, bueno, pues solamente me queda una, que es el coseno. 00:33:32
Entonces el teorema del coseno dice que un lado, como yo ya me sé estos dos lados, 00:33:35
Entonces digo, el que me falta, este, tiene que ser igual a este al cuadrado más este al cuadrado menos dos veces este por este y por el coseno del ángulo opuesto a este, es decir, de 35 grados. 00:33:40
y de aquí saco el valor de c 00:33:53
ahora ya si tengo 00:33:55
porque ahora ya tengo este lado también 00:33:57
ahora ya puedo coger 00:34:00
y decir el teorema del seno 00:34:01
esto partido el seno de esto 00:34:03
tiene que ser igual que esto partido el seno de esto 00:34:05
y de aquí 00:34:07
me sale el seno de b 00:34:08
y con la calculadora 00:34:10
y de la misma manera 00:34:12
esto partido el seno de esto 00:34:14
tiene que ser igual que esto partido el seno 00:34:16
bueno, ni siquiera 00:34:18
aquí no he hecho eso ni siquiera 00:34:19
Una vez que tengo este ángulo, el ángulo B, ya lo saco el que falta por los 180 menos eso. 00:34:21
¿De acuerdo o no? 00:34:30
¿No qué? 00:34:31
¿No qué? 00:34:33
¿Dónde está? ¿Cuál es el problema? 00:34:35
El seno. 00:34:37
¿Qué le pasa? 00:34:38
Pero vamos a ver, el seno de un ángulo es un número, es un número, que te lo da la calculadora. 00:34:39
Es decir, que el seno de un ángulo no tiene ningún problema, es un número, y te lo da la calculadora. 00:34:44
Es decir, es como si en vez de seno te pongo 3,5, pero esto es un número, seno de 35 grados es un número. 00:34:49
Entonces tú, a ver, en la trigonometría, en la trigonometría, tenéis que saber las fórmulas. 00:34:59
O sea, toda la geometría, todo lo que vamos a ver de geometría, tenéis que saber las fórmulas. 00:35:10
y saber lo que es una fórmula, una fórmula es algo que te sirve para sacar una de las cosas teniendo todas las demás, 00:35:17
porque si no, no te sirve para nada, si a pesar de eso no puedes, entonces tendrías que montar un sistema de ecuaciones como hicimos ayer, 00:35:27
cuando tú tienes más de una incógnita y no tienes fórmulas para resolverlas, pues tienes que montar sistemas de ecuaciones, 00:35:35
Ahora veremos a ver en qué casos pasa eso. Entonces, ¿qué fórmulas tienes? Tú tienes estas dos fórmulas, no tienes más. En el caso de triángulos que no son rectángulos, solo tienes esas dos fórmulas. 00:35:43
Entonces, tú sabes que para aplicar esta fórmula, para aplicar esta fórmula, tú necesitas saber, necesitas tener lo que mide un lado y el seno del ángulo opuesto. 00:35:56
Es decir, tienes que saber cuál es el ángulo opuesto, si no es imposible. Y esta fórmula lo que dice es que si conoces dos lados, puedes conocer el tercero si conoces el ángulo opuesto a este. 00:36:09
Es decir, para sacar lo que mide un lado, tienes que conocer lo que miden los otros dos y además el ángulo que hay opuesto a este. 00:36:24
Ya sabéis que eso es importante, que cuando yo nombro un lado A, el ángulo opuesto es el A mayúscula. 00:36:33
El A mayúscula, el A. 00:36:41
Solo tienes esas dos fórmulas. 00:36:42
Entonces yo, si me dan esto, si me dan esto, voy a ponerlo. 00:36:45
Si me dan esto, insisto, me dan lo que mide esto y lo que mide esto, y lo que mide este ángulo. Entonces yo cojo, cojo mi, bueno, voy a poner los primas, me da igual, 14, 20 y 20, me da igual. 00:36:49
entonces yo digo, bueno pues voy, solo tengo dos cosas 00:37:13
yo puedo sacar los ángulos 00:37:16
no, solo tengo un ángulo, si tuviese dos 00:37:18
podría sacar el tercero, pero solo tengo uno 00:37:20
no puedo, voy con el teorema 00:37:22
del seno, digo bueno, entonces 00:37:24
a esto lo voy a llamar A 00:37:26
por lo tanto este es el ángulo A 00:37:28
esto lo voy a llamar B 00:37:30
por lo tanto este es el ángulo B 00:37:32
y esto lo voy a llamar C 00:37:34
y por lo tanto este es el ángulo C 00:37:36
y entonces digo, bueno pues 00:37:38
voy a probar el teorema del seno 00:37:39
Esto A partido el seno de 20 tendría que ser igual a esto A20, bueno, voy a poner una cosa para que no os... 00:37:42
A20 partido el seno de B. 00:37:55
¿Qué me pasa? 00:38:01
Que de aquí no saco nada, porque tengo dos incógnitas, esta y esta. 00:38:03
Tengo dos incógnitas. Si lo hago con otro, digo, bueno, pues voy a hacerlo con esto, 14 partido el seno de C, tiene que ser igual a, yo qué sé, pues a partido el seno de 25. 00:38:08
Me vuelve a pasar lo mismo, tengo esta incógnita y esta incógnita, de aquí no saco nada. 00:38:26
Yo para poder sacar algo de ahí, tengo que tener todo menos una cosa. Despejo esa cosa y la consigo. 00:38:30
entonces no puedo, entonces digo teorema del seno no 00:38:35
teorema del coseno, el teorema del coseno dice que un lado 00:38:38
un lado cualquiera, este por ejemplo, 14 al cuadrado 00:38:43
tiene que ser igual a los otros dos lados, 20 al cuadrado 00:38:48
más a al cuadrado, más dos veces 20 por a 00:38:52
y además por el ángulo opuesto a este, por el coseno de c 00:38:58
Bueno, pues aquí 00:39:04
¿Qué me pasa? 00:39:07
Que tengo dos incógnitas también 00:39:09
Con eso no hago nada 00:39:10
Entonces digo, bueno 00:39:11
Yo solamente puedo hacer algo 00:39:14
Sacando este 00:39:17
Que digo, bueno, voy a hacerlo con este 00:39:18
A al cuadrado es igual 00:39:21
A 20 al cuadrado 00:39:23
Un lado al cuadrado más el otro 00:39:25
Al cuadrado menos dos veces 00:39:27
Un lado por el otro 00:39:29
Y por el coseno del ángulo 00:39:31
opuesto a A 00:39:33
que lo tengo, que es 25 00:39:35
y digo, ah pues aquí sí 00:39:37
de aquí saco A 00:39:39
y saco este valor, y yo voy probando 00:39:40
solo tengo dos fórmulas para probar 00:39:43
yo voy probando 00:39:46
hasta que consigo una 00:39:47
que 00:39:48
me da un resultado, con eso ya 00:39:49
saco esto, que no sé cuánto da 00:39:53
imagínate que da 18 00:39:55
y ahora ya digo, bueno pues 00:39:57
ahora ya si tengo, siempre que tengas 00:39:59
un lado y su ángulo 00:40:01
opuesto, ya te puedes ir 00:40:04
al teorema del seno, que es más sencillo. 00:40:05
Aplicas el teorema del seno 00:40:09
y ya está. 00:40:10
En la página siguiente a esa, 00:40:11
ah, no, el 29, 00:40:14
el 29, que también es de triángulos. 00:40:16
En este se conocen los tres lados 00:40:18
y os faltan 00:40:20
los tres ángulos. 00:40:22
¿Qué? 00:40:25
Pero entonces no voy a decir, los lados 00:40:26
no miden. El problema es que 00:40:28
los lados tienen que medir lo que miden. 00:40:29
Un lado 37, otro lado 42 y otro lado 61. 00:40:31
Teorema del seno. 00:40:37
¿Tenemos un lado y su ángulo opuesto? 00:40:38
No. 00:40:43
No, pues entonces olvidaros del teorema del seno. 00:40:43
Tenéis que ir directamente al teorema del coseno. 00:40:46
Aplicar el teorema del coseno y despejar. 00:40:48
Claro, pues ya está. 00:40:57
Teniendo el coseno ya tienes un ángulo. 00:40:59
lo haces con otro 00:41:01
y te dará el coseno de otro ángulo 00:41:03
ya lo tienes 00:41:05
y ya el tercer local es una fórmula 00:41:06
en la que tienes todo menos una cosa 00:41:08
que es el coseno del ángulo 00:41:10
por coseno de este ángulo 00:41:11
el coseno siempre te tiene que dar 00:41:14
haces el axón 00:41:17
a ver, lo hago 00:41:18
¿lo has hecho? 00:41:20
bueno, a ver 00:41:22
yo aquí veo que no puedo 00:41:24
utilizar el teorema del seno 00:41:26
porque no tengo un lado 00:41:29
y el ángulo opuesto no lo tengo 00:41:31
entonces utilizo el coseno 00:41:33
entonces digo, bueno, voy a coger este lado 00:41:34
68 al cuadrado 00:41:37
tiene que ser igual a 00:41:40
42 al cuadrado más 37 00:41:41
al cuadrado 00:41:44
menos dos veces 00:41:45
42 por 37 00:41:47
y por el coseno del ángulo 00:41:49
opuesto a él, que en este caso es 00:41:52
digo, a fenomenal, pues tengo todo menos una cosa 00:41:54
luego despejo esa cosa 00:41:58
¿Cómo despejo esta cosa? Pues la despejo, el coseno de A será igual a 68 al cuadrado menos 42 al cuadrado menos 37 al cuadrado 00:41:59
y partido por menos 2 por 40, por el cuadrado de un lado más el cuadrado del otro menos dos veces uno por otro y por el coseno del ángulo. 00:42:15
¿De acuerdo? A ver cuánto me da esto. 00:42:27
esto me da 00:42:29
menos 0,40 00:42:32
este ángulo 00:42:36
el ángulo A 00:42:37
este ángulo me da 00:42:39
118 grados 00:42:40
¿acabas? 00:42:43
yo lo he hecho con la metida 00:42:46
¿cómo? 00:42:47
97 cuadrados 00:42:51
no te entiendo 00:42:52
¿cuál es? 42 00:42:53
pero ¿cuál? 00:42:56
A ver, pero es que, o sea, ¿entran los tres siempre? 00:42:59
No es que siempre entran los tres, no puedes ir solo con dos lados, tienes que ir con tres. 00:43:04
Es decir, yo he cogido este para calcular este ángulo, ahora sí cojo este. 00:43:08
Para calcular este será 42 al cuadrado igual a 37 al cuadrado más 68 al cuadrado 00:43:12
y menos dos veces treinta y siete por sesenta y ocho y por el coseno de c. 00:43:23
Si esto sería coseno de c es igual a treinta y siete al cuadrado más sesenta y ocho al cuadrado 00:43:33
menos 42 al cuadrado 00:43:48
y partido 2 00:43:50
por 37 00:43:52
y por 68 00:43:54
entonces me da 00:43:55
un momento 00:43:57
bueno 37 00:44:01
y ahora este pues ya sé 00:44:03
que B 00:44:06
es 180 00:44:07
menos 118 00:44:10
y menos 37 00:44:12
A ver, yo aplico el teorema del coseno. 00:44:16
El teorema del seno no puedo, ya lo he visto, lo he probado y no me da. 00:44:21
Entonces, aplico el teorema del coseno. 00:44:24
El teorema del coseno dice, yo tengo, inicialmente, yo tengo, yo tengo esto. 00:44:26
Entonces, digo, bueno, pues voy a aplicar el teorema del coseno. 00:44:33
El teorema del coseno dice que yo cojo un lado cualquiera, el que sea. 00:44:35
primero he cogido este, que este lado al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos, 00:44:39
menos dos veces el producto de los otros dos, por el coseno del ángulo opuesto a ese lado. 00:44:47
Cuando yo planteo la fórmula me doy cuenta de que efectivamente lo tengo todo menos una cosa, 00:44:53
y lo que hago es despejarla. 00:44:58
¿Cómo despejo? Digo, despejar es dejar solo el coseno, despejar una cosa es dejarla sola. 00:45:00
Entonces yo empiezo diciendo, esto pasa restando, esto pasa restando, entonces tendría que menos 2 por 42 y por 37 y por el coseno de A será igual a 68 al cuadrado menos 42 al cuadrado menos 37 al cuadrado. 00:45:07
Y ahora, para dejar esto solo, como todo esto le está multiplicando, pues pasaría aquí dividiendo 00:45:30
Y me daría esto, ¿de acuerdo? 00:45:38
Yo lo que hago es despejar, lo único que hago es despejar 00:45:40
Me llevo este restando y este restando 00:45:43
Y luego, como todo esto le está multiplicando a la incógnita, que es coseno de A 00:45:45
Pues pasa todo dividiendo con su signo 00:45:50
Bueno, pues la C, porque me he permitido el lujo de decir 00:45:52
No, pues lo que voy a hacer es que paso todo esto allí para que sea positivo 00:45:55
y entonces me quedaría 2 por 37 por 68 por coseno de c, y esto me lo paso aquí, igual a 37 al cuadrado más 68 al cuadrado menos 42 al cuadrado, 00:46:00
para que no me quede negativo, porque me molesta mucho que no me quede negativo, y ahora ya esto lo paso dividiendo, 00:46:19
O sea, lo que he hecho ha sido, aquí he dejado esto aquí y me he llevado esto para allá, y aquí lo que he hecho ha sido, me he llevado esto para allá, o sea, hacer una ecuación es montar piezas hasta dejar solo, que eso, lo puedes hacer como quieras, tú puedes irte llevando cosas hasta que lo dejas solo, lo que, lo que, bueno, sobre una ecuación no es más que eso, es dejar sola la incógnita, es decir, aquí lo que tengo que dejar solo es esto, que es mi incógnita. 00:46:27
entonces yo me lo voy moviendo las cosas 00:46:57
entonces digo, bueno, esto que está aquí sumando 00:47:00
pasa restando, esto está sumando y pasa restando 00:47:02
ahora, esto, ¿qué le está haciendo 00:47:05
a la incógnita? 00:47:06
¿lo está multiplicando? 00:47:09
pues pasa dividiendo 00:47:10
¿de acuerdo? 00:47:11
de la misma manera hago el c 00:47:14
y una vez que tengo los dos 00:47:16
cuando yo saco el coseno 00:47:18
ya sabéis que esto 00:47:21
saco el ángulo directamente 00:47:22
metiéndolo a la calculadora 00:47:24
no porque 00:47:26
es que de verdad que es una fórmula 00:47:27
es que no tiene más 00:47:31
¿y qué pasó? 00:47:32
te despejaste mal 00:47:34
yo creo que he puesto un medio diálogo despejando 00:47:34
y he puesto un más 00:47:37
en uno de esos medios he puesto un más 00:47:38
entonces me daba 00:47:41
bueno, pero la cuestión es que 00:47:42
veáis que solo tenéis dos fórmulas 00:47:45
cuando se trata de triángulos que no son rectángulos 00:47:47
solo tenéis dos fórmulas 00:47:49
con lo cual es una u otra 00:47:51
es plantearla y ver con cuál de ellas 00:47:53
podéis conseguir 00:47:56
que tener 00:47:57
todo menos una cosa, y esa cosa es la que 00:48:00
despejar. Bueno, 00:48:02
otro. Si pasáis página, 00:48:05
si pasáis la página, por ejemplo, 00:48:07
el 6, bueno, o el 4, 00:48:09
el 4 no lo hicimos ayer, 00:48:10
el 4. 00:48:12
Son todos iguales, ¿eh? O sea, he hecho uno, 00:48:14
he hecho todos, venga. 00:48:16
No, no, el 4, el 4. 00:48:18
El teorema 00:48:21
del seno y el teorema del coseno 00:48:22
también sirve para los triángulos 00:48:24
las fórmulas de los triángulos rectángulos 00:48:26
solo sirven para ellos 00:48:28
pero sin embargo las de los triángulos generales 00:48:30
sirven para todos 00:48:33
¿qué puedo decir para quitarme? 00:48:34
te voy a dar con el charje de las matemáticas 00:48:36
falla más que una 00:48:38
yo también le he cambiado el símbolo 00:48:39
le he quitado el menos 00:48:43
en el otro 00:48:44
está bien 00:48:45
quítale el menos 00:48:48
yo aquí le he quitado el menos 00:48:49
¿cómo le he quitado el menos? 00:48:51
yo aquí le puedo quitar este menos 00:48:52
si pongo aquí menos, aquí más y aquí más 00:48:54
ya está, un poquito todo bien 00:48:56
aquí te dan 00:48:57
a ver 00:48:59
me da esto 00:49:02
y te dan 00:49:06
el lado B que mide 20 00:49:07
el lado C que mide 25 00:49:11
y el ángulo 00:49:15
te dan este, 30 00:49:19
bueno, te piden el área, pero olvídalos del área 00:49:22
vamos a calcular 00:49:25
lo que son 00:49:27
todo lo demás 00:49:29
bueno, pues aquí, ¿tienes un lado 00:49:30
y su ángulo opuesto? 00:49:33
no, pues no te va el seno 00:49:34
así que al coseno 00:49:36
a ver, hemos dicho 00:49:37
como no tenemos un lado 00:49:42
y el ángulo opuesto 00:49:45
nos olvidamos del teorema del seno 00:49:46
vamos al coseno, entonces 00:49:48
Ya tenemos dos lados, pues vamos a calcular el que me falta 00:49:50
Entonces, c al cuadrado tiene que ser igual 00:49:56
¿Y al cuadrado? 00:49:59
Ah, que esto es a 00:50:02
Bueno, vale 00:50:03
Es igual a 20 al cuadrado más 25 al cuadrado 00:50:05
Menos dos veces 20 por 25 00:50:11
Y por el coseno de 30 00:50:15
bueno, pues aquí es solamente hacerlo 00:50:18
esto es meterlo en la calculadora 00:50:21
no tenéis nada que despejar 00:50:22
¿cuánto os da? 00:50:24
vamos a ver 00:50:27
tenéis que hacer la raíz cuadrada 00:50:27
A es la raíz cuadrada de esto 00:50:31
o sea, A es la raíz cuadrada 00:50:34
porque ahí os da A cuadrado 00:50:35
y vosotros lo que buscáis es A 00:50:37
¿vale? vamos a ver 00:50:38
12,6 00:50:40
no has hecho la raíz cuadrada 00:50:41
hay que hacer la raíz cuadrada 00:50:44
porque a ti lo que sacas de esa fórmula es a cuadrado, entonces necesitas saber a. 00:50:45
Bueno, y ahora ya sí, ahora ya podríamos utilizar el teorema del seno, 00:50:52
porque ya tenemos un lado y el ángulo opuesto. 00:50:57
Para calcular estos otros dos lados, pues puedo hacer esto, 00:50:59
Puedo coger y decir, 12,6 partido el seno de 30, tiene que ser igual a 20 partido, no sé cómo lo llama, B, partido seno de B. 00:51:02
de aquí sale que seno de B 00:51:18
esto pasa aquí, esto pasa ahí 00:51:22
entonces seno de B 00:51:24
será esto por esto que son 20 00:51:27
20 por seno de 30 00:51:31
y partido por 12,6 00:51:33
y aquí os sale el seno de B que es cuánto 00:51:38
está mal obviamente el seno de B 00:51:42
bueno, pero los números, vale, se te olvida hacer la raíz cuadrada 00:51:43
no tiene mayor importancia 00:51:46
La cuestión es que luego, ¿cuánto da el seno de B? 0,74. Luego B es cuánto? Bueno, con 7, ¿vale? 47,7. 00:51:47
Y ahora ya el otro, el C, sería 180 menos 30 y menos los 47,7, que son 2. 00:52:06
¿De acuerdo? 00:52:26
¿El qué? 00:52:27
¿Esto coge todo? 00:52:27
Bueno, vamos a ver. 00:52:32
en general 00:52:34
los ejercicios que caen 00:52:36
de trigonometría nunca son 00:52:38
de la resolución de un triángulo directo 00:52:40
siempre son, os explican 00:52:42
una historia y tenéis vosotros 00:52:44
que dibujarla y 00:52:46
ahí ya una vez dibujado 00:52:47
una vez dibujado ya 00:52:49
podéis aplicar ya 00:52:52
los triángulos normales, pero no os dan 00:52:54
los triángulos dibujados, entonces 00:52:56
yo os voy a hacer uno, por ejemplo 00:52:58
os voy a hacer de esa hoja en la que estáis 00:53:00
el quinto, el de las agujas del reloj, dice, las agujas del reloj de la torre miden 30 00:53:02
y 24, dice, ¿qué distancia hay entre ellas? Es decir, ¿cuánto mide esto? ¿Cuándo esto 00:53:10
marca a las 5 de la tarde? Entonces, si marca a las 5 de la tarde, ¿qué ángulo es ese? 00:53:24
A ver, el reloj, ¿17 por qué? 00:53:29
A no ser las 5, a no ser las 5. 00:53:31
No, ¿cuántos grados tiene un reloj? 00:53:34
Toda la esfera. 00:53:37
360. 00:53:38
360, ¿no? 00:53:39
Luego, estos son... 00:53:40
180. 00:53:44
180, ¿no? 00:53:45
Y si yo divido esto, ¿cuántas partes hay que dividir esto? 00:53:46
En 6. 00:53:51
En 6, cada una de estas partes, ¿cuánto es? 00:53:52
30 grados, ¿no? 00:53:54
Y si cojo 3, 4 y 5, si cojo 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 3, lo estoy haciendo mal. 00:53:55
Es que lo estoy esperando mal. 00:54:02
O sea, 150 grados. 00:54:04
¿Tú vas a ver hasta las horas para hacer esto? 00:54:05
No, es saber calcular un ángulo en un dibujo. 00:54:08
Si tú tienes las 5, tú has dividido 1, 2, 3, 4, 5 y 6. 00:54:12
Esto son 180 grados y cada una de estas es 30. Si estamos 1, 2, 3, 4 hasta 5, 5 por 3 son 150 grados. 00:54:21
Luego, claro, estos son 150 grados. 00:54:34
Calcular el ángulo que forman las agujas del reloj, pues solamente... 00:54:43
¿O quince cada uno? 00:54:47
¿Cómo? 00:54:48
¿Quince cada uno? 00:54:49
No, son cada uno, cada uno son 30 grados. 00:54:50
Cada paso, cada paso, cada paso son 30 grados. 00:54:55
Son diferentes medidas. 00:54:59
Es que no sé por qué tú inmediatamente vas y divides entre dos como si eso fuese como si la geometría 00:55:01
fuese una ciencia exacta, que lo es, pero vamos, como si tú pudieras sacártelo de la cabeza. 00:55:05
No, esto sería igual si estos dos fueran iguales, pero si no son iguales, ya no son, ya los ángulos no son iguales. 00:55:11
Entonces, ¿tenemos un lado y lo que mide el ángulo opuesto? ¿Cuál? 00:55:20
¿Cuál tenemos? No tenemos ninguno. 00:55:28
Luego, tenemos el coseno de ese ángulo, es menos 0,86. 00:55:32
No, es imposible eso. 00:55:47
A ver, sí, tenemos el coseno, x al cuadrado es igual a 30 al cuadrado, 00:55:49
más 24 al cuadrado 00:55:55
menos dos veces 00:55:56
por 24 00:55:59
y por el coseno 00:56:02
de 150 00:56:04
si yo hago la raíz cuadrada de esto 00:56:06
me da, ¿cuántos da? 00:56:11
que es lo que me pide 00:56:16
¿de acuerdo? 00:56:21
¿de acuerdo? 00:56:22
bueno 00:56:24
Si vais a la página anterior 00:56:24
Todos esos son problemas 00:56:30
En la página anterior 00:56:32
Son problemas típicos 00:56:33
De resolución de triángulo 00:56:35
Voy a hacer el primero 00:56:38
Fijaros, para hacer un ejercicio de estos 00:56:39
Es absolutamente necesario dibujarlo 00:56:42
Si no lo dibujáis 00:56:44
No podéis hacerlo 00:56:46
Porque no se ve, es imposible verlo 00:56:47
Es imposible imaginárselo 00:56:49
Pensar cómo lo vas a resolver 00:56:51
Es imposible. Entonces, dice, una antena de radio está sujeta al suelo por dos cables, que forman con la antena ángulos de 30, de 36 y de 48 grados. 00:56:53
Los puntos de los cables, los puntos de sujeción de los cables están en el suelo alineados con el pie de la antena. 00:57:08
y distan entre sí 98 metros, estos son 98 metros, y me piden la altura de la antena, ¿de acuerdo? 00:57:15
Bueno, ya os dije, estos son triángulos rectángulos, estos son triángulos rectángulos, ¿de acuerdo? 00:57:28
¿Vale? Son dos triángulos rectángulos, yo tengo aquí un triángulo que es este, 00:57:36
Este triángulo tengo 48 grados, 36 grados. 00:57:41
Si a esto le llamo Y, esto es 98 y esto es X para los dos. 00:57:49
¿Lo veis? 00:57:56
Esta es la altura que me piden. 00:57:58
Esto no sé lo que mide, pero sí sé que el total es 98. 00:58:00
Luego si a uno le llamo Y, el otro es 98 menos Y. 00:58:03
¿De acuerdo? 00:58:07
Y ya os dije que estos ejercicios siempre se hacen con, yo tengo esto, aquí tengo, mis incógnitas son los dos catetos de este triángulo y aquí los dos catetos de este triángulo. 00:58:08
Entonces, ¿qué fórmula relaciona los triángulos rectángulos, los dos catetos? La fórmula de la tangente, es decir, que si yo cojo esto, la tangente de 48 grados es cateto opuesto que es I partido cateto contiguo que es X. 00:58:33
Y por este lado si yo cojo la tangente de 98 menos y, uy perdón, la tangente de 36, es cateto opuesto 98 menos y partido cateto contiguo que es x. 00:58:52
Y aquí sí que tengo que hacer yo el problema que me dan, lo divido en 2 00:59:14
Entonces, ¿cómo resuelvo esto? Despejo la x en las dos y igualo 00:59:19
Entonces, si yo despejo la x en esta, x es igual a y partido la tangente de 48 00:59:26
Porque esto pasa multiplicando y esto pasa dividiendo 00:59:39
Y aquí lo mismo, x es igual a 98 menos y partido por la tangente de 35. 00:59:44
Si ahora igualo, porque las dos x las igualo, tengo que y partido, ¿cuál es la tangente de 48? 00:59:56
Es igual a 98 menos y partido, ¿cuál es la tangente de 36? 01:00:07
0,72 01:00:13
y ahora multiplico esto por esto 01:00:17
y esto por esto 01:00:19
0,72i 01:00:20
es igual 01:00:23
1,11 por 98 01:00:24
menos 01:00:26
1,11i 01:00:30
entonces 01:00:32
ahora 01:00:33
algo se me ha cerrado aquí 01:00:35
no puede ser 01:00:38
porque me da negativo 01:00:40
Ah, nada, nada, qué tentería. Estoy diciendo una tentería. 01:00:41
Esto pasa sumando, entonces 0,72 más 1,11 son 1,83i es igual a 108,7. 01:00:46
Y es igual a 108,7 partido de 1,83. 01:00:58
¿Cuánto da ahí? 01:01:05
Si lo calculáis, ¿cuánto da? 108,7 partido 1,88, 59,4, ¿no? 01:01:05
Bueno, pues yo ya sé que esto es 59,4, por lo tanto yo ahora me cojo esto y digo, y entonces x es 59,4 partido la tangente de 48, que me habéis dicho que es 1,8. 01:01:14
¿Cuánto es eso? 53. Esto es lo que me pedían. La altura del mástil es 53,5 metros. 01:01:35
¿Veis lo que he hecho? Siempre se hacen igual estos ejercicios. 01:01:55
Tenéis que sacar, siempre en estos ejercicios hay dos triángulos 01:01:59
Entonces sacáis los dos triángulos y tenéis que plantear uno y plantear otro 01:02:05
En este caso siempre no vais a poder resolver un triángulo por un lado y otro triángulo por otro 01:02:12
Porque siempre vais a tener, el problema aquí es que no conocéis nada 01:02:17
Y el problema aquí es que no conocéis nada tampoco 01:02:22
Entonces tenéis que plantear la relación que hay entre las cosas que tenéis en uno y las cosas que tenéis en otro y luego igualar lo que es igual. 01:02:25
Y así se resuelve. 01:02:34
Visto lo que yo he hecho, he cogido y he dicho, esto es lo que me dan. 01:02:36
Entonces digo, tengo dos triángulos, este de aquí y este de aquí. 01:02:40
¿Qué conozco de este? Esto y esto no lo conozco, por lo tanto lo llamo Y. 01:02:43
¿Y de aquí qué conozco? Esto y esto tampoco lo conozco. 01:02:49
Lo único que sé es que los dos suman 98, luego yo si uno es Y, el otro es 98 menos Y. 01:02:52
Y ahora digo, bueno, pues a ver, aquí, ¿cómo relaciono estas tres cosas que tengo? 01:02:58
O sea, que me piden y que son mis incógnitas. 01:03:03
Pues es un ángulo con los dos catetos, en un triángulo rectángulo, 01:03:06
un ángulo con los catetos se relaciona siempre con un ángulo con los dos catetos, 01:03:11
de un triángulo rectángulo se relaciona siempre con la tangente del ángulo, 01:03:18
son triángulos rectángulos. 01:03:21
Entonces, ¿cómo lo relaciono con la tangente? 01:03:23
Entonces la tangente de un ángulo en un triángulo rectángulo es el cateto opuesto, 01:03:27
que es la Y, partido del cateto contiguo, que es la X. 01:03:32
Y aquí exactamente igual, este y este, que son los dos catetos de este triángulo, 01:03:34
se relacionan con la tangente, tangente, cateto opuesto partido cateto contiguo. 01:03:39
De aquí despejo x, esto pasa a multiplicar, sube multiplicando y esto baja dividiendo. 01:03:45
Y aquí lo mismo. 01:03:52
Y ahora ya me limito a igualar estas dos cosas, si las dos cosas son x, pues entonces las igualo. 01:03:53
Y ahora esto por esto y esto por esto, 0.72 por y, 1.11 por esto y por esto. 01:03:58
Esto que está restando pasa sumando, 1.83 y ya me saco la y. 01:04:04
me voy a cualquiera de estas y digo 01:04:10
bueno, pues si la Y vale eso, la X 01:04:13
vale esto 01:04:15
¿de acuerdo? 01:04:16
¿lo veis? bueno, a ver 01:04:19
os iba a proponer una cosa 01:04:20
a ver 01:04:24
para dar todo 01:04:27
el temario, en este 01:04:29
tiempo que tenemos 01:04:31
tendría que ir a una vez, entonces 01:04:32
os voy a proponer una cosa 01:04:34
¿podéis venir los días? 01:04:36
A ver, yo os propongo una cosa. Como siempre, si apartamos las funciones, el análisis, podemos centrarnos en el resto. 01:04:38
Con el resto podemos ir tranquilamente, porque nos quedaría terminar esto, que todavía nos queda bastante, y luego por la mañana, de los viernes, los que puedan venir, pues que vengan y de clase. 01:04:50
De todas maneras, yo doy una clase, la grabo y os la subo. 01:05:07
Para los que no podéis venir y queréis estudiaros esa parte, yo os la voy poniendo. 01:05:12
Y yo los viernes los tengo de 10 a 11 y media, hora y media. 01:05:17
Y ahí doy análisis. 01:05:21
O sea, lo que hago es, yo aquí sigo y ahí doy análisis. 01:05:22
De forma que los que vengáis a las dos, pues podéis preparar todo. 01:05:26
Luego, los que no podéis venir los viernes, podéis también preparar esa parte por vuestra cuenta, 01:05:30
porque os lo grabo 01:05:36
y luego está el que decida 01:05:37
no prepararse el análisis y centrarse en nada más 01:05:39
este es el vídeo que hemos tenido este año 01:05:41
voy a ir 01:05:43
es que si no tengo que dar esto a una pastita 01:05:44
a una de los pares 01:05:47
en los análisis yo sí caí uno solo 01:05:48
siempre ha caído 01:05:51
uno de matrices, o sea, con lo que hemos dado 01:05:53
siempre han caído dos 01:05:56
uno de matrices y uno de 01:05:57
eso, con la teoría de matrices que hemos dado 01:05:58
siempre tendríais dos 01:06:00
luego cae 01:06:02
uno de esto, que a veces es más fácil 01:06:04
a veces es más difícil, el año pasado 01:06:06
fue la 01:06:08
como aquí, el año pasado 01:06:09
cayó uno de esto y hacer 01:06:12
la ecuación de una recta 01:06:14
o sea, es que eso 01:06:15
forma parte de esto, no cayó ninguno 01:06:18
de triángulos, es lo que me quieres decir 01:06:20
no cayó ninguno de triángulos pero cayó 01:06:22
de esta parte, de la parte de geometría 01:06:24
cayó, hay siempre uno de geometría 01:06:26
más fácil o más difícil, el año pasado fue difícil 01:06:28
fue relativamente difícil esta parte 01:06:30
otras veces ha sido más sencillo porque ha caído 01:06:32
y luego cae uno de probabilidad 01:06:35
y unos que hemos hecho 01:06:37
si los hicimos el otro día todos aquí 01:06:40
un problema que tienes que plantear 01:06:41
un sistema de ecuaciones y resolverlo 01:06:44
o sea siempre cae uno de 01:06:46
siempre ha caído, es que ya no sé 01:06:47
yo no puedo, soy adivina 01:06:49
yo lo que siempre ha caído 01:06:51
ha caído siempre 01:06:52
uno de matrices 01:06:54
los de matrices y sistemas de ecuaciones 01:06:55
los hicimos el otro día, todos los de examen 01:06:58
son los que os di 01:07:01
Luego cae uno de funciones, de análisis, uno de funciones, y luego cae uno de probabilidad, que se cae seguro, y uno de geometría, que puede ser, como ya os digo, o de trigonometría pura, que es esto, o... 01:07:02
Vamos a ver, el problema del análisis no es esto, no es que sea difícil, el problema del análisis es que requiere unos conocimientos previos que no tenéis. 01:07:19
es el problema 01:07:28
es el problema 01:07:31
es que yo las dificultades que veo aquí 01:07:32
para 01:07:34
despejar una ecuación 01:07:35
cuando llegas a la análisis 01:07:39
necesita mucho manejo 01:07:40
de expresiones 01:07:43
de expresiones algebraicas 01:07:43
necesita mucho manejo 01:07:46
necesita mucho manejo 01:07:47
bueno, que lo diga José 01:07:49
que es el único que lo ha hecho 01:07:51
otras veces 01:07:54
no, no soy godío 01:07:55
No os agobiéis porque no tenéis por qué agobiaros. Es decir, si no os sentís con eso, dedicaros a prepararos las tres partes estas que son esas. O sea, si las hacéis fenomenal, os aprobar seguro. Eso lo podéis hacer. 01:07:58
Y luego está el análisis. Damos las clases, yo doy las clases todos los viernes de 10 a 11 y media. Y yo la clase la doy, es decir, la grabo. El que venga, ¿qué? 01:08:16
Este viernes ya a la 10. 01:08:28
Como queráis. Si queréis empezar este viernes, lo decís a vuestros compis, a los que faltan. 01:08:30
Los lunes seguimos con lo mismo. 01:08:34
Sí, sí, y luego nosotros seguimos con lo mismo, es decir, lo que vamos a hacer es, el capítulo de análisis, que es más largo, requiere más tiempo, para no andar agobiados con esto, lo vamos a dar los viernes, ¿vale? 01:08:36
Y el próximo lunes nosotros seguimos con esto tranquilamente. ¿Os parece? Bueno, pues lo vamos a hacer así, a ver qué tal se nos da. 01:08:48
Materias:
Matemáticas
Niveles educativos:
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  • Bachillerato
    • Primer Curso
    • Segundo Curso
Subido por:
M.jose S.
Licencia:
Dominio público
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15
Fecha:
17 de febrero de 2026 - 20:25
Visibilidad:
Público
Centro:
CEPAPUB CANILLEJAS
Duración:
1h′ 09′ 02″
Relación de aspecto:
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Resolución:
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