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AR4. 3.1 Permitaciones sin repetición. Factorial de un número. Ejercicio 6 - Contenido educativo

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Subido el 17 de agosto de 2025 por Raúl C.

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Hola a todos, soy Raúl Corraliza, profesor de matemáticas de bachillerato en el IES 00:00:12
Arquitecto Pedro Gumiel de Alcalá de Henares, y os doy la bienvenida a esta serie de videoclases 00:00:17
de la unidad AR4 dedicada a las técnicas de conteo. En la videoclase de hoy estudiaremos 00:00:21
las permutaciones sin repetición y el factorial de un número y resolveremos el ejercicio 00:00:33
propuesto 6. En esta videoclase y las siguientes vamos a estudiar la combinatoria, es la determinación 00:00:37
del cardinal de ciertos conjuntos cuando éstos cumplen con una serie de requisitos y tienen una 00:00:52
serie de regularidades que nos va a permitir determinar ese cardinal con una fórmula muy 00:00:58
sencilla. Vamos a comenzar esta serie con la videoclase actual, la que tenemos entre manos, 00:01:02
que es la que corresponde a las permutaciones sin repetición. En este caso la idea es que 00:01:08
disponemos de n elementos distinguibles y lo que vamos a hacer es ordenarlos de distintas maneras. 00:01:14
Y la pregunta que nos hacemos es, ¿de cuántas formas posibles podemos ordenar esos n elementos distinguibles? 00:01:21
Al cardinal del conjunto de ordenaciones posibles que he comentado, se le llama permutaciones sin repetición de n elementos. 00:01:28
Y se representa como p sub n, n, el número de elementos que estamos ordenando. 00:01:37
La idea es bien sencilla. 00:01:42
El primer elemento de esos n lo puedo elegir de n formas distintas. 00:01:44
Yo puedo elegir uno cualquiera de esos n. 00:01:49
Lo coloco en primera posición. Para elegir al segundo dispongo de n-1 elementos. Tenía n y he quitado 1, me quedan n-1 elementos. 00:01:51
Así que el segundo lo puedo elegir de n-1 formas posibles. Lo coloco al lado del primero, ya he sacado 2. 00:01:59
Me quedan n-2 elementos. ¿De cuántas formas posibles puedo elegir ese tercer elemento de entre esos n-2? Pues de n-2 formas. 00:02:07
Así, sucesivamente, llegará un momento en que he sacado todos los elementos menos 2, 00:02:16
el siguiente lo puedo elegir de dos formas posibles, puesto que tengo dos elementos, 00:02:20
y una vez que he sacado todos los elementos menos 1, el último tiene que ser necesariamente el que me queda ahí, 00:02:24
no puedo hacer más que una única elección, elegir ese elemento que tenía entre manos. 00:02:29
Así pues, las permutaciones en elementos, permutaciones sin repetición, 00:02:34
se pueden determinar aplicando el principio de adicción como n por n menos 1 por n menos 2 y así hasta 2 y por 1. 00:02:38
Al número así determinado, n por n menos 1 por n menos 2, etcétera, etcétera, por 2 y por 1, 00:02:47
se le suele representar de esta manera n con este símbolo de exclamación y se lee n factorial o bien el factorial de n. 00:02:52
Como propiedades del factorial de n, aunque ahora veremos ejemplos de permutaciones en repetición, 00:03:00
cabe señalar lo siguiente. El factorial de 0 por definición va a ser 1 y el factorial de n se puede 00:03:05
descomponer como n multiplicado por n menos 1 factorial. Estas propiedades en cierto momento 00:03:13
van a ser útiles. Como ejemplo de permutaciones en repetición de n elementos vamos a considerar 00:03:18
lo siguiente. Tenemos la palabra saco formada por estas cuatro letras s, a, c, o, las cuatro 00:03:24
distintas, las cuatro distinguibles. Y nos preguntamos por cuántas palabras con sentido 00:03:31
o sin sentido podemos formar con las letras de esta palabra saco. Vemos que tenemos cuatro 00:03:36
elementos, las cuatro letras diferentes, S, A, C, O. Y lo que vamos a hacer es considerar 00:03:44
las distintas palabras que podemos formar tal y como se nos dicen con o sin sentido. 00:03:50
Y la idea es esta, de estas cuatro letras, la primera que yo voy a poner en mi nueva 00:03:55
palabra la puedo elegir de cuatro formas distintas, S, A, C, U, O. Una vez que he sacado la primera letra 00:04:00
me quedan tres, la siguiente la puedo elegir de entre las tres que me quedan. Una vez que he sacado 00:04:06
dos letras, la siguiente la puedo elegir de dos formas distintas, me quedan dos letras y ya he 00:04:11
sacado dos. Y una vez que he sacado tres letras, la última será la única que me queda, la puedo elegir 00:04:16
de una única manera. Así pues, las permutaciones de estos cuatro elementos, permutaciones sin 00:04:21
repetición sería el factorial de 4 o bien 4 factorial y es el resultado de multiplicar 4 00:04:27
por 3 por 2 y por 1. En este caso vemos que podemos formar 24 palabras diferentes. Si no sólo queremos 00:04:33
determinar cuántas palabras sino que además queremos averiguar cuáles son, podemos utilizar 00:04:40
alguna de las técnicas de representación gráfica que hemos visto en la videoclase anterior. En este 00:04:46
caso la experiencia conjunta compleja no está formada por dos experiencias simples sino cuatro 00:04:51
puesto que tenemos que elegir cuatro letras. No podemos utilizar una tabla de doble entrada, 00:04:58
vamos a utilizar un árbol y la representación sería la siguiente. Partimos de un noto vacío y 00:05:03
vamos a dibujar cuatro ramas que se corresponden con las cuatro elecciones para la primera letra 00:05:10
y como tengo todavía todas las de la palabra saco, esa primera letra puede ser una S, una A, 00:05:15
una C o una O. ¿Qué ocurre si la primera letra que he sacado es la letra S? Bien, para la siguiente 00:05:21
lección me quedan solamente tres posibilidades. Aquí tengo tres ramas a partir de este nodo. Si 00:05:28
he sacado la letra S, lo que me queda es la A, la C y la O. Bien, pues esas son las tres opciones que 00:05:34
he puesto aquí. ¿Qué ocurre si la primera letra que he sacado es la S y la segunda que he sacado 00:05:40
es la A? Bueno, pues que me quedan otras dos letras. A partir de este nodo tengo dos ramas que se abren 00:05:44
Y lo que voy a colocar en los siguientes nodos son las dos letras que me quedan para elegir. 00:05:50
Si he sacado la S y la A, me quedan la C y la O. Aquí tengo esas dos opciones. 00:05:55
¿Qué ocurre si primero saque la S, luego la A y luego la C? 00:06:00
Pues que ahora no me queda más que una única opción para la cuarta letra. 00:06:04
Aquí tengo una única rama a partir de este nodo y lo que tengo a continuación es la única letra que me quedaría, que sería la O. 00:06:07
Y aquí como hoja, la palabra que he formado, la palabra saco. 00:06:13
Lo que veis aquí son todas las distintas posibilidades en cada uno de los casos. 00:06:17
Supongamos que la primera letra que he sacado fuera la letra C. 00:06:24
¿Cuántas posibilidades me quedan ahora? Me quedan tres. Aquí tengo tres ramas. 00:06:27
Si de la palabra saco he quitado la letra C para que sea la primera letra de mi nueva palabra, 00:06:31
¿qué letras me quedan? La A, la S y la O, como podéis ver aquí. 00:06:37
Supongamos que de segunda letra he sacado la S cuando de primera letra saque la C. 00:06:41
¿Qué posibilidades me quedan? Dos. Aquí veis estas dos ramas. 00:06:46
Si he sacado la C y la S, me quedan la A y la O, que son las dos letras que he puesto aquí en los siguientes nodos. 00:06:50
Supongamos que he sacado la C, la S y la O. 00:06:57
¿Qué posibilidades me quedan? Únicamente una. Me queda una única letra. 00:07:00
Tendré una única rama y como nodo, esa única letra que me queda, que sería la A. 00:07:04
¿Cuál es la palabra que estaría formando? 00:07:10
La palabra formada por las letras en este orden C, S o A que tengo aquí. Xoa. Esta palabra no tendría sentido. Igual que he formado estos dos, de esta manera, teniendo cuidado y de una forma regular, puedo formar de una forma exhaustiva y completa todas las palabras posibles. 00:07:12
Y aquí tengo saco, saoc, scao, scoa, etcétera, etcétera. ¿Cuántas posibilidades he tenido? ¿Cuántas posibilidades tengo? ¿Cuántas palabras he podido formar? Pues fijaos, el resultado de multiplicar cuatro ramas que tengo en la primera lección por tres ramas que tengo para la segunda, por dos ramas que tengo para la tercera, por una, porque no me queda más que una posibilidad, como cuarta y última opción. 00:07:31
4 por 3 por 2, 24, las 24 palabras que tengo aquí. 00:08:00
En el aula virtual de la asignatura tenéis disponibles otros recursos y cuestionarios. 00:08:07
Asimismo, tenéis más información en las fuentes bibliográficas y en la web. 00:08:13
No dudéis en traer vuestras dudas e inquietudes a clase o al foro de dudas en el aula virtual. 00:08:18
Un saludo y hasta pronto. 00:08:23
Idioma/s:
es
Materias:
Matemáticas
Etiquetas:
Flipped Classroom
Niveles educativos:
▼ Mostrar / ocultar niveles
  • Bachillerato
    • Primer Curso
Autor/es:
Raúl Corraliza Nieto
Subido por:
Raúl C.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Sin obra derivada
Visualizaciones:
2
Fecha:
17 de agosto de 2025 - 7:33
Visibilidad:
Público
Centro:
IES ARQUITECTO PEDRO GUMIEL
Duración:
08′ 52″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1280x720 píxeles
Tamaño:
22.13 MBytes

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