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AE2. 2.4 Ecuaciones de grado superior a 2 - Contenido educativo
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Hola a todos, soy Raúl Corraliza, profesor de matemáticas de bachillerato en el IES
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Arquitecto Pedro Gumiel de Alcalá de Henares y os doy la bienvenida a esta serie de videoclases
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de la unidad AE2 dedicada a las ecuaciones y los sistemas de ecuaciones.
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En la videoclase de hoy estudiaremos las ecuaciones polinómicas de grado superior a 2.
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En esta videoclase vamos a estudiar las ecuaciones polinómicas de grado superior a 2, que son
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aquellas que se van a poder expresar en la forma polinomio igual a cero, la igualación a cero de
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un polinomio, cuyo grado sea superior a 2. En este caso no va a ser posible encontrar expresiones
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tan sencillas como la que veíamos para la fórmula de la ecuación del segundo grado. Para grado 2 y
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grado 3 existen ciertas expresiones involucrando números complejos para ciertas condiciones, pero
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no hay una fórmula cerrada universal dentro del conjunto de los coeficientes y con elementos
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dentro del conjunto de los números reales de una forma tan sencilla como para el caso
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de las ecuaciones de segundo grado. Y cuando nos encontremos en uno de esos casos, un polinomio
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de grado mayor que 2 igualado a 0, tendremos que recurrir a una alternativa. Y en este
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caso lo que vamos a hacer es factorizar el polinomio de tal forma que el conjunto de
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las soluciones de la ecuación polinomio igual a cero sea el conjunto de raíces del polinomio.
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Puesto que un polinomio de grado n o polinomio con coeficientes reales de grado n va a tener a
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lo sumo n raíces reales, una ecuación polinómica de grado n va a tener a lo sumo n soluciones reales
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y dependiendo de si se alcanza o no el número máximo de raíces alcanzaremos o no el número
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máximo de soluciones. Pero algo importante que ya podemos ver es que con carácter general una
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ecuación polinómica de grado n podrá tener a lo sumo n soluciones, no infinitas, a lo sumo n.
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Así pues nos vamos a transformar el problema de tengo que resolver esta ecuación polinómica a
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tengo que factorizar este polinomio y entonces lo que vamos a hacer es recuperar todas las
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técnicas que veíamos en la unidad anterior a la hora de hablar de polinomios y de su factorización.
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Hay que hacer mención especial a dos situaciones concretas. Una de ellas es qué es lo que ocurre si me encuentro con una ecuación que yo identifico como bicuadrática. Algo como esto. Un coeficiente por x a la cuarta más otro coeficiente por x al cuadrado más un término independiente igual a cero.
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Esto es una ecuación polinómica de grado 4, puesto que aquí estoy viendo x elevado a la cuarta, pero es muy particular. Tiene únicamente término con x a la cuarta, con x al cuadrado y término independiente.
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Pues bien, una ecuación bicuadrática se va a poder transformar siempre en una ecuación cuadrática media entre el cambio de variable x al cuadrado igual a t.
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Como vemos, x al cuadrado lo puedo expresar como x al cuadrado al cuadrado. Si sustituyo x al cuadrado por t, aquí lo que tengo es a por t al cuadrado más b por t más t igual a cero.
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una ecuación de segundo grado en esa nueva variable t que equivale a x al cuadrado.
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Así pues lo que vamos a hacer es transformar este problema con una ecuación de cuarto grado a este otro con una ecuación de segundo grado
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utilizando la fórmula que veíamos en la videoclase anterior.
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Encontraremos dos soluciones, hasta dos soluciones reales t1 y t2 dependiendo de cuál sea el signo del discriminante
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y lo que tendremos que hacer es no quedarnos con estas soluciones para t
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sino deshacer el cambio de variable para encontrar las soluciones para x, que es la variable que teníamos inicialmente.
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Puesto que t es igual a x al cuadrado, lo que vamos a hacer es calcular x como más menos la raíz cuadrada de t, cada una de estas t.
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Y entonces tendremos más raíz cuadrada de t1 menos raíz cuadrada de t1 más raíz cuadrada de t2 menos raíz cuadrada de t2 como soluciones en x para la ecuación en x.
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Fijaos que aquí espero encontrar hasta cuatro raíces reales, hasta cuatro soluciones reales, a partir de estas hasta dos soluciones reales en esta ecuación de grado t, perdón, en t de grado 2, dependiendo de cuál sea el signo de t1 y de t2, si son cero, no son cero, si son positivos o son negativos, me puedo encontrar con distintas posibilidades.
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Pero el caso más general sería este. Una vez que he resuelto la ecuación en t con mis dos soluciones, buscaré las cuatro soluciones en x haciendo más o menos la red cuadrada de cada una de estas.
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Otro caso especial es el de una ecuación bicúbica. En este caso me encuentro con a por x a la sexta más b por x al cubo más t igual a cero.
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Veo que solo tengo un término en x a la sexta, un término en x al cubo y un término independiente.
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En este caso, lo que puedo hacer es un cambio de variable y hacer que x al cubo sea igual a t.
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Puesto que en este caso x a la sexta lo puedo expresar como x al cubo al cuadrado,
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y entonces con el cambio de variable me queda a por t x al cuadrado más b por t más t igual a cero.
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Puedo convertir esta ecuación polinómica de grado 6 en esta ecuación polinómica de grado 2.
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Una vez que tenga las dos soluciones, hasta dos soluciones para t, lo que tengo que hacer es deshacer el cambio de variable.
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En este caso, dentro de los números reales, la raíz cúbica de t es una única, con lo cual espero encontrar hasta dos soluciones reales,
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que sería la raíz cúbica de t1, la raíz cúbica de t2.
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Con esto que hemos visto, ya se pueden resolver las siguientes ecuaciones.
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En este caso podemos comprobar cómo en este primer caso 3x al cuadrado por 2x al cubo espero que sea una ecuación de grado quinto.
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Aquí me encuentro 2x al cubo por x, aquí me encuentro x por x al cubo, espero que esto sea una ecuación de grado cuarto.
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Y aquí x a la cuarta más 15x al cuadrado igual a 16 es una ecuación bicuadrática de las que he comentado hace un momento.
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podemos buscar resolverla factorizando o bien podemos transformarla en una ecuación de segundo grado
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y a partir de ahí resolver las ecuaciones.
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Estas ecuaciones las resolveremos en clase, probablemente las resolveremos en alguna videoclase a posteriori.
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En el aula virtual de la asignatura tenéis disponibles otros recursos y cuestionarios.
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Asimismo, tenéis más información en las fuentes bibliográficas y en la web.
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No dudéis en traer vuestras dudas e inquietudes a clase o al foro de dudas en el aula virtual.
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Un saludo y hasta pronto.
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- Idioma/s:
- Materias:
- Matemáticas
- Etiquetas:
- Flipped Classroom
- Niveles educativos:
- ▼ Mostrar / ocultar niveles
- Bachillerato
- Primer Curso
- Autor/es:
- Raúl Corraliza Nieto
- Subido por:
- Raúl C.
- Licencia:
- Reconocimiento - No comercial - Sin obra derivada
- Visualizaciones:
- 4
- Fecha:
- 10 de noviembre de 2025 - 12:18
- Visibilidad:
- Público
- Centro:
- IES ARQUITECTO PEDRO GUMIEL
- Duración:
- 07′ 13″
- Relación de aspecto:
- 1.78:1
- Resolución:
- 1280x720 píxeles
- Tamaño:
- 16.52 MBytes